, y_n),» width=»» height=»» />

является метрическим пространством. Само пространство изометрически вкладывается в него следующим образом: точке соответствует класс постоянной последовательности . Получившееся пространство и будет пополнением .

Свойства

• Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
• Пополнение метрического пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
• Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
• Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
• Критерий компактности метрического пространства: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
• Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.

Примеры

Полные пространства

• » width=»» height=»» /> — пример полного числового метрического пространства, в смысле стандартной метрики, введённой на множестве вещественных (действительных чисел). Критерий полноты метрического пространства в случае » width=»» height=»» /> носит особое название .
• Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
• Любое банахово пространство, в частности гильбертово пространство, полно по определению.

1. В частности, полным является банахово пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой.

Неполные пространства

• Рациональные числа являются неполным метрического пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел .
• Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

• Если имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература

• Зорич В.А. «Математический анализ», т.2, гл.IX, §5.

• Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Полное пространство

По́лное простра́нство, метрическое пространство , в котором сходится любая фундаментальная последовательность . Примером полного пространства служит гильбертово пространство l 2 l_2 l 2 ​ . Замкнутое подмножество полного пространства является полным пространством. Если метрическое пространство неполно, то его можно пополнить аналогично тому, как пополняется множество рациональных чисел иррациональными до совокупности всех действительных чисел . Понятие полноты обобщается и на те неметрические топологические пространства , в которых можно сравнивать окрестности различных точек, например на топологические группы .

Редакция математических наук

Опубликовано 24 августа 2022 г. в 12:03 (GMT+3). Последнее обновление 24 августа 2022 г. в 12:03 (GMT+3). Связаться с редакцией

Метрическое пространство

Метри́ческое простра́нство, множество , наделённое некоторой метрикой , т. е. множество X X X , для любой пары элементов x , y x,y x , y которого определено расстояние d ( x , y ) d(x,y) d ( x , y ) . Метрическое пространство X X X с метрикой d d d обычно обозначается ( X , d ) (X,d) ( X , d ) . Понятие метрического пространства, наряду с понятиями топологического пространства , банахова пространства и гильбертова пространства , является одним из важнейших понятий современного функционального анализа . Первые метрические пространства рассматривались в работе М. Фреше (1906), где было введено расстояние между функциями.

Примером метрического пространства может служить евклидово n n n -мерное пространство R n >^n R n размерности n ⩾ 1 n⩾1 n ⩾ 1 с обычной евклидовой метрикой. Другой пример даёт пространство B [ a , b ] B[a,b] B [ a , b ] ограниченных на отрезке [ a , b ] [a,b] [ a , b ] функций с метрикой d ( f , g ) = sup ⁡ a ⩽ x ⩽ b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ d(f,g)=\sup_|f(x)-g(x)| d ( f , g ) = a ⩽ x ⩽ b sup ​ ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ (отрезок [ a , b ] [a,b] [ a , b ] можно заменить произвольным множеством Ω Ω Ω , если верхнюю грань брать по всем x ∈ Ω x∈Ω x ∈ Ω ). Ещё одним примером является пространство ℓ p \ell_p ℓ p ​ , p ⩾ 1 p⩾1 p ⩾ 1 , которое состоит из последовательностей ξ = < ξ 1 , ξ 2 , … >ξ= \ <ξ_1,ξ_2,\ldots\>ξ = < ξ 1 ​ , ξ 2 ​ , … > комплексных чисел , удовлетворяющих условию ∑ k = 1 ∞ ∣ ξ k ∣ p < ∞ \displaystyle\sum_^∞||^p<∞ k = 1 ∑ ∞ ​ ∣ ξ k ​ ∣ p < ∞ , с метрикой d ( ξ , ζ ) = ( ∑ k = 1 ∞ ∣ ξ k − ζ k ∣ p ) 1 / p . d(ξ,ζ)=\left ( \sum_^∞|ξ_k-ζ_k|^p\right ) ^. d ( ξ , ζ ) = ( k = 1 ∑ ∞ ​ ∣ ξ k ​ − ζ k ​ ∣ p ) 1/ p . В метрическом пространстве естественным образом определяются понятия сходящейся и фундаментальной последовательностей . Последовательность < x k >k ⩾ 1 \_ < x k ​ >k ⩾ 1 ​ элементов из метрического пространства ( X , d ) (X,d) ( X , d ) сходится, если существует такой элемент x ∈ X x∈X x ∈ X , что d ( x k , x ) → 0 d(x_k,x)→0 d ( x k ​ , x ) → 0 при k → ∞ k→∞ k → ∞ . Последовательность < x k >k ⩾ 1 \_ < x k ​ >k ⩾ 1 ​ называется фундаментальной, если для любого ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 найдётся такой номер N = N ( ε ) N=N(\varepsilon) N = N ( ε ) , что d ( x k , x m ) < ε d(x_k,x_m)N k,m>N k , m > N . Важнейшим свойством метрических пространств является полнота. Метрическое пространство ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится. Указанные выше пространства R n >^n R n , B [ a , b ] B[a,b] B [ a , b ] и ℓ p \ell_p ℓ p ​ полны. Примером неполного метрического пространства служит множество рациональных чисел с метрикой d ( x , y ) = ∣ x − y ∣ d(x,y) = |x-y| d ( x , y ) = ∣ x − y ∣ . Другим нетривиальным примером неполного метрического пространства служит множество непрерывных на отрезке [ a , b ] [a,b] [ a , b ] действительных (или комплекснозначных) функций с интегральной метрикой d ( f , g ) = ( ∫ a b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ p ) 1 / p d(f,g)=\left ( \int \limits_a^b |f(x)-g(x)|^p \right ) ^ d ( f , g ) =

​ a ∫ b ​ ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ p

​ 1/ p при некотором p ⩾ 1 p⩾1 p ⩾ 1 . Задача об описании пополнения такого метрического пространства приводит к конструкции интеграла Лебега .

В метрическом пространстве естественным образом можно ввести топологию, т. е. задать систему открытых множеств. Открытым шаром радиуса r r r с центром в точке x 0 x_0 x 0 ​ метрического пространства ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется множество B ( x 0 , r ) = < x ∈ X : d ( x , x 0 ) < r >B(x_0,r)=\\> B ( x 0 ​ , r ) = < x ∈ X : d ( x , x 0 ​ ) < r >. Открытыми в ( X , d ) (X,d) ( X , d ) объявляются множества, которые можно представить в виде объединения открытых шаров, а замкнутыми множествами – дополнения к открытым. Тем самым метрическое пространство можно рассматривать как топологическое пространство с топологией, порождаемой метрикой.

Важной характеристикой метрических пространств является сепарабельность. Метрическое пространство ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется сепарабельным, если в нём найдётся множество F F F , состоящее из конечного или счётного множества элементов такое, что замыкание F F F совпадает с X X X . Замыканием множества F ⊂ X F⊂X F ⊂ X называется наименьшее (по включению) замкнутое в X X X множество, содержащее F F F (т. е. пересечение всех замкнутых множеств, содержащих F F F ). В рассмотренных выше примерах пространства R n >^n R n и ℓ p \ell_p ℓ p ​ сепарабельны, а пространство B [ a , b ] B[a,b] B [ a , b ] несепарабельно. Пространство C [ a , b ] C[a,b] C [ a , b ] , состоящее из всех непрерывных на [ a , b ] [a,b] [ a , b ] функций, с метрикой, определённой так же, как в B [ a , b ] B[a,b] B [ a , b ] , является полным и сепарабельным. Согласно теореме Банаха – Мазура пространство C [ a , b ] C[a,b] C [ a , b ] является универсальным, т. е. любое сепарабельное метрическое пространство изометрично некоторому подпространству в C [ a , b ] C[a,b] C [ a , b ] .

Фундаментальным является понятие компактности метрических пространств. В частности, важную роль играют теоремы о непрерывных отображениях компактных пространств. Компактность метрического пространства ( X , d ) (X,d) ( X , d ) равносильна выполнению одного из следующих условий (это не так за пределами класса метрических пространств): из любого покрытия ( X , d ) (X,d) ( X , d ) открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие; из любого счётного покрытия ( X , d ) (X,d) ( X , d ) открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие; любая последовательность элементов в ( X , d ) (X,d) ( X , d ) содержит подпоследовательность, которая сходится . Всякое компактное метрическое пространство полно . Компактное метрическое пространство необходимо ограничено, т. е. содержится в некотором шаре, однако полное и ограниченное метрическое пространство может быть некомпактным (в качестве примеров можно взять замкнутые единичные шары в пространствах C [ a , b ] C[a,b] C [ a , b ] или ℓ p \ell_p ℓ p ​ ).

Для получения критерия компактности метрического пространства полезным оказывается свойство полной ограниченности. Множество F F F в метрическом пространстве ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется ε \varepsilon ε -сетью, если для любой точки x ∈ X x∈X x ∈ X найдётся такая точка f ∈ F f∈F f ∈ F , что d ( x , f ) ⩽ ε d(x,f)⩽\varepsilon d ( x , f ) ⩽ ε . Метрическое пространство ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется вполне ограниченным, если для любого ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 в нём существует конечная ε \varepsilon ε -сеть. Справедлива следующая теорема: метрическое пространство ( X , d ) (X,d) ( X , d ) компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Вполне ограниченные метрические пространства называют предкомпактными. Одной из задач функционального анализа является нахождение критериев предкомпактности конкретных метрических пространств или их подмножеств (которые являются метрическими пространствами с той же метрикой). Важную роль в теории метрических пространств играет теорема Бэра , которую можно сформулировать следующим образом: пусть ( X , d ) (X,d) ( X , d ) – полное метрическое пространство, причём X = ⋃ n = 1 ∞ X n \displaystyle X=\bigcup_^<\infty>X_n X = n = 1 ⋃ ∞ ​ X n ​ , где множества X n X_n X n ​ замкнуты. Тогда хотя бы одно из множеств X n X_n X n ​ содержит открытый шар положительного радиуса.

Опубликовано 21 мая 2022 г. в 12:00 (GMT+3). Последнее обновление 21 мая 2022 г. в 12:00 (GMT+3). Связаться с редакцией

Полное метрическое пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой)