Шахматная доска как расставить 15 коней

Шахматная доска как расставить 15 коней

1. Шахматный конь стоит в левом нижнем углу доски. Может ли он через а) 4; б) 5; в) 1803 хода вернуться на исходное поле?

Ответ. а) да; б) нет; в) нет.

Решение. в) Нет, так как при каждом ходе конь меняет цвет поля, значит, после нечётного числа ходов он может оказаться только на поле противоположного цвета.

2. Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли разрезать оставшуюся часть на доминошки? 3. В каждой клетке треугольной доски размером 7 × 7 × 7 сидит жук. В один прекрасный момент каждый жук переполз на соседнюю по стороне клетку.
а) Докажите, что хотя бы одна клетка оказалась при этом свободной.
б) Какое наименьшее число клеток могло оказаться свободными?
в) Задача-конкурс. Придумайте такое «переползание» жуков, чтобы как можно больше клеток оказались пустыми.

Решение. Раскрасим клетки доски в шахматном порядке. Тогда жуки, которые сидели на чёрных клетках, после переползания окажутся на белых, и наоборот. Поскольку клеток одного цвета на 7 больше, чем другого, останется по крайней мере 7 пустых клеток.

4. Можно ли разрезать шахматную доску на доминошки так, чтобы никакие две доминошки не образовали квадрат 2 × 2?

Указание. Противоречие легко получить, если попробовать разрезать доску, начиная с угла.

5. Какое наибольшее число а) ладей; б) королей можно расставить на шахматной доске, чтобы они не били друг друга?

Решение. а) Так как в каждом столбце может стоять не больше одной ладьи, то ладей не может быть больше восьми. Восемь ладей можно поставить, например, на одну из диагоналей.
б) Разобьём доску на 16 квадратиков 2 × 2. Тогда в каждом из них может стоять не больше одного короля. Значит, всего на доске не может быть больше 16 королей. 16 королей можно поставить, например, в левых верхних углах таких квадратиков.

6. На каждом поле доски 11× 11 стоит шашка. Настя и Лена играют в такую игру. За один ход можно убрать одну шашку или любую «полоску» из шашек (несколько шашек, расположенных подряд без пропусков в столбце или строке). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Может ли одна из девочек ходить так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни старалась её победить соперница? 7. Можно ли разрезать шахматную доску на 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?

Решение. Допустим, так разрезать можно. Раскрасим доску на чёрные и белые горизонтальные полосы.
Тогда вертикальные доминошки займут 15 чёрных и 15 белых клеток. Соответственно, горизонтальным доминошкам достанется 49 чёрных и 49 белых клеток. Но каждая горизонтальная доминошка занимает две клетки одного цвета, значит, все горизонтальные доминошки должны занимать чётное число чёрных и чётное число белых клеток. Получили противоречие.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!

Шахматная доска как расставить 15 коней

Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?

Решение

Пример. На рис. приведено расположение 16 коней, удовлетворяющее условию задачи.

Оценка. Предположим, что нам удалось расставить более 16 коней. Раскрасим доску в шахматном порядке (см. рис.), а коней – в цвет клеток, на которых они стоят. Так как каждый белый конь бьёт двух чёрных, а каждый чёрный – двух белых, то количество чёрных и белых коней одинаково (каждых не меньше девяти). Таким образом, свободно не более трёх белых и не более четырёх чёрных клеток. Поэтому на центральной клетке конь стоять не может (иначе из восьми битых им белых клеток шесть будут свободны).
Так как свободно не более трёх белых клеток, то по крайней мере один белый конь стоит на клетке, соседней с центральной. Но оттуда он бьёт шесть чёрных клеток. Значит, четыре из них пусты. Вместе с центральной мы получаем пять пустых чёрных клеток. Противоречие.

Ответ

Замечания

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	«Квант»
год
Год	2000
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М1716
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	63
Год	2000
вариант
Класс	8
задача
Номер	6
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1999/2000
Номер	21
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	5

Проект осуществляется при поддержке и .

Как ходит шахматный конь

Самая любимая фигура всех детей – шахматный конь. Многих родители уже научили ходить конем. Наша задача помочь вам научиться еще лучше прыгать этой шахматной фигурой.
Известно, что конь ходит буквой «Г». Но ход по этой букве иногда вырастает до невероятных размеров и шахматный конь может оказаться совсем не там, где нужно.

Поэтому учиться ходам коня будем так: посчитаем от белого коня раз – два – в сторону. Сначала два раза вверх и налево – конь оказался на цифре 1 (d7).
Раз – два – в сторону (теперь направо). Конь приземлился на цифре 2 (f7).

Или так: ход ЛАДЬИ + ход СЛОНА. Движемся вниз на одну клетку ходом ладьи и на одну клетку вниз ходом слона. Наш конь окажется на цифре 3 (поле d3) или цифре 4 (поле f3).

Поиграем в Цветочки. Вы видели когда-нибудь стреноженного коня? Это когда коню спутывают ноги, чтобы он не мог далеко ускакать.
Так вот. Нашему шахматному коню спутали ноги на поле е5 (диаграмма выше). А вокруг него большое поле с цветами. И наш конь выбирает вкусные цветы, которыми он полакомится, когда ему развяжут ноги.
Наша задача: расставить цветочки-пешки вокруг коня. Первую пешку ставим вместе, считая знакомое раз – два – в сторону. Получилось f7.
Назовём все поля, куда мечтает прыгнуть конь:
Ке5 – f7, g6, g4, f3, d3, c4, c6, d7.

Шахматные ходы коня

Наш сытый шахматный конь захотел в гости. Самое интересное задание – это путешествие конём из угла в угол по шахматной доске. Захотелось белому коню, живущему на поле а1, сходить в гости к чёрному. А чёрный конь в другом углу живёт, на поле h8. Дорог много. Вот одна из них.
Ka1 – b3 : с5 – d7 – e5 – f7 : h8
По дороге конь может «подкрепиться» пешкой с5, а самые кровожадные могут «закусить» и конём. Будем вежливы – нанесём ответный визит.
Kh8 – g6 – h4 – g2 – e3 – c2 : a1
Часто путешествие коня заканчивается на полях g7, g8, h7. А вот оттуда в угол не попасть.

Теперь упражнения для совершенствования прыжка этой интересной фигуры. Постарайся попасть конём в угол доски. Смотри не свались с доски!
Для коня с6:
1. Kc6 – a7 2. Ka7 – c8 3. Kc8 – b6 4. Kb6 – a8
Для коня g7:
1. Kg7 – e6 2. Ke6 – f8 3. Kf8 – g6 4. Kg6 – h8
Для коня a2:
1. Ka2 – c1 2. Kc1 – b3 3. Kb3 – a1
Для коня g1:
1. Kg1 – h3 2. Kh3 – f2 3. Kf2 – h1

Ты ещё не заметил одну особенность прыжков коня? При прыжке он всегда меняет цвет поля. Стоял на белом – значит приземлится на чёрном.
Когда конь хочет кого-то побить, то при этом он может прихватить фигуры, стоящие на его пути. Как избежать таких ошибок?
Запомни, что конь бьёт только фигуру на том поле, на которое приземляется! Конь как бы протискивается или перелетает через фигуры, не обращая на них никакого внимания.

Шахматный конь — задачки

Чтобы вы стали настоящим шахматным джигитом, выполните такие задания.
1. Дома немного попрыгай конём по доске.
2. Если в квартире паркет квадратиками – «скачите на коне» в кухню и обратно. Привлеки к этому процессу всю свою семью. Походите след в след. Можно станцевать коневой танец.
3. Перейди шахматное поле конём наискосок из угла в угол. Побывай конём во всех углах.
4. Поставь на доску несколько пешек и фигур (не забудь углы!) и поиграй в Зёрнышки. Кстати, удастся ли тебе очистить всю шахматную доску за 21 ход?
5. Обойти конем всю доску нелегко! Нарисуй в тетради квадрат размером 8×8 и ходом коня обойди как можно больше клеток, останавливаясь в каждой только один раз. Каждый новый прыжок коня обозначается следующим числом. На диаграмме показано движение коня по квадрату (конь прыгнул на b3 – пишем «2», на а5 – пишем «3», b7 – «4»).
Кто больше займёт клеток на нарисованном квадрате доске, прежде чем все ходы у коня закончатся, – тот чемпион!

Всеволод Викторович Костров

Задайте вопрос или Оставьте свой комментарий

Шахматная доска как расставить 15 коней

Руководители Дмитрий Александрович Коробицын и Дмитрий Викторович Шелаев
2012/2013 учебный год

Шахматы. 3 ноября 2012

• ЗАДАЧИ
• 7 класс
• Письменная работа
• Геометрия-1
• Графы-1
• Лжецы и Рыцари
• Комбинаторика
• Про числа
• Приницип Дирихле
• Шахматы
• Геометрия-2
• Графы-2
• Взвешивания
• Раскраски-1
• Игры-1
• Инвариант
• Доказательство от противного
• Арифметическая прогрессия
• Множества
• Ребусы
• Оценка + пример
• Игры-2
• Раскраски-2
• Формулы сокращенного умножения
• Разные задачи

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!