Что такое дискриминант деленный на 4

Дискриминант на 4

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней квадратного уравнения зависит от знака D/4.

Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:
Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень
Если D/4

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

$1)5{x^2} + 16x + 3 = 0$

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{16}}{2})^2} - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49$

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{16}}{2} \pm \sqrt {49} }}{5} = \frac{{ - 8 \pm 7}}{5}$

${x_1} = \frac{{ - 8 + 7}}{5} = - \frac{1}{5} = - 0,2;$

${x_2} = \frac{{ - 8 - 7}}{5} = - \frac{{15}}{5} = - 3$

$2)3{x^2} - 28x + 9 = 0$

$a = 3;b = - 28;c = 9$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 28}}{2})^2} - 3 \cdot 9 =$

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 28}}{2} \pm \sqrt {169} }}{3} =$

${x_1} = = \frac{{14 + 13}}{3} = \frac{{27}}{2} = 9;$

$3)9{x^2} + 42x + 49 = 0$

$a = 9;b = 42;c = 49$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{42}}{2})^2} - 9 \cdot 49 =$

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 42}}{{2 \cdot 9}} = - \frac{7}{3} = - 2\frac{1}{3}$

$4){x^2} - 20x + 136 = 0$

$a = 1;b = - 20;c = 136$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 20}}{2})^2} - 1 \cdot 136 =$

$= 100 - 136 = - 36$

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{8}{2})^2} - 2 \cdot 5 = 6$

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{8}{2} \pm \sqrt 6 }}{2} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}$

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Что такое дискриминант деленный на 4

где
x — переменная,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта

Формула дискриминанта:

D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
D — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х 2

Квадратные уравнения

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

Как решать уравнения с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в уравнениях. Разбираем основные методы.

Урок с подробным разбором тригонометрических уравнений. Рассмотрим основные методы решения простейших уравнений из тригонометрии, метод замены переменной, однородные уравнения и уравнения с обратными тригонометрическими функциями

Простыми словами разберем, что такое линейные уравнения и методы их решения. Разберемся, что такое равносильные преобразования, и как правильно выражать х из уравнения.

Урок по теме: методы решения дробных и целых рациональных уравнений. Приведение к общему знаменателю дробных выражений. Область допустимых значений.

Метод замены переменной простыми словами. Разбираем основные виды замен в уравнениях и неравенствах. Ограничения на замены.

Урок по теме уравнений с модулями. Как раскрывать модуль? Какие ограничения накладываются при раскрытии модуля? Основные методы решения уравнений с одним и несколькими модулями.

© 2023 Образовательный центр SIGMA
ОГРНИП 317595800073335
ИНН 5905049322613
Все материалы данного сайта являются объектами авторского права. Запрещается копирование, распространение или любое иное использование информации и объектов без предварительного согласия правообладателя.

Дискриминант квадратного уравнения и его геометрический смысл

Одна из немногих формул, которую удается выучить к концу девятого класса практически всем ученикам, это формула нахождения дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения. И чаще всего для ученика эти формулы представляют собой набор заклинаний, не наполненных особым смыслом. Общеизвестно, что графиком квадратичной функции является парабола, однако рискну предположить, что не каждый учитель сможет не задумываясь показать на графике отрезок, имеющий отношение к дискриминанту. Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminans, отделяющий, разделяющий. Попробуем разобраться, что же разделяет (или «дискриминирует») дискриминант. Согласно любому современному учебнику алгебры восьмого класса формула корней квадратного уравнения выводится путем выделения квадрата двучлена. В процессе выделения получается выражение D = b^2-4ac, которое и называют дискриминантом. Пример из учебника алгебры Бевз Г.П. (2016 год): Обосновывается это название следующим образом: Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней - ведь невозможно, чтобы квадрат некоторого вещественного выражения был отрицательным числом. Если D = 0, то данное уравнение имеет один корень - ведь только квадрат нуля равен нулю. Если D >0, то данное уравнение имеет два корня. В результате ученик вынужден заучивать не только формулы нахождения корней квадратного уравнения, но и эти три утверждения — взаимосвязь дискриминанта с количеством корней. На мой взгляд, методически правильнее сначала довести разбор понятия «дискриминант» до логического конца, указав, что дискриминант равен квадрату расстояния между корнями уравнения. Рассмотрим для простоты приведенное квадратного уравнение (напомню, что любое квадратное уравнение легко привести к приведенному виду, разделив все коэффициенты на старший коэффициент). Итак, с учетом теоремы Виета: Таким образом, если корни приведенного квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта. Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями. Вот что показывает дискриминант — насколько далеки корни друг от друга, если они существуют. А связь с количеством корней — это всего лишь следствие этого простого факта. Теперь взаимосвязь между дискриминантом и количеством корней ясна как на ладони: если дискриминант равен нулю, то расстояние между корнями равно нулю, они совпадают — два корня, образно говоря, наложились друг на друга и превратились в один корень. Далее, расстояние не может быть меньше нуля, а значит, при отрицательном дискриминанте корней нет. Если же дискриминант строго положителен, то корней два и расстояние между ними как раз и равно корню из дискриминанта. Эти выводы интуитивно понятны и не требуют отдельного заучивания. Более того, понимание геометрического смысла дискриминанта помогает упростить и ускорить нахождение самих корней. Начинающий ученик действует обычно по следующей схеме: 1) определяет коэффициенты уравнения; 2) записывает формулу дискриминанта, подставляет в нее значения коэффициентов, вычисляет значение; 3) извлекает квадратный корень из дискриминанта; 4) записывает формулу корней и поочередно вычисляет каждый из них. Шаг 4 можно упростить, найдя меньший корень и затем для нахождения большего корня останется только прибавить корень из дискриминанта — а он у нас уже посчитан на шаге 3. (В случае неприведенного квадратного уравнения нужно не забыть корень из дискриминанта разделить на старший коэффициент). Вывод. Знание геометрического смысла дискриминанта квадратного уравнения позволяет ученикам получить наглядное представление о взаимосвязи корней и коэффициентов уравнения, упростить расчеты, уменьшить объем заучиваемой информации.

Рейтинг: 4.82 из 5

На основе отзывов 11 пользователей

Редакция не несет ответственности за наполнение блогов, они есть персональным мнением автора

Выбирай лучших преподавателей на сервисе Буки!

Другие статьи преподавателя

Регистрируйся как репетитор на BUKI!

Бесплатная регистрация за 10 минут

Занятия персонально или по Skype

Оплата напрямую от ученика

Также читайте раздел «Блоги репетиторов»:

Все о поступлении на медицинские специальности в 2024 году

Как поступить на журналистику в 2024 году?

Поступление в польские ВУЗы в 2024: что нужно знать абитуриенту из Украины

Обучение на врача косметолога в Украине

Отзывы клиентов

Рейтинг: 4.57 из 5

На основе отзывов 1595 пользователей

Разработано с ♥ командой BUKI

Похожие публикации:

Ворд стал в клеточку как убрать

Как в предыдущем разделе в ворде где

Как добавить библиотеку в компас 18

Как прервать программу в досбокс