Конев В.В. Пределы последовательностей и функций
Сравнение бесконечно малых 
Предел последовательности
Предел функции
Приближенные вычисления
Непрерывность функций
Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то 
и 
называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при 
и записывают это утверждение в виде
Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при 
а функция имеет меньший порядок малости.
Термин “порядок малости” допускает уточнение, если и 
представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что является бесконечно малой n-го порядка по сравнению с . Например, функция 
является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с 
при x → 0.
Если λ = ∞, то бесконечно малые и как бы меняются своими ролями. В этом случае функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при .
Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.
-
Если
и – эквивалентные бесконечно малых при то их разность есть бесконечно малая более высокого порядка. Действительно,
Для записи такого утверждения используется выражение
Бесконечно малые и 
являются эквивалентными, если и являются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Если – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с при то
Лекция 10. Раздел 10.2
Сравнение бесконечно малых величин.
Как следует из определения бесконечно малых величин, все они стремятся к нулю, но скорость этого стремления может быть различна. Поэтому все бесконечно малые величины можно сравнивать между собой.
Пусть даны две бесконечно малые величины и при , то есть , .
Определение 10.2.1. Функции и называются бесконечно малыми величинами одного порядка малости, если .
Определение 10.2.2. Функция называется бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем , если .
Определение 10.2.3. Функция называется бесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем , если .
Тот факт, что , например, имеет более высокий порядок малости, чем , можно обозначить следующим образом: .
Определение 10.2.4. Функция называется бесконечно малой величиной го порядка малости относительно , если .
Определение 10.2.5. Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми величинами, если не существует и не равен .
Определение 10.2.6. Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если .
Очевидно, что это частный случай бесконечно малых величин одного порядка малости. Эквивалентные величины обозначаются следующим образом: .
Понятие эквивалентности имеет практическое приложение. Если , то это значит, что при достаточном приближении к на основании теоремы 9.2.1 можно написать: . Иначе говоря, или .
Полученный результат позволяет следствия первого и второго замечательных пределов представить следующим образом:
Данный факт значительно облегчает вычисление пределов, связанных с первым и вторым замечательными пределами. Докажем объясняющую это теорему.
Теорема 10.2.1. Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им величин.
Доказательство. Пусть даны две бесконечно малые величины и при , причем и . Рассмотрим
что и требовалось доказать.
Следовательно, при вычислении пределов, используя замены сомножителей на эквивалентные им более простые величины, можно значительно упрощать выражения.
Рассмотрим теперь теорему, дающую достаточно простой признак эквивалентности бесконечно малых величин.
Теорема 10.2.2. Две бесконечно малые величины и при эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем и .
Необходимость. Дано, что . Рассмотрим
то есть . Аналогично доказывается, что .
Достаточность. Дано, что и . Рассмотрим
то есть , что и требовалось доказать.
Рассмотрим еще одну теорему, облегчающую процесс вычисления пределов.
Теорема 10.2.3. Сумма конечного числа бесконечно малых величин разных порядков малости эквивалентна слагаемому с самым низким порядком малости.
Доказательство. Пусть даны бесконечно малые величины , и при , причем , , . Обозначим . Тогда
то есть , что и требовалось доказать.
- Решение задач :
- Главная
- Цены
- Оплата
- Вопросы — ответы
- Образцы готовых работ
- Заказать решение
- Скачать программы
- Скачать книги
- Скачать реферат
- Разное :
- Обмен ссылками
- Ссылки
- Интересно:
- Шпаргалки по математике
- Новости математикм
- Статьи по математике
- Лекции по математике
- Разделы:
- Раздел 10.1
- Раздел 10.2
Бесконечно малая величина
Последовательность an называется бесконечно малой, если 
. Например, последовательность чисел 
— бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если 
либо 
.
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если 
, то f(x) − a = α(x), 
.
[Править]Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность an называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если 
либо 
.
[Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
- Функция f(x)=(x-1) 2 является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
- Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
- f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
- f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
- Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению|α(x)|ε. Тогда |f(x) – b| ε. А это и значит, что .
- Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b| ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|ε, а это значит, что a – бесконечно малая.
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|, выполняется |f(x)| ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|δ1 имеем |α(x)| ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|δ2 имеем | β(x)| ε/2.
Возьмем δ=min δ1, δ2>.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)| ε/2 и | β(x)|ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)| ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то .
Следствие 2. Если и c=const, то .
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ
И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.
- Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .
- .
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) — бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
- .
- .
- , так как функции и — бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.
Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
П редставление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции y = f(x) мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции: если независимая переменная приближается к точке x0, то значение функции y = f(x) неограниченно приближается к значению функции в точкеx0, т.е. к f(x0).
Дадим строгое определение непрерывности функции. Итак, пусть имеем функцию y = f(x).
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности содержащей x0 и
Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3 условия:
- она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности;
- имеет предел при x→x0;
- этот предел равен значению функции в точке x0.
Формулу (1) можно записать в виде , т.к. . Это означает, что для того, чтобы найти предел непрерывной функции при x → x0, достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента xего значение x0.
Пример: Докажем, что функция y = 3x 2 непрерывна в произвольной точке x0. Для этого найдем .
Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a < b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.
Непрерывные функции обладают следующими свойствами.
Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма φ(x) = f(x) + g(x) также есть непрерывная функция в точке x0.
Доказательство. Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то исходя из определения можно написать . Тогда на основании свойств пределов будем иметь
Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Следующие две теоремы докажите самостоятельно аналогично теореме 1.
Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.
Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.
Если функцию можно представить в виде y = f(u), где u = φ(x), т.е. если функция зависит от переменной через промежуточный аргумент u, то называется сложной функцией переменной x.
Таким образом, под термином сложная функция следует понимать не какое – либо очень сложное выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько промежуточных функций.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если функция u = φ(x) непрерывна в точкеx0 и принимает в этой точке значение u0 = φ(x0), а функция f(u)непрерывна в точке u0, то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x0.
Используя эти теоремы можно доказать следующий результат.
Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Заметим, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x0 и её значение в этой точке отлично от 0, f(x0) ≠ 0, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеют тот же знак, что и f(x0), т.е. если f(x0) > 0, то найдётся такое δ > 0, что на интервале(x0– δ;x0+ δ) f(x) > 0 (в этой окрестности значения функции f(x) очень мало отличаются от своего предела).
Доказательство см. в курсе 10 класса.
Доказательство.
Из непрерывности функции получаем требуемое ( ).
Доказательство. Положим .
Доказательство.
Доказательство.
При по теореме о двух милиционерах.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ
И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.
- Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .
- .
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) — бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
- .
- .
- , так как функции и — бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.
Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0
СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.
- Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).
- Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.
- Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).
Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.
- Пусть f(x)=x 2 ,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при x→0. Найдем . Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).
- Пусть f(x)=x 2 –4,g(x)=x 2 –5x+6 – бесконечно малые при x→2.
Поэтому f(x) и g(x) одного порядка.
- f(x)=tg2x,g(x) = 2x – бесконечно малые при х→0.
Следовательно, f ≈ g.
- – бесконечно малые при n→∞.
– этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.
При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.
Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при х→а. Если и f ≈ f1, g ≈ g1, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.
Доказательство. Имеем . Тогда
что и требовалось доказать.
Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций при
x→0: sinx ≈ x,tgx ≈ x,arcsinx ≈ x,arctgx ≈ x,1–cosx ≈ x 2 ∕2,loga(1+x) ≈ x/lna,ln (1+x) ≈ x,(1+x) m –1 ≈ mx,a x –1 ≈ xlna,e x –1 ≈ x.
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.
Рассмотрим два значения аргумента: исходное x0 и новое x. Разностьx– x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x0 (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x0+Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x0 значение функции было f(x0), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x0 +Δx).
Разность y – y0 = f(x) – f(x0) называется приращением функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом Δy. Таким образом,
Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 +Δx) — f(x0).
Обычно исходное значение аргумента x0 считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y0 = f(x0)оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δxтакже будут переменными и формула (1) показывает, чтоDy является функцией переменной Δx.
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента
Найдем предел этого отношения при Δx→0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x0 и обозначают f ‘(x0). Итак,
Производной данной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.
Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках xможет принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f ‘(x)
Производная обозначается символами f ‘(x),y ‘, . Конкретное значение производной при x = aобозначается f ‘(a) или y ‘|x=a.
Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.
Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:
- Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).
- Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).
- Составить отношение и найти предел этого отношения при Δx∞0.
- Найти производную функции y = x2
а) в произвольной точке;
б) в точке x= 2.
- Используя определение найти производную функции в произвольной точке.
- .
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь, пройденный к моменту времени t, v– скорость равномерного движения.
Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние sбудет зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени.
Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).
Отметим некоторый момент времени t0. К этому моменту точка прошла путь s=s(t0). Определим скорость vматериальной точки в момент времени t0.
Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t0+Δt. Ему соответствует пройденный путь s=s(t0+Δt). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t0+Δt)–s(t).
Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt.
Итак, скоростью движения в данный момент времени t0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t0 до t0+Δt, когда Δt→0:
т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.
Г ЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M0M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М0Т, то прямая М0Т называется касательной к кривой в данной точке М0.
Т.о., касательной к кривой в данной точке М0 называется предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М0.
Р ассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х0 функция принимает значениеy0=f(x0). Этим значениям x0 и y0 на кривой соответствует точка М0(x0; y0).Дадим аргументу x0 приращение Δх. Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y0+Δ y=f(x0–Δx). Получаем точку М(x0+Δx; y0+Δy). Проведем секущую М0М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Составим отношение и заметим, что .
Если теперь Δx→0, то в силу непрерывности функции Δу→0, и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0. Тогда секущая М0М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М0, а угол φ→α при Δx→0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:
т.е. f ‘(x) = tg α .
Т.о., геометрически у ‘(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.
Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х 2 в точке М(-1; 1).
Ранее мы уже видели, что (x 2 )’ = 2х. Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y‘|x=-1 = – 2.
9ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.
Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).
Операция «функция от функции» может проводиться не один раз, а любое число раз.
Установим правило дифференцирования сложной функции.
Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 =u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y ‘u= f ‘(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y ‘x= f ‘(u0)·u ‘(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументуu на производную промежуточного аргумента по x.
Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx:
Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0).
Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.
По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)
где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.
Перепишем это равенство в виде:
Δy= y ‘uΔu+α·Δu.
Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx
По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y ‘x= y ‘u·u ‘x . Теорема доказана.
Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от «внешней» функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от «внутренней» функции по независимой переменной.
Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y ‘x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.
По доказанному правилу имеем y ‘x= y ‘u·u ‘x . Применяя эту же теорему для u ‘x получаем , т.е.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.
- .
- (справедлива для любого конечного числа слагаемых).
- .
- .
Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.
Доказательство формулы 3.
Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).
Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.
Доказательство формулы 4.
Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому
Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).
Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значитu(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0.
Поэтому можем записать
На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.
Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,
y ‘ = u ‘·(v·w) + u·(v ·w) ‘ = u ‘·v·w + u·(v ‘·w +v·w ‘) = u ‘·v·w + u·v ‘·w + u·v·w ‘.
Доказательство формулы 5.
Пусть . Тогда
При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.
y ‘ = 3x 2 – 6x+ 5. Следовательно, y ‘(–1) = 14.
- y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:
(a + b) n = a n +n·a n-1 ·b + 1/2∙n(n – 1)a n-2 ∙b 2 + 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a n-3 b 3 +…+ b n ,
можно доказать, что
Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx) n , и, следовательно,
Δy=(x+Δx) n – x n =n·x n-1 ·Δx + 1/2·n·(n–1)·x n-2 ·Δx 2 +…+Δx n .
Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.
Мы доказали эту формулу для n N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n R.
- y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.
Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то
- Аналогично можно показать, что
Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому
- Используя свойства логарифма можно показать, что
Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.
ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x 3 . Будем рассматривать равенство y= x 3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x: . Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x 3 только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y. Функция называется обратной по отношению к функции y= x 3 .
Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.
Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x2>x1, то f(x2) > f(x1).
Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих2 < х1 , то f(x2) > f(х1).
Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).
Рассмотрим два различных значения х1 и х2. Пусть y1=f(x1), y2=f(x2). Из определения возрастающей функции следует, что если x1x2, то у1у2. Следовательно, двум различным значениям х1 и х2 соответствуют два различных значения функции у1 и у2. Справедливо и обратное, т.е. если у1у2, то из определения возрастающей функции следует, чтоx1x2. Т.е. вновь двум различным значениям у1 и у2 соответствуют два различных значенияx1 и x2. Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. уравнение y=f(x)для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x, и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y: x= g(у).
Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у).
Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c; d].
Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций.
Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y. Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через x, а функцию через y и построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла.
ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.
Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g‘(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f ‘(x0), равную , т.е. справедлива формула .
Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x)непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.
Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .
что и требовалось доказать.
Эту формулу можно записать в виде .
Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.
- y = e x . Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме
Конев В.В. Пределы последовательностей и функций
Свойства бесконечно малых функций
Предел последовательности
Предел функции
Приближенные вычисления
Непрерывность функций
Доказательство. Функция является ограниченной в некоторой окрестности точки a и, следовательно, существует такое число B > 0, что
(4) для всех x, удовлетворяющих условию
(5) Поскольку функция
является бесконечно малой при 
, то для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число 
, что неравенство
(6) выполняется для всех x, удовлетворяющих условию
Выберем из чисел
и наименьшее и обозначим его символом δ. Тогда условие
(8) является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6).
Таким образом, для любого произвольно малого числа ε > 0 выполняется неравенство
для всех x из δ-окрестности точки a. Свойство 2. Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
Доказательство. Пусть ε > 0 – произвольно малое число;
и 
– бесконечно малые функции при 
. Тогда существуют такие положительные числа и , что условия
(9) (10) влекут за собой соответствующие неравенства
Если
, то условие перекрывает оба условия (9) и (10) и, следовательно,
Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.