Что такое кратное ребро в графе

Основные определения теории графов

В графе ребро, концы которого совпадают, то есть [math]e=(v, v)[/math] , называется петлей (англ. loop).

Два ребра, имеющие общую концевую вершину, то есть [math]e_1=(v, u_1)[/math] и [math]e_2=(v, u_2)[/math] , называются смежными (англ. adjacent).

Если имеется ребро [math] (v, u) \in E [/math] , то говорят:

[math] v [/math] — предок (англ. direct predecessor) [math] u [/math] .
[math] u [/math] и [math] v [/math] — смежные.
Вершина [math] u [/math] инцидентна ребру [math] (v, u) [/math] .
Вершина [math] v [/math] инцидентна ребру [math] (v, u) [/math] .

Инцидентность (англ. incidence) — понятие, используемое только в отношении ребра и вершины. Две вершины или два ребра не могут быть инцидентны.

Граф с [math] p [/math] вершинами и [math] q [/math] рёбрами называют [math] (p, q) [/math] -графом. [math] (1, 0) [/math] -граф называют тривиальным.

Заметим, что по определению ориентированного графа, данному выше, любые две вершины [math]u,~v[/math] нельзя соединить более чем одним ребром [math](u, v)[/math] . Поэтому часто используют другое определение.

Определение:

Ориентированным графом [math]G[/math] называется четверка [math]G = (V, E, \operatorname, \operatorname)[/math] , где [math]V[/math] и [math]E[/math] — некоторые множества, а [math]\operatorname, \operatorname : E \rightarrow V[/math] .

Данное определение разрешает соединять вершины более чем одним ребром. Такие рёбра называются кратными (иначе — параллельные, англ. multi-edge, parallel edge). Граф с кратными рёбрами принято называть мультиграфом (англ. multigraph). Если в мультиграфе присутствуют петли, то такой граф называют псевдографом (англ. pseudograph).

1. Краткий перечень основных понятий теории графов

Графы помогают описывать и исследовать различные системы объектов и их связи. Например, в графе, изображенном на рис. 1, точки (вершины графа) можно интерпретировать как города, а линии, соединяющие вершины (ребра), как дороги, соединяющие эти города.

Формальное определение графа таково [1-8]. Графом Г=(V,X) называется пара множеств: V – множество, элементы которого называются Вершинами, X – множество неупорядоченных пар вершин, называемых Ребрами. Если V, W Î V, X=(V,W)ÎX, то говорят, что ребро X соединяет вершины V и W или X инцидентно V и W. Таким образом, – обозначение ребра. Если Х представляет собой упорядоченные пары (т. Е. X – подмножество декартова произведения V×V), то граф называется ориентированным, а пары называют дугами. Если множеству X принадлежат пары V=W, то такие ребра (V,V) называют петлями. Существование одинаковых пар соответствует наличию параллельных или кратных ребер (дуг), а кратностью ребер называют количество таких одинаковых пар.

Например, кратность ребра V1, v2> в графе, изображенном на рис. 2, равна двум, кратность ребра V3, v4> − трем.

Псевдограф − граф, в котором есть петли и/или кратные ребра.

Мультиграф − псевдограф без петель.

Заметим, что Графом также называют мультиграф, в котором ни одна пара не встречается более одного раза.

Итак, используемые далее Обозначения:

V – множество вершин;

X – множество ребер или дуг;

V (или Vi)– вершина или номер вершины;

G, G0 – неориентированный граф;

D, D0 – ориентированный;

V,W> − ребра неориентированного графа;

(V,W) − дуги в ориентированном графе;

V,W – вершины, X,Y,Z – дуги и ребра;

N(G), N(D) количество вершин графа;

M(G) – количество ребер, M(D) – количество дуг.

2) Неориентированный граф, изображенный на рис. 4:

Кратные рёбра

Кратные рёбра (также называемые параллельными рёбрами или мультирёбрами) — это два и более рёбер, инцидентных одним и тем же двум вершинам. Простой граф кратных рёбер не имеет.

В зависимости от контекста граф может быть определён с разрешением или запрещением иметь кратные рёбра (часто вместе с разрешением или запрещением иметь петли):

Когда графы определяются с разрешением кратных рёбер и петель, графы без петель называются часто мультиграфами.

Когда графы определяются c запрещением кратных рёбер и петель, под мультиграфами или псевдографами часто понимаются «графы», которые могут иметь петли и кратные рёбра.Кратные рёбра полезны, например, при рассмотрении электрических цепей с точки зрения теории графов. Кроме того, они составляют ядро дифференцирующих свойств многомерных цепей.

Планарный граф остаётся планарным, если добавить ребро между двумя вершинами, уже связанными ребром. То есть добавление ребра сохраняет планарность.

Связанные понятия

В теории графов псевдолес — это неориентированный граф , в котором любая связная компонента имеет максимум один цикл. То есть это система вершин и рёбер, соединяющих пары вершин, такая, что никакие два цикла не имеют общих вершин и не могут быть связаны путём. Псевдодерево — это связный псевдолес.

В теории графов мультиграфом (или псевдографом) называется граф, в котором разрешается присутствие кратных рёбер (их также называют «параллельными»), то есть рёбер, имеющих те же самые конечные вершины. Таким образом, две вершины могут быть соединены более чем одним ребром (тем самым мультиграфы отличаются от гиперграфов, в которых каждое ребро может соединять любое число вершин, а не в точности две).

Число пересечений графа — наименьшее число элементов в представлении данного графа как графа пересечений конечных множеств, или, эквивалентно, наименьшее число клик, необходимых для покрытия всех рёбер графа.

Одновременное вложение графов — это техника визуализации двух и более различных графов на одном и том же множестве помеченных вершин, при которой избегается пересечения рёбер в каждом из графов. Пересечения между рёбрами разных графов разрешаются, не разрешается только пересечение рёбер одного графа.

Граф — абстрактный математический объект, представляющий собой множество вершин графа и набор рёбер, то есть соединений между парами вершин.

Граф Аполлония — это неориентированный граф, образованный рекурсивным процессом подразделения треугольника на три меньших треугольника. Графы Аполлония можно эквивалентно определить как планарные 3-деревья, как максимальные планарные хордальные графы, как однозначно 4-раскрашиваемые планарные графы или как графы блоковых многогранников. Графы названы именем Аполлония Пергского, изучавшего связанные построения упаковки кругов.

Перечислены связные 3-регулярные (кубические) простые графы с малым числом вершин.

Косое разбиение графа — это разбиение его вершин на два подмножества, такое что порождённый подграф, образованный одним из его подмножеств вершин является несвязным, а другой порождённый подграф, образованный другим подмножеством является дополнением несвязного графа. Косые разбиения играют важную роль в теории совершенных графов.

Кососимметрический граф — это ориентированный граф, который изоморфен своему собственному транспонированному графу, графу, образованному путём обращения всех дуг, с изоморфизмом, который является инволюцией без неподвижных точек. Кососимметрические графы идентичны двойным покрытиям двунаправленных графов.

Алгоритм Эдмондса или алгоритм Чу — Лью/Эдмондса — это алгоритм поиска остовного ориентированного корневого дерева минимального веса (иногда называемого оптимальным ветвлением).

Два-графы не являются графами, и их не следует путать с другими объектами, которые называются 2-графами в теории графов, в частности, с 2-регулярными графами. Для их различения используется слово «два», а не цифра «2».

В теории графов медианным графом называется неориентированный граф, в котором любые три вершины a, b, и c имеют единственную медиану — вершину m(a,b,c), которая принадлежит кратчайшим путям между каждой парой вершин a, b и c.

Вырожденность известна также под именем k-ядерное число, ширина и зацепление, и, по существу, это то же самое, что и число раскраски или число Секереша — Вилфа. k-Вырожденные графы называются также k-индуктивными графами. Вырожденность графа может быть вычислена за линейное время с помощью алгоритма, который последовательно удаляет вершины с минимальной степенью. Компонента связности, оставшаяся после удаления всех вершин со степенью , меньшей k, называется k-ядром графа, и вырожденность графа равна.

В топологической теории графов 1-планарный граф — граф, который может быть нарисован в евклидовой плоскости таким образом, что каждое ребро имеет максимум одно пересечение с единственным другим ребром.

Древесность неориентированного графа — это минимальное число лесов, на которые можно разложить рёбра. Эквивалентно это является минимальным числом остовных деревьев, которые необходимы для покрытия рёбер графа.

Критерий планарности Маклейна — это описание планарных графов в терминах их пространства циклов. Критерий носит имя Саундерса Маклейна, опубликовавшего критерий в 1937. Критерий утверждает, что конечный неориентированный граф является планарным тогда и только тогда, когда пространство циклов графа (по модулю 2) имеет базис циклов, в котором каждое ребро графа принадлежит не более чем двум базисным векторам.

Мост — ребро в теории графов, удаление которого увеличивает число компонент связности. Такие рёбра также известны как разрезающие рёбра, разрезающие дуги или перешейки. Эквивалентное определение — ребро является мостом в том и только в том случае, если оно не содержится ни в одном цикле.

В теории графов циркулянтным графом называется неориентированный граф, имеющий циклическую группу симметрий, которая включает симметрию, переводящую любую вершину в любую другую вершину.

Неравенство числа пересечений или лемма о пересечениях даёт нижнюю грань минимального числа пересечений данного графа как функцию от числа рёбер и вершин графа. Лемма утверждает, что для графов, у которых число рёбер e достаточно велико по сравнению с числом вершин n, число пересечений по меньшей мере пропорционально e3/n2.

В теории графов частичный куб — это подграф гиперкуба, сохраняющий расстояния (в терминах графов) — расстояние между любыми двумя вершинами подграфа, то же самое, что и в исходном графе. Эквивалентно, частичный куб — это граф, вершины которого можно пометить битовыми строками одинаковой длины, так что расстояние между двумя вершинами в графе равно расстоянию Хэмминга между этими двумя метками. Такая разметка называется разметкой Хэмминга и она представляет изометричное вложение частичного куба в.

Разметка графа в математике — это назначение меток, которые традиционно представляются целыми числами, рёбрами, вершинами, или рёбрам, и вершинам графа.

В теории графов графами Пэли (названы в честь Раймонда Пэли) называются плотные неориентированные графы, построенные из членов подходящего конечного поля путём соединения пар элементов, отличающихся на квадратичный вычет. Графы Пэли образуют бесконечное семейство конференсных графов, поскольку тесно связаны с бесконечным семейством симметричных конференсных матриц. Графы Пэли дают возможность применить теоретические средства теории графов в теории квадратичных вычетов и имеют интересные свойства.

Лемма о рукопожатиях — положение теории графов, согласно которому любой конечный неориентированный граф имеет чётное число вершин нечётных степеней. Лемма берёт название от популярной аналогии: в группе людей, некоторые из которых пожимают друг другу руки, чётное число людей поприветствовало таким образом нечётное число коллег.

Вложение Татта или барицентричное вложение простого вершинно 3-связного планарного графа — вложение без пересечений с рёбрами в виде отрезков с дополнительными свойствами, что внешняя грань имеет выпуклый многоугольник в качестве границы и что каждая внутренняя вершина является геометрическим центром соседей. Если внешний многоугольник фиксирован, это условие на внутренние вершины определяет их положения однозначно как решение системы линейных уравнений. Решение уравнений даёт планарное вложение.

Плана́рный граф — граф, который может быть изображён на плоскости без пересечения рёбер. Иначе говоря, граф планарен, если он изоморфен некоторому плоскому графу, то есть графу, изображённому на плоскости так, что его вершины — это точки плоскости, а рёбра — непересекающиеся кривые на ней. Области, на которые граф разбивает плоскость, называются его гранями. Неограниченная часть плоскости — тоже грань, так называемая внешняя грань.

В теории графов стягивание ребра — это операция, которая удаляет ребро из графа, а до этого связанные ребром вершины сливаются в одну вершину. Стягивание ребра является фундаментальной операцией в теории о минорах графов. Отождествление вершин — другая форма этой операции с более слабыми ограничениями.

В теории графов говорят, что граф G гипогамильтонов, если сам по себе граф не имеет гамильтонова цикла, но любой граф, полученный удалением одной вершины из G, является гамильтоновым.

Куб Фибоначчи можно определить в терминах кодов Фибоначчи и расстояния Хэмминга, независимых множеств вершин в путях, или через дистрибутивные решётки.

Хромати́ческое число́ гра́фа G — минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа G так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета. Обычно обозначается χ(G).

Двойное покрытие циклами в теории графов — множество циклов в неориентированном графе, которое включает в себя каждое ребро ровно два раза. Например, любой полиэдральный граф образован из вершин и рёбер выпуклого многогранника, грани же при этом образуют двойное покрытие циклами: каждое ребро принадлежит ровно двум граням.

Совершенная (или грациозная) разметка рёбер графа — это вид разметки графа. Это разметка для простых графов (в простом графе никакие два различных ребра не соединяют те же самые две различные вершины, никакое ребро не соединяет вершину с ней же (нет петель) и граф связен). Совершенные разметки рёбер ввёл в своей статье С. Ло.

Экстремальная теория графов — это ветвь теории графов. Экстремальная теория графов изучает экстремальные (максимальные или минимальные) свойства графов, удовлетворяющих определённым условиям. Экстремальность может относиться к различным инвариантам графов, таким как порядок, размер или обхват. В более абстрактном смысле теория изучает, как глобальные свойства графа влияют на локальные подструктуры графа.

Говорят, что ориентированный граф апериодичен, если нет целого числа k > 1, делящего длину любого цикла графа. Эквивалентно, граф апериодичен, если наибольший общий делитель длин его циклов равен единице. Этот наибольший общий делитель для графа G называется периодом графа G.

Рисование под прямыми углами (РПУ=right angle crossing, RAC) графа — это рисование, при котором вершины представлены точками, а рёбра представлены отрезками или ломаными, не более двух рёбер пересекаются в одной точке, и если два ребра пересекаются, они должны пересекаться под прямыми углами.

В теории графов короной с 2n вершинами называется неориентированный граф с двумя наборами вершин ui и vi и рёбрами между ui и vj, если i ≠ j. Можно рассматривать корону как полный двудольный граф, из которого удалено совершенное паросочетание, как двойное покрытие двудольным графом полного графа, или как двудольный граф Кнезера Hn,1, представляющий подмножества из 1 элемента и (n − 1) элементов множества из n элементов с рёбрами между двумя подмножествами, если одно подмножество содержится в другом.

В теории графов графом гиперкуба Qn называется регулярный граф с 2n вершинами, 2n−1n рёбрами и n рёбрами, сходящимися в одной вершине. Его можно получить как одномерный скелет геометрического гиперкуба. Например, Q3 — это граф, образованный 8 вершинами и 12 рёбрами трёхмерного куба. Граф можно получить другим образом, отталкиваясь от семейства подмножеств множества с n элементами путём использования в качестве вершин все подмножества и соединением двух вершин ребром, если соответствующие множества.

Снарк в теории графов — связный кубический граф без мостов c хроматическим индексом 4. Другими словами, это граф, в котором каждая вершина имеет три соседние вершины и рёбра нельзя выкрасить только в три цвета, так чтобы два ребра одного цвета не сходились в одной вершине. (По теореме Визинга хроматический индекс кубического графа равен 3 или 4.) Чтобы избежать тривиальных случаев, снарками часто не считают графы, имеющие обхват меньше 5.

Гипотеза Тэйта утверждает, что любой 3-связный планарный кубический граф имеет гамильтонов цикл, проходящий через все его вершины. Гипотезу высказал в 1884 году П.Г. Тэйт и опровёрг в 1946 году У.Т. Татт, построив контрпример с 25 гранями, 69 рёбрами и 46 вершинами. Позднее, в 1988, Холтон и Маккей нашли меньший по размеру контрпример с 21 гранями, 57 рёбрами и 38 вершинами и показали, что этот граф минимален.

В теории графов паросочетание или независимое множество рёбер в графе — это набор попарно несмежных рёбер.

В теории графов нечётные графы On — это семейство симметричных графов с высоким нечётным обхватом, определённых на некоторых семействах множеств. Они включают и обобщают графы Петерсена.

В теории графов графом без клешней называется граф, который не содержит порождённых подграфов, изоморфных K1,3 (клешней).

Восходящее планарное представление направленного ациклического графа — это вложение графа в евклидово пространство, в котором рёбра представлены как непересекающиеся монотонно возрастающие кривые. То есть, кривая, представляющая любое ребро, должна иметь свойство, что любая горизонтальная прямая пересекает его максимум в одной точке, и никакие два ребра не могут пересекаться, разве что на концах. В этом смысле это идеальный случай для послойного рисования графа, стиля представления графа, в котором.

В теории графов граф называется хордальным, если каждый из его циклов, имеющих четыре ребра и более, имеет хорду (ребро, соединяющее две вершины цикла, но не являющееся его частью).

Резистивное расстояние между двумя вершинами простого связного графа G равно сопротивлению между двумя эквивалентными точками электрической цепи, построенной путём замены каждого ребра графа на сопротивление в 1 ом. Резистивные расстояния являются метрикой на графах.

В теории графов графом Халина называется некоторый вид планарного графа, который строится из дерева, имеющего по меньшей мере 4 вершины, ни одна из которых не имеет в точности двух соседей. Дерево рисуется на плоскости так, что никакие рёбра не пересекаются, затем добавляются рёбра, соединяющие все его листья в цикл. Графы Халина названы по имени немецкого математика Рудольфа Халина, изучавшего их в 1971 году, но кубические графы Халина изучались за столетие до этого английским математиком Томасом.

Гомоморфизм графов — это отображение между двумя графами, не нарушающее структуру. Более конкретно, это отображение между набором вершин двух графов, которое отображает смежные вершины в смежные.

st-Планарный граф — это биполярная ориентация планарного графа, для которого как источник, так и сток ориентации находятся на внешней грани графа. То есть это ориентированный граф, нарисованный без пересечений на плоскости таким образом, что не имеется ориентированных циклов в графе, точно одна вершина графа не имеет входных дуг, точно одна вершина графа не имеет исходящих дуг, и обе эти две специальные вершины лежат на внешней грани графа.

Построение Хайоша — это операция над графами, названная именем венгерского математика Дьёрдя Хайоша, которая может быть использована для построения любого критического графа или любого графа, хроматическое число которого не меньше некоторого заданного порога.

Симметричный граф (или транзитивный относительно дуг граф) — граф G, для любых двух пар смежных вершин которого u1—v1 и u2—v2 имеется автоморфизм.

Дистанционно-регулярный граф — регулярный граф такой, что для любых двух вершин v и w число вершин с расстоянием j от v и расстоянием k от w зависят только от j, k и i = d(v, w).

Основы теории графов: определения, свойства и примеры

В данной статье мы рассмотрим основные определения и свойства теории графов, такие как вершины, ребра, ориентированные и неориентированные графы, степень вершины, смежные вершины и инцидентные ребра, а также петли и кратные ребра.

Основы теории графов: определения, свойства и примеры обновлено: 13 ноября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Помощь в написании работы

Введение

Добро пожаловать на лекцию по Теории графов! В этой теме мы будем изучать основные понятия и свойства графов, которые являются важным инструментом в различных областях науки и технологий. Графы представляют собой абстрактные структуры, состоящие из вершин и ребер, которые связывают эти вершины. Мы узнаем, как представлять графы и как определять их свойства, такие как степень вершины, смежные вершины и инцидентные ребра. Также мы рассмотрим понятие связности графа и различные типы графов, включая ориентированные и неориентированные деревья. Готовы начать? Давайте погрузимся в мир Теории графов!

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Определение вершин и ребер

В графовой теории граф представляет собой совокупность вершин и ребер. Вершины – это отдельные элементы или объекты, которые могут быть связаны друг с другом. Ребра – это связи или отношения между вершинами.

Вершины обычно обозначаются буквами или числами, а ребра – линиями, которые соединяют вершины. Ребра могут быть направленными или неориентированными.

Направленные ребра имеют определенное направление, указывающее на то, какая вершина является начальной, а какая – конечной. Неориентированные ребра не имеют направления и могут быть пройдены в обоих направлениях.

Графы могут быть представлены в виде матрицы смежности или списка смежности. Матрица смежности – это квадратная матрица, где строки и столбцы соответствуют вершинам, а элементы матрицы указывают наличие или отсутствие ребра между вершинами. Список смежности – это список, где каждая вершина имеет список смежных с ней вершин.

Свойства вершин и ребер

Вершины и ребра в графе обладают определенными свойствами, которые помогают нам анализировать и понимать структуру графа. Вот некоторые из основных свойств вершин и ребер:

Свойства вершин:

Степень вершины: Степень вершины – это количество ребер, инцидентных данной вершине. В неориентированном графе степень вершины равна количеству ребер, связанных с данной вершиной. В ориентированном графе степень вершины разделяется на входящую степень (количество входящих ребер) и исходящую степень (количество исходящих ребер).
Смежные вершины: Две вершины называются смежными, если они соединены ребром. В неориентированном графе, если вершины A и B смежны, то ребро, соединяющее их, можно пройти в обоих направлениях. В ориентированном графе, если вершина A направлена в вершину B, то A и B смежны, но не наоборот.

Свойства ребер:

Инцидентные ребра: Ребро называется инцидентным вершине, если оно связано с данной вершиной. В неориентированном графе, если ребро инцидентно вершине A, то A и ребро смежны. В ориентированном графе, если ребро направлено из вершины A в вершину B, то ребро инцидентно вершине A, но не наоборот.
Петли: Петля – это ребро, которое соединяет вершину с самой собой. В неориентированном графе петля представляет собой цикл длины 2, а в ориентированном графе петля представляет собой ребро, которое начинается и заканчивается в одной и той же вершине.
Кратные ребра: Кратное ребро – это несколько ребер, которые соединяют одну и ту же пару вершин. В неориентированном графе кратные ребра могут быть представлены несколькими ребрами, которые соединяют две вершины. В ориентированном графе кратные ребра могут быть представлены несколькими ребрами, которые начинаются в одной вершине и заканчиваются в другой.

Эти свойства помогают нам анализировать и понимать структуру графа, а также решать различные задачи, связанные с графами.

Графы и их представление

Граф – это абстрактная структура данных, состоящая из набора вершин и ребер, которые соединяют эти вершины. Графы широко используются в различных областях, таких как компьютерные науки, математика, социология и т.д.

Существует несколько способов представления графов:

Матрица смежности

Матрица смежности – это квадратная матрица, где строки и столбцы соответствуют вершинам графа. Значение в ячейке (i, j) равно 1, если есть ребро, соединяющее вершины i и j, и 0 в противном случае. Для неориентированного графа матрица смежности будет симметричной относительно главной диагонали.

Список смежности

Список смежности – это список, где каждая вершина имеет свой список смежных вершин. Для каждой вершины создается список, в котором перечисляются все вершины, с которыми она соединена ребром. В неориентированном графе каждое ребро будет представлено дважды – в списке смежных вершин каждой из вершин, которые оно соединяет.

Список ребер

Список ребер – это список, в котором перечисляются все ребра графа. Каждое ребро представляется парой вершин, которые оно соединяет. Вес ребра (если есть) также может быть указан в списке.

Выбор способа представления графа зависит от конкретной задачи и требований к эффективности работы с графом. Каждый из этих способов имеет свои преимущества и недостатки, и важно уметь выбирать наиболее подходящий способ для каждой конкретной ситуации.

Ориентированные и неориентированные графы

Графы могут быть ориентированными или неориентированными в зависимости от наличия или отсутствия направления на ребрах.

Неориентированные графы

В неориентированном графе ребра не имеют направления. Это означает, что если вершины A и B соединены ребром, то можно перемещаться от вершины A к вершине B и от вершины B к вершине A. Например, если граф представляет собой дорожную сеть, то неориентированный граф будет означать, что движение возможно в обоих направлениях по каждой дороге.

Ориентированные графы

В ориентированном графе ребра имеют направление. Это означает, что перемещение по ребру возможно только в одном направлении. Если вершина A соединена ребром с вершиной B, то можно перемещаться только от вершины A к вершине B, но не наоборот. Например, если граф представляет собой систему передачи данных, то ориентированный граф будет означать, что передача данных возможна только в одном направлении.

Ориентированные и неориентированные графы могут быть использованы для моделирования различных ситуаций и задач. Выбор между ними зависит от конкретной задачи и требований к моделированию.

Степень вершины

Степень вершины в графе определяется количеством ребер, инцидентных данной вершине. Другими словами, степень вершины – это количество ребер, которые связаны с данной вершиной.

Степень вершины обозначается символом “deg(v)”, где “v” – вершина, для которой определяется степень.

Степень вершины может быть как входящей, так и исходящей, в зависимости от типа графа.

Степень вершины в неориентированном графе

В неориентированном графе степень вершины равна количеству ребер, инцидентных данной вершине. Например, если у вершины есть 3 ребра, то ее степень будет равна 3.

Степень вершины в ориентированном графе

В ориентированном графе степень вершины может быть разделена на входящую и исходящую степень.

Входящая степень вершины – это количество ребер, направленных в данную вершину. Исходящая степень вершины – это количество ребер, исходящих из данной вершины.

Общая степень вершины в ориентированном графе равна сумме входящей и исходящей степени.

Степень вершины может быть полезной характеристикой для анализа графа. Например, вершины с высокой степенью могут играть важную роль в передаче информации или взаимодействии в графе.

Смежные вершины и инцидентные ребра

В графе, вершины могут быть связаны друг с другом через ребра. Две вершины, которые соединены ребром, называются смежными вершинами. Ребро, которое соединяет две смежные вершины, называется инцидентным ребром.

Смежность вершин может быть как в ориентированном, так и в неориентированном графе. В неориентированном графе, ребра не имеют направления, поэтому любые две вершины, соединенные ребром, являются смежными. В ориентированном графе, ребра имеют направление, поэтому смежность вершин зависит от направления ребра.

Смежные вершины могут иметь различные свойства и значения в зависимости от контекста графа. Например, в социальной сети, вершины могут представлять пользователей, а ребра – связи между ними. В этом случае, смежные вершины будут означать, что два пользователя связаны друг с другом.

Инцидентные ребра также могут иметь различные свойства и значения. Например, в дорожной сети, вершины могут представлять перекрестки, а ребра – дороги между ними. В этом случае, инцидентные ребра будут означать, что два перекрестка связаны дорогой.

Петли и кратные ребра

В графах могут существовать петли и кратные ребра, которые представляют собой особые случаи связей между вершинами.

Петли

Петля – это ребро, которое соединяет вершину с самой собой. То есть, начальная и конечная вершины петли совпадают. Петли обозначаются как (v, v), где v – вершина.

Петли могут возникать в различных контекстах. Например, в социальной сети, петля может представлять профиль пользователя, который связан сам с собой. В дорожной сети, петля может означать перекресток, который связан с самим собой.

Кратные ребра

Кратное ребро – это несколько ребер, которые соединяют одну и ту же пару вершин. То есть, между двумя вершинами может быть несколько ребер. Кратные ребра обозначаются как (v1, v2), (v1, v2), …, где v1 и v2 – вершины.

Кратные ребра могут возникать в различных ситуациях. Например, в транспортной сети, кратное ребро может представлять несколько дорог, которые соединяют два города. В социальной сети, кратное ребро может означать несколько связей между двумя пользователями.

Петли и кратные ребра могут быть полезными в некоторых анализах графов, но в большинстве случаев они не рассматриваются в теории графов, так как они могут усложнить алгоритмы и анализ графов.

Подграфы

Подграф – это граф, полученный из исходного графа путем удаления некоторых вершин и ребер. То есть, подграф содержит только некоторые вершины и ребра исходного графа.

Для того чтобы получить подграф, необходимо выбрать некоторое подмножество вершин и ребер исходного графа и удалить все остальные вершины и ребра. В результате получится новый граф, который является подграфом исходного графа.

Подграфы могут быть полезными для анализа и изучения свойств графа в более узком контексте. Например, если исходный граф представляет собой социальную сеть, то подграф может представлять собой группу друзей или коллег, с которыми пользователь взаимодействует чаще всего.

Подграфы могут быть как ориентированными, так и неориентированными, в зависимости от типа исходного графа. Они могут иметь различные свойства и структуры, которые могут быть изучены и анализированы в контексте подграфа.

Связность графа

Связность графа – это свойство, которое определяет, насколько легко можно достичь любую вершину из другой вершины в графе. Оно показывает, насколько граф “связный” или “разделенный” на отдельные компоненты.

Существует два типа связности графа: связный и несвязный.

Связный граф

Связный граф – это граф, в котором существует путь между любыми двумя вершинами. Другими словами, из любой вершины можно достичь любую другую вершину, путем прохождения через ребра графа.

Связный граф не имеет изолированных вершин, то есть таких вершин, которые не имеют ребер, связывающих их с другими вершинами.

Несвязный граф

Несвязный граф – это граф, в котором существуют две или более компоненты, которые не связаны друг с другом. Каждая компонента представляет собой связный подграф, в котором существует путь между любыми двумя вершинами внутри компоненты, но не существует пути между вершинами разных компонент.

В несвязном графе могут существовать изолированные вершины, которые не имеют ребер, связывающих их с другими вершинами.

Определение связности графа

Существует несколько способов определения связности графа:

Поиск в глубину (DFS) – это алгоритм, который позволяет проверить, существует ли путь между двумя вершинами в графе. Он начинает с одной вершины и идет вглубь графа, посещая все связанные вершины. Если он достигает целевой вершины, то путь существует.
Поиск в ширину (BFS) – это алгоритм, который также позволяет проверить, существует ли путь между двумя вершинами в графе. Он начинает с одной вершины и идет в ширину графа, посещая все соседние вершины. Если он достигает целевой вершины, то путь существует.

Связность графа имеет важное значение во многих областях, таких как транспортная сеть, социальные сети, компьютерные сети и другие. Она позволяет определить, насколько эффективно можно передвигаться или передавать информацию в графе.

Ориентированные и неориентированные деревья

Дерево – это особый тип графа, который состоит из вершин и ребер. Однако, в отличие от обычных графов, в дереве нет циклов. Это означает, что между любыми двумя вершинами существует только один путь.

Неориентированные деревья

Неориентированное дерево – это дерево, в котором ребра не имеют направления. В неориентированном дереве каждое ребро соединяет две вершины и может быть представлено как неупорядоченная пара вершин.

Неориентированные деревья широко используются в различных областях, таких как информатика, биология, графическое моделирование и другие. Они позволяют представлять иерархические структуры, связи между объектами и многое другое.

Ориентированные деревья

Ориентированное дерево – это дерево, в котором ребра имеют направление. В ориентированном дереве каждое ребро соединяет две вершины и имеет определенное направление от одной вершины к другой.

Ориентированные деревья также широко используются в различных областях, таких как информатика, биология, теория баз данных и другие. Они позволяют представлять иерархические отношения, направленные связи и другие структуры данных.

Важно отметить, что в ориентированном дереве каждая вершина, кроме корня, имеет только одного родителя. Корень – это вершина, которая не имеет родителя и является начальной точкой для всех путей в дереве.

Как неориентированные, так и ориентированные деревья имеют множество свойств и алгоритмов, которые могут быть применены для их анализа и обработки. Изучение этих свойств и алгоритмов позволяет решать различные задачи, связанные с деревьями, и применять их в практических ситуациях.

Таблица свойств графов

Свойство	Описание
Вершина	Элемент графа, обозначающий отдельную точку или объект
Ребро	Связь между двумя вершинами графа
Граф	Множество вершин и ребер, связывающих эти вершины
Ориентированный граф	Граф, в котором ребра имеют направление
Неориентированный граф	Граф, в котором ребра не имеют направления
Степень вершины	Количество ребер, инцидентных данной вершине
Смежные вершины	Вершины, соединенные одним ребром
Инцидентные ребра	Ребра, связанные с данной вершиной
Петля	Ребро, соединяющее вершину с самой собой
Кратное ребро	Несколько ребер, соединяющих одну и ту же пару вершин
Подграф	Часть графа, состоящая из некоторых его вершин и ребер
Связность графа	Свойство графа, означающее, что между любыми двумя вершинами существует путь
Ориентированное дерево	Ориентированный граф без циклов, в котором есть одна вершина, называемая корнем, и из которой можно достичь любую другую вершину
Неориентированное дерево	Неориентированный граф без циклов, в котором есть одна вершина, называемая корнем, и из которой можно достичь любую другую вершину

Заключение

Теория графов – это важная область математики, которая изучает связи и взаимодействия между объектами, называемыми вершинами, с помощью ребер. В ходе лекции мы рассмотрели основные определения и свойства графов, такие как степень вершины, смежные вершины и инцидентные ребра, а также петли и кратные ребра. Мы также обсудили различные типы графов, включая ориентированные и неориентированные графы, а также деревья. Понимание этих концепций поможет вам в решении различных задач и применении теории графов в реальной жизни.