Что такое обратное число в математике

2. Взаимно обратные числа

Числа, произведение которых равно \(1\), называют взаимно обратными .

Взаимно обратными являются числа:

5 9 и 9 5 5 9 ⋅ 9 5 = 5 1 ⋅ 9 1 9 1 ⋅ 5 1 = 1 ; 17 3 и 3 17 17 3 ⋅ 3 17 = 17 1 ⋅ 3 1 3 1 ⋅ 17 1 = 1 ; 1 13 и 13 1 13 ⋅ 13 = 1 ⋅ 13 13 = 13 13 = 1 .

Числу c d , где c ≠ 0 и d ≠ 0 , обратным является число d c .

Чтобы найти число, обратное смешанному, смешанное число представляют в виде неправильной дроби:

8 1 3 = 8 ⋅ 3 + 1 3 = 25 3 .

Обратное число

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина, обратный показатель) к заданному числу x \mathcal x , число , при умножении которого на x \mathcal x получается единица. В виде формулы это можно выразить следующим образом: 1/ x \mathcal x или x − 1 x^ x − 1 . Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными.

Редакция микроэкономики, отраслей и бизнеса

Опубликовано 19 мая 2022 г. в 11:53 (GMT+3). Последнее обновление 19 мая 2022 г. в 11:53 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Области знаний: Математические и количественные методы Другие наименования: Обратное значение; обратная величина; обратный показатель

• Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
  Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
  выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
  ISSN: 2949-2076
• Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
  Главный редактор: Кравец С. Л.
  Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
  Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru

• © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
• Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
  Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
• Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
  Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Обратные числа

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

• записать его в виде неправильной дроби;
• полученную дробь «перевернуть».

Пример. Найти число обратное смешанному числу:

• Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.
• Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:

Взаимно обратные числа обладают важным свойством.

Запомните!

Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Пример произведения обратных дробей.

Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.

Запомните!

Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

22 августа 2015 в 14:18
Петр Романов Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
Петр Романов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2

Добрый день!
Не понимаю, как объяснить младшему брату задачу № 769.
Это из учебника Виленкина за 5 класс.
Заранее благодарю за помощь!

22 августа 2015 в 14:23
Ответ для Петр Романов
Мария Кузнецова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
Мария Кузнецова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Да это же халява! Чего-там делать!)
22 августа 2015 в 13:26
Мария Кузнецова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
Мария Кузнецова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3

Здравствуйте.
Не могу разобраться в 539 номере в учебнике Виленкин 5 класс.
Как подобрать уравнение?(

22 августа 2015 в 14:14
Ответ для Мария Кузнецова
Петр Романов Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
Петр Романов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2

Прочтем еще раз условие задачи.

Саша любит решать трудные задачи. Он рассказал, что за 4 дня смог решить 23 задачи . В каждый следующий день он решал больше задач, чем в предыдущий , и в четвёртый день решил вчетверо больше чем в первый . Сколько задач решил Саша в каждый из четырёх дней?

По традиции, подчеркнём в условии задачи все важные данные.

Данная задача решается методом перебора и анализа условия, а не уравнением.

То есть, учитывая условия задачи, мы подставляем различные значения и выясняем, соответствуют ли они истине.

Выпишем условия задачи, на которые мы будем опираться при её решении.

1. В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий
2. В четвёртый день решил вчетверо больше чем в первый.
3. За 4 дня он смог решить 23 задачи.

Начнём перебирать и проверять возможные варианты.

1 вариант

Пусть Саша решил в первый день 1 задачу.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач, решённых конкретно во 2 и 3 день.

Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем: «В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».

Значит, в 3 день Саша мог решить только 3 задачи. Найдём, сколько задач Саша решил во 2 день.

18 − 3 = 15 задач.

15 задач — решено во 2 день. А это не соответствует второму условию задачи.

Значит наше предположение не верно.

2 вариант

Пусть Саша решил в первый день 2 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач, решённых конкретно во 2 и 3 день.

Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем: «В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».

Значит, в 3 день Саша мог решить только 7 задач. Найдём, сколько задач Саша решил во 2 день.

6 задач — решено во 2 день.

Убедимся, что наше решение удовлетворяет всем условиям задачи.

• В 1 день — 2 задачи
• Во 2 день — 6 задач
• В 3 день — 7 задач
• В 4 день — 8 задач
• 2 + 6 + 7 + 8 = 23 задачи — решено за 4 дня.

Всё верно. Но завершать решение задачи ещё рано. Необходимо убедиться, что других решений нет.

3 вариант

Пусть Саша решил в первый день 3 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

Значит, в 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач, решённых конкретно во 2 и 3 день.

Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем: «В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».

Значит, во 2 день Саша мог решить, например, 4 задачи (больше на 1 задачу чем в первый день). Найдём тогда, сколько задач Саша решил в 3 день.

Но 3 задачи, решённые в 3 день, это меньше, чем 4 задачи, решённые во 2 день. Это нарушает первое условие.

Дальнейшее увеличение решённых задач в 1 день (перебор других вариантов) нарушает условия задачи.

Таким образом, мы нашли и доказали, что полученное решение в варианте 2 является единственным.

• В 1 день — 2 задачи
• Во 2 день — 6 задач
• В 3 день — 7 задач
• В 4 день — 8 задач

22 апреля 2015 в 20:15

София Картышкова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

София Картышкова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

я не понимаю зачем нужны в 5 классе зачёты?
27 апреля 2015 в 19:41
Ответ для София Картышкова

Игорь Тулин Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Игорь Тулин
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

5 мая 2015 в 20:51
Ответ для София Картышкова

Дима Сажень Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2

Дима Сажень
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2

Взаимно обратные числа, нахождение обратного числа.

Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа. Определение

Определение. Взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа — такие числа, произведение которых дает единицу.

Если a · b = 1 , то можно сказать, что число a обратно числу b , так же как и число b обратно числу a .

Самый простой пример взаимно обратных чисел — две единицы. Действительно, 1 · 1 = 1 , поэтому a = 1 и b = 1 — взаимно обратные числа. Другой пример — числа 3 и 1 3 , — 2 3 и — 3 2 , 6 13 и 13 6 , log 3 17 и log 17 3 . Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 2 3 , то числа не являются взаимно обратными.

Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел — натуральных, целых, действительных и комплексных.

Как найти число, обратное данному

Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a , то обратное ему число запишется в виде 1 a , или a — 1 . Действительно, a · 1 a = a · a — 1 = 1 .

Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.

Число, обратное обыкновенной дроби

Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби a b — это дробь b a . Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.

Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 28 57 обратным числом будет дробь 57 28 , а для дроби 789 256 — число 256 789 .

Число, обратное натуральному числу

Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a 1 . Тогда обратным ему числом будет число 1 a . Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 1 3 , для числа 666 обратное число равно 1 666 , и так далее.

Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.

Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.

Число, обратное смешанному числу

Смешанное число имеем вид a b c . Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.

Например, найдем обратное число для 7 2 5 . Сначала представим 7 2 5 в виде неправильной дроби: 7 2 5 = 7 · 5 + 2 5 = 37 5 .

Для неправильной дроби 37 5 обратным числом будет дробь 5 37 .

Число, обратное десятичной дроби

Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.

Например, есть дробь 5 , 128 . Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5 , 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125 . Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125 641 .

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2 , ( 18 ) .

Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

2 , 18 = 2 + 18 · 10 — 2 + 18 · 10 — 4 + . . . = 2 + 18 · 10 — 2 1 — 10 — 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

После перевода можем легко записать обратное число для дроби 24 11 . Этим числом, очевидно, будет 11 24 .

Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3 , 6025635789 . . . обратное число будет иметь вид 1 3 , 6025635789 . . . .

Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

К примеру, обратным числом для π + 3 3 80 будет 80 π + 3 3 , а для числа 8 + е 2 + е обратным числом будет дробь 1 8 + е 2 + е .

Взаимно обратные числа с корнями

Если вид двух чисел отличен от a и 1 a , то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе.

Обратимся к практике.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4 — 2 3 и 1 + 3 2 .

Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.

4 — 2 3 · 1 + 3 2 = 4 — 2 3 + 2 3 — 3 = 1

Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Запишите число, обратное числу 5 3 + 1 .

Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 1 5 3 + 1 . Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 25 3 — 5 3 + 1 . Получим:

1 5 3 + 1 = 25 3 — 5 3 + 1 5 3 + 1 · 25 3 — 5 3 + 1 = 25 3 — 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 — 5 3 + 1 6

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a . Другими словами, число a , возведенное в степень n . Обратным числу a n будет число a — n . Проверим это. Действительно: a n · a — n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Пример. Взаимно обратные числа со степенями

Найдем обратное число для 5 — 3 + 4 .

Согласно написанному выше, искомое число равно 5 — — 3 + 4 = 5 3 — 4

Взаимно обратные числа с логарифмами

Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a .

log a b и log b a — взаимно обратные числа.

Проверим это. Из свойств логарифма следует, что log a b = 1 log b a , значит log a b · log b a .

Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами

Найти число, обратное log 3 5 — 2 3 .

Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 3 5 — 2 будет логарифм числа 3 5 — 2 по основанию 3 .

Число, обратное комплексному числу

Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.

Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z = x + i y . Числом, обратным данному, будет дробь

1 x + i y . Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x — i y .

Пример. Число, обратное комплексному числу

Пусть есть комплексное число z = 4 + i . Найдем число, обратное ему.

Число, обратное z = 4 + i , будет равно 1 4 + i .

Умножим числитель и знаменатель на 4 — i и получим:

1 4 + i = 4 — i 4 + i 4 — i = 4 — i 4 2 — i 2 = 4 — i 16 — ( — 1 ) = 4 — i 17 .

Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:

z = r · cos φ + i · sin φ

Соответственно, обратное число будет иметь вид:

1 r cos ( — φ ) + i · sin ( — φ )

Убедимся в этом:

r · cos φ + i · sin φ · 1 r cos ( — φ ) + i · sin ( — φ ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r · e i · φ · 1 r e i · ( — φ ) = r r e 0 = 1

Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Пример. Найти число, обратное комплексному числу

Найдем число, обратное для 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Учитывая, что r = 2 3 , φ = π 6 , запишем обратное число

3 2 cos — π 6 + i · sin — π 6

Пример. Найти число, обратное комплексному числу

Какое число будет обратным для 2 · e i · — 2 π 5 .

Ответ: 1 2 · e i 2 π 5

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

Сумма взаимно обратных чисел

Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2 .

Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:

Если вместо числа b взять число, обратное a , неравенство примет вид:

a + 1 a 2 ≥ a · 1 a a + 1 a ≥ 2

Что и требовалось доказать.

Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.

Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел

Вычислим сумму чисел 2 3 и обратного ему числу.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Как и говорит теорема, полученное число больше двух.