Как найти множество значений функции с корнем

Алгебра Примеры

Разделим каждый член на . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Разделим на .
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Разделим на .
Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.
Упростим уравнение.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Вынесем члены из-под знака корня.
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Этап 2.4.2.1.1
Перепишем в виде .
Этап 2.4.2.1.2
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 2.4.2.1.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Запишем в виде кусочной функции.
Нажмите для увеличения количества этапов.

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

В части, где принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

В части, где принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на .
Запишем в виде кусочной функции.
Найдем пересечение и .
Решим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов.
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов.

Разделим каждый член на . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

Нахождение множества значений функции.

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Если есть возможность путем тождественных преобразований получить функцию, которая на всей области определения или на заранее заданном множестве является непрерывной и либо только возрастающей либо только убывающей, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Пример 1. Найдите множество значений функци y=5 -.

Из определения квадратного корня следует, что 4 — xzbr.gif» /> 0, решая квадратичное неравенство получаем, что -2×2. разобьем промежуток [-2; 2] на два промежутка [-2; 0] и (0; 2]. Первому промежутку соответствует неравенство -2×0, а второму соответствует 0 < x2. На первом промежутке переменная х принимает неотрицательные значения, а на втором - положительные.

Возведем в квадрат каждое из этих двойных неравенств, в результате получим 0x 2 4.
Умножим все три части неравенства на — 1, получим неравенство

— 4- x 2 0.
Прибавим к трем частям неравенства 4 и получим

0 4 — x 2 4.
Введем вспомогательную переменную предположив, что

t = 4 — x 2 , где 0 t4.

Функция y =на указанном промежутке непрерывна и возрастает, поэтому свои наименьшее и наибольшее значения принимает на концах промежутка и, следовательно, 0 2 тогда произведя обратную замену переменных получим неравенство 0 2. Прибавим к трем частя последнего двойного неравенств 5, умножив его предварительно на — 1, получим 3 5 — 5.

Множество значений функции y = 5 -является множество [3; 5].

Пример 2. Найти множество значений функции y = 5 — 4sinx.

Из определения синуса следует, -1sinx1. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

-4- 4sinx4, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

15 — 4sinx9 (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случаее множество значений функции y =5 — 4sinxесть множество [1; 9].

Пример 3. Найти множество значений функции y = sinx + cos x.

Преобразуем выражение sinx + cos x = sinx +sin(- x) =
= 2sin((x +- x)/2)cos((x ++ x)/2) = 2sin<)cos(x +) =
=cos(x +).

Из определения косинуса следует -1cosx1;

Так какданная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции y =cos(x +) есть множество [-;]. Множество значений функции

y = sinx + cosx есть множество чисел [-;].

Пример 4. Найти множество значений функции y = 3sinx + 7cos x.

Преобразуем выражение 3sinx + 7cos x. Заметим, что 3 2 + 7 2 = 9 + 49 = 58 =Умножим и разделим каждое слагаемое на
3sinx + 7cos x =(sinx +cosx).
Так как< 1 и< 1. и () 2 + () 2 = 1, то найдется такое числочто cos=и sin=. Тогда 3sinx + 7cos x =(cossinx + sincosx) =sin(+ x).

Из определения синуса следует, что при любом х справедливо неравенство -1sinx1 и, из периодичности этой функции, следует, что

-1 sin(+ x) 1, тогда умножая все части двойного неравенства на, имеем -sin(+ x).

Множество значений функции y = 3sinx + 7cos xявляется множество [ -;].

2. Метод применения свойств непрерывной функции.

Среди числовых значений, принимаемых на заданном отрезке непрерывной функцией, всегда имеется как наименьшее pначение m, так и наибольшее значение М. Множество значений функции заключено между числами m и M. Это основные утверждения положенны в основу поиска множества значений функции в следующем примере.

Пример 5. Найти множество значений функции y = 2sinx + cos2x на отрезке [0; p ].

D(y) = R. Данная функция на всей области определения непрерывна, поэтому на отрезке [0; p ] существуют такие точки, в которых функция принимает свои наименьше и наибольшее значения. Эти точки либо критические, либо концы отрезка.

1) найдем производную данной функции

2) y’ = 2cosx — 2 sin2x = 2cosx — 4sinxcosx = 2cosx(1 — 2sinx)

3) Область определения производной R.

3) Найдем ее критические точки. y’ = 0. 2cosx(1 — sinx) = 0, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
cosx = 0 и 1 — 2sinx = 0.
Решая каждое из них получим:
x =+n, где nZи x = (-1) n +k, где kZ.

Отрезку [0;] принадлежат три критические точки: x =, x =, x =.

Вычисляем значение функции на концах промежутка и в критических точках:
y(0) = 1, y() = 1, y() = 1,5, y( ) = 1,5, следовательно, наименьшее значение функции на отрезке[0;] равно 1, а наибольшее значение функции на этом же отрезке равно 1,5. Исходя из выше изложенный утверждений Е(у) = [1; 1,5].

3. Метод приведения к уравнению относительно х с параметром у.

Возможна следующая схема применения этого метода:

Пусть функция задана формулой y = f(x).

2) Рассматриваем функцию как уравнение с параметром у.

3) Выясняем при каких значениях у уравнение f(x) — y = 0 имеет хотя бы один корень. Полученное множество будет множеством значений заданной функции.

Пример 6. найдите множество значений функции.

x 2 + 5 > 0 при любом х, следовательно, D(y) = R. Рассматриваем формулу:

, как уравнение с параметром у. Это уравнение равносильно уравнению y(x 2 + 5) = x 2 — 4x + 4;

x 2 (y — 1) + 4x + 5y + 1 = 0;

1) Если у = 1, то данное уравнение равносильно линейному уравнению 4х + 6 = 0, которое имеет один корень.

Если у1, то квадратное уравнение, которое мы получили в результате выше изложенных соображений, имеет корни тогда и только тогда, когда его дискриминант не отрицателен.

D/4 = 4 — (y — 1)(5y + 1)0;

5y 2 — 4y — 50; Вычислим четверть дискриминанта и корни квадратного трехчлена 5y 2 — 4y -5:

Таким образом квадратное уравнение имеет корни,если параметр y[2-; 1) и (1; 2 +],

Учитывая пункты 1) и 2), делаем вывод, что множество значений изучаемой функции — [2 — ; 2 + ].

4. Метод непосредственных вычислений.

В случае, когда область определения функции содержит конечное число значений аргумента или количество значений не велико, или множество значений аргумента может быть описано с помощью конечного числа формул, так бывает в случае рассмотрения тригонометрических функций, обычно множество значений функции находят путем непосредственных вычислений.

Пример 7. Укажите множество значений функции y = 11 -.

Найдем область определения данной функции. Так как в формуле задающей функцию есть квадратный корень, то согласно определению квадратного корня потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

(х — 5) 2 0; Откудах = 5. Таким образом область определения данной функции состоит из одного числа, следовательно, множество значений функции состоит из одного числа и Е(у) = .

Как найти множество значений функции

Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math.

Количество просмотров этой статьи: 496 856.

В этой статье:

Множество значений (область значений) функции — все значения, которые принимает функция в ее области определения. Другими словами, это те значения у, которые вы получаете при подстановке всех возможных значений х. Все возможные значения х и называются областью определения функции. Выполните следующие действия для нахождения множества значений функции.

Метод 1 из 4:

Поиск множества значений функции по формуле

Запишите функцию. Например: f(x) = 3x 2 + 6x -2. Подставив x в уравнение, мы сможем найти значение y. Эта квадратичная функция, и ее график — парабола.

• Теперь подставьте х= -1 в функцию, чтобы найти у. f(-1) = 3*(-1) 2 + 6*(-1) -2 = 3 — 6 -2 = -5.
• Координаты вершины параболы (-1,-5). Нанесите ее на координатную плоскость. Точка лежит в третьем квадранте координатной плоскости.

• f(-2) = 3(-2) 2 + 6(-2) -2 = -2. первая точка на параболе (-2, -2)
• f(0) = 3(0) 2 + 6(0) -2 = -2. Вторая точка на параболе (0,-2)
• f(1) = 3(1) 2 + 6(1) -2 = 7. Третья точка на параболе (1, 7).

Найдите множество значений функции на графике. Найдите наименьшее значение у на графике. Эта вершина параболы, где у=-5. Так как парабола лежит выше вершины, то множество значений функции y ≥ -5.

Метод 2 из 4:

Поиск множества значений функции на графике

Найдите минимум функции. Вычислите наименьшее значение у. Допустим, минимум функции у=-3. Это значение может становиться все меньше и меньше, вплоть до бесконечности, так что минимум функции не имеет заданной минимальной точки.

Найдите максимум функции. Допустим, максимум функции у= 10. Как и в случае с минимумом, максимум функции не имеет заданной максимальной точки.

• Но, допустим, минимум функции у=-3, а ее максимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вверх). Тогда множество значений функции: f(x) ≥ -3.
• С другой стороны, если максимум функции у=10, а минимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вниз), то множество значений функции: f(x) ≤ 10.

Метод 3 из 4:

Поиск области значений множества координат

Запишите множество координат. Из множества координат можно определить его область значения и область определения. Допустим, дано множество координат: <(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)>. [1] X Источник информации

Перечислите значения у. Чтобы найти область значений множества, просто запишите все значения у: . [2] X Источник информации

Удалите все повторяющиеся значения у. В нашем примере удалите «6»: . [3] X Источник информации

Запишите область значений в порядке возрастания. Областью значений множества координат <(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)>будет . [4] X Источник информации

Убедитесь, что множество координат дано для функции. Чтобы это было так, каждому одному значению х должно соответствовать одно значение у. Например, множество координат <(2, 3) (2, 4) (6, 9)>дано не для функции, потому что одному значению х=2 соответствуют два разных значения у: у=3 и у=4. [5] X Источник информации

Метод 4 из 4:

Поиск области значений в задачах

Прочитайте задачу. «Ольга продает билеты в театр по 500 рублей за билет. Общая вырученная сумма за проданные билеты является функцией от количества проданных билетов. Какова область значений этой функции?»

• Например, если она продаст 2 билета, нужно умножить 2 на 500 — в итоге получим 1000 рублей, вырученных за проданные билеты.

Найдите область определения. Для нахождения области значений вы должны сначала найти область определения. Это все возможные значения t. В нашем примере Ольга может продать 0 или больше билетов, — она не может продать отрицательное число билетов. Поскольку мы не знаем количество мест в театре, можно предположить, что теоретически она может продать бесконечное число билетов. И она может продавать только целые билеты (она не может продать, например, 1/2 билета). Таким образом, область определения функции t = любое неотрицательное целое число.

• Это означает, что любое неотрицательное целое число, которое делится на 500, является значением у (вырученная сумма) нашей функции.

• В более сложных случаях лучше сначала чертить график, используя область определения, и только потом находить область значений.
• Посмотрите, можете ли вы найти обратную функцию. Область определения обратной функции равна области значений исходной функции.
• Проверьте, повторяется ли функция. Любая функция, которая повторяется вдоль оси x, будет иметь ту же область значений для всей функции. Например, область значений для f(x) = sin(x) будет составлять от -1 до 1.

Дополнительные статьи

найти среднее значение, моду и медиану

найти квадратный корень числа вручную

вычислить размах

извлечь квадратный корень без калькулятора

переводить из двоичной системы в десятичную

решать кубические уравнения

найти область определения и область значений функции

вычислить общее сопротивление цепи

избавиться от иррациональности в знаменателе

рассчитать относительную частоту

вычесть дробь из целого числа

переводить из десятичной системы счисления в двоичную

вычислить вероятность

определять четные и нечетные функции

1. ↑http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
2. ↑http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
3. ↑http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
4. ↑http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
5. ↑http://www.mathsisfun.com/sets/domain-range-codomain.html

Об этой статье

Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math. Количество просмотров этой статьи: 496 856.

Как найти область определения и область значений функции

Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math.

Количество просмотров этой статьи: 385 470.

В этой статье:

В каждой функции есть две переменные – независимая переменная и зависимая переменная, значения которой зависят от значений независимой переменной. Например, в функции y = f(x) = 2x + y независимой переменной является «х», а зависимой – «у» (другими словами, «у» – это функция от «х»). Допустимые значения независимой переменной «х» называются областью определения функции, а допустимые значения зависимой переменной «у» называются областью значений функции. [1] X Источник информации

Часть 1 из 3:

Нахождение области определения функции

• Квадратичная функция имеет вид: ax 2 + bx + c: [2] X Источник информации f(x) = 2x 2 + 3x + 4
• Функция, содержащая дробь: f(x) = ( 1 /_x), f(x) = (x + 1) /_{(x — 1)} (и так далее).
• Функция, содержащая корень: f(x) = √x, f(x) = √(x 2 + 1), f(x) = √-x (и так далее).

• Например, область определения [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
• С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

• Для лучшего уяснения понятия функции выберите любое значение «х», подставьте его в функцию и найдите значение «у». Пара значений «х» и «у» представляют собой точку с координатами (х,у), которая лежит на графике функции.
• Нанесите эту точку на плоскость координат и проделайте описанный процесс с другим значением «х».
• Нанеся на плоскость координат несколько точек, вы получите общее представление о форме графика функции.

• Например, найдите область определения функции f(x) = (x + 1) /_{(x — 1)}.
• Здесь знаменатель: (х — 1).
• Приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х»: х — 1 = 0; х = 1.
• Запишите область определения функции. Область определения не включает 1, то есть включает все действительные числа за исключением 1. Таким образом, область определения функции: (-∞,1) U (1,∞).
• Запись (-∞,1) U (1,∞) читается так: множество всех действительных чисел за исключением 1. Символ бесконечности ∞ означает все действительные числа. В нашем примере все действительные числа, которые больше 1 и меньше 1, включены в область определения.

• Например, найдите область определения функции f(x) = √(x + 3).
• Подкоренное выражение: (х + 3).
• Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: (х + 3) ≥ 0.
• Найдите «х»: х ≥ -3.
• Область определения этой функции включает множество всех действительных чисел, которые больше или равны -3. Таким образом, область определения: [-3,∞).

Часть 2 из 3:

Нахождение области значений квадратичной функции

• Самый простой способ найти область значений функции, содержащей корень или дробь, – это построить график такой функции при помощи графического калькулятора.

• Например, найдите область значений функции 3x 2 + 6x -2.
• Вычислите координату «х» вершины параболы: х = -b/2a = -6/(2*3) = -1

• Вычислите координату «у»: y = 3x 2 + 6x – 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
• Координаты вершины параболы этой функции: (-1,-5).

• Подставьте в функцию х = -2: y = 3x 2 + 6x – 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
• Координаты точки, лежащей на параболе: (-2,-2).
• Найденные координаты свидетельствуют о том, что ветки параболы направлены вверх. Таким образом, область значений функции включает все значения «у», которые больше или равны -5.
• Область значений этой функции: [-5, ∞)

• Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
• С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

Часть 3 из 3:

Нахождение области значений функции по ее графику

• Вершины графиков некоторых функций с корнями лежат выше или ниже оси Х. В этом случае область значений определяется координатой «у» вершины параболы. Если, например, координата «у» вершины параболы равна -4 (у = -4), а парабола возрастает, то область значений равна [-4,+∞).
• Самый простой способ построить график функции – это воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением.
• Если у вас нет графического калькулятора, постройте приблизительный график, подставив в функцию несколько значений «х» и вычислив соответствующие значения «у». Нанесите найденные точки на координатную плоскость, чтобы получить общее представление о форме графика.

• Область значений функции включает все значения «у» за исключением значений асимптот. Зачастую, области значений таких функций записываются так: (-∞, 6) U (6, ∞).

Определите максимум функции. Построив график функции, вы увидите на нем точку, в которой функция имеет максимальное значение. Если наглядного максимума нет, то он не существует, а график функции уходит в +∞.

• Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
• С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

Дополнительные статьи

найти среднее значение, моду и медиану

найти квадратный корень числа вручную

вычислить размах

извлечь квадратный корень без калькулятора

переводить из двоичной системы в десятичную

решать кубические уравнения

найти множество значений функции

вычислить общее сопротивление цепи

избавиться от иррациональности в знаменателе

рассчитать относительную частоту

вычесть дробь из целого числа

переводить из десятичной системы счисления в двоичную

вычислить вероятность

определять четные и нечетные функции

1. ↑http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
2. ↑http://hotmath.com/hotmath_help/topics/quadratic-function.html
3. ↑http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/notation/setbuildernotation.html
4. ↑http://hotmath.com/hotmath_help/topics/quadratic-function.html
5. ↑http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
6. ↑http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
7. ↑http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U17_L2_T3_text_final.html
8. ↑http://hotmath.com/hotmath_help/topics/quadratic-function.html
9. ↑http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/notation/setbuildernotation.html

1. ↑http://www.intmath.com/functions-and-graphs/2a-domain-and-range.php
2. ↑http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/notation/setbuildernotation.html

Об этой статье

Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math. Количество просмотров этой статьи: 385 470.