Как расписать синус в квадрате

Тригонометрические функции двойного угла

Положив в формуле

sin (α + β) = sin α • cos β + sin β • cos α.

β = α ,мы получим:

sin 2 α = sin α • cos α + sin α • cos α = 2 sin α cos α .

sin 2 α = 2 sin α cos α (1)

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса данного угла на его косинус.

Аналогично, положив в формуле

cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β,

β = α , получим: :

cos 2 α = cos α cos α —sin α sin α= cos 2 α — sin 2 α .

cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α . (2)

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат синуса того же угла.

Точно так же, положив в формуле

β = α , получим:

Тангенс двойного угла равен удвоенному тангенсу данного угла, деленному на единицу минус квадрат тангенса того же угла.

1) Пусть sin α = 0,6, причем угол α оканчивается во 2-й четверти.

Тогда cos α = — \ / 1 — sin 2 α = — \ / 1 — 0,36 = — 0,8.

sin 2 α = 2 sin α • cos α = 2 • 0,6 • (— 0,8) = — 0,96;

cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α = 0,64 — 0,36 = 0,28.

2) Пусть tg α = 3. Тогда

Замечание. Не следует думать, что двойной угол обязательно содержит четное число градусов или радианов: 20°; 60°; 4; 6 и т. д. Под двойным углом можно понимать любой угол. Например,

и т. д., вообще, α = 2 • α /₂ . Поэтому иногда доказанные выше формулы полезно записывать в виде:

Эти формулы выражают тригонометрические функции угла через тригонометрические функции половинного угла.

Упражнения

1. Известно, что sin α = 0,8, причем угол α оканчивается во 2-й четверти. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2 α .

2. Найти tg 2 α и cos 2 α , если известно, что угол α оканчивается не в 1-й четверти и
tg α = 4 / ₃ .

3. Найти cos α , еслц sin α = 0,1 и угол α оканчивается в 4-й четверти.

4. В какой четверти оканчивается угол α , если

а) sin α > 0, sin 2 α > 0; в) sin α < 0, sin 2 α > 0;

5. Вычислить:

а) sin 22°30′ • cos 22e30′;

б) cos 2 22°30′ — sin 2 22°30′;

6. Доказать тождества:

а) (sin α + cos α ) 2 = 1 + sin 2 α ;

б) cos 4 α — sin 4 α = cos 2 α ;

в) ctg α — tg α = 2 ctg 2 α .

7. Доказать, что для любого острого угла α

8. В каких пределах может изменяться выражение sin α • cos α ?

9. Упростить выражения:

a). sin 2 ( β — 45°) — cos 2 ( β — 45°).

б). sin ( π /₄ — α ) • cos ( π /₄ — α )

10.Доказать равенства:

а). sin 10° • cos 20° • cos 40° = 1 /₈ .

11. Выразить sin α и cos α :

а) через sin α /₂ и cos α /₂ ;

12. Упростить выражения:

б). (tg α + ctg α ) sin 2 α .

в). 2 cos 2 α — cos 2 α

13. Вычислить:

в). cos ( 2arcsin 1 /₂ )

г). sin [2arctg ( —2)].

14. Найти формулу общего членa арифметической прогрессии, для которой
а ₁ = cos 2φ; а ₂ = cos 2 φ

15. Доказать, что бесконечная геометрическая прогрессия, у которой
а ₁ = 4sin φ, а ₂ = sin 2φ, является бесконечно убывающей, и найти ее сумму.

Косинус в квадрате и синус в квадрате

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Гипотенуза — сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

kosinus-v-kvadrate-sinus-v-kvadrate

Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс — «x», что не меняет сути).

Синус угла альфа (sin ∠α) — это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус угла альфа (cos ∠α) — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC

И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза — это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin 2 α = 1 — cos 2 α

или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos 2 α = 1 — sin 2 α

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

Синус в квадрате

${{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$

Эта формула называется формулой понижения степени синуса.

Примеры решения задач

Задание	Найти значение функции $f(x)=3{{\sin }^{2}}x+5x-2$ , если
Решение	Из того, что следует, что , а . Воспользуемся формулой понижения степени и выразим квадрат синуса:

${{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$

Подставим полученное выражение в функцию и найдем значение функции в точке :

$f\left( \frac{\pi }{6} \right)=3\cdot \frac{1-\cos 2\cdot \frac{\pi }{6}}{2}+5\cdot \frac{\pi }{6}-2=-\frac{5}{4}+\frac{5\pi }{6}$

Задание	Упростить выражение ${{\sin }^{2}}(\alpha +2\beta )-{{\sin }^{2}}(\alpha -2\beta )$
Решение	Упростим выражение с помощью формулы квадрата синуса

${{\sin }^{2}}(\alpha +2\beta )-{{\sin }^{2}}(\alpha -2\beta )=\frac{1-\cos (2\alpha +4\beta )}{2}-\frac{1-\cos (2\alpha -4\beta )}{2}=$

$=\frac{1}{2}(\cos (2\alpha -4\beta )-\cos (2\alpha +4\beta ))$

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы произведения синусов, т.е.

Как расписать синус в квадрате

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Тригонометрические тождества и преобразования

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

Угол	α + 90 α + π/2	α + 180 α + π	α + 270 α + 3π/2	90 — α π/2- α	180 — α π- α	270 — α 3π/2- α	360 — α 2π- α
sin	cos α	-sin α	-cos α	cos α	sin α	-cos α	-sin α
cos	-sin α	-cos α	sin α	sin α	-cos α	-sin α	cos α
tg	-ctg α	tg α	-ctg α	ctg α	-tg α	ctg α	-tg α
ctg	-tg α	ctg α	-tg α	tg α	-ctg α	tg α	-ctg α

Как расписать синус в квадрате

Как расписать синус в квадрате

Косинус в квадрате и синус в квадрате

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Синус в квадрате

Примеры решения задач

Как расписать синус в квадрате

Простейшие тригонометрические тождества

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Тригонометрические формулы сложения углов

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Формулы приведения тригонометрических функций

Добавить комментарий Отменить ответ