Как умножать не целые числа

3. Умножение десятичной дроби на десятичную дробь

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
1) умножить дроби, не обращая внимания на запятые;
2) посчитать общее количество цифр после запятой в обеих дробях и столько цифр справа в полученном числе отделить запятой.

Умножим \(11,1\) на \(0,2\). Выполним умножение без запятых, получим: \(111 · 2 = 222\). Посчитаем общее количество цифр после запятой в обеих дробях. Всего две цифры. Столько цифр отделим запятой справа в полученном числе: \(11,1 · 0,2 = 2,22\).

Рассмотрим другие примеры умножения десятичных чисел:
\(753,4 · 0,01 = 7,534\);
\(0,3 · 20,1 = 6,03\) .

Если в результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей:

Умножение и деление десятичных дробей

На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей»). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.

К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.

Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.

— это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.

Цифры, входящие в значащую часть числа, называются . Они могут повторяться и даже быть равными нулю.

Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:

1. 91,25 → 9125 (значащие цифры: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значащие цифры: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (значащие цифры: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значащие цифры: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (значащая цифра всего одна: 3).

Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби»).

Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.

Умножение десятичных дробей

Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:

1. Для каждой дроби выписать значащую часть. Получатся два обычных целых числа — без всяких знаменателей и десятичных точек;
2. Умножить эти числа любым удобным способом. Напрямую, если числа невелики, или столбиком. Получим значащую часть искомой дроби;
3. Выяснить, куда и на сколько разрядов сдвигается десятичная точка в исходных дробях для получения соответствующей значащей части. Выполнить обратные сдвиги для значащей части, полученной на предыдущем шаге.

Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.

1. 0,28 · 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.

1. Выпишем значащие части для чисел из этого выражения: 28 и 125;
2. Их произведение: 28 · 125 = 3500;
3. В первом множителе десятичная точка сдвинута на 2 цифры вправо а во второй — еще на 1 цифру. Итого нужен сдвиг влево на три цифры:

Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.

1. Выпишем значащие части: 63 и 108;
2. Их произведение: 63 · 108 = 6804;
3. Снова два сдвига вправо: на 2 и 1 цифру соответственно. Всего — снова 3 цифры вправо, поэтому обратный сдвиг будет на 3 цифры влево: В этот раз нулей на конце нет.

Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.

1. Значащие части: 1325 и 34;
2. Их произведение: 1325 · 34 = 45 050;
3. В первой дроби десятичная точка уходит вправо на 1 цифру, а во второй — на целых 4. Итого: 5 вправо. Выполняем сдвиг на 5 влево: В конце убрали ноль, а спереди — дописали, чтобы не оставлять «голую» десятичную точку.

Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишем значащие части: 108 и 16 005;
2. Умножаем их: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Считаем цифры после десятичной точки: в первом числе их 4, во втором — 1. Всего — снова 5. Имеем: В конце убрали «лишний» ноль.

Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.

1. Значащие части: 525 и 1;
2. Умножаем их: 525 · 1 = 525;
3. В первой дроби выполнен сдвиг на 2 цифры вправо, а во второй — на 4 цифры влево Итого 4 − 2 = 2 цифры влево. Выполняем обратный сдвиг на 2 цифры вправо: 525, → 52 500 (пришлось дописать нули).

Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:

Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем — на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.

Деление десятичных дробей

Деление — это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.

Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:

1. Перевести все десятичные дроби в обычные. Если немного потренироваться, на этот шаг у вас будут уходить считанные секунды;
2. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую (см. урок «Умножение и деление числовых дробей»);
3. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби. Этот шаг тоже выполняется быстро, поскольку зачастую в знаменателе уже стоит степень десятки.

1. 3,51 : 3,9;
2. 1,47 : 2,1;
3. 6,4 : 25,6:
4. 0,0425 : 2,5;
5. 0,25 : 0,002.

Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:

Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:

В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.

Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:

Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.

Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.

Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу — представление конечного ответа снова в десятичном виде.

Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.

Смотрите также:

1. Стандартный вид числа
2. Сложение и вычитание десятичных дробей
3. Знаки тригонометрических функций
4. Преобразование уравнений
5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
6. Задачи B2 на проценты: налоги и зарплата

• Вход для учеников
• ЕГЭ-2024
• Школьникам
• 1. Арифметика
• Арифметика
• Дроби
• Модуль
• Проценты
• Корни
• Степени
• Прогрессии
• Текстовые задачи
• 2. Алгебра
• Уравнения
• Системы уравнений
• Неравенства
• Системы неравенств
• Рациональные дроби
• Функции
• Многочлены
• Логарифмы
• Экспонента
• Задачи с параметром
• Вероятность
• 4. Геометрия
• Треугольники
• Многоугольники
• Окружность
• Стереометрия
• Векторы
• 3. Математический анализ
• Тригонометрия
• Предел
• Производная
• Интегралы
• Студентам
• Реклама
• Обо мне

• © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
  ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
• Карта сайта

1. Произведение десятичной дроби и натурального числа

Эту сумму можно найти как произведение \(1,3 · 5\). Для этого умножим \(13\) на \(5\), получим \(65\), и поставим запятую, отсчитав справа одну цифру (ведь в числе \(1,3\) одна цифра после запятой).

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;

2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Урок 24. Как умножать десятичные дроби: правила и примеры

Prostobank.ua рассказывает, как правильно умножать десятичную дробь на десятичную дробь, на целое натуральное число, на обыкновенные дроби и смешанные числа. Кроме того, на уроке математики мы решим упражнения, примеры и задачу на умножение десятичных дробей на числа 0,1, 0,01, 10, 100, 1000 и т.д.

• Подбор кредитов:

УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ СТОЛБИКОМ, НА 0,1, 0,01, 0,001

Как умножать десятичные дроби: правило?

Алгоритм и правило умножения десятичных дробей звучит так:

Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении поставить запятую с правой стороны на столько десятичных знаков, сколько их было у двух множителей вместе. Если в произведении меньше десятичных знаков, чем следует выделить, то слева нужно дописать соответствующее количество нулей.

Используем данное правило, решая следующие примеры.

Пример. Найти произведение десятичных дробей 3,051 и 0,05.

Сначала умножим целые числа:

Теперь определим, где в произведении поставить десятичную запятую. В первом множителе – 3 знака после запятой, во втором – 2, следовательно, вместе будет 5 знаков. В произведении 15255 отсчитываем 5 десятичных знаков справа и ставим запятую, получим десятичную дробь 0,15255

Пример. Найти произведение десятичных дробей 4,125 и 0,008

Умножаем целые числа:

Поскольку в множителях 3 + 3 = 6 десятичных знаков после запятой, поэтому к числу 33000, имеющему 5 знаков, дописываем слева один ноль (033000) и отделяем запятой: 0,033000, что равно десятичной дроби 0,033

Чтобы найти произведение десятичных дробей, можно их сначала превратить в обыкновенные дроби и выполнить умножение по правилу умножения обыкновенных дробей.

Пример. Умножить десятичные дроби 1,5 и 0,75

Поскольку 1,5 можно превратить в дробь 15/10, а 0,75 = 75/100, выполнить умножение можно следующим образом:

Умножение десятичных дробей в столбик

Умножение десятичных дробей в столбик происходит по принципу умножения натуральных чисел без учета десятичных ком. После завершения умножения нужно поставить десятичную запятую в произведении на столько десятичных знаков, сколько их было у двух множителей вместе, начиная отсчет справа.

Кроме того, для удобства умножения в столбик первым следует записывать число или дробь с большим количеством цифр. Второе число размещают под первым так, чтобы его последняя цифра стояла под последней цифрой первого множителя

Пример. Выполнить умножение десятичных дробей 38,42 и 0,15 в столбик

Начинаем с умножения множителей без учета запятых.

Поставим десятичную запятую в произведении. Поскольку множители имеют 2 + 2 = 4 десятичных знака, отчислим в произведении 4 знака справа и поставим запятую:

Получили произведение дробей 5,7630, что равнозначно 5,763

Пример. Найти произведение десятичных дробей 4,6125 и 0,023, выполнив умножение в столбик

Выполним умножение, игнорируя запятые

Поставим запятую в произведении, разместив ее через 7 знаков справа (ведь 4 + 3 = 7)

Поскольку в произведении 7 цифр, ставим запятую перед первой цифрой 1, и дописываем ноль слева.

Умножение десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001 и т.д., нужно в этой дроби перенести запятую на 1, 2, 3, 4 и т.д. комы влево. Если у дроби не хватает цифр, нужно дописать нули слева.

Пример. Умножить 78,63 на 0,1

Поскольку нужно умножить дробь 78,63 на 0,1, в произведении нужно перенести запятую на 1 знак влево:

Проверим, выполнив действие согласно правилу умножения десятичных дробей:

78,63 ⋅ 0,1 = 7863 ⋅1 = 7863. Перенесем запятую на 2 + 1 = 3 знака справа, получим 7,863.

То есть, умножив дроби двумя способами, получили одинаковый результат.

Пример. Умножить 256,32 на 0,001

Поскольку умножение на 0,001 надо перенести запятую влево на 3 знака: 256,32 ⋅ 0,001 = 0,25632

Умножение десятичной дроби на натуральное число

Умножение десятичной дроби на число выполняют по правилу умножения десятичных дробей, то есть перемножают множители, игнорируя запятую. После этого в произведении следует отделить десятичной запятой столько цифр, сколько цифр есть в дроби после запятой.

Пример. Умножить число 8 на десятичную дробь 0,0256

Пример. Умножить число 12 на десятичную дробь 3,45

В результате умножения получили дробь 41,40, ноль слева можно сократить, поэтому 12 ⋅ 3,45 = 41,4

Умножение десятичной дроби на числа 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., нужно в данной дроби перенести запятую справа на столько цифр, сколько нулей записано после 1 в числе, на которое умножаем. Если в десятичной дроби не хватает знаков, то нужно дописать справа необходимое количество нулей.

Пример. Умножить дробь 0,0256 на 10000

Поскольку число 10000 имеет 4 нуля, в дроби 0,0256 при умножении надо перенести запятую вправо на 4 знака:

0,0256 ⋅ 10000 = 256

Пример. Найти произведение дроби 0,4 и числа 1000

Поскольку число 1000 имеет 3 нуля при умножении в дроби 0,4 надо перенести запятую вправо на 3 знака. В дроби 0,4 после запятой 1 знак, поэтому дописываем 2 нуля:

0,400 ⋅ 1000 = 400

Пример. Умножить дробь 0,0039 на 10

0,0039 ⋅ 10 = 0,039

Пример. Умножить дробь 0,0039 на 10000

0,0039 ⋅ 10000 = 0039,0 = 39

Умножение десятичной дроби на обычную дробь или на смешанное число

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную дробь или смешанное число, нужно десятичную дробь превратить в обыкновенную и выполнить умножение.

Пример. Найти произведение 0,4 и 3 5/6

Превратим десятичную дробь в обыкновенную:

Задача. Максим купил 1 кг мандарин, заплатив 85,5 грн. Сколько стоит 0,5 кг мандарина?

Чтобы найти стоимость 0,5 кг мандарин, нужно 85,5 ⋅0,5 = 42,75 грн.

Ответ: 42,75 грн.