Сколько углов у треугольника вписанного в квадрат

Квадрат. Формулы и свойства квадрата

Квадрат — это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы. Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.

Рис.1	Рис.2

Основные свойства квадрата

Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
3. Все четыре угла квадрата прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры

7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:

AC ┴ BD	AO = BO = CO = DO =	d
		2

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности

9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Диагональ квадрата

Определение.

Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.

Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√ 2 раз.

Формулы определения длины диагонали квадрата

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:

d =	P
	2√ 2

4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l :

d = l	2√ 10
	5

Периметр квадрата

Определение.
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.

Формулы определения длины периметра квадрата

1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l :

Площадь квадрата

Определение.

Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формулы определения площади квадрата

1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. Формула площади квадрата через длину отрезка l :

S = l 2	16
	√ 5

Окружность описанная вокруг квадрата

Определение.

Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√ 2 раз.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.

Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:

R = Dв	√ 2
	2

8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l :

R = l	√ 10
	5

Окружность вписанная в квадрата

Определение.

Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.

Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат

1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l :

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Треугольник вписанный в окружность

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:
   \[ r = \frac\]
2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны площадь и периметр:
   \[ r = \fracP> \]
3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны полупериметр и все стороны:
   \[ r = \sqrt

   > \]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
   \[ R = \frac\]
2. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и площадь:
   \[ R = \frac\]
3. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и полупериметр: \[ R = \frac> \]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности: \[ S = pr \]
2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр: \[ S = \sqrt \]
3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен высота и основание: \[ S = \frac2 ah \]
4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известна сторона и два прилежащих к ней угла: \[ S = \frac\]
5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и синус угла между ними: \[ S = \fracab \cdot \sin \angle C \]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   \[ P = a + b + c \]
2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и радиус вписанной окружности:
   \[ P = \frac\]
3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и угол между ними: \[ P = \sqrt < b2 + с2 — 2 * b * с * cosα>+ (b + с) \]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними: \[ a = \sqrt \]
2. Сторона треугольника вписанного в
   окружность, если известна сторона и два угла:
   \[ a = \frac\]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   \[ l = \frac\]
2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
   если известныдве стороны, ни одна из них не является
   основанием, и косинус угламежду ними:
   \[ l = \frac>\]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание: \[ h = \frac\]
2. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен сторона и синус угла прилежащего
   к этой стороне, и находящегося напротив высоты: \[ h = b \cdot \sin \alpha \]
3. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен радиус описанной окружности и
   две стороны, ни одна из которых не является основанием: \[ h = \frac\]

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Квадрат вписанный в окружность

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:
   \[ r=\frac\]
2. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:
   \[ r=\frac\]
3. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:
   \[ r=\frac\]
4. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:
   \[ r=\frac< R>\]
5. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ: \[ r=\frac< d>\]

Радиус описанной окружности около квадрата

1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:
   \[ R=a\frac< 2>\]
2. Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:
   \[ R=\frac< P>\]
3. Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:
   \[ R=\frac< 2>\]
4. Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:
   \[ R= r \sqrt2 \]
5. Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:
   \[ R=\frac\]

Сторона квадрата

1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:
   \[ a=\sqrt S \]
2. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:
   \[ a=\frac< d>\]
3. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
   \[ a=\frac< P>\]

Площадь квадрата

1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона: \[ S=a^2 \]
2. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
   \[ S=4r^2 \]
3. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
   \[ S=2R^2 \]
4. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
   \[ S=\frac< P^2>< 16>\]
5. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
   \[ S=\frac< d^2>< 2>\]

Периметр квадрата

1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   \[ P=4a \]
2. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
   \[ P=4\sqrt S \]
3. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:
   \[ P=8r \]
4. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
   \[ P=4R\sqrt 2 \]
5. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
   \[ P=2d\sqrt 2 \]

Диагональ квадрата

1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   \[ d=a\sqrt 2 \]
2. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
   \[ d=\sqrt 2S \]
3. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
   \[ d=\frac< P>\]
4. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
   \[ d=2r\sqrt 2 \]
5. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
   \[ d=2R \]

Свойства

1. Все углы в квадрате прямые.
2. Все стороны квадрата равны.
3. Сумма всех углов квадрата 360°.
4. Диагонали квадрата одновременно равны, пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов.
5. Точка пересечения диагоналей квадрата является центром вписанной и описанной окружности.
6. Диагонали квадрата перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам.
7. Квадрат обладает симметрией.

Онлайн калькулятор длины стороны вписанного в круг квадрата. Как узнать длину стороны вписанного в круг квадрата.

Для того что бы найти длину стороны вписанного в круг квадрата, нам необходимо узнать длину ребра этого квадрата. Для этого нам необходимо разделить квадрат по диагонали на два равнобедренных треугольника, при этом основание у этих треугольников будет равно диаметру круга.

Следующим действиям мы должны определиться с известной нам величиной круга в которую вписан квадрат, а именно нам должна быть известна:

1. либо площадь круга, обозначаемая буквой S,
2. либо периметр круга, обозначаемый буквой P,
3. либо радиус круга, обозначаемый буквой R,
4. либо диаметр круга, обозначаемый буквой D.

Начнем по порядку, мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник и для того, что бы узнать длину его ребер нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора исходя из которой

c 2 = 2a 2 ,
Таким образом
a = √ c 2 /2

Теперь для того что бы найти длину ребра треугольника (которое равно стороне нашего квадрата) нам необходимо узнать длину основания треугольника, которое равно диаметру круга

1. Если нам известна площадь круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

2. Если нам известна длина круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

3. Если нам известен радиус круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

Соответственно если мы знаем диаметр круга который равен основанию треугольника полученного путем разделения квадрата на две части по диагонали,

мы можем узнать длину сторон квадрата используя теорему Пифагора