алгебра — Метод математической индукции
Здесь можно по отдельности проверить делимость на 2, 3 и на 5. Если проводить доказательство по индукции, то база очевидна, а шаг приводит к утверждению, что n^4+2n^2+2n^2+n=n(n+1)(n^2+n+1) делится на 6. Это можно таким же способом доказать по индукции, а потом получится третье утверждение. Этот путь возможен, но он слишком длинный. Проще записать исходное выражение как n(n-1)(n+1)(n^2+1), и проверить делимость на 2, 3 и 5 по остаткам от деления.
(4 Сен ’16 14:41) falcao
2 ответа
$$ (n+1)^5-(n+1)=(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-(n+1) = \\ =(n^5-n)+(5n^4+10n^3+10n^2+5n)=(n^5-n)+5n(n+1)(n^2+n+1) $$ А дальше небольшой перебор для второго слагаемого . рассматриваете число $%n=6k+m$% при $%m=0;1;\ldots ;5$%. фактически надо просто подставить остатки вместо $%n$% и посмотреть на результат.
отвечен 4 Сен ’16 14:49
all_exist
58.2k ● 3 ● 14
- делится на 2 и 3, тк три пследовательных числа.
- три последовательных числа не накрывают число кратное 5 при n=2+5k и n=3+5k, но тогда (n^2+1) равно
отвечен 4 Сен ’16 16:29
Конечные числовые суммы. Метод математической индукции
Пусть n – произвольное натуральное число. Тогда справедливы следующие формулы, которые называют конечными числовыми суммами :
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии является простейшим примером бесконечной числовой суммы (числового ряда). Ряды изучают в ВУЗовских курсах математики.
Доказательство формул для конечных числовых сумм можно получить с помощью различных методов.
К изложению одного из мощнейших методов доказательства этих, а также подобных формул, – методу (принципу) математической индукции мы сейчас и переходим.
Метод математической индукции
Предположим, что нам требуется доказать, что некоторая формула верна при любом натуральном значении n . Предположим также, что мы:
- непосредственно проверили, что формула верна при n = 1 ,
- доказали, что из справедливости формулы для некоторого номера n , вытекает её справедливость для номера n + 1 .
Тогда в силу метода (принципа) математической индукции можно утверждать, что формула верна для всех натуральных чисел n .
Для примера дадим доказательство одной из формул, приведенных в предыдущем разделе.
Пример 1 . Доказать, что при всех натуральных n верна формула
Решение . Для доказательства воспользуемся методом математической индукции:
- В случае n = 1 формула (1) имеет вид и является верной.
- Докажем, что из справедливости равенства (1), вытекает справедливость равенства
(n^5-n) делится на 30
n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1) Так как (n-1),n,(n+1) следуют по порядку, то одно из их обязательно кратно 3, и одно из них непременно кратно 2, то есть их произведение непременно кратно 3. Оно не будет кратно 5, только, если n=5k+2 либо 5k+3. В других случаях один из сомножителей n-1,n либо n+1 будет кратен 5 и все выражение будет кратно 6*5=30. Рассмотрим случаи: n=5k+2 и n=5k+3 1)n=5k+2 2n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)-кратно 5-> все выражение кратно 30
- Сергей Палюбин
- Математика
- 2019-04-27 14:12:54
- 1
- 1
Агата 2019-04-27 14:15:50
(n-1)n(n-1)- три поочередных натуральных числа, посреди их одно непременно кратно 3, одно кратно 2, означает все произведение кратно 6
осталось обосновать кратность 5
Посреди всех 5 поочередных натуральных чисел, одно кратно 5, это число 5k.
2-ое дает при делении на 5 остаток 1, это число 5k+1
Третье при делении на 5 дает остаток 2, это число 5k+2
4-ое при разделеньи на 5 дает остаток 3, это число 5k+3
5-ое при разделеньи на 5 дает остаток 4, это число 5k+4
1)если n=5k, то творение (n-1)n(n+1) кратно 5
2)если n=5k+1, то (n-1)=5k и творение (n-1)n(n+1) кратно 5
3)если n=5k+2, то (n+1)=(5k+2)+1=25k+20k+4+1=25k+20k+5=5(5k+4k+1) кратно 5 и творенье (n-1)n(n+1)(n+1) кратно 5
4) если n=5k+3, то (n+1)=(5k+3)+1=25k+30k+9+1=25k+30k+10=5(5k+6k+2) кратно 5 и творение (n-1)n(n+1)(n+1) кратно 5
5) если n=5k+4, то n+1=5k+4+1=5k+5=5(k+1) — кратно 5 и творенье
(n-1)n(n+1) кратно 5.
Ответ Все случаи осмотрены. Доказано
обоснуйте, что n^5 — n делится на 30
n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
Так как (n-1),n,(n+1) следуют по порядку, то одно из их непременно кратно 3, и одно из их непременно кратно 2, то есть их произведение непременно кратно 3. Оно не будет кратно 5, только, если n=5k+2 либо 5k+3. В других случаях один из сомножителей n-1,n либо n+1 будет кратен 5 и все выражение будет кратно 6*5=30.
Рассмотрим случаи: n=5k+2 и n=5k+3
1)n=5k+2
2n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)-кратно 5-gt; все выражение кратно 30
2)n=5n+3
n^2+1=(5k+3)=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)-кратно 5-gt;все выражение кратно 30.