Как обозначать числа с пи на числовой окружности?
Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.
Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac\), \(-\frac\), \(\frac\)
Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.
Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.
Отметим точку \(\frac\) . \(\frac\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.
Обозначим на окружности точки \(-\) \(\frac\) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.
Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.
Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac\) . Для этого дробь \(\frac\) переведем в смешанный вид \(\frac\) \(=1\) \(\frac\) , т.е. \(\frac\) \(=π+\) \(\frac\) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.
Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\) \(\frac\) .
Обозначаем числа \(\frac\), \(\frac\), \(\frac\)
Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac\) , \(\frac\) и \(\frac\) .
\(\frac\) – это половина от \(\frac\) (то есть, \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac\) – это половина четверти окружности.
\(\frac\) – это треть от \(π\) (иначе говоря, \(\frac\) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac\) – это треть от полукруга.
\(\frac\) – это половина \(\frac\) (ведь \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac\) – это половина от расстояния \(\frac\) .
Вот так они расположены друг относительно друга:
Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac\) ,\(π\), \(\frac\) , \(\frac\) , \(\frac\) , \(\frac\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.
Разные расстояние на окружности наглядно:
Обозначаем числа \(\frac\), \(-\frac\), \(\frac\)
Обозначим на окружности точку \(\frac\) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=π+\) \(\frac\) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac\) .
Отметим на окружности точку \(-\) \(\frac\) . Преобразовываем: \(-\) \(\frac\) \(=-\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=-π-\) \(\frac\) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac\) .
Нанесем точку \(\frac\) , для этого преобразуем \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=2π-\) \(\frac\) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac\) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac\) .
Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac\) ,\(\frac\), \(-\frac\), \(-\frac\)
Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.
Из этого примера можно сделать вывод:
Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».
Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).
Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).
Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Сейчас обозначим число \(\frac\) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=3π+\) \(\frac\) \(=2π+π+\) \(\frac\) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac\) (т.е. половину окружности и еще четверть).
Отметим \(\frac\) . Вновь преобразования: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=5π+\) \(\frac\) \(=4π+π+\) \(\frac\) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac\) – и мы найдем место точки \(\frac\) .
Нанесем на окружность число \(-\) \(\frac\) .
\(-\) \(\frac\) \(= -\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=-10π-\) \(\frac\) . Значит, место \(-\) \(\frac\) совпадает с местом числа \(-\) \(\frac\) .
Обозначим \(-\) \(\frac\) .
\(-\) \(\frac\) \(=-\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=-5π+\) \(\frac\) \(=-4π-π+\) \(\frac\) . Для обозначение \(-\) \(\frac\) , на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac\) .
2. Числовая окружность, макеты числовой окружности
Если взять π ≈ 3,14 , то длина окружности \(l\) может быть выражена числом 2 π ≈ 2 ⋅ 3,14 = 6,28 .
В единичной окружности \(CA\) является горизонтальным диаметром, \(DB\) — вертикальным диаметром (см. рис.)
Дуга \(AB\) соответствует первой четверти, дуга \(BC\) — второй четверти, дуга \(CD\) — третьей четверти, дуга \(DA\) — четвёртой четверти, причём это открытые дуги, т. е. дуги без их концов.
Длина каждой четверти равна 1 4 ⋅ 2 π = π 2 .
Принято в обозначении дуги на первом месте писать букву, обозначающую начало дуги, а на втором месте писать букву, обозначающую конец дуги.
Числовую окружность удобно разбивать на \(8\) или \(12\) одинаковых частей.
Первый случай
Разобьём каждую четверть числовой окружности пополам, получим \(8\) точек, возле каждой напишем соответствующее число:
Второй случай
Разделим каждую четверть на три равные части, вся числовая окружность будет поделена на \(12\) равных частей. Каждую полученную точку подпишем соответствующим числом промежутка 0 ; 2 π (первый обход числовой окружности в положительном направлении).
Верно следующее утверждение:
если точка \(M\) числовой окружности соответствует числу \(t\), то она соответствует и числу вида t + 2 π k , k ∈ ℤ .
Таким образом,
единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называется числовой окружностью .
3. Числовая окружность на координатной плоскости
Расположим числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.
Начальная точка числовой окружности \(A\) совмещена с точкой \((1;0)\).
Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.
Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.
Точка M π 4 — середина \(I\) четверти.
Опустим перпендикуляр \(MP\) на прямую \(OA\) и рассмотрим треугольник \(OMP\).
Так как дуга \(AM\) составляет половину дуги \(AB\), то ∡ MOP = 45 ° .
Значит, треугольник \( OMP \) — равнобедренный прямоугольный треугольник и \(OP = MP\), т. е. у точки \(M\) абсцисса и ордината равны: \(x = y\).
Координаты точки \(M(x;y)\) удовлетворяют уравнению числовой окружности x 2 + y 2 = 1 ,
Поэтому их найдём из системы уравнений:
x 2 + y 2 = 1 x = y
Заменим в первом уравнении \(y\) на \(x\):
x 2 + x 2 = 1 ; 2 x 2 = 1 ; x 2 = 1 2 ; x = 1 2 = 2 2 ; y = x = 2 2 .
Мы выбрали положительный корень уравнения, так как абсцисса точки \(M\) больше нуля.
Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π 4 , будут M π 4 = M 2 2 ; 2 2 .
Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.
Полученные результаты запишем в таблицу.
Точка окружности
Абсцисса \(x\)
Ордината \(y\)
Рассуждаем аналогично для точки \(M\), если теперь она соответствует числу π 6 .
Треугольник \(MOP\) прямоугольный. Так как дуга \(AM\) составляет третью часть дуги \(AB\), то ∡ MOP = 30 ° .
Катет \(MP\) лежит против угла \(30\) градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки \(M\) равна
Длина окружности
Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку « O », а ножку циркуля с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.
Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром, радиусом и диаметром окружности.
- (·)O — называется центром окружности.
- Отрезок, который соединяет центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности. Радиус окружности обозначается буквой « R ». На рисунке выше — это отрезок « OA ».
- Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр, называется диаметром окружности.
Диаметр окружности обозначается буквой « D ». На рисунке выше — это отрезок « BC ».
Число π и длина окружности
Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что такое число π (читается как «Пи»), которое так часто упоминают на уроках.
В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.
Запомните!
Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым для всех окружностей и обозначается греческой буквой π («Пи»).
π ≈ 3,14…
Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам для наших вычислений достаточно использовать значение π ,
округленное до разряда сотых π ≈ 3,14…
Теперь, зная, что такое число π , мы можем записать формулу длины окружности.
Запомните!
Длина окружности — это произведение числа π и диаметра окружности. Длина окружности обозначается буквой « С » (читается как «Це»).
C = π D
C = 2 π R , так как D = 2R
Как найти длину окружности
Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.
Разбор примера
Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.
Воспользуемся формулой длины окружности:
C = 2 π R ≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см
Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину окружности, а нас просят найти её диаметр.
Разбор примера
Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм. ( π ≈ 3,14 ).
Выразим из формулы длины окружности диаметр.
C = π D
D = С / π
D = 56,52 / 3,14 = 18 дм
Хорда и дуга окружности
На рисунке ниже отметим на окружности две точки « A » и « B ». Эти точки делят окружность на две части, каждую из которых называют дугой. Это синяя дуга « AB » и черная дуга « AB ». Точки « A » и « B » называют концами дуг.
Соединим точки « A » и « B » отрезком. Полученный отрезок называют хордой.
Важно!
Точки « A » и « B » делят окружность на две дуги. Поэтому важно понимать, какую дугу вы имеете в виду, когда пишите дуга « AB ».
Для того чтобы избежать путаницы, часто вводят дополнительную точку на нужной дуге и обращаются к ней по трем точкам.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
3 мая 2020 в 10:27
Владислав Заступневич Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Владислав Заступневич
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
, Радиус одной окружности равен 12 см, а второй-36см.Чему равно отношения длины первой окружности к длине второй окружности?
6 мая 2020 в 15:48
Ответ для Владислав Заступневич
Галина Федотова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
Галина Федотова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
С=2πR
если длину одной окружности разделить на дилну другой, то 2π сократится, следовательно длины будут относится так же как радиусы, то есть 12:36=
22 сентября 2016 в 19:03
Вика Камалова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
Вика Камалова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Помогите 2) чему равен деаметр если радиус равен а)12см б)10 децеметров
1) начертить окружность радиусом а)2 см пот буквой б)4см 5мм (начертиь!)
3)Чему равен радиус если деаметр равен а)6см б)9см в)12м
СРОЧНО СЕГОДНЯ! ПРОШУ.
23 сентября 2016 в 14:51
Ответ для Вика Камалова
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Радиус равен половине диаметра. Обратно диаметр равен двум радиусам. Подробнее здесь.
1) а) 12см · 2=24см б)10дм · 2 = 20дм
2) ответил в теме.
3) а) 6см: 2 = 3см б) 9см: 2 = 4см 5 мм в)12м: 2 = 6м
22 сентября 2016 в 18:54
Вика Камалова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
Вика Камалова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
1)Начертить окружность радиусом а)2 см пот буквой б)4 см 5 мм
23 сентября 2016 в 14:46
Ответ для Вика Камалова
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Радиус окружности это расстояние от центра до любой точки окружности. Подробнее можно посмотреть вот здесь. На линейке циркулем отмеряем необходимый радиус и чертим окружность.