Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A . В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.
Найти an, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A , оставаясь меньше последнего.
Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an .
Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2a n – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.
Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A .
Сравнить полученное число с нулём.
Если полученное число не равно 0 , то найти такое 2an − 1 , которое, будучи умноженным на (2an10+an− 1) , даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.
Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.
После получения количества цифр, равного n/2, прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.
Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.
1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.
2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
3. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.
4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.
5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.
6. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.
Пример. Извлечём корень√8649 .
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: √86’49 .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем √86≈9 с недостатком. Цифра 9 – это первая цифра корня.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.
5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем:
К числу 18 нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.
6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93. Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренное число 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколько граней содержит это число.
Аналогично извлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное число разбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влево и вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописыванием к числу нуля.
Извлечение квадратного корня в столбик на бумаге
Сегодня калькуляторы доступны повсеместно, и операцию извлечения корня так и подмывает выполнить на каком-нибудь устройстве. Но вычисляя корень на бумаге ученики используют и повторяют весь устный и письменный счёт, квадраты чисел, таблицу умножения. Рекомендуем учителю или родителю возводить в квадрат трёхзначные числа, и ученику раз в неделю или месяц вычислять корни. В конце каждого примера ученика ждёт автоматическая подсказка: если выше допущена хоть одна ошибка, то корень не будет извлекаться нацело. А если в остатке получился ноль, значит строгая дисциплина при вычислении корня была соблюдена полностью. Чтобы вы могли запомнить не только пример, а сам метод, который иллюстрируется примерами — мы разобрали целых три примера.
Извлечение квадратного корня из целых чисел. Пример 1.
Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа мы будем циклично предпринимать одну и ту же последовательность действий: Подбери, Занеси, Вычти, Снеси, Удвой, Припиши. Сокращённо ПЗВ СУП — для запоминания: ПоЗоВи СУП.
Пример 1: 763876. Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 76 38 76. В числе три грани — значит в корне будет три разряда. Сначала старшая грань 76.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был меньше, чем 76. Это число 8 (т.к. 8 × 8 = 64, а 9 × 9 = уже 81, то есть > 76). Заносим 8 в ответ — это старший разряд ответа (сотни). Вычитаем 64 из 76 — остаётся 12. Сносим к 12-ти следующую грань — 38. Получается 1238. Удваиваем то что в ответе — восьмёрку. Получается 16 — запишем 16 слева от 1238. Приписываем к 16 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 16# × # было не больше, чем 1238. Это число 7 (т.к. 166 × 6 = 996 < 1238, 167 × 7 = 1169 < 1238, а 168 × 8 = 1344, то есть уже >1238). Заносим 7 в ответ — это следующий разряд ответа (десятки). Вычитаем 167 × 7 из 1238 — остаётся 69. Сносим к 69-ти следующую грань — 76. Получается 6976. Удваиваем то, что в ответе — 87. Получается 174 — запишем 174 слева от 6976. Приписываем к 174 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 174# × # было не больше, чем 6976. Это число 4 (т.к. 1743 × 3 = 5229, 1744 × 4 = 6976, а 1745 × 5 = 8725, то есть уже > 6976). Заносим четвёрку в ответ — это будет разряд единиц. Вычитаем 1744 × 4 из 6976 — остаётся ноль.
Значит, квадратный корень из данного числа 763876 — число 874.
Пример 2: 79524.
Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 07 95 24. В числе три грани — значит, в корне будет три разряда. Старшую грань дополнили ноликом (и стало 07). Вот сначала направляем внимание на старшую грань 07.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был меньше, чем 7. Это число 2 (т.к. 1 × 1 = 1 < 7, 2 × 2 = 4 < 7, а 3 × 3 = 9, а это уже >7). Заносим 2 в ответ — это старший разряд ответа (сотни). Вычитаем 4 из 07 — остаётся 3. Сносим к 3 следующую грань — 95. Получается 395. Удваиваем то, что в ответе — двойку. Получается 4. Запишем 4 слева от 395. Припишем к 4 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 4# × # было не больше, чем 395. Это число 8 (т.к. 47 × 7 = 329 < 395, 48 × 8 = 384 < 395, а 49 × 9 = 441, то есть уже >395) Заносим 8 в ответ — это будет разряд десятков. Вычитаем (48 × 8 = ) 384 из 395 — остаётся 11. Сносим к 11 следующую грань — 24. Получается 1124. Удваиваем то, что в ответе — 28. Получается 56. Запишем 56 слева от 1124. Приписываем к 56 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 56# × # было не больше, чем 1124. Это число 2 (т.к. 561 × 1 = 561 < 1124, 562 × 2 = 1124, 563 × 3 = 1689 >1124). Заносим 2 в ответ — это будут единицы ответа. Вычитаем 562 × 2 из 1124 — остаётся 0. Значит квадратный корень из данного числа 79524 — это число 282.
Пример 3: 487204.
Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 48’72’04. В числе три грани, значит в корне будет три разряда. Сначала старшая грань 48.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был не больше 48. Это число 6 (т.к. 6 × 6 = 36, а 7 × 7 = 49). Заносим 6 в ответ. Это разряд сотен. Вычитаем 36 из 48 — остаётся 12. Сносим к 12 следующую грань — 72. Получается 1272. Удваиваем то, что в ответе — 6. Получается 12. Припишем 12 слева от 1272. Приписываем к 12 коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 138# × # было не больше, чем 11104. Это число 8 (т.к. 1388 × 8=11104, а 1389 × 9 = 12501 > 11104) Заносим 8 в ответ — это разряд единиц. Вычитаем 1388 × 8 = 11104 из 11104 — остаётся 0. Значит квадратный корень из данного числа 487204 — это число 698.
Извлечение квадратного корня столбиком
Вы спросите для чего это нужно? В старших классах извлекать число из под корня нужно очень часто. Не всегда под рукой есть калькулятор, а этот способ позволяет извлекать корень из любого числа с любой точностью. Да и знаний много не бывает.
Значит, рассмотрим извлечение квадратного корня из целого числа. Для наглядности возьмем сначала пример с трехзначным числом, например, извлечем корень из числа 625.
Теперь для тренировки поробуем извлечь корень из числа с точностью до десятых. Для этого возьмем число 113.
Продолжая процесс, можно вычислить корень из любого числа с любой точностью.
Случай, если число дробное, приводится к нашему алгоритму умножением на 100 = 10 в квадрате, 10000 = 100 в квадрате и так далее. Например, перед использованием приведенного метода для извлечения числа 25,8 его нужно умножить на 100, а после извлечения результат поделить на 10.
Поделиться:
Коды для вставки:
Скопируйте код и вставьте в окошко создания записи на LiveInternet, предварительно включив там режим «Источник»
| HTML-код: |
| BB-код для форумов: |
| Вы спросите для чего это нужно? В старших классах извлекать число из под корня нужно очень часто. Не всегда под рукой есть калькулятор, а этот способ позволяет извлекать корень из любого числа с любой точностью. Да и знаний много не бывает. Значит, рассмотрим извлечение квадратного корня из целого числа. Читать полностью |
| +10 | Lilit | 15.02.2012 | 210 | 18 | 2 комментария |
Построим каркасный дом вашей мечты
Каркасный дом с гаражом и террасой V117 «Принстон»
Каркасный дом с гаражом и 3 спальнями V261 «Флинт»
Каркасный дом V375 «Тампа»
Каркасный дом хайтек V522 «Каварта-Лейкс»
Комментарии
15 февраля 2012 года #
забрала в избранное, доча завтра разбираться будет)
24 ноября 2023 года #
Здравствуйте. Статья недороботана.
В первом примере умножаем 4х (от куда взялось 2х ?!)!
Десятичная точка и в первом и во втором примерах не там где нужно,
И как будут учиться по этой статье другие?
Способ решения раскрыт не полностью.
Спасибо за внимание.
Оставить свой комментарий
или войти если вы уже регистрировались.
| Можете войти как и оставить комментарий. |
Вставка изображения
Можете загрузить в текст картинку со своего компьютера:
Загрузка списка альбомов.
Вставка изображения
Фото вставлено в текст.
Можете вставить еще несколько или закрыть это окно.
— подписаться на тему
Чаще всего на сайте читают:
1. Жизнь взаймы. Эрих Мария Ремарк Мужчина, его автомобиль, хрупкая девушка, умирающая от туберкулеза. Героиня тратит все деньги на платья Balenciaga, а герой очень хочет верить в лучшее. Ироничный и абсурдный финал переворачивает эту сентиментальную историю с ног на голову. Если верить в сомнительный тезис о том, что каждая девушка в 17 лет должна читать Ремарка, то пусть уж это будет «Жизнь взаймы». 2. Портрет Дориана Грея. Оскар Уайльд
Квартиру мы купили еще в 2007 году, в 2008 сделали капитальный ремонт и благополучно отметили новоселье. Но две шестиметровые лоджии мы так и не отделали, не хватило денег. И как-то наш друг проронил такую фразу: Сразу не сделаете — уже никогда не сделаете! Поэтому мелкие недоделки по квартире я постаралась доделать пока свежо, а вот лоджии так и стояли до этой осени грустные и обшарпанные, такие как нам достались от предыдущих хозяев.
Я гражданка России и я с трепетом в сердце вспоминаю мой дом, красоты Сибири, школу, детский сад, но время идет и жизнь разворачивает свои события по своему и нужно двигаться и жить дальше. В следующем году, январе месяце будет уже 9 лет, как мы иммигрировали в Австралию
Скрепя сердце, публикую этот пост с фото, так как очень стесняюсь себя. Но пусть эта запись будет мне памятью, стимулом и небольшим хвастом! В начале месяца я начала худеть. Вяленько, неохотно. Начала ходить на стрип-пластику. Потом взялась за себя основательно. В общем счёте нормального активного похудения у меня 2 недели. Что имеем? 2 раза в неделю активные танцы с бешеной разминкой на данный момент 11 сеансов антицеллюлитного массажа. Далее фото «до» и «после».
Как вычислить квадратный корень на бумаге в столбик?
Раньше в средних классах школы изучали способ извлечения квадратного корня столбиком.
В старых учебниках алгебры и справочниках по элементарной математике примерно до 1960 года можно найти этот алгоритм извлечения квадратного корня.
Деление столбиком основано на представлении произведения
( a + b ) ( d + e ) = ad + bd + ae + be
а извлечение квадратного корня из многозначных чисел на формуле
( a + b + c )^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2
извлечение кв. корня на бумаге чем-то похоже на деление столбиком.
В квадратном корне в два раза меньше цифр, чем в исходном числе. Поэтому число, из которого извлекают корень, делят на группы по 2 цифры справа налево. При делении к последовательным остаткам последовательно добавляются новые цифры делимого и находится новая цифра частного. При извлечении корня по мере нахождения цифр результата к остаткам приписываются группы из 2 цифр, и каждая следующая группа позволяет определить одну следующую цифру корня.
Например, если нужно извлечь корень из 4389, получаются две группы: 43’89
Первую цифру корня A угадываем, чтобы квадрат цифры был чуть меньше первой (старшей) группы цифр. В нашем случае это может быть 6 ( 6×6=36). К «остатку» ( в нашем случае 7 ) приписываем следующую группу цифр:
43’89 [__6
36
——
_7’89
остальные цифры b и новые остатки находим из 2Ab + b^2 = (2A+ b) b:
Уже найденные цифры корня умножаем на 2 и находим такую цифру b чтобы число ( 20 A + b )*b было чуть меньше остатка.
Т. е в нашем случае число 12x (x-незвестная цифра) при умножении на x должно дать что-то около 789. Снова подходит 6 ( 126*6 = 756 ) а новый остаток = 33
Если нужны знаки после запятой, можно сносить группы из 00, так же как при делении мы приписываем столько 0, сколько нужно для обеспечения точности.
Примерно так. Если нужны подробности, постараюсь найти более связное изложение извлечения корня в столбик.
С каждой цифрой «остаток» удлинняется, и считать приходится больше, поэтому:
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ПОЛЬЗУЙТЕСЬ КАЛЬКУЛЯТОРОМ, EXCELем и прочими достижениями цивилизации!