Как найти касательную плоскость к поверхности

Как найти уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности в заданной точке?

Сегодня на уроке я расскажу вам об одном популярном приложении дифференциального исчисления функции двух переменных, а именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий, которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1: касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2: нормаль к поверхности в точке – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение: если поверхность задана уравнением (т.е. неявно), то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно). При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент.

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:

– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии, – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ:

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой. А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

и по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

, и соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки). Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение: уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ:

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие). Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто 😉 Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)». Обратите внимание, как грамотно начата статья о Чебурашке в Википедии – с понятия, кто это такой.

Кроме того, в прикладных областях особую важность приобретает второй вопрос: ЗАЧЕМ ЭТО НУЖНО? Например, та или иная команда языка программирования. В подобных определениях должен обязательно содержаться ответ на этот вопрос.

Однако ответ желательно найти в любом случае. Ну, с нашими примерами всё понятно, Чебурашка нужен, чтобы развлекать детей, а касательные плоскости и нормали – чтобы радовать взрослых =)

Эту статью я написал за один-единственный день (величайшая редкость), и надеюсь, она вам понравилась!

Традиционные решения и ответы:

Пример 2: Решение: уравнение касательной плоскости к поверхности в точке составим по формуле:

Вычислим частные производные в точке :

Таким образом:

(умножили обе части на –5)

– уравнение искомой касательной плоскости.
Запишем уравнения нормали к поверхности в точке :

– канонические уравнения искомой нормали.
Ответ:

Пример 3: Решение: преобразуем уравнение:

Вычислим частные производные в точке :

Запишем уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке :

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ: – уравнение искомой касательной плоскости;
– уравнения искомой нормали.

Пример 5: Решение: используем формулу:

Вычислим частные производные в точке :

Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :

Уравнения нормали:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$

В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac=\frac=\frac.$$

Примеры:

7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=\sin x\cos y$ в точке $(\pi/4, \pi/4, \pi/4).$

Решение.

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac=\frac=\frac.$$

Находим частные производные:

$z’_x=(\sin x\cos y)’_x=\cos x\cos y;$

$z’_y=(\sin x\cos y)’_y=-\sin x\sin y;$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-\frac<\pi>=\frac(x-\frac<\pi>)-\frac(y-\frac<\pi>)\Rightarrow$$ $$\fracx -\fracy-z+\frac<\pi>=0.$$

7.232. Для поверхности $z=4x-xy+y^2$ найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости $4x+y+2z+9=0.$

Решение.

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0).$$

Находим частные производные:

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$z-z_0=(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)\Rightarrow$$ $$(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)-z+z_0=0.$$

Найдем точку поверхности $M(x_0, y_0, x_0)$ касательная плоскость к которой будет параллельна плоскости $4x+y+2z+9=0:$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-11=(4-6)(x-\frac)+(-\frac+2\cdot 6)(y-6)\Rightarrow$$ $$z-11=-2(x-\frac)-\frac(y-6)\Rightarrow 2x+\fracy+z-11-25-3=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow4x+y+2z-78=0.$$

Ответ: $4x+y+2z-78=0.$

7.233. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x(y+z)(xy-z)+8=0$ в точке $(2, 1, 3).$

Решение.

Для поверхности $$F(x,y,z)=0,$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$

$F(x, y, z)=x(y+z)(xy-z)+8=x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8=0$

Находим частные производные:

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0\Rightarrow 4x+14y-10z+8.$$

Ответ: $2x+7y-5z+4=0.$

Домашнее задание.

7.229. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=e^$ в точке $(1, \pi/ 1/e).$

7.230. Найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности $z=y tg\frac$ в точке $\left(\frac<\pi a>\right).$

7.233. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $2^+2^=8$ в точке $(2, 2, 1).$

7.234. Для поверхности $x^2-z^2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $\frac=\frac=\frac.$

Высшая математика. Практика.

• Матрицы, определители и системы линейных уравнений.
• Векторная алгебра
• Алгебраические линии первого порядка на плоскости и в пространстве.
• Алгебраические линии второго порядка на плоскости и в пространстве.
• Некоторые понятия математической логики теории множеств.
• Комплексные числа
• Предел функции.
• Дифференцируемость функции, ее дифференциал и производная.
• Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
• Графики функций и кривые
• Неопределенный интеграл.
• Определенный интеграл и его применение.
• Числовые ряды.
• Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
• Экстремумы функций нескольких переменных.
• Двойные интегралы
• Дифференциальные уравнения

Таблицы

• Таблица производных
• Таблица производных сложных функций
• Таблица производных высших порядков
• Таблица интегралов
• Формулы Тейлора
• Греческий алфавит
• Таблица оригиналов и изображений.
• Сравнение функций O(f) и o(f).
• Тригонометрическая таблица

Книги

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

z – z₀ = f’_x(x₀,y₀)(x – x₀) + f’_y(x₀,y₀)(y – y₀)

Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М₀. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности σ в точке М₀ называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀), где z₀ = f(x₀,y₀), имеют вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0 Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0 Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

z= y/x + xy – 5x 3

z₀ = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
В точке М₀(–1, 2, 1) значения частных производных:
f_x’(М₀) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f_y’(М₀) = 1/(-1) – 1 = –2.
Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М₀:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y +4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М₀: .
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: . Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0 Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть поверхность задана в неявном виде: \(F(x,y,z)=0\) и пусть точка \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) принадлежит данной поверхности. Тогда уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке \(M_0\) таково:

\[ \begin F_^(M_0)\cdot(x-x_0)+F_^(M_0)\cdot(y-y_0)+F_^(M_0)\cdot(z-z_0)=0 \end \]

Уравнение нормали имеет вид:

\[ \begin \frac^(M_0)>=\frac^(M_0)>=\frac^(M_0)> \end \]

Если же уравнение поверхности задано в явном виде \(z=f(x,y)\), то уравнение касательной плоскости имеет вид:

\[ \begin f_^(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_^(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0 \end \]

Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково:

\[ \begin \frac^(x_0,y_0)>=\frac^(x_0,y_0)>=\frac \end \]
Примечание (желательное для более полного понимания текста)

Формулы (3) и (4) легко получить из формул (1) и (2). Если \(z=f(x,y)\), то перенося \(z\) в правую часть равенства получим: \(f(x,y)-z=0\). Обозначая \(F(x,y,z)=f(x,y)-z\), получим: \(F_^=\left(f(x,y)-z\right)_^=f_^(x,y)-0=f_^(x,y)\). Аналогично и \(F_^=\left(f(x,y)-z\right)_^=f_^(x,y)-0=f_^(x,y)\). Что же касается последней производной (т.е. производной по переменной \(z\)) , то тут нужно учесть, что выражение \(f(x,y)\) не содержит \(z\), поэтому: \(F_^=\left(f(x,y)-z\right)_^=0-1=-1\). Подставляя в формулы (1) и (2) вместо \(F_^\), \(F_^\), \(F_^\) соответственно \(f_^\), \(f_^\) и \(-1\) и получим формулы (3) и (4).

Задача №1

Условие

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности \(z=3x^2y^4-6xy^3+5x-4y+10\) в точке \(M_0(-2;1;20)\).

Решение

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения \(x_0\), \(y_0\), \(z_0\) (координаты точки \(M_0\)) в нашем случае таковы: \(x_0=-2\), \(y_0=1\), \(z_0=20\). Но перед тем, как переходить к решению, осуществим небольшую проверку. Убедимся, что точка \(M_0\) действительно лежит на заданной поверхности. Эта проверка не является обязательной, но желательна, ибо ошибка в условиях подобных задач – дело вовсе не редкое. Подставим \(x=x_0\), \(y=y_0\) в уравнение нашей поверхности и убедимся, что \(z_0\) действительно равно 20:

\[ z_0=3x_<0>^y_<0>^-6x_0y_<0>^+5x_0-4y_0+10=3\cdot (-2)^2\cdot 1^4-6\cdot (-2)\cdot 1^3-4\cdot 1+10=12+12-4=20. \]

Проверка пройдена, точка \(M_0\) действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. \(z_^\) и \(z_^\) :

\[ z_^=6xy^4-6y^3+5;\\ z_^=12x^2y^3-18xy^2-4. \]

Нас интересуют значения частных производных именно в точке \(M_0\), посему подставим \(x=x_0\), \(y=y_0\) в выражения частных производных:

Подставляя \(x_0=-2\), \(y_0=1\), \(z_0=20\), \(z_^ \left(x_0, y_0\right)=-13\), \(z_^ \left(x_0, y_0\right)=80\) в формулу (3) получим уравнение касательной плоскости:

\[ -13\cdot(x-(-2))+80\cdot(y-1)-(z-20)=0;\\ -13x+80y-z-86=0. \]

Подставляя \(x_0=-2\), \(y_0=1\), \(z_0=20\), \(z_^ \left(x_0, y_0\right)=-13\), \(z_^ \left(x_0, y_0\right)=80\) в формулу (4) получим уравнение нормали:

\[ \frac=\frac=\frac; \frac=\frac=\frac. \]

Касательная плоскость: \(-13x+80y-z-86=0\) ; нормаль: \(\frac=\frac=\frac\).

Задача №2

Условие

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности \(z=5\sqrt-2xy-39\) в точке \(M_0(3;-4;z_0)\).

Решение

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения \(x_0\) и \(y_0\) (первая и вторая координаты точки \(M_0\)) заданы по условию: \(x_0=3\), \(y_0=-4\). Третью координату (т.е. \(z_0\)) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение \(x=x_0\) и \(y=y_0\) :

\[ z_0=5\sqrt-2x_0y_0-39=5\sqrt+24-39=10. \]Теперь, как и в предыдущей задаче, перейдём к нахождению частных производных \(z_^\) и \(z_^\). После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения при \(x=x_0\) и \(y=y_0\) :

Подставляя \(x_0=3\), \(y_0=-4\), \(z_0=10\), \(z_^ \left(x_0, y_0\right)=11\), \(z_^ \left(x_0, y_0\right)=-10\) в формулы (3) и (4) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Касательная плоскость: \(11x-10y-z-63=0\) ; нормаль: \(\frac=\frac=\frac\).

Задача №3

Условие

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности \(3xy^2z+5xy+z^2=10xz-2y+1\) в точке \(M_0(1;-2;3)\).

Решение

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и обозначим полученное в левой части выражение как \(F(x,y,z)\) :

\[ 3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1=0. \]
\[F(x,y,z)=3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1\]

Используем формулы (1) и (2). Значения \(x_0\), \(y_0\) и \(z_0\) как и ранее обозначают координаты точки \(M_0\), т.е. \(x_0=1\), \(y_0=-2\), \(z_0=3\).

Проверим, действительно ли точка \(M_0\) лежит на данной поверхности. Для этого подставим \(x=x_0\), \(y=y_0\) и \(z=z_0\) в выражение \(3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1\) и выясним, равен ли нулю полученный результат:

\[ 3x_0y_<0>^z_0+5x_0y_0+z_<0>^-10x_0z_0+2y_0-1=36-10+9-30-4-1=0. \]

Итак, точка \(M_0\) действительно лежит на данной поверхности. Естественно, что данная проверка не является обязательной, но она крайне желательна. Перейдём к дальнейшему решению. Нам нужно найти \(F_^\), \(F_^\) и \(F_^\) :

\[ \begin & F_^=3y^2z+5y-10z;\\ & F_^=6xyz+5x+2; \\ & F_^=3xy^2+2z-10x. \end \]

Нас интересуют значения частных производных именно в точке \(M_0\), посему подставим \(x=x_0\), \(y=y_0\) и \(z=z_0\) в выражения частных производных:

Подставляя \(x_0=1\), \(y_0=-2\), \(z_0=3\), \(F_^ \left(M_0\right)=-4\), \(F_^ \left(M_0\right)=-29\) и \(F_^ \left(M_0\right)=8\) в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Касательная плоскость: \(-4x-29y+8z-78=0\) ; нормаль: \(\frac=\frac=\frac\).

Задача №4

Условие

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности \(z^3+4xyz=-3x^2+5y+7\) в точке \(M_0(0;-3;z_0)\).

Решение

Поверхность задана в неявном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (1) и (2). Значения \(x_0\) и \(y_0\) (первая и вторая координаты точки \(M_0\)) заданы по условию: \(x_0=0\), \(y_0=-3\). Третью координату (т.е. \(z_0\)) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение \(x=x_0\) и \(y=y_0\) :

\[ z_<0>^+4x_0y_0z_0=-3x_<0>^+5y_0+7;\\ z_<0>^=-15+7; z_<0>^=-8; z_0=-2. \]

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

\[ z^3+4xyz+3x^2-5y-7=0. \]

Обозначим \(F(x,y,z)=z^3+4xyz+3x^2-5y-7\) и применим формулы (1) и (2). Найдём частные производные первого порядка \(F_^\), \(F_^\) и \(F_^\). После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения в точке \(M_0\) :

Подставляя \(x_0=0\), \(y_0=-3\), \(z_0=-2\), \(F_^ \left(M_0\right)=-24\), \(F_^ \left(M_0\right)=-5\) и \(F_^ \left(M_0\right)=12\) в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Касательная плоскость: \(-24x-5y+12z+9=0\) ; нормаль: \(\frac=\frac=\frac\).

Вернуться к списку тем
Задать вопрос на форуме
Записаться на занятия

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, в этой теме на форуме.

Если у вас есть некие предложения, отзывы или замечания относительно размещаемых материалов, можете написать об этом в данной теме. Регистрация не требуется.