Как найти площадь осевого сечения цилиндра

601. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно к этому радиусу.

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №601
к главе «Глава VI. Цилиндр, конус и шар. Дополнительные задачи».

Как найти площадь осевого сечения цилиндра

Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

• Цилиндр : S_б = 2 RH; S_пп = 2 R(R + H) ( R — радиус основания, H — высота)
• Конус : S_б = RL; S_пп = RL + R 2 ( R — радиус основания, L — образующая)
• Усеченный конус : S_б = (R+r)L; S_пп = (R+r)L + R 2 + r 2 ( R, r — радиусы оснований)
• Шар : S_п = 4 R 2 ; S_сегм = 2 RН ( R — радиус, H — высота сегмента)

1. Обозначим r и h радиус и высоту цилиндра, периметр осевого сечения которого равен 2р . Тогда 2r + h = р 2r = р — h .
2. Площадь боковой поверхности цилиндра выразим по формуле S = 2 rh = h(р — h) = (рh — h 2 ), где 0 < h < p . Величина S меняется в зависимости от h и , следовательно, является функцией h , при условии 0 < h < p . В нашем случае функция площадь боковой поверхности является квадратичной функцией от h . Из свойств квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом следует, что такая функция достигает своего наибольшего значения при h = [x = -b/2a]= -р/(-2) = р/2 .
3. Итак, при заданном периметре осевого сечения, наибольшую площадь боковой поверхности будет иметь тот цилиндр, у которого высота равна четверти периметра осевого сечения.

Перейти к выполнению теста: Тест. Площадь поверхности тел вращения

Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая

Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.

Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Осевое сечение

Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как найти площадь сечения

Формула 1

\(S = d*h,\)

где \(d\) — диаметр, а \(h\) — высота всей фигуры.

Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).

Формула 2

\(S = a*h, \)

Осевое сечение наклонного цилиндра

Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.

Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:

Примеры задач

Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.

Задача 1

Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?

Решение

Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:

\(Sц = 2pi * r * (r + h)\)

Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:

\(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²\)

Исходя из этого, будем выражать радиус:

Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:

\(S = (2*r)2 = 4*r2 = 2*Sц/ (3*pi)\)

Подставим известные данные ( \(Sц = 100см^2\) ) и получим площадь сечения \(S = 21,23 см²\) .

Ответ: \(S = 21,23 см²\) .

Задача 2

Дано: ABCD — осевое сечение цилиндра. Площадь сечения \(Sc\) равна \(10 м²\) , а площадь основания \(Sо— 5 м²\) . Найти высоту цилиндра.

Решение

Так как площадь основания — круг, то \(Sо = pi * r²\) . Тогда \(r = √(Sо/pi) = √(5/pi).\)

Так как площадь сечения — прямоугольник, то \(Sc = AB * BC = h * 2r.\) Тогда \(h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).\)

Ответ: \(h = √(5pi).\)

Упр.538 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 11 класс, Просвещение:

538 Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением