Как определить наклонение по координатам

Как определить наклонение по координатам

При рассмотрении движения планет можно ограничиться только случаем эллиптического движения. Орбита планеты в этом случае характеризуется шестью параметрами.

Определим систему координат , связанную с орбитой планеты. Точка орбиты, ближайшая к Солнцу, называется перигелием, а наиболее удаленная от Солнца — афелием . Ось направим в перигелий, ось — перпендикулярно плоскости орбиты. Точки пересечения плоскости орбиты планеты и эклиптики называются узлами орбиты, причем восходящим узлом называется тот, который планета проходит, переходя из области отрицательных широт в область положительных широт . Графическое представление и параметры кеплеровской орбиты показаны на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Определение параметров эллиптической орбиты

Ориентация орбиты в пространстве (ориентация системы координат относительно гелиоцентрической системы ) описывается тремя углами. Угол между направлением на точку весеннего равноденствия и точку восходящего узла называется долготой восходящего узла и обозначается . Двугранный угол между плоскостями орбиты и эклиптики называется наклонением орбиты и обозначается как . Третьим углом, который обозначается и называется аргументом перигелия, является угол между направлениями на восходящий узел и перигелий . Так как угол постоянен, то это означает неизменность положения оси и в плоскости орбиты, и в пространстве.

Следующие два параметра: большая полуось и эксцентриситет определяют размеры и форму орбиты . И, наконец, положение тела на орбите в начальный момент определяется эпохой прохождения через перигелий — .

Мгновенное положение планеты на момент определяется углом , который называется истинной аномалией (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Определение аномалий кеплеровской орбиты

Помимо истинной аномалии в небесной механике используются эксцентрическая и средняя аномалии. Построим окружность радиуса , равным большой полуоси эллипса, с центром, который совпадает с центром эллипса . Опустим перпендикуляр на ось ; тогда его продолжение пересечет окружность в точке . Угол называется эксцентрической аномалией. Угол, равный средней аномалии, определяется средним движением и равен

Часто в небесной механике и астрометрии используется величина, определяемая формулой

и называемая средней долготой .

Так как движение планеты при кеплеровском движении происходит в плоскости, то положение планеты определяется проекциями радиус-вектора , которые равны . Проекция на ось равна нулю: . Из рис. 3.15 очевидно, что

Также, используя рис. 3.15, находим, что

Далее, с одной стороны,

с другой стороны, используя свойства эллипса, имеем

Следовательно, соотношение (3.55) можно переписать в виде:

Так как , из (3.56) и (3.46) находим:

Из выражений (3.56), (3.57) и формулы тангенса половинного угла получим выражение, связывающее истинную и эксцентрическую аномалии:

Углы и зависят от времени. Дифференцируя уравнение (3.58) по времени, найдем, что

После несложных преобразований выразим через :

Теперь вернемся к уравнению (3.42). Так как , то уравнение (3.42) можно переписать в виде:

Заменяя выражением (3.57), — на (3.59) и на , получим:

получим трансцендентное уравнение, связывающее эксцентрическую и среднюю аномалии, которое называется уравнением Кеплера :

где есть постоянная интегрирования — момент прохождения через перигелий.

Найдем теперь вектор скорости . Заметим, что . Вектор скорости лежит в плоскости орбиты, следовательно, его проекция на ось равна нулю. Из (3.56) находим проекции :

и квадрат скорости

Дифференцируя по времени вектор скорости (3.62) и учитывая, что , найдем вектор ускорения тела при движении по кеплеровской орбите, который также лежит в плоскости орбиты:

Для вычисления прямоугольных координат и проекций скорости тела в гелиоцентрической системе координат достаточно найти матрицу поворота системы . Если матрица известна, то преобразование записывается в виде матричных уравнений:

Матрица вычисляется следующим образом (см. рис. 3.14): сначала выполняем поворот относительно оси на угол до совмещения оси с линией узлов, затем — поворот относительно линии узлов на угол и, наконец, поворот относительно оси на угол :

Если элементы орбиты тела известны, то его положение и скорость в эклиптической системе координат в любой момент времени определяются следующей последовательностью вычислений: 1) сначала находится средняя аномалия по формуле (3.53); 2) решая уравнение Кеплера (3.61), находим эксцентрическую аномалию ; 3) зная , получим радиус-вектор тела (3.57) и его проекции в орбитальной системе координат (3.56); 4) и, используя уравнения (3.65) и матрицу (3.66), получим прямоугольные эклиптические координаты и проекции скорости тела .

Если эксцентриситет орбиты мал, то удобным методом решения уравнения Кеплера является метод итераций. На первом шаге предполагается, что . Тогда процесс итераций

можно остановить, когда разность станет меньше некоторого заранее заданного числа. Ограничимся сейчас тремя итерациями и выразим в явном виде как функцию . Имеем

Считая, что , получим с точностью до ряд

Выразим теперь в виде ряда по степеням экцентриситета истинную аномалию как функцию средней аномалии . Для этого умножим сначала первое уравнение (3.56) на , второе — на и сложим результат. После приведения подобных членов получим:

Разлагая в ряд и деля обе части уравнения на , находим, что

При можно разложить знаменатель в ряд по степеням , затем (так как равны арксинусу малого угла, пропорционального ,) разложить арксинус. Сохраняя члены до , получим:

Выразим теперь через , используя ряд (3.67). Имеем

После простых тригонометрических преобразований находим, что

Аналогично находим, что

Подставив в ряд (3.68) разложения (3.67), , как функции , после приведения подобных членов получим уравнение, называемое уравнением центра :

В заключение этого раздела рассмотрим движение Земли по орбите.
1) Центр тяжести Земли движется относительно центра масс системы Земля+Луна. Последний находится на линии, соединяющей центры масс Земли и Луны, на расстоянии, равном км от центра тяжести Земли, где — расстояние между Землей и Луной, массы которых равны .
2) Центр тяжести системы Земля+Луна движется вокруг Солнца по орбите, элементы которой не являются постоянными, а являются функциями времени. Орбита близка к круговой; эксцентриситет орбиты равен . Орбита центра тяжести системы Земля+Луна является возмущенной вследствие притяжения Земли, Луны и Солнца планетами. Из-за возмущений движение центра тяжести системы Земля+Луна отличается от кеплеровского движения, однако это отличие не превышает в долготе , в широте .
3) Центр Солнца движется относительно центра тяжести солнечной системы — барицентра. Движение центра Солнца относительно барицентра солнечной системы определяется, главным образом, двумя наиболее массивными планетами — Юпитером и Сатурном и представляется двумя почти круговыми движениями с периодами обращения этих планет ( и лет). Радиус круговых движений центра Солнца относительно барицентра равен примерно для Юпитера и для Сатурна ( и — отношения массы Солнца к массам Юпитера и Сатурна) (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Движение Солнца относительно барицентра солнечной системы в эклиптической системе координат на интервале времени 1900 — 2000 гг. Промежуток между точками равен одному году.

Солнце удаляется от центра масс солнечной системы на величину, не превышающую двух радиусов Солнца.

Орбитальные скорости движения Юпитера и Сатурна равны примерно 13 км/с и 9,5 км/с, соответственно компоненты скорости движения центра Солнца, вызываемые этими планетами, составляют , .
>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия — сферическая астрономия — системы координат — шкалы времени Публикации со словами: астрометрия — сферическая астрономия — системы координат — шкалы времени

См. также:

Параметры орбит

Как однозначно определяют форму и расположение орбиты?

Характеристики, описывающие орбиту спутника. Орбиту любого спутника можно задать с помощью шести числовых значений, известных как элементы Кеплера:

• Два параметра описывают форму орбиты, это большая полуось и эксцентриситет (сложное слово, но если запомните, то впечатлите многих как опытный специалист в орбитальной механике). Большая полуось – это средний радиус орбиты, она измеряется в километрах. Эксцентриситет – безразмерный параметр и характеризует степень вытянутости орбиты (эксцентриситет равен 0 для круговой орбиты, а для эллипса принимает значения от 0 до 1, и чем больше эксцентриситет – тем более вытянутой является орбита).
• Два параметра описывают, каким образом плоскость орбиты расположена в пространстве, это наклонение и долгота восходящего узла. Наклонение – это угол между плоскостью орбиты и плоскостью земного экватора, оно измеряется в градусах. Наклонение 0˚ соответствует орбите, которая находится в плоскости земного экватора, а 90˚ — полярной орбите, которая проходит над Северным и Южным полюсами. Долгота восходящего узла описывает, как плоскость орбиты повёрнута относительно вертикальной оси инерциальной системы координат (оси вращения Земли).
• Оставшиеся два параметра – аргумент перицентра и истинная аномалия – показывают, как ориентирована орбита в плоскости, и в какой точке находится космический аппарат в некоторый момент времени. Мы не будем сейчас подробно их рассматривать, это не требуется для общего знакомства с темой. Но если вы намереваетесь стать высококлассным специалистом по космической тематике, то очень важно хорошо ориентироваться в кеплеровых элементах орбиты!

Как определить наклонение по координатам

В долгие зимние ночи астрономы измеряют зенитные расстояния одних и тех же звезд в обеих кульминациях и по формулам (4), (6), (9) независимо находят их скло­нение (δ) и географическую широту (φ) обсерватории. Зная φ, определяют склонение светил, у которых наблю­дается только верхняя кульминация. При высокоточных измерениях учитывается рефракция, которая здесь не рассматривается, кроме случаев расположения светил вблизи горизонта.

В истинный полдень регулярно измеряют зенитное расстояние z Солнца и отмечают показание S_ч звезд ных часов, затем по формуле (4) вычисляют его скло­нение δ, а по нему — прямое восхождение αsun , пос­кольку

sin α =tg δ -ctg ε, (24)

где ε = 23°27′ — уже известное наклонение эклиптики.

Одновременно определяется и поправка звездных ча­сов

так как в истинный полдень часовой угол Солнца t=0 и поэтому, согласно формуле (13), звездное время S = α.

Отмечая показания S’_ч тех же часов в моменты верхней кульминации ярких звезд (они видны в телеско­пы и днем), находят их прямое восхождение

и по нему аналогичным образом определяют прямое вос­хождение остальных светил, которое также может быть найдено как

По публикуемым в астрономических справочниках экваториальным координатам (α и δ) звезд определяют географические координаты мест земной поверхности.

§ 15. Земной магнетизм и его элементы. Магнитные карты

Пространство, в котором действуют магнитные силы Земли, называют магнитным полем Земли. Принято считать, что магнитные силовые линии земного поля выходят из южного магнитного полюса и сходятся в северном, образуя замкнутые кривые.

Положение магнитных полюсов не остается неизменным, координаты их медленно меняются. Приближенные координаты магнитных полюсов в 1950 г. были следующие:

северного — φ ~ 76°N; Л ~ 96°W;

южного — φ ~ 75°S; Л ~ 150° O st .

Магнитная ось Земли — прямая, соединяющая магнитные полюса, проходит вне центра Земли, и составляет с ее осью вращения приближенно угол около 1Г,5.

Сила магнитного поля Земли характеризуется вектором напряженности Т, который в любой точке земного магнитного поля направлен по касательным к силовым линиям. На рис. 18 сила земного магнетизма в точке А изображена по величине и направлению вектора AF. Вертикальную плоскость NmAZF, в которой располагается вектор AF, а следовательно, и ось свободно подвешенной магнитной стрелки, называют плоскостью магнитного меридиана. Эта плоскость составляет с плоскостью истинного меридиана NuAZM угол РАН, который называют магнитным склонением и обозначают буквой d.

Рис. 18.

Магнитное склонение d отсчитывается от северной части истинного меридиана к востоку и западу от 0 до 180°. Восточному магнитному склонению приписывают знак «плюс», а западному — знак «минус». Например: d=+4°, 6 или d = —11°,0.

Угол NmAF, образуемый вектором AF с плоскостью истинного горизонта NuAH, называют магнитным наклонением и обозначают буквой в.

Магнитное наклонение в отсчитывают от горизонтальной плоскости вниз от 0 до 90° и считают положительным, если опущен северный конец магнитной стрелки, и отрицательным, — если опущен южный конец.

Точки на земной поверхности, в которых вектор Т направлен горизонтально, образуют замкнутую линию, дважды пересекающую географический экватор и называемую магнитным экватором. Полную силу земного магнетизма — вектор Т — можно разложить на горизонтальную Н и вертикальную Z составляющие в плоскости магнитного меридиана. Из рис. 18 имеем:

H = TcosO, Z=Tsin O или Z = HtgO.

Величины d, Н, Z и O, определяющие магнитное поле Земли в данной точке, называют элементами земного магнетизма.

Распределение элементов земного магнетизма по поверхности земного шара принято изображать на специальных картах в виде кривых линий, соединяющих точки с одинаковым значением того или иного элемента. Такие линии называют изолиниями. Кривые равного магнитного склонения — изогоны наносят на карты изогон (рис. 19); кривые, соединяющие точки с равным магнитным напряжением, называют изодинами, или изодинамами. Кривые, соединяющие точки с равным магнитным наклонением — изоклины, наносят на карты изоклин.

Рис. 19.

Магнитное склонение — наиболее важный элемент для судовождения, поэтому его, помимо специальных магнитных карт, указывают на навигационных морских картах, на которых записывают, например, так: «Скл. к. 16°,5 W».

Все элементы земного магнетизма в любой точке земной поверхности подвержены изменениям, носящим название вариаций. Изменения элементов земного магнетизма делятся на периодические и непериодические (или возмущения).

К периодическим относятся вековые, годовые (сезонные) и суточные изменения. Из них суточные и годовые вариации невелики и для судовождения во внимание не принимаются. Вековые же вариации представляют собой сложное явление с периодом, равным нескольким столетиям. Величина векового изменения магнитного склонения колеблется в различных точках земной поверхности в пределах от 0 до 0,2—0°,3 в год. Поэтому на морских картах магнитное склонение компаса приводится к определенному году с указанием величины годового увеличения или уменьшения.

Чтобы привести склонение к году плавания, надо рассчитать его изменение за истекшее время и на полученную поправку увеличить или уменьшить склонение, указанное на карте в районе плавания.

Пример 18. Плавание происходит в 1968 г. Склонение компаса, снято с карты, d = 11°, 5 О st приведено к 1960 г. Годовое увеличение склонения 5′ .Привести склонение к 1968 г.

Решение. Промежуток времени с 1968 по 1960 г. равен восьми годам; изменение Аd = 8 х 5 = 40′ ~0°,7. Склонение компаса в 1968 г. d = 11°.5 + 0°,7 = — 12°, 2 O st

Внезапные кратковременные изменения элементов земного магнетизма (возмущения) называются магнитными бурями, возникновение которых обусловлено северными сияниями и количеством пятен на Солнце. При этом наблюдаются изменения склонения в умеренных широтах до 7°, а в полярных областях — до 50°.

В некоторых районах земной поверхности склонение резко отличается по величине и знаку от его значений в прилегающих точках. Это явление носит название магнитной аномалии. На морских картах указывают границы районов магнитной аномалии. При плавании в этих районах необходимо внимательно следить за работой магнитного компаса, так как точность работы нарушается.