Как привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду

Анал_Геом / Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

В главе «Поверхности второго порядка», где рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее уравнение (13.1), а дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом

где — числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,

Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу

Эта матрица называется матрицей квадратичной формы . Она является симметричной, то есть , или, другими словами, . Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах — половины коэффициентов при произведениях переменных.

Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными столбцами , задается формулой . Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.

Теорема 19.4 Если матрица — симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Пусть — матрица квадратичной формы . По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их , , , и пусть эти векторы имеют координаты

Базис i, j, k назовем старым, а базис — новым. Тогда матрица перехода 19.1.4.а будет иметь вид

Выберем новую систему координат так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы , , задают направления новых координатных осей , , (рис. 19.8).

Рис.19.8.Система координат

Тогда координаты точки являются координатами ее радиус-вектора и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле (18.1)

Теорема 19.5 Пусть собственные векторы , , матрицы квадратичной формы , образующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам , , . Тогда в системе координат квадратичная форма принимает вид

Если мы из равенства (19.8) выпишем выражение , , через новые переменные , , и подставим в уравнение (19.7), то обнаружим, что квадратичная его часть и линейная часть преобразуются независимо друг от друга. В результате уравнение в системе координат имеет вид

Хотя бы одно из чисел , , отлично от нуля, иначе матрица была бы нулевой.

Рассмотрим три случая.

1. Пусть все собственные числа , , отличны от нуля. В уравнении (19.9) выделим полные квадраты

Выполним параллельный перенос системы координат , взяв за новое начало системы координат точку (см. формулы (13.21)). Тогда в новой системе координат уравнение запишется в виде Здесь возможны следующие варианты.

1. Пусть . Перенесем в правую часть и поделим обе части на , получим

1. Если числа , , отрицательны, то ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению. Говорят, что оно определяет мнимый эллипсоид.
2. Если числа , , положительны, то уравнение является каноническим уравнением эллипсоида.
3. Если одно из чисел , , отрицательно, а остальные положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
4. Если одно из чисел , , положительно, остальные отрицательны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
1. Пусть .
   1. Если все числа , , положительны, то только начало координат удовлетворяет этому уравнению. Поверхность выродилась в точку.
   2. Если одно из чисел , , отрицательно, а два положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение конуса.

Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения на , получим случай 2 или случай 1.

1. Пусть одно из чисел , , равно нулю, а два других отличны от нуля. Допустим, что . Тогда в уравнении (19.9) выделим полные квадраты по переменным ,

1. Пусть . Преобразуем уравнение к виду

Поделим обе части уравнения на и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало координат точку . Получим уравнение

1. Если числа и положительны, то это — каноническое уравнение эллиптического параболоида.
2. Если , , получим каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Если числа и отрицательны или , , то сменим направление у оси на противоположное и получим либо случай 1, либо случай 2.

1. Пусть . Тогда поверхность является цилиндрической, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскости с уравнением

Анализ поверхностей с таким уравнением предоставляем читателю.

1. Пусть только одно из чисел , , отлично от нуля. Допустим, что . Тогда в уравнении (19.9) выделим полный квадрат по переменному

1. Пусть хотя бы одно из чисел , отлично от нуля. Тогда на плоскости возьмем две перпендикулярные прямые и . Возьмем новую систему координат, у которой начало будет в точке , ось направлена по оси , ось направлена вдоль второй прямой, а ось направлена вдоль первой прямой. Тогда уравнение примет вид

Это — уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскости с уравнением Анализ возможных поверхностей оставляем читателю.

1. Пусть . Тогда уравнение принимает вид

1. Если число справа положительно, то уравнение определяет две плоскости

1. Если число справа равно нулю, то уравнение определяет одну плоскость

1. Если число справа отрицательно, то ни одна точка пространства уравнению не удовлетворяет.

Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково ее положение в пространстве. Пример19.11 Приведите уравнение поверхности к каноническому виду. Решение. Квадратичная форма имеет вид Выписываем ее матрицу Находим ее собственные числа. Для этого запишем характеристическое уравнение После вычисления определителя получим Подбором находим один корень . Преобразуем уравнение, выделяя множитель или откуда Находим два других корня характеристического уравнения и . Находим собственные векторы. Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений Решая ее находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять . Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений Отсюда находим собственный вектор . Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений Отсюда находим собственный вектор . Легко проверить, что , то есть собственные векторы попарно ортогональны. Их длины равны соответственно , , . Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты Матрица перехода имеет вид Старые координаты связаны с новыми уравнением , то есть

(19.10)

Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа Приводим подобные члены Выделим полные квадраты или Выполняем параллельный перенос осей координат Новое начало системы координат имеет координаты В исходной системе координат точка в соответствии с формулами (19.10) имеет координаты Рис.19.9.Система координат В новой системе координат (рис. 19.9) уравнение принимает канонический вид Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его центр находится в точке , две вещественные оси параллельны векторам , , вещественные полуоси равны , . Мнимая ось параллельна вектору , мнимая полуось равна . Изображение гиперболоида приведено на рисунке 19.10. Рис.19.10.Изображение гиперболоида

Как привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду

Назад Оглавление Вперед
Дано уравнение кривой второго порядка . (1)
Пример:

ШАГ ПЕРВЫЙ
Если в уравнении коэффициент , т.е. присутствует слагаемое со смешанным произведением , то необходимо перейти к такой системе координат , в которой, уравнение (1) после преобразования не содержало бы слагаемое .
Это делается при помощи поворота системы координат на некоторый угол , т.е. координаты заменяются по формулам:

Значение этого угла можно найти, решив уравнение
,
или, оно же в другом виде
.

Замечание: Как правило, решением тригонометрического уравнения является группу углов, повторяющихся с определенной периодичностью. Для того, чтобы определить угол поворота для системы координат, следует выбрать любой понравившийся из полученного множества.

Замечание: Предположим, что для решения выбрано первое уравнение, но в исходной записи кривой . Неопытный человек начинает паниковать, т.к. в знаменателе оказывается ноль, а на ноль в школе делить запрещали и т.д. и т.п. Опытный же тригонометривед, знакомый с азами математического анализа и теории пределов вспомнит, что:
.

Пример:

Выберем корень уравнения с «плюсом»

Казалось бы, все хорошо, тангенс угла найден. Но в замене нужны синус и косинус! Что же делать. Следует воспользоваться тригонометрическими формулами

Знак выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол, а, так как без разницы на какой угол поворачивать систему координат, лишь бы смешанное произведение ушло, то выберем «+».

Замена:

Вывод: Слагаемых нет.

ШАГ ВТОРОЙ
На данный момент имеется: (смешанных произведений координат нет.)
Пример:

Теперь, для каждой переменной, для которой коэффициенты при квадрате и при первой степени ненулевые следует применить выделение полного квадрата:

И сделать соответствующую замену:

Уравнение примет вид:

Пример:

Вывод: Уравнение примет вид:

ШАГ ТРЕТИЙ, ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ.

Итак, имеется уравнение

Пример:

Остались последние алгебраические преобразования:

После чего можно определять тип кривой второго порядка по таблице, приведенной на предыдущей странице.

Пример:

Это эллипс , полуоси .

Вывод:
Для того, чтобы привести кривую второго порядка к каноническому виду и определить тип кривой было сделано две замены:
1)
, которая повернула систему координат на угол
2) — сдвинувшая начало координат.
Объединим замены:

Заметим, что начало координат окончательной системы координат расположено в точке с координатами .

Понравилась статья?

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2018

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Белугин В.А. 1 , Ефимцева И.Б. 1
1 ФГБОУ ВО «Курский государственный университет», колледж коммер-ции, технологий и сервиса
Работа в формате PDF

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

1. Преобразование квадратичной формы.

Пусть уравнение поверхности 2 порядка записано в общем виде:

Сумма первых 6 слагаемых наз. квадратичной формой

от переменных x, y, z.

Её можно записать в виде произведения матриц:

( Проверяем, умножая матрицы на доске.)

Сумма следующих 3 слагаемых наз. линейной формой

L(x, y, z) = a₁x + a₂y + a₃z. Её также можно записать как произведение матриц:

Обозначим матрицы A = , B = .

2. Уравнение поверхности в матричной форме.

Теперь запишем уравнение поверхности в матричной форме:

Так как матрица А, по построению, симметрическая, то к ней можно применить следствие 2 теоремы 5 прошлой лекции:

Согласно этому следствию,

О t ∙А∙О = , где λ₁, λ₂ λ₃ – собственные числа матрицы А, столбцы матрицы О являются соответствующими собственными векторами и образуют ортонормированный базис

в пространстве R 3 .

Перейдём к новой системе координат X₁ Y₁ Z₁ , взяв в качестве нового базиса . Так как начало координат не меняется и переход делается от ортонормированного базиса к ортонормированному, то это преобразование наз. поворотом осей.

Переход от старых координат к новым и обратно, как показано ранее, будет производиться по формулам

Подставляя в уравнение поверхности выражение старых координат через новые, получим:

Обозначая B₁ = B∙O = ( b_1b2b3 ) и подставляя

О t ∙А∙О = , получаем уравнение поверхности в новой системе координат:

3. Параллельный перенос

Следующий этап наз. параллельным переносом системы координат. Целью последущего выбора ещё одной системы координат – избавиться в уравнении поверхности от слагаемых b₁∙x₁ + b₂∙y₁ + b₃∙z₁.

Рассмотрим сначала случай, когда λ₁ ≠ 0, λ₂ ≠ 0, λ₃ ≠ 0 ( эллип-соид, однополостный и двуполостный гиперболоиды)

Тогда можно также записать

Теперь делаем переход к новой системе координат X₂ Y₂ Z₂

Этот переход наз. параллельным переносом или сдвигом осей:

( При сдвиге x₂ = x₁ + 2 ось координатная плоскость Y₁ Z₁ сдвигается вдоль оси X₁ на 2 влево). Подставляем выражения старых координат через новые, получаем уравнение поверхности в виде:

Если p₀ = 0, то получится или конус, или одна точка. Пусть

p₀ ≠ 0. Переносим p₀ в правую часть и делим всё уравнение на

— p₀. Перебрасываем также в знаменатели числа λ₁ , λ₂ , λ₃ , заменяя их обратными. Получаем уравнение

(-р₀/λ₃), можно получить эллипсоид, двуполостный гиперболоид, однополостный гиперболоид или же мнимый эллипсоид ( когда все числа отрицательны).

В случаях, когда одно из чисел λ₁, λ₂, λ₃ равны нулю, приходим к эллиптическому или гиперболическому параболои-дам, или же к эллиптическому и гиперболическому цилиндрам.

В случаях, когда два из чисел λ₁, λ₂, λ₃ равны нулю, приходим к параболическому цилиндру, к 2 точкам, 1 точке или 2 мнимым точкам.

Найти координаты центра, направления осей симметрии, тип и параметры поверхности, заданной уравнением

xy + xz + yz + x + y + z = 1

Запишем уравнение в матричной форме

Найдём собственные числа матрицы квадратичной формы:

Решаем характеристическое уравнение

. Нет необходимости раскрывать определитель, так как сразу видно, λ₁ = 1, λ₂ = λ₃ = — 0.5 ( Пояснить, если не понятно студентам, ссылаясь на свойства определителя).

Найдём соответствующую ортонормированную тройку из собственных векторов А.

λ₂ = λ₃ = — 0.5. Вектор находим как одно из ненулевых решений уравнения 0.5x + 0.5y + 0.5z = 0, например ( 1 1 -2 ). Вектор найдём по формуле (объяснить, если аудитории не понятно). Получаем = ( -9 9 0 ). Нормируем полученные векторы и получаем

Решён один из пунктов поставленной задачи: найдены направления осей симметрии поверхности (пояснить, если не понятно).

Запишем уравнение поверхности в новых координатах после поворота осей.

Перемножая матрицы, получим:

Делаем перенос начала системы координат в центр фигуры.

Подставляем x₁ 2 + x₁ = (х₁ + ) 2 – 0.75 в уравнение:

Записываем формулы перехода к новой системе координат, делим уравнение на 1.75, и получаем каноническое уравнение.

Получилось каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения (вращение вокруг оси X₂).

Найдём координаты центра гиперболоида в первоначальной системе координат XYZ. Находим координаты центра:

Найти направления осей симметрии, координаты центра и размеры эллипса, заданного уравнением

2x 2 + y 2 – 2xy – 4x + 6y – 5 = 0.

Тогда ( если не ясно, пояснить). (Пояснить выбор знака, чтобы был поворот без отражения).

Переходим в уравнении к новым переменным:

0.382x₁ 2 + 2.618y₁ 2 + ( — 4 6 ) — 5 = 0,

Выделяем полные квадраты

0.382(x₁ + 3.93) 2 + 2.618(y₁ + 1.24) 2 = 15.2.

Размеры эллипса а = 6.3, b = 2.4. Найдём координаты центра

Изобразим на графике:

Список использованных источников:

Как привести уравнение линии второго порядка
к каноническому виду?

Задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду следовала за нами практически с самого начала изучения темы и сейчас мы окончательно разберёмся, как общее уравнение линии второго порядка (здесь и далее подразумевается, что не равны одновременно нулю) свести к одному из девяти канонических случаев.

В статьях об эллипсе, гиперболе и параболе, а также на практикуме Задачи с линиями второго порядка очень подробно отработан частный случай уравнения, когда коэффициент :

Пожалуйста, внимательно посмотрите на своё уравнение, которое вам нужно привести к каноническому виду – есть ли в нём слагаемое, которое содержит произведение ?

Если такого слагаемого нет, то вам хватит материалов перечисленных выше уроков.

Если же такое слагаемое есть – то не хватит =)

Как многие подметили, члены общего уравнения «отвечают» за параллельный перенос линии, который имеет место, когда хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. И логично предположить, что ненулевое слагаемое «отвечает» за поворот линии. Исключение составляет угол в 90 градусов (а также любой кратный ему угол, например ), при повороте на который мы отделываемся лёгким испугом, укладываясь в рамки хорошо отшлифованного частного случая . Простейший пример поворота на «нехороший» угол нам уже встречался – это неканонически расположенная «школьная» гипербола (см. Пример 5 статьи Гипербола и парабола).

Уравнение с ненулевым коэффициентом «бэ» неприятно тем, что в общем случае его невозможно привести к каноническому виду с помощью обычных средств алгебры: переноса слагаемых, их группировки, вынесений за скобки, выделения полных квадратов и прочей школьной самодеятельности. Поэтому на помощь приходится привлекать более мощные методы решения.

Рассмотрим в качестве примера уравнение . Какие будут идеи? …Да ладно с ними, с идеями, тут даже не понятно, какую линию оно задаёт. Эллипс? Гиперболу? Параболу? Что-то другое из классификации?

Немного потраченного времени, и вы научитесь довольно легко находить ответы на эти вопросы, в частности, без особых проблем сможете определить, что данное уравнение определяет эллипс с полуосями , который расположен центром в точке и повёрнут относительного своего канонического положения на отрицательный угол, составляющий примерно :

Мысленно возьмите эллипс в руки, поверните его на любой угол и переместите в произвольное место плоскости. Новому положению эллипса будет соответствовать совершенно другое уравнение, и если вам предъявить его без чертежа, то никто в жизнь не догадается, что оно определяет тот же самый эллипс. Именно поэтому и появилась задача приведения уравнения к каноническому виду – чтобы независимо от расположения линии выяснить, что это за зверь и каким нравом он обладает.

На предыдущих уроках я рассматривал два способа приведения. Применительно к нашему примеру:

1) Повернём эллипс на (против часовой стрелки) вокруг точки и осуществим его параллельный перенос центром в начало координат. В результате получится нужное уравнение .

2) Перейдём к прямоугольной системе координат , которая получается путём поворота исходной системы координат на вокруг начала координат и её параллельного переноса центром в точку . Таким образом, в новой системе координат уравнение данного эллипса запишется в каноническом виде: .

Прошу прощения за невысокое качество и точность чертежей данной статьи:

Навскидку второй способ кажется вычурным и неуклюжим, однако, если немного призадуматься, то он более корректен. И толстый намёк на это уже проскочил чуть выше: куда бы мы ни переместили данную линию, какую бы систему координат ни выбрали – эллипс останется тем же самым эллипсом с полуосями , своими фокусами и другими индивидуальными характеристиками.

У многих читателей в пределах досягаемости находится учебник по высшей математике. Пусть это будет его каноническое положение в исходной системе координат. Книгу можно положить на стол, на стул, на кровать, под кровать, в мусорное ведро – да куда угодно. Но учебник останется при этом тем же самым учебником.

То есть, с позиций математики координатная сетка относительна и вторична по отношению к тому или иному объекту. Следовательно, вполне логично и правомерно тревожить именно систему координат, а не «уникальный» эллипс, учебник или что-то ещё. Конечно, с точки зрения физики положение тела имеет большое значение,… …пожалуй, сверну комментарий, а то сейчас набегут любители философии и устроят дискуссию =)

Суть преамбулы состоит в том, что на данном уроке мы будем приводить уравнение линии 2-го порядка путём перехода к новой прямоугольной системе координат, в которой уравнение исследуемой линии примет канонический вид.

Существует несколько практических методов приведения уравнения линии к каноническому виду, причём, некоторые из них являются достаточно трудными. Я постараюсь составить максимально простой конспект, доступный человеку с любым уровнем подготовки.

Все линии 2-го порядка можно разделить на две большие группы:

1) центральные линии, обладающие единственным центром (точкой) симметрии (эллипс, мнимый эллипс, гипербола, пара мнимых или действительных пересекающихся прямых);

2) нецентральные линии, у которых центры симметрии отсутствуют (парабола) либо их бесконечно много (пара действительных или мнимых параллельных прямых, пара совпавших прямых).

Итак, вы счастливый обладатель общего уравнения с ненулевым коэффициентом . С чего начать? На первом шаге целесообразно выяснить, к какой группе относится линия. Для этого нужно мысленно либо на черновике составить и вычислить определитель . Если , то перед нами уравнение центральной линии, если же – то нецентральной.

Для уравнения :
, значит, оно определяет центральную линию.

Зачем это нужно? Чтобы подобрать наиболее выгодный способ решения. Конечно, если ваш преподаватель требует строго придерживаться определённого шаблона, то ничего не поделать…. Тем не менее, я постараюсь провести вас самой комфортной и короткой тропинкой через дебри.

Для приведения уравнения центральной линии, по моему мнению, лучше всего использовать метод инвариантов. Но, к сожалению, он перестаёт работать в нецентральном случае, поэтому на помощь придётся привлечь достаточно трудоёмкий универсальный способ решения либо ортогональное преобразование квадратичной формы (однако тут уже нужно ориентироваться в другой теме). Сначала разберём одно, затем другое, и даже если вам нужно разобраться только с нецентральной линией, постарайтесь не пропускать первый параграф, поскольку вся информация взаимосвязана:

Приведение уравнения центральной линии. Метод инвариантов

Во-первых, разберёмся с термином. Инвариант – это величина, которая остаётся неизменной при тех или иных преобразованиях.

Простейший пример геометрического инварианта – это длина отрезка относительно его параллельного переноса. В результате данного преобразовании меняются координаты концов отрезка, но его длина остаётся неизменной (инвариантной).

В частности, длина и ширина учебника по высшей математике (который можно положить на стол, на стул, на кровать, под кровать, в мусорное ведро) – это инварианты относительно перемещения книги в пространстве. А вот если ненавистный томик… чего студент боится больше всего? …матана порвать в клочья, то его размеры уже перестанут быть инвариантами относительно этих механических повреждений =) Но инвариантом останется сам математический анализ. Так что рви, не рви, а осваивать его придётся =)

Однако вернёмся к нашему демонстрационному уравнению . Очевидно, что можно выбрать бесконечно много других прямоугольных систем координат и получить бесконечно много разных уравнений вида , которые задают один и тот же эллипс. И возникает вопрос: а есть ли у этого множества уравнений что-то одинаковое, характерное только для данной линии? Иными словами, есть ли инварианты?

Да, есть! Если уравнение линии 2-го порядка задано общим видом в некоторой прямоугольной системе координат, то инвариантами относительно поворота и параллельного переноса прямоугольной системы координат являются следующие ЧИСЛА:

– сумма коэффициентов при

и ещё один определитель:

Рассмотрим общее уравнение линии 2-го порядка и поставим задачу подобрать новую прямоугольную систему координат ТАК, чтобы уравнение данной линии приняло вид (который элементарно сводится к канонической форме). Заметим попутно логичную вещь – коэффициенты итогового уравнения, «отвечающие» за поворот и параллельный перенос равны нулю:

Поскольку инварианты (числа) НЕ ЗАВИСЯТ от коэффициентов того или иного уравнения, которым задана конкретная исследуемая линия, то справедливыми являются следующие равенства:

откуда следует простой и изящный алгоритм решения нашей задачи:

1) Из исходного уравнения находим числа .
2) Решаем систему и записываем уравнение , которое легко приводится к каноническому виду. При этом координаты нового начала координат отыскиваются как решение системы линейных уравнений , а угол «альфа» поворота новой системы координат относительно старой системы координат – из уравнения . В случае угол равен либо , либо , и это недостаток формулы. Но это не беда. Потому что есть другая формула: .

Таким образом, решение нашей задачи укладывается в стройную и понятную схему, доступную даже школьнику. Выясним же, наконец, как из потрёпанного уравнения получается канонический эллипс :

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Найти начало соответствующей системы координат и угол её поворота

Решение: перейдём к новой прямоугольной системе координат , в которой уравнение данной линии примет вид .

На первом шаге из исходного уравнения находим коэффициенты .
В тетради это удобно сделать следующим образом:

Здесь важно не потерять «минусы», а также не забыть разделить пополам нужные числа. Кроме того, некоторые слагаемые уравнения могут отсутствовать, и тогда соответствующие коэффициенты будут равны нулю – не спешим и не путаемся!

В нашем случае всё на месте и, соответственно, все коэффициенты ненулевые:

Последний определитель выгодно раскрыть с помощью элементарного преобразования, прибавив к третьей строке первую строку:

Инварианты найдёны, составим и решим систему:

Из последних двух уравнений сразу просматривается значение коэффициента :
поскольку , то, подставляя это произведение в 3-е уравнение, получаем:

Но его обычно оставляют на закуску, тут важно разобраться с другими коэффициентами. Есть длинный путь, и есть короткий путь.

Путь длинный: из 1-го уравнения выражаем – подставляем во второе уравнение:

В результате получается два комплекта симметричных корней:

Путь короткий, к которому я рекомендую пристреляться, в том числе, и чайникам. Это подбор корней. Смотрим на первые два уравнения системы: . Прикидку можно делать либо по первому уравнению, либо по второму, кому как удобнее. Лично я привык ориентироваться по сумме коэффициентов. Правдоподобных вариантов здесь не так и много:
0 и 50
10 и 40 – удовлетворяет и первому и второму уравнению
20 и 30
30 и 20
40 и 10 – симметричная пара корней
50 и 0

Как видите, на подходящую пару чисел мы «натыкаемся» практически сразу. В силу симметричности уравнений решением будут являться и «зеркальные» значения 40 и 10.

Таким образом, в нашем распоряжении оказывается два набора корней:

Не забываем выполнить проверку, подставив значения первого (можно второго) комплекта в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части исходных уравнений, что и требовалось проверить.

Теперь мысленно либо на черновике следует выяснить, какое решение приведёт нас к желаемому результату.

Подставляем в уравнение :

Техника завершающих преобразований хорошо знакома из предыдущих уроков об эллипсе, гиперболе и параболе:

– эллипс с центром в точке , большой полуосью , малой полуосью .

Такой фразы будет достаточно – нас никто не спрашивал про фокусы, эксцентриситет и другие характеристики линии.

Всё вышло удачно с первой попытки. Если в уравнение подставить второй набор корней , то получится неканоническая запись того же эллипса – повернутого на 90 градусов. Случай такого поворота я рассмотрел ещё в ознакомительных материалах про эллипс.

Координаты начала новой системы координат найдём как решение системы:

Первое уравнение умножим на 9, второе уравнение умножим на 13 и из 2-го уравнения почленно вычтем 1-е (проще способа не видно):

Найдём угол поворота новой системы координат относительно старой:

Или по второй, более лёгкой, но почему-то менее распространённой формуле:

В том случае если по условию необходимо выполнить чертёж – выполняем чертёж, приведённый в начале урока. Впрочем, мне нетрудно скопипастить:

Ввиду сложности чертежа вполне допустимо его схематичное оформление, однако всё-таки постарайтесь, чтобы рисунок был похож на правду.

В лайт-варианте можно изобразить только систему координат и эллипс в горизонтальном положении, но тогда могут возникнуть вопросы у преподавателя. Да, и ещё момент – при таких раскладах координаты центра запишутся в новой системе координат: , что вызовет дополнительную путаницу.

Ответ: – эллипс с полуосями – в системе координат с началом в точке , повёрнутой относительно исходной системы координат на угол .

Это мы рассмотрели так называемый эллиптический случай, когда коэффициенты – отличны от нуля и одного знака (оба положительны либо оба отрицательны), т.е. когда их произведение .

Но при таком раскладе может получиться не только эллипс. Если все три коэффициента одного знака, то получится мнимый эллипс. Условно говоря, если бы мы в рассмотренной задаче получили уравнение , то пришли бы к уравнению . Причём, весь алгоритм и порядок оформления остались бы прежними + приятный бонус – отсутствие чертежа, поскольку мнимый эллипс остаётся разве что мнить =)

Ещё одна разновидность эллиптического случая – нулевой свободный член: , предвестником которого является нулевой третий инвариант . И действительно, из 3-го уравнения системы следует, что если и , то нулю может быть равен только коэффициент «эф первое». Условно говоря, в нашей задаче получилось бы уравнение , которое легко сводится к пункту № 6 классификации линий 2-го порядка: – пара мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой их пересечения – с нулевыми координатами новой системы координат .

Предлагаю самостоятельно ознакомиться с гиперболическим случаем:

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Найти начало соответствующей системы координат, угол её поворота и выполнить чертёж.

После краткого образца решения есть важные дополнительные комментарии.

Во второй части статьи рассмотрим параболический случай , где по очевидной причине метод инвариантов становится непригодным:

Приведение нецентральной линии к каноническому виду

Сейчас мы освоим универсальный метод решения, который приближен к соответствующему теоретическому материалу стандартного курса аналитической геометрии. Таким образом, разобранные ниже задачи помогут сориентироваться не только в практике, но и лучше понять теорию.

Классический алгоритм приведения уравнения к каноническому виду вкратце состоит в следующем:

На первом шаге выясняется угол поворота исходной линии относительно своего канонического положения и осуществляется поворот исходной системы координат на данный угол. В результате в новой прямоугольной системе координат уравнение исследуемой линии записывается в виде:

На втором шаге выделяются полные квадраты (при необходимости), и проводится параллельный перенос системы координат началом в нужную точку . После чего в итоговой прямоугольной системе координат получается уравнение , от которого до канонической формы рукой подать.

Должен отметить неудачные обозначения со штрихами, но так принято практически во всех учебниках, и сейчас я буду придерживаться стандарта (ну, или почти придерживаться), поскольку немалой части аудитории нужно сдавать теорию. Штрихи, как вы поняли, к производным функциям никакого отношения не имеют. В предыдущем параграфе я намеренно использовал обозначения вместо и чтобы не привить «чайникам» отвращение к теме.

Таким образом, универсальный способ приведения к линии 2-го порядка к каноническому виду предполагает два последовательных преобразования прямоугольной системы координат – поворот и параллельный перенос:

Как, наверное, все уже догадались и горестно вздохнули, удобный метод инвариантов позволял получить то же самое одним махом:

Но в параболическом случае мы вынуждены выехать с тихой просёлочной дороги метода инвариантов на оживлённую автостраду общего способа решения:

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Решение: в первую очередь выясним тип линии. Вычислим определитель, составленный из коэффициентов :

, значит, у нас нецентральная линия и это может быть или парабола, или пара параллельных прямых (действительных либо мнимых), или пара совпавших прямых.

1) Осуществим поворот исходной системы координат и переход к новой системе координат ТАК, чтобы получить уравнение вида (без слагаемого, «отвечающего» за поворот).

Искомый угол поворота найдём по формуле:
или

Внимание! Данная формула справедлива только для параболического случая ().

В нашем примере: .

Вообще говоря, очевиден корень , но здесь есть одна тонкость. Наверняка многие обратили внимание на тот факт, что если линию 2-го порядка (например, гиперболу) повернуть на 180 градусов, то она совпадёт сама с собой. Исключение составляет капризная парабола, ветви которой развернутся в противоположную сторону. А парабола у нас вполне может нарисоваться, поэтому, необходимо взять на заметку ещё один угол: , или, что то же самое: .

Если осуществляется поворот прямоугольной системы координат на произвольный угол «альфа» и переход к новой системе координат , то формулы перехода от старых координат к новым координатам аналитически выражается следующей системой:

, где «альфа» – угол данного поворота.

Из тригонометрических формул нетрудно выразить синус и косинус через известный нам тангенс, однако выражения получаются не однозначными:

И сложившейся ситуации вполне прагматичным решением будет привлечь на помощь метод научного тыка. Не теряя времени, начинаем работать непосредственно с углом «альфа» и используем формулы . В результате дальнейших действий может получиться неканоническое уравнение (а это возможно в единственном случае – когда исследуемое уравнение задаёт параболу и та оказывается развёрнутой в другую сторону). Тогда следует рассмотреть противоположный угол поворота системы координат, при этом значение тангенса угла останется тем же самым: , но формулы сменят знаки:
.

Итак, для угла выбираем первый комплект формул:

Подставим найденные (к слову, табличные) значения в аналитические выражения поворота :

Теперь подставим и в исходное уравнение :

Нет причин в ужасе закрывать глаза ладонями – это ещё далеко не самое страшное, что может встретиться. Аккуратно-внимательно используем формулы сокращённого умножения, раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые. И НЕ ТЕРЯЕМ ШТРИХИ:

Очень многое взаимоуничтожается, и в первую очередь, конечно же, «убирается» поворот (слагаемое, содержащее произведение ):

По всем признакам получается как раз парабола. Сократим каждое слагаемое на 2 и перебросим некоторые из них в правую часть:

Перед слагаемым, содержащим «икс штрих», нарисовался знак минус, и это плохо. Для лучшего понимания я проиллюстрирую выполненные действия готовым чертежом:

В результате поворота исходной системы координат вокруг точки на 45 градусов, мы перешли от уравнения к уравнению в новой системе координат . Но загвоздка состоит в том, что ветви параболы направлены «в противоход» оси (наклоните головы влево на 45 градусов), о чём нам и сообщил знак «минус» при переменной нового уравнения.

Таким образом, выясняется, что поворот исходной системы координат следовало осуществить на угол . Ну что делать, не повезло, парабола запросто могла ведь «смотреть и в нужную сторону»….

Начинаем всё сначала. Тангенс правильного «кандидата» тоже равен единице, и мы подставляем значение в резервный комплект формул:

Подставим значения в уравнения поворота:

И, наконец, подставим в исходное уравнение :

В качестве некоторой компенсации за наши мучения, для уравнения нецентральной линии существует эксклюзивная фишка, которую можно использовать как в целях самопроверки, так и по причине банальной лени. В результате рассматриваемой подстановки сумма упрощается до , где – старый знакомый инвариант. Таким образом, громоздкая сумма первых трёх слагаемых превратится в :

Но при оформлении, конечно, желательно всё расписать подробно, как мы это сделали в ходе предыдущей неудачной попытки.

Доводим уравнение до кондиции:

Ну вот, так бы сразу:

Проведём очередную разминку и заодно спасём от онемения пятую точку. Пожалуйста, встаньте лицом к монитору и наклонитесь вправо на 90 градусов. Теперь поверните голову ещё на 45 градусов в том же направлении и полюбуйтесь почти канонической параболой.

2) Осталось откалибровать уравнение до канонического вида параллельным переносом системы координат. Это значительно проще. Выделяем полный квадрат:

Таким образом, вершина параболы расположена в точке – ВНИМАНИЕ, это координаты точки в новой системе координат . В позе страуса с наклоном головы вправо на 135 градусов можно отчётливо разглядеть, что у вершины параболы именно такие координаты!

Путём параллельного переноса системы координат началом в точку перейдём к новой системе координат . Аналитически данное действие выражается заменами , в результате которых получается долгожданное каноническое уравнение:

Выполним окончательный чертёж. Оси совпали, но это воля случая:

Страусы одобряют =)

Ответ: данная линия представляет собой параболу, каноническое уравнение которой получается путём поворота системы координат вокруг своего начала на и её дальнейшим параллельным переносом в точку .

Существует ли способ проще? Существует! Изучайте квадратичные формы и урок об их ортогональном преобразовании, на котором решение этой задачи получилось заметно короче!

Также интересно отметить, что для параболы метод инвариантов, хоть и не работает, но тоже позволяет найти её каноническое уравнение. Во-первых, полезно запомнить характеристический признак: уравнение линии 2-го порядка, инварианты которого удовлетворяют условиям , задаёт параболу и только её.

Представьте, что вы видите уравнение в первый раз. Да… с оттенком черного юмора получилась фраза =) Выпишем коэффициенты и вычислим инварианты:

, следовательно, данное уравнение определяет именно параболу, а не какую-то другую линию.

И, во-вторых, найденные инварианты позволяют найти фокальный параметр параболы по формуле:

Желающие могут использовать данный путь для самопроверки или даже в качестве основного решения в критической ситуации – когда не получается найти уравнение параболы стандартным способом, но жизненно важно родить хоть что-то. Кроме того, нетрудно найти угол поворота, а там, глядишь, и прокатит.

Следующий пример для самостоятельной разработки:

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Выполнить чертёж, на котором отразить все преобразования системы координат.

Краткий алгоритм решения с повторением важных моментов чуть ниже, а примерный образец оформления задачи – в конце урока.

Следует отметить, что на практике достаточно популярна урезанная версия задачи. Случай, когда нужно выполнять только параллельный перенос, досконально изучен на предыдущих уроках, но бывает и так, что необходимо осуществить только поворот системы координат.

Так, например, в уравнении отсутствуют слагаемые, «отвечающие» за параллельный перенос. Угол поворота системы координат находится элементарно: , и, более того, с помощью «ускорителя» легко узнать итоговое уравнение:

– две параллельные прямые. Ещё раз подчёркиваю, что полученное уравнение имеет место в новой системе координат , повёрнутой относительно исходной системы на угол , и, соответственно, прямые будут параллельны новой оси .

Полезно знать, что вырожденное уравнение параболического типа несложно выразить в явном виде и в исходной системе координат, поскольку проходят тривиальные алгебраические преобразования. Например:

Полученный результат удобно использовать для самопроверки и выполнения чертежа.

Что касается инвариантов, то дела тут обстоят хуже. Если для параболы мы ещё смогли вытянуть некоторую информацию из инвариантов, то здесь будем созерцать малополезный набор .

Систематизируем порядок действий в параболическом случае::

1) Из формулы или находим угол поворота исходной системы координат :

2) Для данного угла «альфа» рассчитываем . При этом проводим максимальные упрощения: выносим из-под корней всё, что можно вынести, и избавляемся от многоэтажных дробей, если таковые образовались.

3) Подставляем найденные значения в формулы поворота .

4) Подставляем найденные выражения поворота в исходное уравнение , внимательно раскрываем все скобки и приводим подобные слагаемые, в результате чего в новой системе координат должно получиться уравнение вида , где .

4*) Примерно в 15% случаев (с нецентральной линией) может получиться уравнение, которое определяет параболу, развёрнутую относительно своего канонического положения (положительного направления оси ) на 180 градусов. Тогда следует вернуться к Пункту 2 алгоритма, рассмотреть противоположный угол поворота и использовать формулы , не забывая, что само значение тангенса осталось таким же: .

5) В полученном уравнении выделяем полный квадрат (если необходимо), в результате чего должно получиться уравнение вида , где – некоторые константы. И, наконец, после параллельного переноса системы координат началом в точку (замен и перехода к окончательной системе координат ) наша цель достигнута:

6) Чертёж. Повторюсь, что во многих случаях пойдёт и схематическая версия, поскольку рисовать линии 2-го порядка под градусом – занятие нелёгкое.

И в заключение коротко об общем алгоритме решения, который годится для всех случаев, и из которого, собственно, следуют все рассмотренные выше схемы:

1) По уравнению составляем характеристическое уравнение , где , – старые знакомые инварианты.

2) Решаем квадратное уравнение и находим его корни . При любых раскладах это будут действительные корни.

3) Данные корни определяют два угла поворота системы координат, вычисляем их тангенсы:

Теперь нам нужно выбрать нужный угол (тот, который приведёт к каноническому виду). Выбор осуществляем на черновике, методом «практического тыка». Опытные читатели могут провести анализ в уме или даже сразу «увидеть» желаемый вариант.

4) Начинаем с 1-го угла. Берём значение и рассчитываем косинус и синус этого угла: . Найденные значения подставляем в формулы поворота: .

5) Подставляем и в исходное уравнение и проводим упрощения. Если всё сделано правильно, то должно получиться уравнение вида:
в системе

Но это может оказаться неканоническое уравнение, и тогда пункты 4, 5 следует проделать для второго угла. Кроме того, в случае с параболой есть ещё одна заморочка с углами, которую я подробно осветил в Примере 3.

6) В уравнении выделяем полные квадраты: и с помощью замен (параллельного переноса системы в точку ) переходим к уравнению в системе . Образец сего действия неоднократно встречался ранее, в частности, в том же Примере 3.

7) Доводим уравнение до ума – чтобы получилось одно из девяти канонических уравнений.

Основная трудность общего способа состоит в его длительности и трудоёмкости, но любители сложностей могут потягать им Примеры № 1, 2. Ну а некоторые оказываются любителями поневоле 🙂 – на первом курсе Физмата мне «повезло» с билетом по аналитической геометрии и я где-то 3 часа мучался с поворотом линии 2-го порядка, решая задачу в общем виде. Поэтому сейчас было бы просто кощунственно скрыть от вас эти знания!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: приведём данной линии к каноническому виду в новой системе координат .

Из уравнения находим коэффициенты:

Вычислим инварианты:

Примечание: последний определитель выгоднее раскрыть по 3-й строке либо 3-му столбцу.

Составим и решим систему:

Из 1-го уравнения выражаем – подставляем во второе уравнение:

Таким образом, получаются две пары корней:

Примечание: решение несложно найти и подбором.

Подставим в третье уравнение системы:

Подставляем (сначала мысленно либо на черновике!) значения в уравнение :

В результате получена неканоническая запись гиперболы (см. материалы параграфа о повороте гиперболы), т.е. первый набор корней нас не устраивает.

Подставляем второй комплект корней :

– гипербола с центром в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью .

Примечание: опытный читатель сразу выберет 2-й комплект корней – из тех соображений, что у итогового уравнения коэффициент при должен оказаться положительным.

Координаты начала новой системы координат найдём из решения системы:

Таким образом:

Найдём угол поворота новой системы координат относительно старой.
Так как , то формула не даёт однозначного ответа об угле поворота. Поэтому используем формулу:

Выполним чертёж:

Ответ: – каноническая гипербола с полуосями в системе координат с началом в точке (координаты старой системы), повёрнутой относительно исходной системы координат на угол .

Дополнительная информация: гиперболический случай выражается аналитическим условием ( и имеют разные знаки). Если инвариант , то коэффициент , и гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые (пункт № 5 классификации). В нашем примере гипотетически получилось бы уравнение: – двух пересекающихся прямых , которые, кстати, представляют собой асимптоты рассмотренной гиперболы (изображены синим цветом на чертеже).

Пример 4: Решение: сначала выяснить тип линии. Для этого вычислим определитель, составленный из коэффициентов :
, значит, данное уравнение задаёт нецентральную линию.

Осуществим поворот прямоугольной системы координат и переход к новой системе координат так, чтобы получить уравнение вида , где .

Найдём искомый угол поворота:

Подставим в формулы поворота:

Подставим и в исходное уравнение :

Выделим полный квадрат:

Осуществим параллельный перенос системы координат началом в точку . Проведём замену и запишем уравнение линии в новой системе координат :

– пара прямых , параллельных оси .
Выполним чертёж:

Ответ: данная линия представляет собой пару параллельных прямых, каноническое уравнение которых получается путём поворота системы координат вокруг своего начала на угол и её дальнейшим параллельным переносом в точку .

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено