Найти вероятность безотказной работы прибора схема которого показана на рисунке

Как решать задачи о прохождении тока через электрические схемы

В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про подбрасывания игральных кубиков и монеток, задачи про стрелков и станки.

В этой статье мы рассмотрим задачи вида
«задана схема электрической цепи с надежностью элементов (или вероятностями выхода из строя), найти вероятность работы цепи (или вероятность разрыва цепи)».

Задачи могут иметь чуть разные формулировки, но принцип решения для них одинаков, и его мы изучим, чтобы суметь решать такие задачи со схемами любой сложности.

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Базовые события, обозначения и формулы

Самое первое, с чего мы начнем — формализация задачи (и решение любой своей задачи рекомендую начинать с этого). А именно, мы введем основные события:

$X$ = (Цепь работает) = (Цепь пропускает ток) и противоположное ему:
$\overline$ =(Цепь не пропускает ток) = (Произошел разрыв в цепи).

$A_i$ = (Элемент i работает, пропускает ток) и $\overline$ =(Элемент i отказал, не пропускает ток), $i=1,2. n$.

Обычно в условии задачи известны вероятности работы элементов (надежности): $p(A_i)=p_i$ или вероятности отказа $p(\overline)=q_i=1-p_i$, $i=1,2. n$.

Также напомним основные формулы (из темы действий с событиями, формулы сложения и умножения вероятностей), которые пригодятся в решении этого типа задач.

Для независимых в совокупности событий (а отказы/работа элементов цепи — именно такие):

$$ P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B); \quad(1) $$ $$ P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B); \quad(2) $$ $$ P(A_1+A_2+. +A_n)=1-P(\overline)\cdot P(\overline)\cdot . \cdot P(\overline). \quad(3) $$

Последовательно или параллельно?

Еще немного времени посвятим теории, вспомним о том, как могут соединяться элементы в цепи.

Последовательное соединение

Элементы цепи «нанизаны» на провод один за другим (следуют один за другим, отсюда и «последовательно»). Если откажет один любой — ток в цепи прервётся. Или, иначе говоря, цепь работает тогда и только тогда, когда ВСЕ элементы работают. В терминах теории вероятностей получаем произведение событий: $X=A_1 \cdot A_2 \cdot A_3$, а вероятность работы цепи равна

$$ P(X)=P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3)= P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) =p_1 \cdot p_2 \cdot p_3. $$

Если в цепи последовательно соединены не три, а больше независимо работающих элементов, формула легко обобщается и получаем:

$$ P(X) = p_1 \cdot p_2 \cdot . \cdot p_n; \qquad P(\overline)=1-p_1 \cdot p_2 \cdot . \cdot p_n. \quad(4) $$

Параллельное соединение

Тут тоже сама схема дает нам подсказку, когда мы видим, что элементы в схеме расположены как бы на параллельных проводах, речь идет о параллельном соединении.

В этом случае если откажет, скажем, элемент 1, ток может пройти через 2. Если откажут 1 и 2, ток пройдет через 3. И только если ВСЕ элементы откажут, цепь разорвется.

Еще говорят, цепь работает, если работает хотя бы один элемент в ней, в терминах теории вероятностей — это сумма событий: $X=A_1+A_2+A_3$.

Используем формулу (3) чтобы записать вероятность работы такой цепи:

$$ P(A_1+A_2+A_3)=1-P(\overline)\cdot P(\overline) \cdot P(\overline)=1-q_1 \cdot q_2 \cdot q_3. $$

И обобщим на случай $n$ параллельных элементов в цепи:

$$ P(X) = 1-q_1 \cdot q_2 \cdot . \cdot q_n; \qquad P(\overline)=q_1 \cdot q_2 \cdot . \cdot q_n. \quad(5) $$

Важно запомнить правило

Последовательному соединению соответствует произведение событий,
параллельному соединению — сумма событий.

Усложняем схему цепи

И все это была присказка к настоящему решению задач. Конечно, даже если у вас простая контрольная, схема с «тремя лампочками подряд» вряд ли попадется. Давайте посмотрим на типовые электрические схемы, для которых надо находить надежность в задачах:

Как для таких схем выписывать вероятности? Нам нужно научиться делать декомпозицию: выделять уровни схемы и определять тип соединения на каждом уровне.

Возьмем для примера левую верхнюю схему:

Работаем с первым уровнем схемы. Нужно мысленно выделить крупные части, которые между собой соединены одинаково (параллельно или последовательно). В данном случае видно три группы элементов, соединенных последовательно. Выделим для наглядности цветом:

То есть тип схемы на первом уровне — последовательный:

Как мы уже знаем, если соединение последовательное, нужно перемножать события, то есть

$$ X=X_1 \cdot X_2 \cdot X_3, $$

$X_1$ — работает первая группа элементов,
$X_2$ — работает вторая группа элементов,
$X_3$ — работает третья группа элементов.

Теперь смотрим на каждую группу. В первой группе всего один элемент, то есть она работает, когда работает первый элемент цепи ($X_1=A_1$). Мы дошли до элемента, разбор этой группы закончен.

А вот дальше интереснее. Рассмотрим поближе вторую группу:

В ней сразу выделим цветом подгруппы элементов. Видно, что вторая группа имеет уже параллельную структуру из розовых и фиолетовых элементов (они «висят» на параллельных линиях, это второй уровень вложенности схемы). А вот внутри розовые соединены последовательно (розовая группа работает — $A_4 \cdot A_5$), фиолетовые элементы также между собой последовательно (фиолетовая группа работает — $A_2 \cdot A_3$). Это уже третий уровень вложенности и он заканчивается отдельными элементами, значит, разбор окончен.

Так как розовая и фиолетовая группа соединены параллельно, речь идет о сумме этих событий, то есть вторая группа работает если:

$$X_2 = A_2 \cdot A_3 + A_4 \cdot A_5.$$

Абсолютно аналогично разбирается третья подгруппа (она совпадает по структуре со второй):

$$X_3 = A_6 \cdot A_7 + A_8 \cdot A_9.$$

Сводим все в одну формулу и выпишем искомое событие (Цепь работает исправно):

$$ X=X_1 \cdot X_2 \cdot X_3 = A_1 \cdot \left( A_2 \cdot A_3 + A_4 \cdot A_5 \right) \cdot \left( A_6 \cdot A_7 + A_8 \cdot A_9\right). $$

Теперь переходим ко второму этапу решения задачи. Не забываем, что мы решаем задачу по теории вероятностей и надо определить вероятность того, что ток проходит в цепи. Будем использовать формулы (1)-(3).

Так как вероятность произведения для независимых событий равна произведению вероятностей, получим:

$$ P(X)= P \left( A_1 \cdot \left( A_2 \cdot A_3 + A_4 \cdot A_5 \right) \cdot \left( A_6 \cdot A_7 + A_8 \cdot A_9\right) \right) =\\ = P (A_1) \cdot P \left ( A_2 \cdot A_3 + A_4 \cdot A_5 \right ) \cdot P \left( A_6 \cdot A_7 + A_8 \cdot A_9\right) = $$

Для множителей с суммой событий внутри используем формулу (2):

$$ = P (A_1) \cdot \left[ P(A_2 \cdot A_3) + P(A_4 \cdot A_5) — P(A_2 \cdot A_3 \cdot A_4 \cdot A_5) \right] \cdot \left[ P(A_6 \cdot A_7) + P(A_8 \cdot A_9) — P(A_6 \cdot A_7 \cdot A_8 \cdot A_9)\right] = $$

И снова раскрываем вероятности произведений:

$$ = P (A_1) \cdot \left[ P(A_2) \cdot P(A_3) + P(A_4) \cdot P(A_5) — P(A_2) \cdot P(A_3) \cdot P(A_4) \cdot P(A_5) \right] \cdot \left[ P(A_6) \cdot P(A_7) + P(A_8) \cdot P(A_9) — P(A_6) \cdot P(A_7) \cdot P(A_8) \cdot P(A_9)\right]. $$

Перейдем к более компактной записи, положив $p_i=P(A_i)$:

$$ P(X)= p_1 \cdot \left[ p_2 \cdot p_3 + p_4 \cdot p_5 — p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5 \right] \cdot \left[ p_6 \cdot p_7 + p_8 \cdot p_9 — p_6 \cdot p_7 \cdot p_8 \cdot p_9\right]. $$

Если заданы надежности отдельных элементов $p_i$, подставляя их в формулу, можно найти вероятность работы схемы.

Алгоритм разбора схемы

• Выделяем в схеме основу: группы элементов, соединенные ТОЛЬКО последовательно или ТОЛЬКО параллельно между собой. Это верхний уровень. Записываем событие $X$ = (Цепь работает) как произведение или сумму соответственно.
• Каждую полученную группу анализируем также: ищем в ней подгруппы, соединенные только последовательно или только параллельно. Записываем событие соответственно типу соединения.
• Продолжаем до тех пор, пока не опустимся на уровень элементов (событий $A_i$).
• Подставляем все выражения в исходную формулу, получаем итоговую запись события $X$.
• Пользуясь формулами (1)-(3) выписываем вероятность события $P=P(X)$.
• Подставляем числовые значения $p_i, q_i$ и находим численное значение надежности схемы $P$.
• Если необходимо, находим вероятность отказа цепи $1-P$.

Примеры решений

Отработаем несколько раз этот алгоритм на примерах, чтобы он закрепился. Пример 1. Дана схема включения элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме. Пусть событие $А_i$ означает безотказную работу за время Т элемента с номером $i$ ($i=1,2,3,…$), а событие $В$ – безотказную работу цепи. Требуется:
1) Написать формулу, выражающую событие $В$ через все события $А_i$.
2) Найти вероятность события $B$.
3) Вычислить $Р(В)$ при $р=0,6$. Приступим к разбору схемы. Можно увидеть, что на первом уровне мы имеем три группы, соединенные последовательно: (1), (2,3) и (4,5,6) элементы. Выделим их цветом для наглядности: Значит, исходное событие можно представить в виде произведения трех событий $B=B_1 \cdot B_2 \cdot B_3$, где $B_i$ — работает $i$-aя группа элементов. Первая группа элементов состоит из одного элемента, то есть $B_1=A_1$. Вторая группа элементов состоит из двух элементов, соединенных параллельно (см. розовые), поэтому $B_2=A_2+A_3$. Третья группа элементов (см. зеленые) состоит из трех элементов, ее можно представить как параллельное соединение двух подгрупп: (4 и 5, соединены последовательно) и (6), поэтому $B_3=A_4 \cdot A_5 + A_6$. Подставляем все и получаем выражение для события $B$ $$ B=B_1 \cdot B_2 \cdot B_3 = A_1 \cdot (A_2+A_3) \cdot (A_4 \cdot A_5 + A_6). $$ Теперь выразим вероятность безотказной работы цепи за время T. Сначала применим формулу (1), чтобы раскрыть произведение: $$ P(B)=P \left( A_1 \cdot (A_2+A_3) \cdot (A_4 \cdot A_5 + A_6) \right) = P(A_1) \cdot P \left( A_2+A_3 \right) \cdot P \left( A_4 \cdot A_5 + A_6 \right) = $$ Раскроем вторую вероятность по формуле (3), а третью по формуле (2), получим: $$= P(A_1) \cdot \left(1 — P(\overline) \cdot P(\overline) \right) \cdot \left( P(A_4) \cdot P(A_5) + P(A_6) — P(A_4) \cdot P(A_5) \cdot P(A_6) \right).$$ Подставляем $P(A_i)=p$ и получим: $$ p(B)=p\cdot(1-(1-p)\cdot(1-p))\cdot(p\cdot p + p -p \cdot p \cdot p) = p\cdot\left(1-(1-p)^2\right)\cdot \left(p+p^2-p^3\right). $$ Осталось только найти значение при $p=0,6$: $$ p(B)= 0,6\cdot\left(1-(1-0,6)^2\right)\cdot \left(0,6+0,6^2-0,6^3\right) \approx 0,375. $$
Пример 2. Найти вероятность обрыва цепи, если вероятность отказа каждого элемента равна 0,2, а отказы элементов – независимые события.
Пронумеруем элементы и сразу раскрасим схему, чтобы выделить ее структуру. Это опять последовательная схема, но розовая группа состоит из двух элементов, соединенных параллельно, поэтому можем сразу выписать: $$ X= A_1 \cdot (A_2+A_3) \cdot A_4 \cdot A_5. $$ Найдем вероятность этого события (работы цепи): $$ P(X)= P \left( A_1 \cdot (A_2+A_3) \cdot A_4 \cdot A_5 \right)= P(A_1) \cdot P(A_2+A_3) \cdot P(A_4) \cdot P(A_5)= \\ = P(A_1) \cdot \left( 1- P(\overline) \cdot P(\overline) \right) \cdot P(A_4) \cdot P(A_5). $$ Вероятности отказа элементов цепи равна 0,2, вероятность работы элементов — 0,8, поэтому $$ P(X)= 0,8 \cdot \left( 1- 0,2 \cdot 0,2 \right) \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,492. $$ Но в задаче требовалось найти вероятность обрыва цепи, это противоположное событие: $$ P(\overline) = 1- P(X) = 1-0,492 = 0,508. $$

Пример 3. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность надежной работы элементов равна $p_1=p_2=p_3=p_4=0,8$, $p_5=p_6=p_7=0,9$. Приступим к решению, сразу раскрасив схему. В этот раз схема на первом уровне имеет параллельное соединение: верхняя розово-зеленая группа и нижняя желтая находятся на параллельных линиях. Поэтому $X=X_1+X_2$, где $X_1$ — работает розово-зеленая линия, $X_2$ — работает желтая. Для желтой группы, состоящей из трех последовательно расположенных элементов, сразу выписываем $X_2=A_5 \cdot A_6 \cdot A_7$. Теперь рассмотрим верхнюю группу. Она состоит из двух подгрупп, связанных последовательно: розовой и зеленой. При этом каждая из них состоит из двух параллельно соединенных элементов. Записываем: розовая группа работает = $A_1+A_2$, зеленая группа работает = $A_3+A_4$, значит ток проходит через розово-зеленую группу $X_1 =(A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4)$. Объединяем рассуждения и выписываем событие, соответствующее безотказной работе цепи: $$ X=X_1+X_2 = (A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4) + A_5 \cdot A_6 \cdot A_7. $$ Следующий шаг: выразить вероятность этого события. Во всех предыдущих примерах схема на первом уровне была последовательной, и событие выражалось как произведение. В этом случае схема на первом уровне параллельна, событие выглядит как сумма других событий, что немного усложняет выкладки. Для суммы событий можно использовать формулу (2) или (3), выбирая наиболее удобную в каждом конкретном случае. В данном случае слагаемых всего два, поэтому возьмем формулу (2): $$ P(X)= P \left( (A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4) + A_5 \cdot A_6 \cdot A_7 \right) = \\ = P \left( (A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4) \right) + P \left( A_5 \cdot A_6 \cdot A_7 \right) — P \left( (A_1+A_2) \cdot (A_3+A_4) \cdot A_5 \cdot A_6 \cdot A_7 \right) $$ Раскрываем все произведения по формуле (1): $$ = P (A_1+A_2) \cdot P(A_3+A_4) + P(A_5) \cdot P(A_6) \cdot P(A_7) — P (A_1+A_2) \cdot P(A_3+A_4) \cdot P(A_5) \cdot P(A_6) \cdot P(A_7) = $$ По формуле (3) расписываем $P(A_1+A_2)=1-P(\overline) \cdot P(\overline) = 1-q_1\cdot q_2$ и $P(A_3+A_4)=1-P(\overline) \cdot P(\overline)= 1-q_3\cdot q_4$. Итого: $$ P(X)= (1-q_1\cdot q_2) \cdot (1-q_3\cdot q_4) + p_5 \cdot p_6 \cdot p_7 — \\- (1-q_1\cdot q_2) \cdot (1-q_3\cdot q_4) \cdot p_5 \cdot p_6 \cdot p_7. $$ Подставляем значения надежности элементов: $$ P(X)= (1-0,2^2)^2 + 0,9^3 — (1-0,2^2)^2 \cdot 0,9^3 \approx 0,9788. $$
Еще: другие уроки о решении задач по вероятности

На закуску: схема с мостиком

Для 99% учебных задач вам хватит той теории и примеров, что приведены выше: подробно изучите их и приступайте к своим примерам по аналогии. Но есть такие схемы, для которых нельзя выделить единую структуру на верхнем уровне — параллельную или последовательную, и весь алгоритм решения рушится. Речь идет о схемах смешанного типа, еще их часто называют схемами с мостиком (мостиковые схемы). Типичная схема имеет такой вид: Видно, что как ни крути, схему нельзя отнести ни к последовательным, ни к параллельным. Элемент №5 (мостик) «портит» тип схемы. Если его убрать (разорвать этот участок цепи), получим обычную параллельную структуру, а если предположить, что через этот участок всегда идет ток — последовательную (конкретные схемы изобразим ниже). Поэтому для решения задачи о вычислении надежности подобной электросхемы используют формулу полной вероятности в форме теоремы разложения (см. подробнее тут, стр. 118) Надежность цепи с избыточностью равна произведению вероятности безотказной работы $i$-го элемента цепи на вероятность безотказной работы оставшейся цепи (места подключения $i$-го элемента замкнуты накоротко) плюс произведение вероятности отказа того же $i$-го элемента на вероятность безотказной работы оставшейся цеии (места подключения $i$-го элемента разомкнуты). То есть, для выделенного на схеме элемента-мостика рассматриваем две гипотезы:
$H_1$ = (Элемент 5 не пропускает ток), $P(H_1)=1- p_5 = q_5$;
$H_2$ = (Элемент 5 пропускает ток), $P(H_2)=p_5$. Далее вычисляем надежность схемы при условии верности каждой из гипотез. Для наглядности нарисуем обе схемы: Рассмотрим левую схему, верную при гипотезе $H_1$, через нее проходит ток, если $X|H_1 = A_1\cdot A_3+ A_2\cdot A_4$, вероятность $$ P(X|H_1) = P(A_1\cdot A_3+ A_2\cdot A_4)= P(A_1\cdot A_3)+ P(A_2\cdot A_4) — P(A_1\cdot A_3 \cdot A_2\cdot A_4)=\\ =p_1 \cdot p_3 + p_2 \cdot p_4 — p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4. $$ Рассмотрим правую схему, верную при гипотезе $H_2$, и выпишем для нее аналогично событие и вероятность прохода тока: $$ X|H_2 = (A_1+A_2)\cdot (A_3+A_4),\\ P(X|H_2) =P( (A_1+A_2)\cdot (A_3+A_4)) = P(A_1+A_2)\cdot P(A_3+A_4)=\\ = (1-P(\overline) \cdot P(\overline)) \cdot (1-P(\overline) \cdot P(\overline)) = (1-q_1\cdot q_2) \cdot (1-q_3\cdot q_4). $$ Тогда по формуле полной вероятности, надежность схемы равна: $$ P(X)=P(X|H_1)\cdot P(H_1) + P(X|H_2)\cdot P(H_2) = \\ = q_5 (p_1 \cdot p_3 + p_2 \cdot p_4 — p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4) + p_5 (1-q_1\cdot q_2) \cdot (1-q_3\cdot q_4). $$ Аналогичным образом можно разбирать более сложные схемы (в которые более одного мостика), применяя на каждом этапе формулу полной вероятности (как бы вкладывая одну в другую).

Понравилось? Добавьте в закладки

Полезные ссылки по ТВ

Решебник по вероятности

А здесь вы найдете разные задачи по теории вероятностей с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Найти вероятность безотказной работы прибора схема которого показана на рисунке

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»

Индивидуальные домашние задания

Часть I V

для студентов, обучающихся по технологии 30/70

д.т.н., профессор П.Ф.Зибров

И-93 Индивидуальные домашние задания для студентов, обучающихся по технологии 30/70. Часть IV . Сост.: Ахметжанова Г.В. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г., — Тольятти: ТГУ, 2007.- стр. 67

Учебно-методическое пособие соответствует курсу «Высшая математика». В данном пособии представлены индивидуальные домашние задания по модулям: Ряды и Элементы теории вероятности. Рекомендовано студентам нематематических специальностей, обучающихся по технологии 30/70.

Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета.

Ó Тольяттинский Государственный Университет

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В РАСЧЕТАХ НАДЕЖНОСТИ ДЕТАЛЕЙ И УЗЛОВ НА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мустафаев Тимур Азисович, Хабибуллин Фаниль Фаргатович, Габдрахманов Даниф Фаридович

В статье показан способ нахождения времени безотказной работы некоторых элементов системы, через интегральную функцию распределения, наглядно показана вероятность отказов, где закономерность выражается посредством закона Пуассона. Рассмотрены методы резервирования за ограниченный интервал времени на основе теоремы сложения вероятностей и формулы Бернулли, для этого применяются математическая логика, теория дифференциальных уравнений, а так же линейное и динамическое программирование.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Мустафаев Тимур Азисович, Хабибуллин Фаниль Фаргатович, Габдрахманов Даниф Фаридович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИ НЕОДНОРОДНОЙ ДУБЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ
Использование порядковой статистики в задачах оценки надежности резервированных систем
АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ ГОРЯЧЕГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ

Анализ надежности невосстанавливаемых резервированных систем электроснабжения с учетом множественных отказов

О надежности АСУ ТП на базе ПТК ТЕКОН
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

APPLICATION OF PROBABILITY THEORY IN CALCULATIONS OF RELIABILITY OF PARTS AND ASSEMBLIES AT MANUFACTURING ENTERPRISES

The article shows a way to find the uptime of some elements of the system, through the integral distribution function, clearly shows the probability of failures, where the pattern is expressed by Poisson’s law. Reservation methods for a limited time interval based on the probability addition theorem and the Bernoulli formula are considered, for this purpose mathematical logic, the theory of differential equations, as well as linear and dynamic programming are used.

Текст научной работы на тему «ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В РАСЧЕТАХ НАДЕЖНОСТИ ДЕТАЛЕЙ И УЗЛОВ НА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ»

The method of solving the tasks of mandatory metrological examination at the stage of the technical design of products by ranking the measured (controlled) parameters according to the degree of importance in order to make a decision on creating an optimal model of metrological support of the product is described.

Key words: obligatory metrological examination, ranking, expert assessments.

Gorbachev Vladimir Aleksandrovich, head of the department, vovan30092007@,vandex.ru, Russia, Balashiha, Military unit 32020,

Zhornikov Alexander Vladimirovich, senior researcher, vovan30092007@vandex.ru, Russia, Korolev, 4 Main scientific institutes of the Ministry of Defense of Russia

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В РАСЧЕТАХ НАДЕЖНОСТИ ДЕТАЛЕЙ И УЗЛОВ НА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ

Т.А. Мустафаев, Ф.Ф. Хабибуллин, Д.Ф. Габдрахманов

В статье показан способ нахождения времени безотказной работы некоторых элементов системы, через интегральную функцию распределения, наглядно показана вероятность отказов, где закономерность выражается посредством закона Пуассона. Рассмотрены методы резервирования за ограниченный интервал времени на основе теоремы сложения вероятностей и формулы Бернулли, для этого применяются математическая логика, теория дифференциальных уравнений, а так же линейное и динамическое программирование.

Ключевые слова: повышение надежности, математическая статистика, теорема умножения вероятностей, безотказность работы, метод резервирования, формула Бернулли.

Одним из наиболее характерных направлений развития современной техники, экономики и некоторых областей науки является не только автоматизация отдельных операций, но и автоматизация управления процессами управления на предприятиях машиностроительной отрасли.

Программное обеспечение, которое используется для этих целей, усложняется с каждым годом. Это вызвано в первую очередь тем, что на такие устройства возлагаются все более и более сложные функции. Одновременно с усложнением управляющих устройств к ним приходится предъявлять требования, находящиеся в явном противоречии с их системной логикой, это требования высокой надежности, то есть их способности безотказно выполнять возложенные функции [1]. Особенно высоки требования к надежности оборудования, которые должны быть в технических условиях, когда вмешательство человека в ее работу с целью исправления исключено полностью.

Для повышения надежности в настоящее время применяются многочисленные способы, среди которых нужно указать в первую очередь повышение надежности отдельных элементов, разработку специальных приемов поддержания системы в рабочем состоянии, такие как например резервирование элементов и блоков, дублирование целых агрегатов, профилактика. Не стоит забывать разработку удачных системных решений. Все общие соображения теоретического и технического характера, касающиеся повышения надежности устройства и элементов, естественно включены в классическую теорию надежности. Основным математическим инструментом исследования в этой являются: теория вероятностей и математическая статистика [2].

Действительно, в задачах надежности приходится иметь дело с таким положением, при котором необходимо считаться со случайным разбросом параметров, характеризующих качество и жизнеспособность элементов, соединений, и теми условиями, в которых приходится работать устройству.

Конечно, статистический подход не исчерпывает всех аспектов теории надежности, даже математической ее части. Для развития необходимы: математическая логика, и теория дифференциальных уравнений, а так же линейное и динамическое программирование [3, 4].

Наблюдение за длительностью жизни элементов. В качестве основного, примем такое определение: надежность — вероятность того, что рабочие характеристики данного устройства будут находиться в определенных пределах в течение заданного промежутка времени.

Первая задача, с которой приходится встречаться в теории надежности, состоит в следующем: аппаратура выходит из рабочего состояния, как правило, из-за выхода какого-либо элемента из рабочего состояния, или, как говорят, из-за отказа элемента. Наиболее актуальный вопрос в том, сколько же времени проходит от момента включения нового элемента в работу до его отказа [5,6]. К сожалению, на этот вопрос нельзя ответить однозначно. Многочисленные специальные испытания и наблюдения за длительностью жизни элементов в процессе их эксплуатации показали, что даже в партии одновременно изготовленных элементов наблюдается огромный разброс длительности их рабочего периода. Отдельно взятый полупроводниковый диод или микроконтроллер может проработать и несколько десятков тысяч часов, и только несколько десятков часов [7]. Обычная картина, с которой приходится иметь дело, такова: обозначим через функцию распределения (интегральную) длительности безотказной работы некоторого элемента, т.е. вероятность того, что он проработает не более времени Х. Тогда характерный вид будет таким, как изображено на рис. 1.

Рис. 1. Интегральная функция распределения длительности безотказной работы

Оказывается, что первые часы работы элемента особенно опасны. Как говорят, в этот период «выгорают» недостаточно качественные изделия. Затем наступает длительный период, когда вероятность выхода элемента из строя остается почти постоянной и очень малой. Наконец, приходит период старения элемента, когда вероятность его отказа резко возрастает со временем [8].

Предположим, что каждый отказавший элемент немедленно заменяется новым. Возникает вопрос, чему же равна вероятность того, что за период времени t откажут ровно т элементов. Оказалось, что если отказы элементов между собой независимы и каждый элемент имеет лишь ничтожно малую вероятность отказа по сравнению с вероятностью отказа хотя бы одного элемента, то вероятность того, что число отказов ровно т элементов за период t приближенно равно,

где через X обозначен положительный, не зависящий t параметр. Физический смысл этого параметра состоит в том, что это среднее число отказов системы, а именно математическое ожидание за единицу времени. Закономерность, выражаемая формулой (1), в теории вероятностей носит название закона Пуассона. Статистическая проверка обширного материала микроэлектроники, содержащего наблюдения над тысячами одинаковых приборов, показывает, что для этого типа оборудования закономерность (1) выполняется почти идеально[9,10].

Величина, обратная А -, является средним времени безотказной работы системы, описанная математическим ожиданием времени безотказной работы.

Из формулы (1) при т = 0 следует, что надежность, т.е. вероятность безотказной работы, подчиняется экспоненциальному закону

Как известно, экспоненциальный закон надежности характеризуется постоянством математического ожидания частоты отказов или же их интенсивности.

Не всякое электронное оборудование имеет надежность, подчиняющуюся экспоненциальному закону, но только качественному оборудованию присущ этот закон.

Практический интерес представляет, однако, не вероятность точного числа отказов за фиксированное время ^ а вероятность того, что число отказов за это время окажется больше или меньше некоторой фиксированной величины [11]. Если число отказов обозначить через ] ,то из формулы (1) находим

Надежность системы для фиксированного интервала времени. Рассмотрим теперь применение основных теорем теории вероятностей в расчетах надежности системы микропроцессорных устройств. Важным показателем различных устройств, используемых в технике, является их способность в течение возможно большего интервала времени работать без отказов, выполнять заданные им функции в заданных условиях [12].

Особую актуальность приобретает этот показатель в производстве микроконтроллеров для промышленных систем, состоящих из большого числа соединенных между собой элементов. В зависимости от характера решаемой задачи в — качестве элементов системы могут рассматриваться простейшие узлы и детали, а так же целые блоки, которые рассматриваются в качестве системы [13,14].

Способность элементов и системы в целом работать без отказов зависит от ряда случайных факторов. В качестве статистической характеристики работоспособности элементов или системы принимается вероятность того, что элемент работает без отказов в течение заданного интервала времени, то есть надежность. Типичная задача, которую часто приходится решать на практике, состоит в том, чтобы определить надежность системы, если известны надежности ее элементов.

Будем предполагать, что любые два элемента системы независимы, где отказ одного элемента не влияет на надежность другого.

Рассмотрим два вида соединения элементов системы: последовательное и параллельное. Соединение элементов системы называется последовательным, если при отказе, по крайней мере, одного элемента происходит отказ всей системы. Соединение элементов называется параллельным, если отказ системы происходит только при отказе всех элементов[15].

При параллельном соединении каждый из элементов дублирует остальные, так что необходимым является использование только одного элемента, остальные являются избыточными или резервным. В общем случае система может состоять из различных комбинаций последовательно и параллельно соединенных элементов. Будем представлять систему в виде матрицы независимых элементов (а^:

Индексы / и ] указывают, на пересечении какой-либо строки и столбца матрицы находится этот элемент. Элементы строки матрицы соединены последовательно, а взаимное соединение строк параллельно.

Пусть надежность элементов для фиксированного интервала времени Т равна р^-, в случае когда вместо надежности элемента рассматривают его ненадежность ц^, т.е. оценивается вероятность того, что в течение заданного времени произойдет хотя бы один отказ элемента, так как наличие хотя бы одного отказа в течение заданного времени есть событие, противоположное работе без отказа в течение того же времени, то = 1 — р^-.

Определим сначала надежность системы, состоящей из одного ряда последовательно соединенных элементов = 1,2 . п) (черт.2,а), и системы, состоящей из одного столбца параллельно соединенных злементов а.1](1 = 1,2 . п) (рис. 2).

Обозначим через ^ событие, состоящее в том, что элемент реботает без отказа в течение заданного интервале времени Т. тек как система последовательно соединенных элементов может работать без отказа когда и только тогда, когда все ее элементы работают без отказа, то по теореме умножения вероятностей находим надёжность Я(1,п) этой системы:

Я(1,п) = Р(Аг1А12 . А1п = Щ=1Р(А1п) = Щ=1Рц (5)

Если надежность всех элементов одинакова и равна Р^- = Р,то

Из приведенных формул видно, что при заданной надежности элементов увеличение их числа резко снижает надежность рассматриваемой системы. Если надежность системы задана, то увеличение числа элементов повышает требование к надежности элемента. Ограниченная надежность элементов при заданной надежности системы ограничивает число элементов, которые могут применяться к системе [16].

Рис. 2 Последовательно и параллельно соединенные элементы

В системе параллельно соединенных элементов отказ может произойти тогда и только тогда, когда произойдет отказ всех её элементов, иначе говоря, для безотказной работы такой системы достаточна безотказная работа хотя бы одного элемента. Тогда для определения надежности R(m,I) системы m параллельных элементов необходимо найти вероятность.

R(m,I) = P(AnA2I + — + AmI) .

События Ait совместны, тек как за время T могут безотказно работать несколько элементов. Применение теоремы сложения вероятностей для расчета R(m, I) было бы незаконным.

Обозначим через Аг] событие, противоположное Rij (т.е. заключающееся в том, что элемент а^ отказывает в течение интервала времени T). Событие, противоположное безотказной работе системы параллельных элементов, состоит в том, что все элементы отказали за время T. Тогда

По условию все элементы независимы и поэтому, применяя теорему умножения вероятностей, получаем

Вероятность события Atl как противоположного Ait равна I — Рц Поэтому Р(АпА21 + —I» Ат1) = (7 — Рц~)(1 — Р21) . (I — Pmi). Искомая надежность системы m параллельно соединенных элементов равна

Если Pit малы и законно пренебречь произведениями надежности по сравнению с самими надежностями элементов, то из формулы (7) получаем приближенное равенство:

Р(т,1)^РП+Р21 + — + Рт1 т.е. при данных надежностях отдельных элементов надежность системы параллельных элементов приблизительно разна сумме их надежностей.

Если надежность всех элементов одинакова и равна Ptl = Р,то

Разлагая в ряд бином (7 — Р)т по формуле Ньютона и пользуясь тем, что Р< I, из формулы получаем следующую приближенную формулу, удобную для расчетов:

Из приведенных формул видно, что при заданной надежности отдельных элементов увеличение их числа резко увеличивает надежность рассматриваемой системы. Если надежность системы задана, то увеличение числа элементов понижает требование к надежности отдельного элемента.

Как указывалось выше, надежность системы последовательно соединенных элементов падает с увеличением числа элементов, а при заданной надежности системы сильно возрастают требования к надежности её элементов [17].

Метод резервирования. Одним из наиболее распространенных и эффективных методов повышения надежности аппаратуры является метод резервирования. Сущность этого метода состоит в том, что в систему вводятся избыточные элементы, блоки м даже целые агрегаты,

которые по мере вывода из строя основных устройств включаются в работу. На крупных электростанциях имеются резервные генераторы, они не находятся под нагрузкой, но включаются в работу тотчас, как один из основных генераторов выйдет из строя. Одна из элементарных задач, которую мы сможем немедленно решить, состоит в следующем: в системе имеются элементы определенного типа, в работе должны постоянно находится п элементов. Как изменится надежность устройства, если помимо п основных элементов к эксплуатационном или, как говорит иногда, «в горячем» резерве находится еще т элементов? Эти элементы находятся в таком же состоянии, как м эксплуатируемые: генераторы на электростанции работают, но вхолостую, электролампы разогреты, но не включены в цепь и т.д. Если через Р обозначить вероятность того, что данный элемент не выйдет из строя в течение времени Т, то вероятность того, что ни один из п элементов за тот же срок не выйдет из строя, по теореме умножения вероятностей, равна Рп . 910 вероятность безотказной работы системы из п элементов, если отсутствуют резервные элементы [18]. Пусть теперь в системе имеются резервные элементы в числе т штук, тогда вероятность того, что в исправном состоянии за время Т будет оставаться не менее п элементов, на основании теоремы сложения вероятностей и биномиальной формулы (формулы Бернулли), равна

Мы видим, что наличие только одного элемента в резерве резко увеличивает надежность системы. Вот почему только один резервный генератор на электростанции дает возможность уверенного снабжения электроэнергией.

Этот вопрос возникает постоянно в самых разнообразных областях машиностроительной отрасли. Действительно, для уверенной эксплуатации оборудования нужно знать, какое количество запасных частей мы должны держать в резерве. В точности та же задача возникает и при расчете числа паровозов автобусов и самолетов, которые нужно держать в эксплуатационном резерве для обеспечения бесперебойного функционирования транспорта. Ряд таких задач возникает и при запуске космических ракет.

Влияние резервирования на надежность системы. Несмотря на очевидную эффективность резервирования для повышения надежности, его применение ограничивается увеличением стоимости, веса и сложности оборудования. При анализе способов резервирования необходимо учитывать размеры резервируемых элементов (деталь, узел, блок), состояние резервных элементов при работе системы (включенное или выключенное), надежность резервных элементов, а также устройств обнаружения отказа и переключения[19].

Оценка надежности простейших схем с резервированием не представляет большого труда. Имеются в виду устройства, состоящие из независимых элементов, работу которых можно описать двумя состояниями: «годен» — «не годен». Предполагается также, что все элементы постоянно находятся под напряжением, вследствие чего переключающие устройства или не нужны или в них не могут возникнуть отказы.

При оценке надежности прежде всего строится блок-схема, содержащая все элементы, от которых зависит безотказная работа системы. По блок-схеме можно определить различные комбинации элементов, обеспечивающие успешную работу системы. При отказе какого-либо элемента прохождение сигнала через него прекращается. Так как резервирование обеспечивает наличие нескольких каналов, то надежность системы определяется как вероятность того, что между ее входом и выходом существует по меньшей мере один работающий канал[20].

Рассмотрим простейшую блок-схему (рис. 3).

Рис.3. Элементы безотказной работы системы

Для того, чтобы работал блок А, должны работать либо элемент А1 либо элемент А2. Для работы блока В должна быть обеспечена работа одного из тех элементов — В1, В2 или В3. Пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей и обозначая вероятность отказа >20 элемента в течение интересующего нас периода времени через ^, получим общую вероятность безотказной работы

Я = (.1~ ЧслЧагШ — ЧрхЧргЧръ). Если работа блока В определяется одновременной работой но крайней мере двух или трех идентичных элементов, следует применить биноминальный закон распределения. Тогда

Я = (1-да1дя2Ш=2 С1рР1рЧ3р-1 ,где Рь = 1- ^.

Другим типичным случаем является параллельное соединение двух последовательных цепей элементов (рис. 4).

Рис. 3. Параллельное соединение двух последовательных цепей

Сначала определяется надежность каждого канала последовательных элементов

ТА =Ра\Ра2 , ТВ =Р¡цР¡цР¡33.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где Р; — надежность элементов.

Так как система работоспособна, если работает хотя бы один любой канал, то, применяя обобщенную теорему сложения вероятностей для совместных событий, получим:

К = тА +тв —татв8 или Я = 1 -(1-тл)(1-тв) = 1 — тАтв, где Т1 = 1 — тг.

Итак, при элементном резервировании произведение надежностей блоков дает величину надежности системы. В случае системного резервирования сначала определяются надежности каналов путем вычисления произведений надежности элементов. Каждый канал рассматривается как резервный для другого канала, а надежность системы определяется по обобщенной теореме сложения вероятностей.

Сравним теперь эффективность повышения надежности дублированием блоков и дублированием систем. Рассмотрим уравнения надежности для этих случаев.

Возьмем простейшую блок-схему (рис. 5).

Рис. 4. Дублирование блоков

При элементном резервировании дублированием блоков получим:

При дублировании систем простейшая блок-схема будет иметь вид (рис. 6). При системном резервировании, применяя обобщенную теорему сложения вероятностей, получим:

PDS = РаРВ +РАРВ ~ (РАРВ)2

или Rds = 2РаРв — (РАРВ)2 .

Можно показать, что RDE >Rds .

Рис. 5. Дублирование систем

В случае отсутствия переключающих устройств или невозможности их отказов эффективность резервирования тем выше, чем элементарнее его уровень. При наличии переключающих устройств сложность системы быстро увеличивается по мере снижения уровня резервирования.

Резервирование по группам. Рассмотрим подробнее простейший случай однократного резервирования и предположим, что надежности всех элементов, как основных, так и резервных одинаковы, а надежность устройств, осуществляющих переключение с основного оборудования на резервное, равна единице.

Если число последовательно соединенных элементов системы равно п, то резервирование может осуществляться следующим образом. Система разбивается на т групп, по Б = — элементов в каждой группе. При нарушении работы любого из элементов х-ой группы (К = 1,2 о. т) эта группа целиком заменяется резервной (рис. 7). Нарушение работы к-ои группы возможно лишь тогда, когда произойдет нарушение хотя бы одного элемента и в основном и в резервном комплектах этой группы.

Рис. 6. Замена резервной группой

Так как надежность S последовательно соединенных элементов равна РБ, то по формуле (8) находим надежность любой из групп.

Крайними случаями являются: 1) резервирование системы в целом (т = I) и 2) резервирование каждого элемента в отдельности (т = п). Для этих крайних случаев формула (10) имеет вид;

Яп(2,1) = 1-(1-Рп)2, Яп(2,п) = [I — (I — Рп)2]п.

При большом п и весьма ненадежных элементах Яп ~2Рп, т.е. резервирование всей системы дает надежность в два раза большую, чем система без резервирования. При тех же условиях Яг &2пРп, т.е. резервирование по элементам увеличивает надежность в 2п раз по сравнению с системой без резервирования и в 2п~г раз по сравнению с резервированием системы в целом. При очень надежных элементах это различие между двумя указанными системами резервирования не будет столь разительным. ‘

После вычисления надежностей Я1, Яи, Яш схему расчета можно представить рис. 8. Из этого рисунка видно, что элементы расчета соединены последовательно и, следовательно, надежность всей системы равна произведению надежностей расчетных элементов, т.е. .

Я = ЯГ Я„• Яш = 0,98 • 0,92 • 0,94 « 0,85. 6. Оценка надежности припомощи функции надежности

Оценка надежности основывается на анализе показателей надежности. Для последовательного, либо каскадного соединения элементов. Показателями надежности могут служить вероятность безотказной работы и средняя наработка на отказ, т.е. среднее время, в течение которого соединение элементов проработает ло отказа. эты показатели могут быть получены расчетным путем при и наличии данных об интенсивностях отказов элементов.

Напомним, что соединение элементов в теории надежности называется последовательным, если отказ одного любого элемента означает одновременно и отказ всего соединения. Для схем с резервированием удобнее сначала определять вероятности отказов. Вероятность безотказной работы вычисляется как вероятность противоположного события вычитанием вероятности отказа из единицы. Производя анализ надежности, необходимо определить ее зависимость от времени. В случае пареллельного соединения элементов А и В, имеющих для данного интервала времени надежность соответственно РаиРр

Я = Ра + Рр ~ РаРр

Рис. 7. Последовательное соединение элементов расчета

При определении надежности системы для любого интервала времени величины надежности элементов выражаются в функции времени

Ж. 0 = ра( 0 +V 0~ра( 0 Рр( о,

где 0 надежность системы в момент ( . Эта функция называется функцией надежности.

Для систем с резервированием несправедливо допущение того , что отказ любого одного элемента означает одновременно и отказ всей системы. Поэтому надежность системы, содержащей незазасимые резервные элементы при экспоненциальном законе распределения их срок службы, не описывается экспоненциальной функцией[21,22]. Взяв в качестве примера параллельное соединение двух элементов, для которого

Ж. 0 = Ра( 0 +V 0-Ра( О,

находим, что при экспоненциальном распределении срока службы элементов

д(£) = е+ е- е(11) где Яг — интенсивность отказов / -го элемента.

Полученная функция надежности системы из двух элементов ие соответствует экспоненциальной форме . Поэтому нельзя применить правило сложения интенсивностей отказов всех элементов для получения интенсивыости отказов системы. Интенсивность отказов системы в данном случае не является постоянной величиной.

Однако можно оценить среднюю наработку на отказ системы как интеграл функции надежности в пределах от Ь = 0до Ь =

представляет собой сумму экспоненциальных функций и поэтому интегрируема. Средняя наработка на отказ системы из двух независимых злементов, сосдиненных параллельно:

При одинаковой интенсивности отказов обоих элементов Ла = Лр =Л,

Распределение сроков службы элементов можно считать нормальным, если основной причиной отказов является постепенное ухудшение параметров, а отношение стандартного (среднего квадратичного) отклонения к среднему сроку службы (коэффициент изменчивости) мало. Нормальная функция плотности вероятностей срока службы в этом случае имеет вид:

где £ — срок службы; ^ — средний срок службы; а — стандартное отклонение.

Функция надежности двух соединенных параллельно независимых элементов можно определить выражением:

где qi — вероятность отказа i — го элемента. Согласно (12) имеем:

w J0 аа^2п J0 ар

Применяя замену переменных получим:

= Joevfee_rda ; w= y*-ke~~dv .

Численные значениям /’содержатся в таблице интеграла вероятностей. При идентичности элементов, их среднего срока службы и стандартного отклонения а

Заключение. Для повышения надежности в настоящее время применяются многочисленные способы, среди которых нужно указать в первую очередь повышение надежности отдельных элементов, разработку специальных приемов поддержания системы в рабочем состоянии, такие как резервирование элементов и блоков, дублирование целых агрегатов, профилактика. Не стоит забывать разработку удачных системных решений. Все общие соображения теоретического и технического характера, касающиеся повышения надежности устройства и элементов, естественно включены в классическую теорию надежности. Основным математическим инструментом исследования в этой являются: теория вероятностей и математическая статистика. Распределение сроков службы элементов можно считать нормальным, если основной причиной отказов является постепенное ухудшение параметров, а отношение стандартного среднего квадратичного отклонения к среднему сроку службы, то есть коэффициенту изменчивости. В связи с этим, естественно, возникает необходимость ответа на основной вопрос данной работы о том, как много элементов нужно иметь в резерве, чтобы добиться заданной надежности системы. Следует отметить, что если закономерности отказов отдельных элементов весьма сложны, то для систем, состоящих из большого числа элементов, удается вывести простые общие закономерности, которые удачно применялись бы в промышленности России.

1. Комаров В.А., Курашкин М.И. Исследование работоспособности зерноуборочных комбайнов в гарантийный период // Инженерные технологии и системы. 2021. Т. 31. № 2. С. 188-206.

2. Мартынова Н.Б., Катюнин А.Д. Пути повышения производительности одноковшового экскаватора с автоматическим управлением процесса копания// Международный технико-экономический журнал. 2020. № 4.С. 32-37.

3. Раджабов Н., Кодиров Д.А. К теории одного класса вырождающиеся обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка // Электронный инновационный вестник. 2020. № 1 (12). С. 12-14.

4. Тихонова О.С. Математическая логика и основания математики. В сборнике: Актуальные проблемы современной когнитивной науки // Международной научно-практической конференции. 2019. С. 15-20.

5. Павловская О.О. Основы прикладной теории надежности: учебное пособие. Челябинск, 2020. C.82.

6. Поляков А.В., Дубов В.В., Терещенко И.А., Приходько М.Г. Теория надежности и ее фундаментальные понятия и определения. В сборнике: Материалы Международной научно-практической конференции: в 3 т. Краснодар, 2020. С. 64-67.

7. Веневцев С.М. Разработка spice-моделей полупроводниковых диодов и сборок специального назначения. В книге: 59 Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, сотрудников, аспирантов и студентов ВГТУ. Тезисы докладов. 2019. С. 6.

8. Безродных С.И., Власов В.И.Высокоточный расчет полупроводникового диода. В сборнике: Математическое моделирование в материаловедении электронных компонентов. Материалы I международной конференции. 2019. С. 98-101.

9. Пантелеева О.Б., Воробьева С.А., Коваленко М.А. Теория массового обслуживания как метод экономического анализа // Сфера услуг: инновации и качество. 2019. № 43. С. 107114.

10.Борбаць Н.М., Школина Т.В. Расчёт и построение кривой оперативной характеристики одноступенчатого плана выборочного контроля по альтернативному признаку по закону пуассона. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2020661893, 01.10.2020. Заявка № 2020660651 от 16.09.2020.

11.Останов К., Назаров О.У., Баротова М.А.Случайные величины и их законы распределения // Вестник науки и образования. 2019. № 8-2 (62). С. 41-44.

12. Кузнецов А.О., Яковишин А.С. Комплексная микропроцессорная система мониторинга и управления дуговой защитой и комплектными распределительными устройствами. Патент на изобретение RU 2703279 C1, 16.10.2019. Заявка № 2019103374 от 07.02.2019.

13. Лукьянов К.А. Микросхема малопотребляющего промышленного контроллера. Топология интегральной микросхемы 2021630184, 16.12.2021. Заявка № 2021630163 от 11.11.2021.

14. Косырев К.А., Руденко А.В. Микропроцессоры и микроконтроллеры. методы программирования систем промышленной автоматизации. ПЛК Овен. М., 2021. 208 с.

15. Каримходжаев Н., Косимов И.С. Разработка схемы для расчёта систем двигателя с параллельным и последовательным соединениями элементов // Universum: технические науки. 2021. № 5-3 (86). С. 6-8.

16.Тихонов В.А., Борисов В.В. Программа расчета надежности по структурной схеме. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2021611845, 08.02.2021. Заявка № 2021610865 от 29.01.2021.

17.Садовникова Н.М. Программа оценки показателей надежности системы, представленной структурной схемой. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2020612809, 03.03.2020. Заявка № 2020611714 от 18.02.2020.

18.Долгополов Б.А., Зайко Ю.Г., Михайлов В.А. Метод определения показателя долговечности микросхем // Надежность. 2019. Т. 19. № 3 (70). С. 3-6.

19.Лакомов И.В., Помогаев Ю.М. Резервирование в энергетических системах. В сборнике: Наука, образование и инновации в современном мире (Н0И-2019). Материалы Национальной научной конференции Воронежского государственного аграрного университета имени императора Петра I. 2019. С. 157-163.

20.Соловьев А.В., Кретюк Д.А. к вопросу обоснования требуемой степени резервирования технических систем, обеспечивающих функционирование объекта // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2020. Т. 16. № 1. С. 30-39.

21.Ковальчук В.В., Бурзун М.С. Оценка показателей надежности испытаний при экспоненциальном законе распределения отказов. В сборнике: Исследования молодых ученых. Материалы XII Международной научной конференции. Под редакцией И.Г. Ахметова. 2020. С. 15-19.

22.Ковальчук В.В., Бурзун М.С. Оценка показателей надежности испытаний при экспоненциальном законе распределения отказов средствами vba. В сборнике: вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований. сборник статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. Новосибирск, 2022. С. 5-13.

Мустафаев Тимур Азисович, аспирант, mustafaev. t@yandex.ru, Россия, Казань, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева-КАИ,

Хабибуллин Фаниль Фаргатович, канд. техн. наук, доцент, _fanil_arsk@mail.ru, Россия, Казань, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева-КАИ,

Габдрахманов Даниф Фаридович, студент, danifkryt@,mail ru, Россия, Казанский авиационно-технический колледж имени П.В. Дементьева

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

APPLICATION OF PROBABILITY THEORY IN CALCULATIONS OF RELIABILITY OF PARTS AND ASSEMBLIES AT MANUFACTURING ENTERPRISES

T.A. Mustafaev, F.F. Khabibullin, D.F. Gabdrakhmanov

The article shows a way to find the uptime of some elements of the system, through the integral distribution function, clearly shows the probability of failures, where the pattern is expressed by Poisson’s law. Reservation methods for a limited time interval based on the probability addition theorem and the Bernoulli formula are considered, for this purpose mathematical logic, the theory of differential equations, as well as linear and dynamic programming are used.

Key words: reliability improvement, mathematical statistics, probability multiplication theorem, non-failure operation, redundancy method, Bernoulli formula.

Mustafaev Timur Azisovich, postgraduate, mustafaev.t@yandex.ru, Russia, Kazan, Kazan National Research Technical University A.N. Tupolev-KAI,

Khabibullin Fanil Fargatovich, candidate of technical sciences, docent, fanil_arsk@mail.ru, Russia, Kazan, Kazan National Research Technical University A.N. Tupolev-KAI,

Gabdrakhmanov Danif Faridovich, student, danifkryt@mail.ru, Russia, Kazan Aviation Technical College named after P.V. Dementieva

О РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИИС ПРИ ОЦЕНКЕ УРОВНЯ ЗРЕЛОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ

Л.А. Димитрова, Л.В. Борисова

Рассматриваются отдельные аспекты применения интеллектуальной информационной системы для решения задачи оценки уровня зрелости организации в соответствии с ГОСТ Р ИСО 9004-2019. Приведены экспериментальные данные затрат времени на проведение самооценки с использованием ИИС и традиционным способом. Показано, что использованием ИИС позволяет в 2-3 раза сократить затраты времени на проведение самооценки.

Ключевые слова: уровень зрелости организации, интеллектуальная информационная система, самооценка, затраты времени на самооценку.

Оценка уровня зрелости системы менеджмента организации (УЗО) является важным этапом на пути к достижению устойчивого успеха [1]. Анализ состояния организации может проводиться разными способами, однако наиболее распространенным подходом является самооценка [2]. Проведение самооценки включает несколько аспектов: «определение области самооценки и типа оценки; определение ответственного и сроков ее проведения; определение порядка проведения самооценки и др.».

Важное прикладное значение решения задачи самооценки организации, базирующейся на использовании методологии СМК, подчеркивает актуальность рассматриваемой проблемы. Известно, что адекватно оценить функционирование СМК может только профессионал в данной предметной области (эксперт). Вместе с тем наблюдаются осложнения при решении подобных задач, обусловленные потерями знаний экспертов, а также их недостаточным количеством.

Одной из основных тенденцией развития организаций является интеграция цифровых технологий и методов менеджмента качества. Развитие в данном направлении должно привести к созданию цифровых систем менеджмента качества [3].

Внедрение системы управления знаниями является одним из важнейших условий устойчивого успеха организации, достижения высоких значений показателей результативности и эффективности организации. Для адекватного решения задачи оценки зрелости организации предлагается использование интеллектуальных информационных систем (ИИС) [4].

6356

Тогда Задача 3.7. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых ср =0,32*10 -6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час. Решение . Интенсивность отказов системы по формуле (З.11) будет с = ср * n =0,32*10 -6 *12600=4,032*10 -3 1/час. Тогда на основании (З.13) Р c (t)= е -c t или Р c (50)= е -4,032*0,001*50 0,82. Задачи для самостоятельного решения Задача 3.8. Аппаратура связи состоит из 2000 элементов, средняя интенсивность отказов которых ср = 0,33 * 10 -5 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течении t = 200 час и среднее время безотказной работы аппаратуры. Задача 3.9 . Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 200000 элементов, средняя интенсивность отказов которых =0,2 * 10 -6 1/час . Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в течении t = 24 часа и среднее время безотказной работы электронной машины. Задача 3.10 . Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов которых ср. = 0,16*10 -6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течении t = 50 час и среднее время безотказной работы. Задача 3.11 . Прибор состоит из n = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t , которая равна: P 1 (t)=0,98; P 2 (t)=0,99; P 3 (t)=0,998; P 4 (t)=0,975; P 5 (t)=0,985. Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора. Задача 3.12 . Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы которых равно: m t1 =83 час; m t2 =220 час; m t3 =280 час; m t4 =400 час; m t5 =700 час . Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы.

Задача З.1З . Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 50 час равна: P 1 (50)=0,98; P 2 (50)=0,99; P 3 (50)=0,998; P 4 (50)=0,975; P 5 (50)=0,985. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4 Расчет надежности системы с постоянным резервированием. Теоретические сведения При постоянном резервировании резервные элементы 1,2. соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается (рис .4.1.). Вероятность отказа системы q c (t) определяется формулой (4.1) где q j (t) — вероятность отказа j — го элемента . Вероятность безотказной работы системы (4.2) где Р j (t) — вероятность безотказной работы j — го элемента. Если Р j (t) =Р(t), j = 0, 1, . . . , m , то (4.3) При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем (4.4) Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Схема общего резервирования показана на рис.4.2. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m , т. е. кратность резервирования равна m.

Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно). Запишем вероятность безотказной работы j — ой цепи (4.5) где Р ij (t), j=0,1,2. m; i=1,2,3. n — вероятность безотказной работы элемента Э ij . Вероятность отказа j — ой цепи . (4.6) Вероятность отказа системы с общим резервированием . (4.7) Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием . (4.8) Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е. Р ij (t)=P i (t) . (4.9) Тогда (4.10) (4.11) Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е. P i (t)=e -i t . (4.12) В этом случае формулы (5.10), (5.11) примут вид q c (t)=(1-e -0 t ) m+1 , (4.13)

P c (t)=1-(1-e -0 t ) m+1 , (4.14) , (4.15) где 0 — интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов. Частота отказов системы с о6щим резервированием . (4.16) Интенсивность отказов системы с общим резервированием (4.17) Среднее время безотказной работы резервированной системы , (4.18) где Т 0 = 1/ 0 — среднее время безотказной работы нерезервированной системы. Решение типовых задач. Задача 4.1 . Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы m tc , а также частоту отказов f c (t) и интенсивность отказов с (t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях: а) нерезервированной системы, б) дублированной системы при постоянно включенном резерве. Решение. а)

где с — интенсивность отказов системы; i — интенсивность отказов i — го элемента ; n = 10. i =1/ m ti = 1/1000=0,001; i = 1,2, . . .,n ; = i ; c =n=0,001*10=0,01 1/час; m tc = 1/ c =100 час; f c (t)= c (t) P c (t); c (50)= c ; P c (t)=e -c t ; f c (50)= c e -c t =0,01*e -0,01*506*10-3 1/час; c (50)=0,01 1/час.

б)

; m=1 ;

час ;

; 0 = c =0.01 1/час ; ; ; ; f c (50)4.810 -3 1/час ; c (50)5.710 -3 1/час . Задача 4.2 . В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала =10 -2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Р с (t) при t=10 час, среднее время безотказной работы m tc , частоту отказов f c (t), интенсивность отказов с (t) системы. Решение . В данном случае n=1; i = ; 0 =n=;m=1. По формуле (4.14) имеем Р с (t)=1-(1-e — t ) 2 ; Р с (10)=1-(1-e -0,1 ) 2 . Из приложения П.7.14 [1] получим e -0,1 =0,9048 . Тогда Р c (10)=1-(1-0,9048) 2 =1-0,0952 21-0,01=0,99 . Определим m tс . Из формулы (4.4) имеем

час . Определим частоту отказов f c (t). Получим Определим интенсивность отказов с (t). Имеем 3адача 4.З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Р с (t) = 0,9 при t =10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов. Решение . Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна P c (t)=1-(1-e -nt ) 2 или P c (t)=1-[1-P n (t)] 2 , где P(t)=e -t . Здесь Р(t) — вероятность безотказной работы одного элемента. Так как должно быть 1-[1-P n (t)] 2 0,9 , то . Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

Учитывая, что P(t)= ехр (-t)1-t , получим 1-t1-6,32*10 -5 или (6,32*10 -5 )/t=(6,32*10 -5 )/10=6,32*10 -6 1/час. Задачи для самостоятельного решения. 3адача 4.4 . Приемник состоит из трех. блоков: УВЧ, УПЧ и УНЧ. Интенсивности отказов этих блоков соответственно равны: 1 = 4*10 -4 1/час; 2 = 2,5*10 -4 1/час; 3 = 3*10 -4 1/час. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при t=100 час для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется общее дублирование приемника в целом. Задача 4.5 . Для изображенной на рис.4.3. логической схемы системы определить P c (t), m tc , f c (t), c (t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы. Задача 4.6 . В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов ( n = 3) применено общее постоянное дублирование всего радиопередатчика. Интенсивность отказов каскада равна =5*10 -4 1/час. Определить P c (t), m tc , f c (t), c (t) радиопередатчика с дублированием. Задача 4. 7 . Для изображенной на рис.4.4. логической схемы системы определить интенсивность отказов с (t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы. Задача 4.8. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков I,II,III . Интенсивности отказов этих трех блоков соответственно равны: 1 , 2 , 3 . Требуется определить вероятность безотказной работы аппаратуры P c (t) для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется дублирование радиоэлектронной аппаратуры в целом. Задача 4.9 .Схема расчета надежности изделия показана на рис.4.5. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Интенсивности отказов элементов имеют значения: 1 = 0,3*10 -3 1/час; 2 = 0,7*10 -3 1/час. Требуется найти вероятность безотказной работы изделия в течении времени t = 100 чаc, среднее время безотказной работы изделия, частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t=100 час. Задача 4.10 . В телевизионном канале связи, состоящем из приемника и передатчика, применено общее дублирование. Передатчик и приемник имеют интенсивности отказов п =2*10 -3 1/час, пр =1*10 -3 1/час, соответственно. Схема канала представлена на рис.4.6. Требуется определить вероятность безотказной работы канала Р c (t), среднее время безотказной работы m tс , частоту отказов f c (t), интенсивность отказов с (t).

Задача 4.11 . Схема расчета надежности изделия приведена на рис.4.7. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Требуется определить интенсивность отказов изделия, если интенсивности отказов элементов имеют значения 1 , 2 . Задача 4.12 . Нерезервированная система управления состоит из n = 4000 элементов. Известна требуемая вероятность безотказной работы системы Р с (t) = 0,9 при t = 100 час. Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно оценить достижение заданной вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в следующих случаях: а) резервирование отсутствует ; б) применено общее ду6лирование . Задача 4.13 . Устройство обра6отки состоит из трех одинаковых блоков. Вероятность безотказной ра6оты устройства Р y (t i ) в течение ( 0, t i ) должна быть не менее 0,9. Определить, какова должна быть вероятность безотказной работы каждого блока в течение ( 0, t i ) для случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всего устройства в целом; в) имеется пассивное раздельное резервирование с неизменной нагрузкой по блокам. Задача 4.14 . Вычислитель состоит из двух блоков, соединенных последовательно и характеризующихся соответственно интенсивностями отказов 1 =120,54*10 -6 1/час и 2 =185,66*10 -6 1/час. Выполнено пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всей системы (блока 1 и 2) (см.рис.4.8) . Требуется определить вероятность безотказной работы Р с (t) вычислителя, среднее время безотказной работы m tс , частоту отказов f c (t) и интенсивность отказов с (t) вычислителя. Определить Р с (t) при t = 20 час. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5 Резервирование замещением в режиме облегченного ( теплого) резерва и в режиме ненагруженного (холодного) резерва. Теоретические сведения. В этом случае резервные элементы находятся в облегченном режиме до момента их включения в работу. Надежность резервного элемента в этом случав выше надежности основного элемента, так как резервные элементы находятся в режиме недогрузки до момента их включения в работу. Вероятность отказа резервированной системы с облегченным резервированием определяется соотношением (5.1) где

Здесь 1 — интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента включения его в работу ; 0 — интенсивность отказа резервного элемента в состоянии работы; m — кратность резервирования или количество резервных элементов. Вероятность безотказной работы системы с облегченным резервированием определяется формулой (5.3) Определим среднее время безотказной работы системы с облегченным резервированием. Имеем (5.4) где (5.5) Определим частоту отказов f c (t) системы с облегченным резервированием. Имеем (5.6). Определим интенсивность отказов с (t) системы с облегченным резервированием. Получим (5.7) При 1 =0 имеем режим ненагруженного (холодного) резерва. Вероятность отказа резервированной системы с ненагруженным резервированием определяется соотношением (5.8) Вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом определяется формулой

(5.9) Определим среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом. Имеем (5.10) Определим частоту отказов f c (t) системы с ненагруженным резервом. Имеем (5.11) Определим интенсивность отказов с (t) системы с ненагруженным резервом. Получим (5. 12) Решение типовых задач. Задача 5.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы Р с (t), среднее время безотказной работы системы m tс , а также частоту отказов f c (t) и интенсивность отказов с (t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях: а) нерезервированной системы, б) дублированной системы при включении резерва по способу замещения (ненагруженный резерв). Решение : а) где с — интенсивность отказов системы, i — интенсивность отказов i — го элемента; n = 10,