Три человека обменялись рукопожатиями сколько было рукопожатий ответ

Три человека обменялись рукопожатиями сколько было рукопожатий ответ

Этот сайт посвящен олимпиадам школьников города Челябинска

Вход по логину

Вход через ВКонтакте

Важная информация

Вы можете ознакомиться со статистическими сборниками по итогам олимпиад по этой ссылке.

1. Если вы не помните логин/пароль от учетной записи, то не пытайтесь создавать новую, обратитесь к учителям своей школы для восстановления доступа к старой.
2. Для участия в олимпиадах, проводящихся в Интернет-формате необходима учетная запись с подтвержденными данными. Пожалуйста, заранее убедитесь, что вы помните логин и пароль.
3. Олимпиады в интернет-формате можно выполнять с 08:00 до 20:00 (решение Комитета по делам образования города Челябинска).
4. При выполнении заданий не рекомендуем использовать браузеры GoogleChrome, Yandex-браузер и сделанные на их основе, так как в них иногда возникает проблема с отправкой ответов.
5. Задания олимпиады необходимо выполнять самостоятельно. Участники, уличенные в несамостоятельном выполнении заданий будут дисквалифицироваться.
6. Некоторые олимпиады проводятся в очном формате, они требуют предварительной подачи заявки на участие. Опоздавшие с подачей заявки к участию в олимпиаде не допускаются.
7. Участие в олимпиаде является добровольным. Если вас заставляют участвовать или обещают поставить плохую оценку за неучастие, то сообщите об этом по адресу admin@olymp74.ru. В письме укажите кто именно (ФИО, должность, место работы) и каким образом заставлял вас участвовать. Информация будет передана в Комитет по делам образования.
8. Если вам стали известны факты нечестного выступления каких-то участников, то сообщите об этом по адресу admin@olymp74.ru. В письме как можно подробнее напишите все, что вам известно.

Четыре человека обменялись рукопожатиями. Каждый пожал руку каждому. Сколько всего было рукопожатий?

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,624
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

• Обратная связь
• Правила сайта

Собралась группа ребят. Мальчики при встрече обменялись рукопожатиями

Собралась группа ребят. Мальчики при встрече обменялись рукопожатиями. Каждый мальчик пожал руку всем остальным мальчикам. При этом было сделано 15 рукопожатий. В этой же группе было еще и несколько девочек. Каждая в знак приветствия кивнула головой каждому мальчику и каждой девочке. Всего было сделано 84 кивка. Сколько было мальчиков?

Мальчиков было 6:
n*(n-1)/2 = 15

Всего было 6 мальчиков. Каждый поучаствовал в пяти рукопожатиях (сам с собой никто не здоровался). Итого рукопожатий должно получиться 30, но в каждом рукопожатии участвует по 2 мальчика, а это значит, что каждое рукопожатие мы посчитали дважды (со стороны одного мальчика и со стороны второго), а значит количество нужно поделить на 2. Таким образом рукопожатий было 15.
Зная сколько было кивков, можно рассчитать, сколько было девочек, но в задании это не требуется

Пусть мальчиков n человек, тогда количество рукопожатий будет число сочетаний из n ‘элементов по 2 элемента, т. е. n(n-1):2=15 т.е. n^2-2n-30=0, отсюда n=6.
Пусть девочек m человек, тогда количество кивков будет m(m-1)+6m=84, т. к. каждая девочка кивает каждой девочке и каждому мальчику, а всего кивков 84.Тогда получим m^2+5m-84=0, отсюда получим m=7,т.е. мальчико6, девочек7. Ответ: 6 мальчиков

6 мальчиков, 14 девочек

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

Логическая задача Lewis Carrol „Алиса в стране чудес“

В сражении учавствовало 100 человек. 70 из 100 человек поранили глаз, 75 — ухо, 80 — руку и 85 ногу. Каждый поранил минимум 3 частей тела.
Сколько людей поранили одновременно глаз, ухо и руку, но не поранили ногу?
Сколько людей поранили одновременно все части тела?

нужно объяснить, почему. Спасибо

6+4+19=25 спички помогите

6+4+19=25 переставьте 1 спичку так, чтобы получилось 25. Знак = и результат (25) трогать нельзя

Два наездника

Два наездника были лучшими друзьями и постоянно соревновались друг с другом! То один выиграет, то другой. И вот однажды один сказал другому, давай выиграет та лошадь, чья придёт второй, и тот согласился. Вот настал день этого забега, вся деревня собралась чтобы посмотреть на это, но всадники даже с места не хотели сдвигаться. День прошел, два дня, и вот очень мудрый старик подошел к одному всадники и что-то шепнул на ушко, и подошел к другому всаднику…

Докажите, что количество людей, живущих и когда либо живших на Земле

Докажите, что количество людей, живущих и когда либо живших на Земле, совершивших нечётное количество рукопожатий, четно.

Правитель некой страны из чисто военных соображений хотел…

а да, совсем забыл, очередная:
» Правитель некой страны из чисто военных соображений хотел бы, чтобы среди его подданных было больше мальчиков, чем девочек. Поэтому он повелел, чтобы ни в одной семье не было более одной девочки. В результате у каждой женщины этой страны среди детей последней, и только последней, была девочка, ибо ни одна женщина, родив девочку, не решалась больше иметь детей. Какую же долю составляли мальчики в общей массе детей этой страны? «

Группа велосипедистов решила перед соревнованиями потренироваться

Группа велосипедистов решила перед соревнованиями потренироваться на небольшой дороге. Все они едут со скоростью 35 км/ч. Затем один из велосипедистов внезапно отрывается от группы и, двигаясь со скоростью 45 км/ч, проходит 10 км, после чего поворачивает назад и, не сбавляя скорости, присоединяется к остальным (которые, не обращая на него внимания, продолжают двигаться с прежней скоростью). Сколько времени прошло с того момента, когда велосипедист оторвался от группы, до момента, когда он вновь присоединился к ней?

1 Способ

Условно перенумеруем друзей. Первый поздоровался со вторым, третьим, …, шестым. Всего 5 рукопожатий. Для второго неучтенными остались рукопожатия с третьим, четвертым, пятым, шестым. Всего сделал 4 рукопожатия, третий сделал -3,

четвертый – 2 , пятый – 1 неучтённое рукопожатие. Получаем, что всего рукопожатий было 5+4+3+2+1= 15

В дальнейшем познакомимся еще с одним способом

Пример№3 ( из учебника №721)

В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Ответ: 9( 9-1 ):2 = 72 : 2 = 36

Пример№4 ( из учебника №722) самостоятельно

В соревнованиях по футболу участвовало12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?

Ответ: 12 ( 12 – 1 ) = 12 ∙ 11 = 132

Пример№5 Сколько диагоналей можно провести в правильном восьмиугольнике

Начало диагонали можно выбрать восьмью способами, а конец пятью: ведь при выбранном начале нельзя провести диагональ ни в эту вершину, ни в две соседние вершины. По правилу умножения получается 8∙5 = 40 диагоналей. Но при таком подсчете каждую диагональ мы посчитали дважды. Значит всего проведено 40:2=20 диагоналей

Пример№6. Сколько диагоналей можно провести в правильном шестиугольнике, девятиугольнике

Рассуждаем аналогично, с опорой на чертеж. Получаем

а) у шестиугольника из каждой вершины можно провести 3 диагонали, значит можно провести 6∙3 : 2 = 9 диагоналей. ( проговорить решение вместе )

б) для девятиугольника получим 9∙6 :2 = 27 ( получить ответ самостоятельно)

Домашнее задание №723, №724, №725.

3урок Тема: « Решение комбинаторных задач. Понятие факториала»

Цель : Проверить умения уч-ся решать простейшие комбинаторные задачи.Познакомить с понятием факториала

1. Проверка домашнего задания (7 – 10 мин.)

При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?

Ответ: 8 ( 8-1) :2 = 56 :2 = 28

Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько для этого понадобиться фотографий, если в классе 24 учащихся?

Решение 24( 24-1) = 24 ∙ 23 = 552

На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0, 1, 2, 3, 4, …, 8, 9. Каждая квартира получает код из двух цифр типа 0 — 2, 3 – 7 , 7 – 3, 8 – 8 и т. п., позволяющий открывать входную дверь. Хватит ли кодов для всех квартир дома, если в доме 96 квартир?

Решение : Т.к. одинаковые цифры тоже могут быть кодами, то таких кодов будет

10∙ 10 = 100 ( если построить таблицу учета возможных вариантов). Значит кодов хватит на все 96 квартир.

2. Самостоятельная работа ( 12 — 15мин)

1. На завтрак Вова может выбирать плюшку, бутерброт, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром

1) 6 2) 12 3)9 4) 7

2. В магазине продают красные, розовые и белые гвоздики. Сколько разных букетов по два цветка в каждом можно составить из этих цветков?

3. При встрече 4 приятеля обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?

1. В ресторане предлагают три первых блюда: борщ, суп, рассольник, ‑ два вторых блюда: гуляш, пельмени, ‑ и два блюда на десерт: мороженое и торт. Укажите количество всех обедов из двух блюд и десерта, которые может заказать посетитель.

2. В школе учатся 4 мальчика, которые хорошо играют в волейбол. Сколькими способами можно выбрать из них двух человек для участия в соревнованиях

1) 6 2) 8 3) 4 4) 12

3. Сколько диагоналей можно провести в правильном пятиугольнике

Ответы для самостоятельной работы

3. Объяснение нового материала ( 7 — 10мин)

Произведение первых подряд идущих п натуральных чисел обозначают п!

п! = 1 ∙2 ∙3 ∙… ∙ п -2 ∙ п – 1 ∙ п

5! = 1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

6! = 5! ∙ 6 = 120 ∙ 6 = 720

7! = 6! ∙ 7 = 720 ∙7 = 5040

4. Закрепление нового материала

Вычислить вместе 1) 6! – 5! = ; 2) = ; 3) = ; 4) =; 5) =; 6) =

Домашнее задание №748, №749

4урок Тема: « Перестановки»

Цель: Дать понятие о перестановках, как простейших комбинациях из элементов конечного множества. Научить находить количество перестановок элементов конечного множества.

1 Проверка домашнего задания №748, №749 (7- 10 мин.)

Некоторые упражнения можно проверить устно, если возникли затруднения, то представить письменное решение

2. Объяснение нового материала

Пример1.

Сколькими способами можно расставить 3 книги на полке.

Обозначим книги буквами а, в, с

1.Посавим на первое место книгу а , то получим такие расположения авс, асв

2. Поставим на первое место книгу в. получим такие расположения вас, вса

3.Поставим на первое место книгу с. получим такие расположения сав, сва

каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов

Всего получили 6 способов

Опр. Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке

Пусть мы имеем п элементов. На первое место можно поставить любой их них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся п – 1 элементов. для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся п – 2 элементов и т. д. В результате получим Р_{п =} п (п -1) (п – 2 ) ∙ …∙3 ∙2 ∙1

Р_{п =} п! – формула, по которой можно посчитать число всевозможных перестановок из п элементов

Пример2 Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на 8 беговых дорожках7

Р₈ = 8! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 5040 ∙ 8 = 40 320

Пример3. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0,5,4,8 ?

Из цифр 0, 5, 4, 8 можно получить Р₄ перестановок. Из них исключим те перестановки. которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок Р₃ Значит искомое число четырехзначных чисел равно Р₄ — Р₃ = 4! – 3! = 24 – 6 = 18

3 Закрепление полученных знаний в процессе решения задач

Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

№736 Ольга помнит , что телефон подруги оканчивается цифрами 5,7,8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге?

Решение Т.к. множество состоит из 3 элементов, то число перестановок равно

№737 Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8. б) 0, 2, 5, 6, 7, 8.

а) Множество содержит 6 элементов, значит число перестановок будет Р₆ = 6! = 720

б) Т.к шестизначное число не может начинаться с 0, то искомое число шестизначных чисел равно Р₆! – Р₅! = 720 – 120 = 600

Домашнее задание №733, №734, №735

5урок Тема: « Размещения »

Цель: Дать понятие о размещениях , познакомить с формулой для вычисления размещений, научить применять эту формулу для подсчета числа размещений

1 Проверка домашнего задания

№733 Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение : количество маршрутов равно 7! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 5040

№734. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение : 9! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 362 880

№735 Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde

Решение: По условию нам дано множество, состоящее из 5 элементов. Посчитаем число перестановок в этом множестве 5! = 120 сюда входит множество в заданном порядке, значит , тождественно равных ему будет 120 – 1 = 119

Для проверки знаний и закрепления полученных знаний можно предложить уч – ся следующие задачи для устного решения

1. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг разных авторов?

2. Во вторник по расписанию в 9 «А» классе должно быть 6 уроков: химия, физика, алгебра, биология, история и ОБЖ. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

3. В финал конкурса красоты вышли 4 участницы. Сколькими способами

можно установить очередность выступления участниц финала красоты

4. Сколькими способами можно разложить 3 разных письма по 3 разным

конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

5. Каким числом способов можно разложить 5 различных монет в 5 разных карманов?

2. Объяснение нового материала

Пусть имеется 4 шара и 3 пустые ячейки. Обозначим шары цифрами 1,2,3,4. В каждую ячейку можно поместить по одному шару из этого набора. Если мы поместим шар 1 в первую ячейку, шар 2 во вторую ячейку, а шар 3 в третью ячейку, то получим одну из возможных упорядоченных троек шаров:

Выбирая по- разному шары для первой, второй и третьей ячеек, будем получать различные упорядоченные тройки шаров, например:

Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.

Опр.Размещением из п элементов по к ( к ≤ п) называется любое множество, состоящее из к элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.

Таким образом, два размещения из п элементов по к считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения Число размещений из п элементов по к обозначают А_п к и вычисляют по формуле

А_п к =

Если размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только порядком элементов, то они представляют собой перестановки из п элементов

Пример1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета

Решение: Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем

А₉ 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

Расписание можно составить 3024 способами

Пример2. Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6 ?

Решение Если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел ( без повторения цифр), которые можно составить из этих цифр, равно числу размещений

из 7 элементов по 3. Однако среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтом из размещений из 7 элементов по3 надо исключить те, у которых первым элементом является 0. Их число равно числу размещений их 6 элементов по 2. =

Значит искомое число трехзначных чисел равно

А₇ 3 — А₆ 2 = — = 5 ∙ 6 ∙ 7 — 5 ∙ 6 = 180.

3. Закрепление полученных знаний в процессе решения задач

№754. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Решение. Число способов равно А₄ 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Т.к.любой из участников может быть как секретарем , так и председателем, то число способов их избрания равно

А₃₀ 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1,3,5,7,9. б) 0,2,4,6,8?

Решение а) А₅ 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

б) ) А₅ 4 — А₄ 3 = 5! – 4! = 120 – 24= 96

Домашнее задание № 756, №757, № 758, №759.

6урок Тема: « Сочетания»

Цель: Дать понятие о сочетаниях, познакомить с формулой для вычисления сочетаний, научить применять эту формулу для подсчета числа сочетаний.

1 Проверка домашнего задания.

№ 756. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

Решение: А₇ 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 способов

№757 Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4х100м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение: А₁₂ 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880

№ 758. В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: А₁₀ 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240

№759. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой 20 одноместных столов?

Решение: А₂₀ 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200

Организовать проверку домашнего задания можно разными способами: устно проверить решение домашних упражнений, решения некоторых из них записать на доске, а пока идет запись решений провести опрос уч-ся по вопросам:

1. Что означает запись п!

2.Что называется перестановкой из п элементов?

3.По какой формуле считают число перестановок?

4. Что называют размещением из п элементов по к?

5. По какой формуле считают число размещений из п элементов по к?

2 Объяснение нового материала

Пусть имеются 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами а, в, с, д, е. Требуется составить букет из трех гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.

Если в букет входит гвоздика а , то можно составить такие букеты:

авс, авд, аве, асд, асе, аде.

Если в букет не входит гвоздика а , но входит гвоздика в , то можно получить такие букеты:

всд, все, вде.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика а, ни гвоздика в, то возможен только один вариант составления букета:

Мы указали все возможные способы составления букетов, в которых по – разному сочетаются три гвоздики из 5. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3, мы нашли, что С₅ 3 = 10.

Выведем формулу числа сочетаний из п элементов по к, где к ≤ п.

Выясним сначала , как С₅ 3 выражается через А₅ 3 и Р₃. Мы нашли , что их 5 элементов можно составить следующие сочетания по 3 элемента :

авс, авд, аве, асд, асе, аде, всд, все, вде, сде.

В каждом сочетании выполним все перестановки. Число перестановок из 3 элементов равно Р₃. В результате получим все возможные комбинации из 5 элементов по 3, которые различаится либо самими элементами , либо порядком элементов, т.е. все размещения из 5 элементов по 3. Всего мы получим А₅ 3 размещений.

Значит , С₅ 3 ∙ Р₃ = А₅ 3 , отсюда С₅ 3 = А₅ 3 : Р₃

Рассуждая в общем случае получим С_п к = А_п к : Р_{к ,}

Пользуясь тем, что А_п к = , где к ≤ п., получим С_п к = .

Это формула для вычисления числа сочетаний из п элементов по к при любом

к ≤ п.

Пример1. Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение : Каждый выбор трех красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит , здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3

С₁₅ 3 = = (13∙ 14∙15 ) : (1∙ 2 ∙ 3 ) = 455

Приме2 В классе учатся 12 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории около школы требуется выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Выбрать 3 мальчиков из 12 можно С₁₂ 3 , а двух девочек из 10 можно выбрать С₁₀ 2 . Т. к. при каждом выборе мальчиков можно С₁₀ 2 способами выбрать девочек, то сделать выбор учащихся, о котором говориться в задаче можно

С₁₂ 3 ∙ С₁₀ 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) Закрепление нового материала, в процессе решения задач

Задача

У Саши в домашней библиотеке есть 8 исторических романов. Петя хочет взять у него 2 любых романа. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: С₈ 2 = = (7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56 : 2 = 28

№779 а

В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира команду из 4 человек?

Решение: С₁₆ 4 = = (13∙ 14∙15 ∙16 ) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта спротзала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?

С₁₂ 4 ∙ С₅ 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

Домашняя работа №768, №769, № 770, № 775

7урок Тема: « Решение задач на применение формул для подсчета числа перемещений, размещений, сочетаний»

Цель: Закрепление знаний учащихся. Формирование навыков решения простейших комбинаторных задач

1 Проверка домашнего задания

№768 В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: С₇ 2 = = (6∙ 7) : 2 = 21

№769 В магазине « Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: С₈ 3 = = (6 ∙ 7 ∙ 8) : (1∙ 2 ∙ 3 ) = 56

№770 Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: С₁₀ 6 = = (7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : (1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение: С₁₀ 3 ∙ С₄ 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

Вопросы классу

1.Что называется перестановкой из п элементов?

2.По какой формуле считают число перестановок?

3. Что называют размещением из п элементов по к?

4. По какой формуле считают число размещений из п элементов по к?

5. Что называют сочетанием из п элементов по к?

6. По какой формуле считают число сочетаний из п элементов по к?

Задачи для совместного решения

При решении каждой задачи вначале идет обсуждение: какая из трех изученных формул поможет получить ответ и почему

1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 4,6,8,9, при условии , что все цифры разные ?

2. Из 15 человек в группе студентов надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

3. Из 10 лучших учащихся школы два человека надо послать на слет лидеров.

Сколькими способами это можно сделать?

Замечание : В задаче №3 не имеет значения кого выбрать: любых 2 человек из 10, поэтому здесь работает формула для подсчета числа сочетаний.

В задаче №2 выбирают упорядоченную пару ,т.к. в выбранной паре ,если фамилии поменять местами это будет уже другой выбор, поэтому здесь работает формула для подсчета числа размещений

Ответы к задачам для совместного решения:

№1 24 числа . №2 210 способов. №3 45 способов

Задачи для совместного обсуждения и самостоятельных вычислений

№1Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?

(Можно посчитать число сочетаний из 6 по 2)

№2 Сколькими способами можно составить расписание для учащихся 1класса на один день , если у них 7 предметов, и в этот день должно быть 4 урока?

( Число размещений из 7 по 4 )

№3 В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти 6 стульев по- новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений.

(Надо посчитать число перестановок в множестве с 6 элементами)

№4 К хозяину дома пришли гости А,В,С,Д. За круглым столом – пять разных стульев. Сколько существует способов рассаживания?

( В гости пришли 4 человека + хозяин = 5 человек рассаживаются на 5 стульях, надо посчитать число перестановок)

5. В книжке раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры в разные цвета. Сколько существует способов раскрашивания?

( Посчитайте число размещений из 7 по 3 )

№6 В классе 10 мальчиков и 4 девочки. Надо выбрать 3 человека дежурными так, чтобы среди них было 2 мальчика и 1 девочка. Сколькими способами это можно сделать?

(Число сочетаний из 10 по 2 умножить на число сочетаний из 4 по 1)

Ответы для задач с самостоятельным вычислением

№1 15 рукопожатий

№2 840 способов

№3 720дней

№5 120 способов

№6 180 способов

Домашнее задание №835, №841

8 урок Тема: « Самостоятельная работа»

Цель: Проверка знаний учащихся

1.Проверка домашнего задании

№835 Сколько четных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр а) 1,2,3,7 . б) 1,2,3,4.

а) Наши числа должны оканчиваться четной цифрой, такая цйфра в условии одна это цифра 2 , поставим ее на последнее место, а оставшиеся 3 цифры будем переставлять, число таких перестановок равно 3! = 6 .Значит можно составить 6 четных чисел

б) рассуждаем как в примере а) поставив на последнее место цифру 2 получим 6 четных чисел, поставив на последнее место цифру 4 получим еще 6 четных чисел,

значит всего 12 четных чисел

№841 Сколькими способами из класса , где учатся 24 учащихся можно выбрать: а) двух дежурных; б) старосту и его помощника ?

а) т.к. дежурными могут быть любые 2 человека из 24 , то количество пар равно

С₂₄ 2 = = 23 ∙ 24 :2 = 276

б) здесь выдирают упорядоченную пару элементов из 24 элементов , количество таких пар равно А₂₄ 2 = = 23 ∙ 24 = 552

Далее предлагается самостоятельная работа

1 вариант решает задания № 1,2,3,4,5.

2 вариант решает задания №6,7,8,9,10.

Решение простейших комбинаторных задач

( по материалам к.р. в апреле 2010 года)

1. Сколькими способами можно расставить на полке пять книг разных авторов?

2. Сколькими способами можно составить полдник из напитка и пирожка, если в меню указаны: чай, кофе, какао и пирожки с яблоком или с вишней?

3. В среду по расписанию в 9 «А» классе должно быть 5 уроков: химия, физика, алгебра, биология и ОБЖ. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

4. Имеются 2 белых лошади и 4 гнедых. Сколькими способами можно

составить пару из лошадей разной масти?

5. Каким числом способов можно разложить 5 различных монет в 5 разных карманов?

6. В шкафу на полке лежат 3 шапки различных фасонов и 4 шарфа разных цветов. Сколькими способами можно составить набор из одной шапки и одного шарфа?

7. В финал конкурса красоты вышли 4 участницы. Сколькими способами

можно установить очередность выступления участниц финала красоты?

8.Имеются 4 утки и 3 гуся. Сколькими способами можно из них выбрать две разных птицы?

9. Сколькими способами можно разложить 5 разных писем по 5 разным

конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

10. В коробке хранятся 5 красных и 4 зелёных шара. Сколькими способами можно составить пару из шаров разного цвета?

Ответы для заданий самостоятельной работы