Как найти изображение данного оригинала

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = \int_0^\infty f(t) e^dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Понравилось? Добавьте в закладки

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $\int_0^t \cos \tau \cdot e^d\tau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = \int_0^\infty f(x) e^dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

Задача 6. Найти оригинал изображения

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=\cos t +\int_0^t (t-\tau)^2 y(\tau)d \tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ \int_0^t ch (\tau) x(t-\tau)d \tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $\phi(t)=\sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Подробнее о решении заданий с преобразованием Лапласа

Дополнительная информация

Онлайн-помощь по математическому анализу
Дифференциальные уравнения — задачи с решениями
Как решать ДУ с помощью операционного исчисления

Оригинал и его изображение

$Преобразование Лапласа$

Изображением функции f(t) или ее преобразованием Лапласа называется функция F(p) комплексного переменного p , определяемая соотношением . обозначают F(p) → f(t) . Правило получения по заданному оригиналу f(t) изображения F(p) называется преобразованием Лапласа.

Решение онлайн
Видеоинструкция

На данный момент все вещественные числа (числа с запятой, например, 0.1 необходимо записывать через дробь, как 1/10 )

Таблица оригиналов и изображений Лапласа

Изображение	Оригинал
t
1
e at
sin(ωt)
cos(ωt)
e -at sin(ωt)
e -at cos(ωt)
sh(ωt)
ch(ωt)

$Таблица оригиналов и изображений$

f(t)=0 при t
если M>0 и s – некоторые вещественные числа, то |f(t)|≤Me st при t≥0.
f(t) — кусочно-непрерывная и интегрируемая на любом конечном отрезке изменения t .

Теоремы запаздывания и смещения

Теорема запаздывания: L[f(t-τ)] = e -pτ L[f(t)].
Пример . e -2p /(p 2 +1) = η(t-2)sin(t-2)

Теорема смещения: L[e p₀t f(t)] = F(p-p₀).
Пример . (p+4)/((p+4) 2 +9) = e -4t cos(3t)

2. Нахождение изображения функций. Примеры

Пример 1. Найти изображение единичной функции Хевисайда, которая обозначается и определяется в соответствии с равенством:

Решение. Пользуясь определением изображения по Лапласу, находим

Пример 2. Найти изображение функции

Решение. Имеем

Заметим, что указанную функцию можно записать короче, если использовать в качестве множителя единичную функцию (t), а именно:

и т. д.

Единичная функция играет важную роль в операционном исчислении. Зная ее изображение и используя правила операционного исчисления, можно найти изображения различных оригиналов. Например, используя теорему смещения, можно записать: из того, что , следует, что ,

и не пользоваться определением преобразования Лапласа, связанного с вычислением несобственного интеграла.

Пример 3. Найти изображения функций и .

Решение. Воспользуемся формулами Эйлера:

;

Согласно свойству линейности преобразования Лапласа имеем

Применяя к полученным соотношениям свойство смещения, находим

Точно также для гиперболических функций получаем соответствия:

;

Пример 4. Найти изображение функции t n .

Решение. Используем теорему дифференцирования к изображению функции (t) . Получим

; .

Итак, .

Пример 5. Найти изображение функции

Решение. На основании формулы

заменим произведение на .

Чтобы найти изображение исходной функции, воспользуемся тем, что операции умножения на в области оригиналов соответствует операция смещения на 3 в области изображений. Окончательно получим

Пример 6. Найти изображение функции

Решение. Воспользуемся соотношением

Далее, согласно правилу (8), операции деления на t в области оригиналов соответствует операция интегрирования в области изображений.

Пример 7. Найти изображение функции

Решение. Предварительно найдем изображение функции , преобразовав ее по формуле . Имеем

Затем, используя тот факт, что операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления на р в области изображений, окончательно получим

Пример 8. Найти изображение функции

Решение. Воспользуемся равенством . Согласно теореме запаздывания имеем

В данном примере существенно равенство нулю функции при , т.е. возможность представления функции f(t) в виде

а соответственно, и возможность использования теоремы запаздывания.

Иначе поступаем, если функция задана следующим соотношением:

В этом случае осуществлен сдвиг вправо на графика функции , но не произведено «погашение» его нулем на участке . Поэтому запаздывания оригинала по времени не происходит, а функция представима в виде .

Для нахождения ее изображения воспользуемся равенством

Применив теоремы подобия и линейности, получим

Из этого примера следует, что при записи оригиналов, являющихся функциями запаздывающего аргумента , опускать множитель не рекомендуется во избежание недоразумений. Так, например, для обозначения оригиналов степенной и показательной функций запаздывающего аргумента с запаздыванием  следует пользоваться записью , , а не записью и .

Последнюю легко спутать с записью оригинала незапаздывающего аргумента: и .

Пример 9. Найти изображение функции

Решение. Для того, чтобы применить теорему запаздывания, предварительно преобразуем оригинал как функцию аргумента :

Заметим, что изображение этого оригинала можно найти согласно его определения:

Вычислив интеграл, мы получим тот же результат.

Теорема запаздывания является удобным способом для нахождения изображений кусочно-непрерывных функций.

Пример 10. Найти изображение функции

Решение. Пользуясь обобщенной единичной функцией, оригинал f(t) можно записать формулой

В этом равенстве отражен тот факт, что «сигнал» f₁(t)=(t—a) был «включен» в момент t=a и «выключен» в момент t=b. После этого включен сигнал f₂(t)=b—a.

Оригинал представим в виде

При нахождении его изображения исходим из соотношения

Используя теорему запаздывания оригинала, получим

Пример 11. Найти изображение функции

Решение. Функция есть свертка функций и . Согласно теореме умножения свертке двух функций соответствует произведение их изображений. Если учесть, что

, а ,

то указанной свертке оригиналов будет соответствовать изображение

Изображения элементарных функций получаются путем вычисления соответствующих несобственных интегралов, иногда довольно сложных и громоздких. Однако нет необходимости проделывать все вычисления каждый раз заново: достаточно составить таблицу изображений и пользоваться ею подобно тому, как мы пользуемся таблицей производных или неопределенных интегралов.

Приведем таблицу изображений наиболее часто встречающихся элементарных функций (табл. 2).

Таблица 2 – Оригинал – изображение

§2. Нахождение изображения по оригиналу

Изображение оригинала можно найти с помощью таблицы оригиналов и изображений, а также используя свойства преобразования Лапласа.

Найти изображения по оригиналам:

§3. Нахождение оригинала по изображению

Оригинал по изображению находиться с помощью обратного преобразования Лапласа по формуле обращения.

Здесь а – действительное число и , где – показатель роста оригинала f(t).

Правило 1. Если изображение – простейшая дробь III типа ( ), то необходимо в знаменателе дроби выделить полный квадрат, затем представить эту дробь в виде суммы двух дробей, выполнив почленное деление, и оригиналы полученных слагаемых найти по таблице 1.

Правило 2. Если разложение знаменателя дроби содержит множителем квадратный трехчлен и , то эту дробь можно методом неопределенных коэффициентов разложить на сумму простейших дробей, найти их оригиналы и полученные оригиналы сложить.

Теорема 1. (Первая теорема разложения). Если изображение F(p) представлено рядом Лорана, те при всех p, для которых , то соответствующий оригинал является суммой степенного ряда , сходящегося при всех

Теорема 2. (Вторая теорема разложения). Если изображение есть правильная несократимая рациональная дробь , знаменатель которой имеет m различных действительных корней соответственно кратности , то оригинал этого изображения есть функция

Следствие: Если изображение есть правильная несократимая рациональная дробь, знаменатель которой имеет только простые корни , то оригинал определяется по формуле

Найти оригиналы по изображениям:

99). а) ; б) ; в) ;

100). а) б) ;

102). а) б)

103). а) ; б) ;