Как найти производную по направлению

Как найти производную по направлению

Рассмотрим функцию двух переменных n =2; z = f ( x , y ). Под направлением мы будем понимать любой вектор на плоскости.

Определение 1. Направляющими косинусами данного направления называются косинусы углов, которые данное направление образуют с положительными направлениями осей координат. Направляющие косинусы данного направления — .

Направляющие косинусы любого направления в любом пространстве обладают следующим свойством: сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

На плоскости имеем

Если рассмотреть вектор , координатами которого являются направляющие косинусы данного направления, то этот вектор сонаправлен с вектором и имеет единичную длину.

Пусть даны точка и направление . Переместим точку М₀ вдоль направления на величину D l в точку М₁. Тогда функция и аргумент получат соответствующие приращения.

Функция получит приращение, которое называется приращением функции в данном направлении: ,

Из треугольника М ₀ М ₁ А: .

Из треугольника М ₀ М ₁ В: .

Определение 2. Предел отношения приращения функции в данном направлении к приращению направления, когда приращение направления стремится к нулю, называется производной функции в данном направлении (если этот предел существует и конечен);

Если направление совпадает с направлением оси ОХ, то производная по направлению совпадает с частной производной по переменной х. Аналогично производная по направлению оси ОУ совпадает с частной производной по переменной у.

Теорема. Производная по направлению равна сумме попарных произведений частных производных в данной точке на направляющие косинусы данного направления.

Доказательство. Приращение функции отличается от дифференциала на б.м. функции более высокого порядка чем приращения аргументов.

где при соответственно. Используя соотношения

Разделим обе части на

Перейдем в этом равенстве к пределу при , при этом

что и требовалось доказать. Доказательство для случая функции n переменных и направления , заданного направляющими косинусами проводится аналогично

Пример. Найти производную функции в точке М(1, 2) в направлении (4, -3).

Производная функции в точке в направлении вектора

Решение получаем, решая через калькулятор.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:


Тогда величина градиента равна:
grad(z)=(10xy+3y²) i +(5x²+6xy) j
Найдем градиент в точке А(1;1): grad(z)_A=(10·1·1+3·1²) i +(5·1²+6·1·1) j или grad(z)_A=13 i +11 j
Модуль grad(z):


Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:


Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a Пример №2 . Даны z=f(x; y), А(х₀, у₀).
Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А.
б) производную в точке А по направлению вектора а.

Пример №3 . Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2) .
z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^x

Решение.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:


Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).

Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a Пример №4 . Дана функция . Найти:
1) gradu в точке A(5; 3; 0) ;
2) производную в точке А в направлении вектора a = i -2 j + k .
Решение.
1. .
Найдем частные производные функции u в точке А.
;;
, .
Тогда
2. Производную по направлению вектора a в точке А находим по формуле

Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти cos α, cos β, cos γ, найдем единичный вектор a ₀ вектора a .
, где .

Пример №5 . Даны функция z=f(x) , точка А(х0, у0) и вектор a . Найти: 1) grad z в точке А ; 2) производную в точке А по направлению вектора a .
Решение.
Находим частные производные:


Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):


Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:


Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Поскольку ∂z/∂a , то заданная функция в направлении вектора a убывает.

4.1.3. Производная по направлению. Градиент

Пусть функция U = F (X, Y, Z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(X,Y,Z) и проведем из нее вектор S, направляющие косинусы которого cosA, cosB, cosG. На векторе S на расстоянии DS от его начала найдем точку М1(Х+DХ, у+DУ, Z+DZ), где

Представим полное приращение функции F в виде:

После деления на ΔS получаем:

Предыдущее равенство можно переписать в виде:

Называется Производной от функции U = F (X, Y, Z) По направлению вектора S и обозначается

Замечание 1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями Х = х0 И У = у0. Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению L в точке М(х0 , у0) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси OZ и прямой L.

Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции U = F (X, Y, Z) в этой точке, называется Градиентом функции U = F (X, Y, Z).

Свойства градиента

1. Производная по направлению некоторого вектора S Равняется проекции вектора grad U на вектор S.

Единичный вектор направления S имеет вид ES =, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad U и Es, то есть указанную проекцию.

2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad U |, если это направление совпадает с направлением градиента.

Обозначим угол между векторами S И grad U Через J. Тогда из свойства 1 следует, что

Следовательно, ее наибольшее значение достигается при J=0 и равно |gradU|.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad U , равна нулю.

4. Если Z = F (X,Y) – функция двух переменных, то

Направлен перпендикулярно к линии уровня F (X,Y) = C, проходящей через данную точку.

• Главная
• Заказать работу
• Стоимость решения
• Варианты оплаты
• Ответы на вопросы (FAQ)
• Отзывы о нас
• Примеры решения задач
• Методички по математике
• Помощь по всем предметам
• Заработок для студентов

Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры

Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x) , соответствующее приращению аргумента x . Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x , y , z отображаются на осях Оx , Оy , Оz . Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.

Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:

1) функцию u = f(M) , определённую в окрестности точки M с координатами x , y , z ;

Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l . На получившейся прямой отметим точку M 1 , координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:

Величину отрезка MM 1 можно обозначить .

Функция u = f(M) при этом получит приращение

Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Примеры нахождения производной по направлению

Пример 1. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора .

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.

Пример 2. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора , где M 1 — точка с координатами (3; 0) .

Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора .

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Градиент функции

Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

Пример 4. Найти градиент функции в точке M 0 (2; 4;) .

Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:

Поделиться с друзьями

Производные

• Что такое производная
• Найти производную: алгоритм и примеры решений
• Производные произведения и частного функций
• Производная суммы дробей со степенями и корнями
• Производные простых тригонометрических функций
• Производная сложной функции
• Производная логарифмической функции
• Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
• Дифференциал функции
• Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
• Правило Лопиталя

Функции нескольких переменных

• Функция двух и более переменных. Её область определения
• Поверхности второго порядка
• Частные производные
• Касательная плоскость и нормаль к поверхности
• Производная по направлению, градиент функции
• Экстремумы функции двух переменных
• Условные экстремумы и функция Лагранжа