Как найти центр окружности описанной около треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Что такое окружность, описанная около треугольника? Что является центром этой окружности? Как расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности.

При этом треугольник называется вписанным в окружность .

Расстояние от любой вершины треугольника до центра описанной окружности равно радиусу этой окружности.

Окружность можно описать около любого треугольника.

Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (то есть отрезков, перпендикулярных к сторонам треугольника и проходящих через середины этих сторон).

Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника (напротив тупого угла, за большей стороной).

Найти центр описанной около треугольника окружности.

Чтобы выполнить задание необходимо знать как строится описанная около треугольника окружность. Представим себе ее для этого. Стороны треугольника — хорды окружности. Центр окружности находится на перпендикуляре к хорде, проведенном через ее середину. Построив данные перпендикуляры найдем в их пересечении центр описанной окружности. Предварительно способами преобразования чертежа строим натуральную величину треугольника.

Комментарии

Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь

Центр окружности описанной около треугольника

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы.

Примеры решения задач

Поэтому окружность с центром радиуса проходит через все три вершины треугольника а, значит, является описанной около треугольника .

Что и требовалось доказать.

см

Поскольку , то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, т.е.

см

см

Следовательно, из свойств средней линии

Как найти центр окружности описанной около треугольника

Вычислить координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами A(-1,1), B(2,-1), C(4,0).

Решение:
Центр описанной окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Найдем уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника и их угловые коэффициенты:
АВ: ;

Координаты середин сторон:
;
;
;

Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых имеют обратную пропорциональность:
; ;
Уравнения серединных высот: