Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
P(x) = + 2x = + x + x 3 = 6,
причём равенство достигается, если = x , т.е. при x = 2 . Следовательно, наименьшее значение периметра боковой грани параллелепипеда равно 6.

Ответ

Параллелепипед, сторона основания которого равна 2, боковое ребро равно 1; искомый периметр равен 6.

Источники и прецеденты использования

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Задача по математике — 11013

2023-02-21
Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объём каждого из которых равен 4, а основания являются квадратами. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислите этот периметр.

Обозначим через $x$ сторону основания прямоугольного параллелепипеда. Тогда его боковое ребро равно $\frac>$ Если $P(x)$ — периметр боковой грани параллелепипеда, то

значит, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции $P(x)=\frac>+2x$ на луче $(0;+\infty)$.
Первый способ. Найдём критические точки функции $P(x)=\frac>+2x$ на луче $(0;+\infty)$.

Лучу $(0;+\infty)$ принадлежит единственный корень этого уравнения $x=2$. На этом луче при $x\lt2$ производная функции $P(x)$ отрицательна, а при $x\gt2$ — положительна, поэтому на промежутке $(0;2)$ функция $P(x)$ убывает, а на промежутке $(2;+\infty)$ — возрастает. Значит, $x=2$ — точка минимума функции. Следовательно, $P(2)=6$ — наименьшее значение периметра боковой грани параллелепипеда.
Второй способ. Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что

причём равенство достигается, если $\frac>=x$, т.е. при $x=2$. Следовательно, наименьшее значение периметра боковой грани параллелепипеда равно 6.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Разделы

Дополнительно

МАТЕМАТИКА

• ВСЕ ЗАДАЧИ
• МЕХАНИКА
• – Кинематика
• – Динамика поступательного движения
• – Динамика вращательного движения
• – Статика
• ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

• ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
• ГИДРОСТАТИКА И ГИДРОДИНАМИКА
• ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
• ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
• КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
• АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

• ВСЕ ЗАДАЧИ
• — Элементарная математика
• — Элементарная арифметика
• — Элементарная алгебра
• — Теория элементарных функций и элементы анализа
• Высшая математика
• — Математический анализ

• — Теория вероятности и мат. статистика
• Геометрия
• — Планиметрия
• — Стереометрия
• Математическая логика
• — Комбинаторика
• — Теория графов

• ВСЕ ЗАДАЧИ
• — Неорганическая химия
• — Органическая химия

Задача по математике — 10877

Один выпуклый многогранник расположен внутри другого. Докажите, что площадь поверхности внешнего многогранника больше площади поверхности внутреннего.

Задача по математике — 10878

Внутри тетраэдра $ABCD$ выбрана точка $P$, причём $\angle PAD=\angle PBC$, $\angle PDA=\angle PCB$, $\angle APC=\angle BPD$. Докажите, что если $AC=BD$, то либо $AP=BP$, либо $AP=DP$.

Задача по математике — 10879

Теорема косинусов для трёхгранного угла. Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — плоские углы трёхгранного угла $SABC$ с вершиной $S$, противолежащие рёбрам $SA$, $SB$, $SC$ соответственно; $A$, $B$, $C$ — двугранные углы при этих рёбрах. Докажите, что

Задача по математике — 10880

Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — плоские углы трёхгранного угла $SABC$ с вершиной $S$, противолежащие рёбрам $SA$, $SB$, $SC$ соответственно; $A$, $B$, $C$ — двугранные углы при этих рёбрах. Докажите, что

Задача по математике — 10881

Все двугранные углы некоторого трёхгранного угла — острые. Докажите, что все его плоские углы — также острые.

Задача по математике — 10882

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объёмом и вычислите этот объём.

Задача по математике — 10883

В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два одинаковых шара радиуса $r$, центры которых находятся на оси симметрии пирамиды. Один из шаров касается всех боковых граней пирамиды, а второй — основания пирамиды и первого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объём пирамиды наименьший.

Задача по математике — 10884

Найдите высоту и радиус основания конуса наибольшего объёма, вписанного в сферу радиуса $R$.

Задача по математике — 10886

Сторона основания $ABC$ правильной пирамиды $PABC$ равна $a$, боковое ребро равно $b$. На каком расстоянии от прямой $BC$ следует провести сечение пирамиды, параллельное рёбрам $BC$ и $PA$, чтобы площадь его была наибольшей из возможных?

Задача по математике — 10887

Ребро $AB$ тетраэдра $ABCD$ является диагональю основания четырёхугольной пирамиды, ребро $CD$ параллельно другой диагонали этого основания, и концы его лежат на боковых рёбрах пирамиды. Найдите наименьший возможный объём пирамиды, если объём тетраэдра равен $V$.

Задача по математике — 10891

Периметр равнобедренного треугольника равен $P$. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём фигуры, полученной вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?

Задача по математике — 10892

Сторона основания $ABCD$ правильной призмы $ABCDA_<1>B_<1>C_<1>D_<1>$ равна $2a$, боковое ребро — $a$. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали $AD_<1>$ грани $AA_<1>D_<1>D$ и диагонали $DB_<1>$ призмы, параллельные плоскости $AA_<1>B_<1>B$.
а) Один из таких отрезков проведён через точку $M$ диагонали $AD_<1>$, для которой $AM:AD_<1>=2:3$. Найдите его длину.
б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.

Задача по математике — 10893

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен $V$, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $30^$. Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что одно из боковых рёбер лежит на диагонали основания пирамиды, одна из боковых граней параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковых гранях пирамиды. Найдите:
а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении $2:3$, считая от вершины;
б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.

Задача по математике — 10894

Найдите наибольший возможный угол между плоскостью боковой грани и не принадлежащим ей боковым ребром правильной четырёхугольной пирамиды.

Задача по математике — 10895

В правильной треугольной призме $ABCA_<1>B_<1>C_<1>$, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $BCA_<1>$.