Доказать что треугольник авс равнобедренный
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Доказать что треугольник авс равнобедренный
На стороне BC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что CM = MN = NB. К стороне BC в точке N восставлен перпендикуляр, пересекающий сторону AB в точке K. Оказалось, что площадь треугольника AMK в 4,5 раза меньше площади исходного треугольника. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
Решение
Заметим, что точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BM, поэтому треугольник BKM – равнобедренный. Пусть SABC = S. Тогда
SABM = ⅔ S, SBKM = SABM – SAKM = ⅔ S – 2 /9 S = 4 /3 S = ⅔ SABM . Значит, BK = ⅔ BA.
Поэтому KM || AC, то есть треугольник BAC подобен равнобедренному треугольнику BKM.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6251 |
№ 25. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.
1) Если BD — медиана и высота, то AD = DC, ∠ADB = ∠CDB = 90°, BD — общая. ΔABD = ΔCBD по двум катетам.
Откуда АВ = ВС, таким образом, ΔАВС — равнобедренный.
2) Если BD — высота и биссектриса, то ∠ABD = ∠DBC, ∠ADB = ∠BDC, BD — общая. ΔABD = ΔCBD по 2 катету и двум прилежащим углам.
Откуда АВ = ВС, таким образом, ΔАВС — равнобедренный.
3) Если BD — биссектриса и медиана: Продлим BD до точки В1, так, что BD = DB1. В ΔABD и ΔСDB1:
AD = DC (т.к. ВD — медиана) BD = DB1
∠ADB = ∠CDB1 (из построения, как вертикальные).
Таким образом, ΔABD = ΔCDB1 по 1-му признаку равенства треугольников.
Откуда ∠ABD = ∠CB1D, АВ = В1С. Аналогично ΔADB1 = ΔBDC. ∠AB1D = ∠DBC, AB1 = BC.
Т.к. ∠ABD = ∠DBC (т.к. BD — биссектриса), то ∠ABD = ∠DBC = ∠AB1D.
ΔВВ1А — равнобедренный, т.к. ∠ABD = ∠AB1D,
Таким образом, АВ = AB1 т.к. АВ1 = ВС, то АВ = ВС.
Следовательно, ΔАВС — равнобедренный по определению.
Источник:
Решебник по геометрии за 7 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №25
к главе «§ 3. Признаки равенства треугольников».
Как доказать, что треугольник ABC равнобедренный?
Треугольник в нижней части чертежа равнобедренный, т. к. у него есть два равных угла. Из того, что он равнобедренный следует наличие у него равных сторон, что поможет доказать равенство верхних треугольников. А из этого равенства будет следовать АВ=ВС.
Пусть О точка внутри треугольника.
Так угол 1= углу 2, то треугольник АОС равнобедренный по определению.
Значит, АО=ОС
Тогда треугольники АОВ и ВОС равны по 1 признаку (ОВ общая, АВ=ВС, угол 3=углу 4)
Значит угол ВАО= углу ВСО (как элементы равных фигур)
Тогда весь угол А равен всему углу С, а АВ=ВС
Значит треугольник АВС равнобедренный
Похожие вопросы