1.8.4. Базис и система координат пространства
Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.
Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний.
И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы , они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов!
Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)
Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными, и совершенно понятно, что базиса трёхмерного пространства они не создают.
Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)).
Определение: векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.
Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы не коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом: (почему?).
Справедливо и противоположное утверждение: три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга.
И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.
Определение: базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов, взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису , где – координаты вектора в этом базисе. Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.
Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки (начала отсчёта) и любых трёх линейно независимых векторов:
Выбранное (где угодно) начало координат , и некомпланарные векторы , взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координаттрёхмерного пространства: 
Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координаявляется «школьная» система. Начало координат и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат пространства: 
Ось абсцисс изображают под углом в по отношению к другим осям (к оси ординат и оси аппликат ). Популярный «тетрадный» масштаб: 1 ед. = 2 клетки по осям и 1 ед. = диагональ одной клетки – по оси .
И перед тем как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем теоретическую информацию:
Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не компланарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
Противоположные высказывания, думаю, понятны.
Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5), и оставшиеся практические задания параграфа будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Повесим на гвоздь геометрическую клюшку и начнём орудовать бейсбольной битой линейной алгебры:
Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: .
Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (результат не изменится). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.
Задача 42
Проверить, образуют ли векторы базис трёхмерного пространства:
а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке):
, значит, векторы линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы образуют базис.
б) Это пункт для самостоятельного решения. Не пропускаем! Для проверки правильности вычислений определителей я приложил к книге Алгебраический Калькулятор.
Решим творческую задачку:
Задача 43
При каком значении параметра векторы будут компланарны?
Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю:
По существу, требуется решить уравнение с определителем. Определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке:
Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению:
Ответ: при
Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение в исходный определитель и убедиться, что , раскрыв его заново.
И в заключение параграфа рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая встречается в подавляющем большинстве контрольных работ по алгебре и геометрии:
Задача 44
Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать свой базис. И первый этап полностью совпадает с решением Задачи 42 – необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы. Для этого нужно вычислить определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.
! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцы определителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.
Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: , где – координаты вектора в базисе .
Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор можно единственным образом разложить по данному базису:
, где – координаты вектора в базисе .
И по условию требуется найти координаты .
Для удобства объяснения поменяю части местами: . В целях нахождения следует расписать данное равенство покоординатно:
– коэффициенты левой части берём из опр-ля ,
в правую часть записываем координаты вектора .
Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают по формулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.
Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.
Дальнейшее дело техники:
и ещё один определитель:
Таким образом:
– разложение вектора по базису .
Ответ:
Такая же задача для самостоятельного решения:
Задача 45
Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.
Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце книги. Для самоконтроля используйте тот же Алгебраический Калькулятор, где есть макет с автоматическим расчётом системы по правилу Крамера.
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.
Как доказать что система векторов является базисом
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС
Контакты
Администратор, решение задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
Как доказать, что векторы образуют базис?
Даны векторы a=(-2,1,3), b=(3,-6,2) c=(-5,-3,-1),d=(31,-6,22)
Доказать что a,b и с образуют базис и найти координаты вектора d вэтом базисе.
Лучший ответ
Определитель, составленный из координат векторов a, b и c равен -148, т. е. он отличен от нуля, а поэтому векторы a, b и c образуют базис.
Пусть x1, x2, x3 — координаты вектора d в этом базисе, т. е. d=x1*a+x2*b+x3*c. Расписывая это уравнение по координатам получим систему
-2×1+3×2-5×3=31
x1-6×2-3×3=-6
3×1+2×2-x3=22
Решая её, получим х1=3, х2=4, х3=5.
11. Базис множества векторов и всего линейного пространства
Числа Называются координатами вектора В базисе , а выражение — разложением вектора По базису .
Теорема (о единственности разложения по данному базису).
Разложение любого вектора по базису является единственным.
Доказательство. Предположим, что для вектора Наряду с разложением имеется другое разложение . Вычитая одно разложение из другого, получим равенство .
Поскольку базисные векторы линейно независимы, то из полученного равенства следуют равенства , что и доказывает теорему.
Следствие. Любые два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты в каком – либо базисе.
Таким образом, при фиксированном базисе линейного пространства каждый вектор однозначно определяется своими координатами в этом базисе.
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство. Пусть любые два вектора Имеют в базисе разложения , . Из аксиом линейного пространства следует, что сумма векторов И произведение вектора на число представимы в виде , .
Отсюда и теоремы о единственности разложения векторов по данному базису следует истинность доказываемой теоремы.
Теорема о базисном миноре.
Базисные строки (столбцы) линейно независимы и образуют базис в системе всех строк (столбцов) произвольной матрицы размера .
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все рассуждения достаточно провести для строк, так как, транспонировав исходную матрицу, мы получим доказательство для столбцов матрицы .
Линейную независимость базисных строк будем доказывать методом от обратного.
Пусть некоторые базисные строки линейно зависимы. Тогда одна из этих строк является линейной комбинацией остальных строк. Но тогда из свойств определителей следует, что базисный минор равен нулю. Базисный минор по определению не должен быть равен нулю. Таким образом, исходное предположение ложно и базисные строки линейно независимы.
Докажем теперь, что любая строка произвольной матрицы размера является линейной комбинацией базисных строк. Для удобства в обозначениях будем считать, что базисный минор стоит на пересечении первых строк и первых столбцов. Это предположение не ограничивает общности доказательства теоремы, так как всегда можно переставить базисные строки и столбцы таким образом, чтобы базисный минор находился в левом верхнем углу матрицы . При таких перестановках может измениться знак определителя, но он не может стать равным нулю, что изменило бы ранг матрицы.
Пусть – любое число от 1 до , а – любое число от 1 до . Убедимся в том, что любой определитель порядка :
Равен нулю. Если или , то указанный определитель будет равен нулю в силу того, что у него будет два одинаковых столбца или две одинаковые строки. Если оба числа и Строго больше , то любой указанный определитель будет иметь порядок , и равен нулю по определению базисного минора. Таким образом, при любых значениях и наш определитель всегда нулю. Разложим этот определитель по последнему столбцу:
Алгебраические дополнения к элементам последнего столбца с номером ,очевидно, не зависят от элементов с номерами, содержащими . Поэтому в крайней правой части нашего разложения они обозначены буквами , не включающими индекс . Значение всегда не равно нулю, так как оно с точностью до знака совпадает со значением базисного минора. Разделив последнее равенство на число , мы получим, что
Эти равенства справедливы для любых чисел и , и означают, что любая строка с номером Является линейной комбинацией первых базисных строк. Таким образом, теорема полностью доказана.
Из теоремы о базисном миноре вытекают два важных следствия.
1. Для любой матрицы число линейно независимых строк равно числу линейно независимых столбцов и равно рангу матрицы.
2. Определитель любого порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его строки или его столбцы линейно зависимы.
Отметим, что по закону контрпозиции равносильное свойству 2 утверждение формулируется следующим образом: определитель отличен от нуля тогда и только тогда, когда его строки или его столбцы линейно независимы.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из этой строки указанную линейную комбинацию, мы, не изменяя величины определителя, получим матрицу, содержащую нулевую строку. Определитель такой матрицы всегда равен нулю, что и требовалось доказать.
Покажем, что условие линейной зависимости столбцов квадратной матрицы является необходимым для равенства нулю определителя матрицы. Если определитель порядка равен нулю, то его базисный минор имеет порядок, заведомо меньший . Но тогда хотя бы одна из строк является не базисной. По теореме о базисном миноре эта строка может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк, что и означает линейную зависимость всех строк исходной матрицы. Следствие полностью доказано.
- Главная
- Заказать работу
- Стоимость решения
- Варианты оплаты
- Ответы на вопросы (FAQ)
- Отзывы о нас
- Примеры решения задач
- Методички по математике
- Помощь по всем предметам
- Заработок для студентов