Закрасьте прямоугольники в которых записаны последовательность символов

Основные элементы текстового документа

Текст документа текстового редактора содержит следующие элементы: символ, слово, предложение, абзац.

Редактирование – преобразование, обеспечивающее добавление, удаление, перемещение или исправление содержания документа. Редактирование документа обычно производится путем добавления, удаления или перемещения символов или фрагментов текста.

Форматирование – преобразование, изменяющее форму представления документа.

Любой документ состоит из страниц, поэтому в начале работы над документом необходимо задать значения параметров страницы: формат, ориентацию, поля и др. Стандартным является формат страницы А4. Существуют две возможные ориентации страницы – книжная и альбомная. Для обычных текстов чаще используется книжная ориентация, а для таблиц с большим количеством столбцов — альбомная.

Форматирование абзацев. Абзац является одним из основных объектов текстового документа. В компьютерных документах абзацем является любой текст, заканчивающийся управляющим символом (маркером) конца абзаца – обеспечивается при нажатии клавиши .

При форматировании абзаца задаются параметры его выравнивания (расположение текста относительно границ полей страницы), отступы и интервалы (расстояние между строк), отступ красной строки и т.д.

Форматирование символов. Символы – это буквы, цифры, пробелы, знаки пунктуации, специальные символы (@, *, ). Символы можно форматировать (изменять их вид), задавая шрифт, размер и начертание.

Шрифт – полный набор символов определенного начертания, включая прописные и строчные буквы, знаки препинания, специальные символы, цифры и знаки арифметических действий. каждый шрифт имеет свое название, например, Times New Roman, Arial, Courier.

Размер шрифта. Единицей измерения шрифта является пункт (1пт = 0,376 мм). В текстовом редакторе Word по умолчанию используется шрифт размером 12 пт.

Начертание. Кроме нормального (обычного) начертания символов обычно применяют полужирное, курсивное и подчеркнутое, а также их комбинации.

Формат файла определяет способ хранения текста в файле. Простейший формат текстового файла (ТХТ) содержит только символы (числовые коды символов), другие же форматы (DOC, RTF, ODT, DOCX, PDF) содержат дополнительные управляющие числовые коды, которые обеспечивают форматирование текста.

Встраиваемые объекты. Это таблицы, рисунки, различные геометрические фигуры для создания схем, декоративный текст, диаграммы.

Гипертекстом называют любой текст, в котором обнаруживаются какие-либо ссылки на другие фрагменты – гиперссылки. Это активные области текста, при нажатии на которые пользователь перемещается на заданный фрагмент информации (место в этом же документе, другой документ или файл, страница в Интернете).

Б16. Технологии работы с графической информацией. Растровая и векторная графика. Аппаратные средства ввода и вывода графических изображений. Прикладные программы работы с графикой. Графический редактор. Основные инструменты и режимы работы.

Изображения на компьютере можно хранить в двух форматах: в растровом и в векторном.

Растровое изображение хранится с помощью точек различного цвета (пикселей), которые образуют строки и столбцы. Любой пиксель имеет фиксированное положение и цвет. Качество растрового изображения определяется размером изображения (числом пикселей по горизонтали и вертикали) и количеством цветов, которые могут принимать пиксели.

При увеличении или уменьшении растрового изображения ухудшается качество изображения – теряется разборчивость мелких деталей при уменьшении или появляется ступенчатый эффект при увеличении изображения.

Основная проблема растровых изображений — масштабирование. Если увеличивать растровое изображение, то через некоторое время появится «зернистость». То есть, Вы увидите пиксели, так как их размер уже стал заметен глазу.

В противовес растровым векторные изображения представляют собой, по сути, совокупность различных «простых» объектов: точек, эллипсов, прямоугольников, линий, окружностей). Для этих объектов задаются их размеры (относительные, обычно), координаты (определяют местоположение на рисунке). Соответственно, такие изображения легко масштабировать, так как масштабирование сводится просто к увеличению каждой фигуры (например, к увеличению радиуса окружности).

Основным недостатком векторной графики является нереалистичность. Достаточно сложно с помощью простых фигур нарисовать, например, листик дерева, с тенями, изгибами и пр. Хотя современное программное обеспечение стремительно развивается, и векторные изображения всё больше и больше приближаются к растровым в плане реалистичности.

Универсальным устройством вывода информации является монитор. Современные мониторы имеют разный размер, например в компьютерном классе 17-ти дюймовые жидкокристаллические экраны. Изображение, которое хранится в виде ноликов и единичек в видеопамяти, специальным образом декодируется и отображается на экране. Частота современного монитора не меньше 60 Гц (то есть, каждую секунду изображение меняется, как минимум, 60 раз), что обеспечивает комфортность восприятия (в телевизоре, например, эта частота равна 24-25).

Для создания так называемое «твёрдой копии» используют принтеры. Принтер — специальное устройство, позволяющее вывести на бумагу информацию из компьютера. Существует на данный момент два основных типа домашних принтеров: струйные и лазерные.

• Сенсорный экран. Позволяет вводить информацию через нажатие на нужную часть экрана. Примеры: платёжные терминалы, смартфоны с сенсорным экраном (iPhone), планшетники (iPad).

• Графический планшет. Представляет собой небольшую поверхность, по которой водят специальной ручкой-пером. Эти движения передаются в компьютер и там обрабатываются. Используется преимущественно дизайнерами.

• Сканер. Специальное устройство, которое предназначено для ввода в компьютер графической или текстовой информации. Сканер переводит изображение из материального (аналогового) состояния (бумага, к примеру) в цифровое.

• Цифровые фото- и видеокамеры.

Для обработки изображений на компьютере используются специальные программы — графические редакторы. Графический редактор – это программа создания, редактирования и просмотра графических изображений. Графические редакторы можно разделить на 2 категории: растровые и векторные.

Растровые графические редакторы являются наилучшим средством обработки фотографий и рисунков, поскольку растровые изображения обеспечивают высокую точность передачи градаций цветов и полутонов. Примеры: простейшее стандартное приложение Paint, мощная профессиональная графическая система Adobe Photoshop, а также GIMP, для обработки фотографий — Picasa.

Векторные графические редакторы. Их можно рассматривать как графические конструкторы, которые позволяют создавать рисунки из отдельных объектов (графических примитивов) — чертежи, схемы и т.д. К векторным графическим редакторам относятся графический редактор, встроенный в текстовый редактор Word, OpenOffice Draw. Профессиональные графические системы – CorelDRAW, Adobe Illustrator, КОМПАС.

Панели инструментов графических редакторов:

• набор инструментов для создания или рисования простейших графических объектов: прямой линии, кривой, прямоугольника, эллипса, многоугольника и т.д.;
• выделяющие инструменты – для выделения изображения и последующего копирования, перемещения, изменения размеров и т.д.;
• инструменты редактирования рисунка – для внесения изменений в рисунок – стирать его части, изменять цвета и т.д.;
• палитра – содержит набор цветов, используемых для рисования объектов;
• текстовые инструменты – для добавления в рисунок текста и форматирования его;
• масштабирующие инструменты – увеличение или уменьшение масштаба рисунка (например, Лупа).

Б17. Табличные базы данных (БД) основные понятия (поле, запись, первичный ключ записи); типы данных. Системы управления базами данных и принципы работы с ними. Поиск, удаление и сортировка данных в БД. Условия поиска (логические выражения); порядок и ключи сортировки.

База данных (БД) позволяет упорядоченно хранить данные о большом количестве однотипных объектов, обладающих одинаковым набором свойств.

Базами данных являются, например, различные справочники, телефонные справочник, энциклопедии и т.п.

Информация в БД хранится в упорядоченном виде. Так, в записной книжке все записи упорядочены по алфавиту, в библиотечном каталоге либо по алфавиту (алфавитные каталог), либо в соответствии с областью знания (предметные каталог).

Существует несколько различных типов БД: табличные, иерархические и сетевые.

Табличная БД содержит перечень объектов одного типа, т.е. объектов с одинаковым набором свойств. Такую БД удобно представлять в виде двумерной таблицы. Например: БД «Записная книжка», представляющую собой перечень объектов (людей), каждый из которых имеет фамилию. В качестве характеристик (свойств) могут выступить адрес и телефон

ФИО	Адрес	Телефон
Иванов С.В.	Можаева 17-5	21-09
Петрова Н.В.	Гвардейская 7-24	32-14

Столбцы такой таблицы называются полями: каждое поле имеет свое имя (ФИО, адрес, телефон) и типом данных (ФИО и Адрес – текстовые, телефон – числовой).

Поле базы данных – это столбец таблицы, включающий в себя значения определенного свойства.

В каждой таблице желательно, по крайней мере, одно ключевое поле (первичный ключ).

Первичный ключ – поле или группа полей таблицы БД, значение которых (или комбинация значений которых) не повторяется у разных записей. Например, в какой-то мере первичным ключом является номер паспорта человека.

Строки таблицы называются записями, каждая запись содержит набор значений различных свойств объекта. Например – запись об Иванове С.В. содержит всю информацию о нем.

1. числовой – только числа (целые, вещественные )

2. символьный — слова, цифры

4. дата/время (значения день, месяц, год, часы, минуты)

5. логический (наличие/отсутствие, правда/ложь, true/false)

Иерархические БД – графически могут быть представлены как дерево, состоящее из объектов различных уровней. Верхний уровень занимает один объект, второй – объекты второго уровня и т.д.

Между объектами существуют связи, каждый объект может включать в себя несколько объектов более низкого уровня. Каждый элемент нижнего уровня имеет только одного предка и любое количество потомков.

Примером иерархической БД является Каталог папок Windows. Вершина – Рабочий стол. На втором уровне находятся папки Мой компьютер, Корзина, Мое сетевой окружение, которые представляют собой потомков папки Рабочий стол. Папка Мой компьютер – предок по отношению к дискам A:, С:.

Сетевые базы данных – образуются обобщением иерархической за счет допущения объектов, имеющих более одного предка. То есть каждый элемент уровня может быть связан с любыми элементами любых уровней – не накладывается ограничений на связи между объектами. Пример – Всемирная паутина сети Интернет. Гиперссылки связывают между собой миллионы документов в единую сетевую базу данных.

Система управления базами данных (СУБД)– например Microsoft Access, OpenOffice Base. Предназначены для создания баз данных, а также выполнения операции поиска и сортировки данных.

Режимы работы СУБД:

• создание БД (подготовка файла для будущих таблицы )

• заполнение БД (добавление новых записей )

• редактирование БД (изменение данных и структуры )

Работа с СУБД начинается с создания структуры базы данных, т.е. с определения

• типов столбцов (текст/число/дата).

Следующий этап – заполнение таблицы данными. В готовой таблице можно добавлять, удалять записи и поля, сортировать данные (например, по алфавиту). Для поиска информации в базе данных используются фильтры и запросы. Для записи условий поиска используются логические выражения. Например, для поиска в базе данных «Библиотека» книг Пушкина логическое выражение будет таким: АВТОР= «А.С. Пушкин».

Б18. Технология обработки информации в электронных таблицах (ЭТ). Структура электронной таблицы. Типы данных: числа, формулы, текст. Правила записи формул. Основные встроенные функции. Абсолютные и относительные ссылки. Графическое представление данных.

Электронные таблицы – это программа обработки числовых данных, хранящая и обрабатывающая данные в прямоугольных таблицах.

Электронная таблица состоит из столбцов и строк. Заголовки столбцов обозначаются буквами или сочетаниями букв (A, D, AB и т.д.), заголовки строк – числами. Ячейка – место пересечения столбца и строки.

Каждая ячейка имеет свой собственный адрес, он составляется из заголовка столбца и заголовка строки, например: А1, С15 и т.д. Ячейка, с которой производятся какие-то действия, выделяется рамкой и называется активной.

Типы данных. Электронные таблицы позволяют работать с тремя основными типами данных: число, текст и формула.

Числа в электронных таблицах Excel могут быть записаны в обычном числовом или экспоненциальном формате, например: 195,2 или 1,952Е+02. По умолчанию числа выравниваются в ячейке по правому краю.

Текстом является последовательность символов, состоящая из букв, цифр и пробелов, например, запись «32 Мбайт» является текстовой. По умолчанию текст выравнивается в ячейке по левому краю.

Формула должна начинаться со знака равенства и может включать в себя числа, имена ячеек, функции (математические, статистические, финансовые, дата и время и др.) и знаки математических операций. Например, формула «=А1+В2» обеспечивает сложение чисел, находящихся в ячейках А1 и В2. При вводе формулы в ячейке отображается не сама формула, а результат вычислений. При изменении исходных данных формулы меняется и результат.

Абсолютные и относительные ссылки. В формулах используются ссылки на адреса ячеек. Существует 2 основных типа ссылок: относительные и абсолютные. Различия между ними проявляются при копировании формулы из активной ячейки в другую ячейку.

Относительная ссылка в формуле используется для указания адреса ячейки, вычисляемого относительно ячейки, в которой находится формула. При перемещении или копировании формулы из активной ячейки относительные ссылки автоматически обновляются в зависимости от нового положения формулы. Относительные ссылки имеют следующий вид: А1, В3.

Абсолютная ссылка в формуле используется для указания фиксированного адреса ячейки. При перемещении или копировании формулы абсолютные ссылки не изменяются. В абсолютных ссылках перед неизменяемым значением адреса ячейки ставится знак доллара (например $D$1).

Смешанные ссылки – адрес доллара стоит перед названием столбца ($F5) или перед номером строки (C$2).

Возможности электронных таблиц:

• позволяют осуществлять сортировку данных по возрастанию или убыванию;
• возможен поиск данных с помощью фильтров в соответствии с указанными условиями (больше, меньше, равно и т.д.);
• позволяют представлять числовые данные в виде диаграмм и графиков.

Встроенные функции.Формулы могут включать в себя не только адреса ячеек и знаки арифметических операций, но и функции. Электронные таблицы имеют несколько сотен встроенных функций, которые подразделяются на категории: Математические, Статистические, Финансовые, Дата и время и т.д. Часто используемые функции: СУММ (SUM) – автосумма, МАКС (MAX) — нахождение наибольшего числа из диапазона, МИН (MIN) – нахождение наименьшего числа из диапазона, СТЕПЕНЬ (Х^Y) – степенная функция, КОРЕНЬ и др.

Электронные таблицы позволяют представлять числовые данные в графическом виде – в виде диаграмм или графиков. Диаграммы бывают различных типов (столбчатые, круговые и т. д.); выбор типа диаграммы зависит от характера данных.

Б19. Основные принципы организации и функционирования компьютерных сетей. Интернет. Информационные ресурсы и сервисы компьютерных сетей: Всемирная паутина, файловые архивы, интерактивное общение. Назначение и возможности электронной почты. Поиск информации в Интернете.

Компьютерная сеть – это совокупность компьютеров и различных устройств, обеспечивающих информационный обмен между компьютерами в сети без использования каких-либо промежуточных носителей информации. Создание компьютерных сетей вызвано потребностью пользователей удалённых друг от друга компьютеров в одной и той же информации. Сети предоставляют пользователям возможность не только быстрого обмена информацией, но и совместной работы над документами и даже техникой. Например, в современных офисах принтеры и сканеры являются сетевыми, то есть любой авторизованный пользователь имеет к ним доступ. Это избавляет от необходимости покупки большего количества техники.

Локальные компьютерные сети – объединяют компьютеры, установленные в одном помещении или здании (соседних зданиях). Например – школьная локальная сеть.

Типы локальных сетей:

• одноранговая сеть – все компьютеры равноправны, пользователи самостоятельно решают какие ресурсы своего компьютера (диски, папки, файлы) сделать общедоступными;
• сеть на основе сервера – есть один более мощный компьютер (сервер), на нем хранятся большие объемы информации, программы-приложения, он разрешает доступ к ресурсам сети, доступ в Интернет.

Глобальные компьютерные сети – объединяют большое количество компьютеров удаленных друг от друга. Виды глобальных сетей:

• региональные компьютерные сети – объединяют компьютеры в пределах одного региона (города, страны, континента);
• корпоративные компьютерные сети – объединяет компьютеры принадлежащие одной компании, корпорации, фирме с целью защиты информации от несанкционированного доступа. Пример – военные, банковские сети;
• сеть Интернет – глобальная компьютерная сеть, объединяющая многие локальные, региональные и корпоративные сети и включающая в себя десятки миллионов компьютеров.

Сеть Интернет привлекает пользователей своими информационными ресурсами и сервисами (услугами). В настоящее время услугами Интернета пользуются несколько сотен миллионов человек и это количество постоянно увеличивается.

Электронная почта – наиболее распространенный сервис Интернета, так как является исторически первой услугой Интернета и не требует высокоскоростных и качественных линий связи.

Любой пользователь может получить свой почтовый ящик на одном из почтовых серверов Интернета, в котором будут храниться передаваемые и получаемые электронные письма. Чтобы электронное письмо дошло до адресата, оно, кроме текста послания, обязательно должно содержать электронный адрес получателя.

Адрес электронной почты состоит из 2 частей, разделенных значком @ (собачка):

имя_пользователя@ имя_сервера. Например: ivanov@yandex.ru.

Чтобы отправить электронное письмо, отправитель должен подключиться к Интернету и передать на свой почтовый сервер сообщение. Почтовый сервер сразу же отправит письмо через систему почтовых серверов Интернета на почтовый сервер получателя, и оно попадет в его почтовый ящик. Получатель получит письмо только после того, как соединится с Интернетом и скачает почту со своего почтового ящика.

Всемирная паутина (World Wide Web, WWW) – это десятки миллионов серверов Интернета, содержащих Web-страницы, в которых применяется технология гипертекста. Суть технологии гипертекста – текст структурируется, т.е. в нем выделяются слова-ссылки. При активизации ссылки (например, с помощью щелчка мыши) совершается переход на фрагмент текста, заданный в ссылке.

Чтобы начать путешествие по Всемирной паутине, необходимо подключиться к Интернету и запустить какой-нибудь браузер (например, Internet Explorer, Mozilla Firefox, Opera) и ввести в адресную строку URL-адрес страницы, например: http://www.yandex.ru.

Файловые архивы. Существуют десятки тысяч серверов Интернета, являющиеся серверами файловых архивов, и на них хранятся сотни миллионов файлов различных типов (программы, драйвера устройств, графические и звуковые файлы и т.п.). Пользователи могут «скачать» необходимые файлы непосредственно из Интернета. Доступ к файлам на серверах файловых архивов осуществляется с помощью протоколов HTTP или FTP. Например, ссылка на скачивание файла file.exe с сервера ftp.metodist.ru по протоколу ftp может быть такой: ftp://ftp.metodist.ru/file.exe

Поисковые системы – предназначены для поиска информации в Интернете среди сотен миллиардов Web-страниц. Примеры наиболее популярных поисковых систем: Yandex, Rambler, Google. Поиск можно осуществлять в тематических каталогах (например, информацию о поступлении в нужный институт можно найти в каталоге «Образование»). Можно найти нужную информацию введя нужное слово или фразу в специальную строку поиска. В результате на экран будет выведен список страниц с краткой аннотацией (пояснением).

Б20. Понятие модели. Информационная медаль. Виды информационных моделей (на примерах). Реализация информационных моделей на компьютере. Пример применения электронной таблицы в качестве инструмента математического моделирования.

Модели играют чрезвычайно важную роль в проектировании и создании различных технических устройств, машин и механизмов, зданий и т.д.

Моделирование – это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей.

• Объекты (например, Солнечную систему, атом, план комнаты и пр.)

• Явления (вращение Земли, северное сияние)

• Процессы (развитие Земли, эволюцию, котировки акций)

• Поведение (котировки акций, вектор развития отрасли)

Один и тот же объект в различных ситуациях может описываться различными моделями. С другой стороны разные объекты могут описываться одной моделью. Например, мы можем познавать всех животных по общим критериям, хотя, очевидно, что кошка сильно отличается от собаки.

Каждый объект имеет большое количество различных свойств. В процессе построения моделей выделяются главные, наиболее существенные для проводимого исследования свойства. Модель — это некий новый объект, который отражает существенные особенности изучаемого объекта, процесса или явления. Пример: глобус — модель земного шара.

Статьи к прочтению:

• Основные факторы повышения уязвимости информации.
• Основные характеристики микропроцессора

Основные элементы текстового документа

Похожие статьи:

• Основные элементы приложения excel Тема 1. НАЗНАЧЕНИЕ И ВОЗМОЖНОСТИ EXCEL Программа Microsoft Excel входит в пакет Microsoft Office и предназначена для подготовки и обработки электронных…
• Основные элементы политики безопасности Согласно Оранжевой книге , политика безопасности должна включать в себя по крайней мере следующие элементы: произвольное управление доступом;…

Алгебра, 8 класс, учебник в 3-х частях, часть 3 [Людмила Георгиевна Петерсон] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!

Л. Г. Петерсон, Н. X. Агаханов, А. Ю. Петрович,
О. К. Подлипский, М. В. Рогатова, Б. В. Трушин

УДК 373:51
Б Б К 22.1я721
П 29

Образовательная система Л. Г. Петерсон
«УЧУСЬ УЧИТЬСЯ»
Непрерывный курс математики
для дошкольников, учащихся начальной и основной
школы 1—9 (от 3 до 15 лет)

Петерсон, Л. Г. Алгебра. 8 класс : учебник (в 3 частях).
Ч. 3 / Л. Г. Петерсон, Н. X. Агаханов, А. Ю. Петрович,
О. К. Подлипский, М. В. Рогатова, Б. В. Трушин. —
2-е изд., стереотип.— М. : Просвещение, 2021. — 144 с.
+ [4 с., вкл.]: ил. — ISBN 978-5-09-080502-5.
У чебник ориентирован на разви ти е м ы ш л ен и я и твор­
ческих способностей у ч а щ и х ся , ф орм ирование у них систе­
мы прочных м атем атических зн ан и й , общ еучебных ум ений,
разви тие личностны х качеств, познавательного интереса и
ценностного отнош ения к образованию .
Я вл яется частью непреры вного УМ К по м атем атике «Учусь
учиться» д л я дош кольн иков, у чащ и хся н ачальной и основной
ш колы (от 3 до 15 лет). Соответствует ф едеральном у государ­
ственному образовательному стандарту основного общего обра­
зования.
Р еализует дидакти ческую систему деятельностного метода
обучения Л . Г. Петерсон. Отмечен П ремией П резидента Р Ф в
области образования.
М ожет использоваться во всех ти п ах ш кол.
Курсовую и методическую поддерж ку по реали зац и и УМК
«Учусь учиться* осущ ествляет НОУ ДПО «И нститут системно­
деятельностной педагогики». П одробную инф ормацию мож но
получить на сайте w w w .sch2000.ru .
У Д К 373:51
Б Б К 2 2 .1 я 7 2 1

IS B N 978-5-09-080502-5 (Ч . 3)
IS B N 978-5-09-080500-1

© АО «И здательство «П росвещ ени е*, 2021
© Л . Г. П етерсон , Н . X . А га х ан о в, А . Ю. П етрович, О. К . П одлипский,
М. В. Р огатова, Б. В. Т р у ш и н , 20 1 4 , 20 1 8 , с и зм енени ям и

Л. Г. П етерсон, Н .Х . Агаханов, А. Ю. Петрович,
О. К. П одлипский, М. В. Рогатова, Б. В. Труш ин

Алгебра
8 класс
Учебник
(в 3 частях)

Часть 3
2-е издание, стереотипное
Допущено
к использованию при реализации имеющих государственную
аккредитацию образовательных программ начального общего,
основного общего, среднего общего образования

Москва
«Просвещение»
2021

Чтобы учебником было удобно пользоваться,
в нём введены следующие обозначения:

задачи по новой теме для работы в классе,

задачи для домашней работы,

повторение ранее пройденного,

задачи на смекалку,
задания базового уровня,
более сложные задания по новым темам и темам
повторения,
задания, требующие умения находить
нестандартные способы решения,
Щ

— завершение доказательства теоремы,

* * * — более сложный материал для тех, кому интересно,
тест для самостоятельной проверки своих знаний:
http://metodist.lbz.ru/authors/matematika/б/

Рациональные уравнения и неравенства
§ 2. Дробно-рациональные уравнения

5.2.1. Дробно-рациональные уравнения

Тот, кто ищет методы, не имея в виду какой-либо
конкретной задачи, в большинстве случаев терпит неудачу.
Дэвид Гильберт (1862-1943),
немецкий математик

Теория алгебраических дробей, с которой мы познакомились в предыдущем пара­
графе, расширяет наши возможности при решении практических задач. В данном пун­
кте мы научимся решать задачи, математические модели которых содержат алгебра­
ические дроби. Раньше такие задачи нам уже встречались, но решить мы могли лишь
некоторые из них и достаточно громоздкими способами — методом перебора, методом
проб и ошибок. Теперь мы можем вывести удобный общий алгоритм их решения.
Рассмотрим вначале следующую задачу.
Задача.
Длина стороны первого квадрата на 3 см больше, чем длина стороны второго квад­
рата. Если площадь первого квадрата уменьшить на 7 см2 и разделить на длину сторо­
ны второго квадрата, то результат окажется на 12 см больше, чем результат от деления
площади некоторой фигуры, равной 2 см2, на длину стороны второго квадрата. Найти
площадь второго квадрата.
Решение:
Пусть длина стороны первого квадрата равна х, тогда длина стороны второго квад­
рата равна х — 3. Так как обе длины — величины положительные, х > 3.
Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:
‘ * ^ 1 — * — +12
х -3 x -S
———— ►
(х — З)2 =?

х>г
Для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо найти корни полученного
уравнения. Общего способа его решения у нас нет, так как оно содержит дробно-раци­
ональные выражения. Вместе с тем такие уравнения встречаются достаточно часто,
поэтому нам надо научиться их решать.
Сначала введём определение уравнений нового типа.
3

Глава 5, § 2, п .5 .2 .1
Определение 1. Уравнение, одна из частей которого является целым рациональным
выражением, а другая дробно-рациональным или обе части которого являются дробно­
рациональными выражениями, называется дробно-рациональным уравнением.
Например, дробно-рациональными являются следующие уравнения:

При этом в первых двух уравнениях используется только одна переменная. По­
этому их называют дробно-рациональными уравнениями с одной переменной. Именно
такие уравнения мы и рассмотрим в данном пункте.
Уравнение нового типа отличается от известных нам уравнений — в нём содержатся
дробно-рациональные выражения, которые теряют смысл при значении переменной,
обращающей знаменатель в ноль. Поэтому, решая дробно-рациональное уравнение, нужно
следить за тем, чтобы среди его корней таких значений не оказалось. Для построения нового
алгоритма нам необходимо ввести понятие области допустимых значений уравнения.
Определение 2. Областью допуст им ы х значений (ОДЗ) уравнения называется
множество значений переменной, при которых имеют смысл все выражения, входя­
щие в уравнение.
Из этого определения следует, что для нахождения ОДЗ дробно-рационального
уравнения надо найти пересечение областей определения всех алгебраических дробей,
х 2- 7
2
стоящих в его левой и правой частях. Так, ОДЗ уравн ен и я———= —— + 1 2 » полученх -д
X —о
ного в задаче, представляет собой множество всех чисел, не равных 3: х * 3.
Чтобы понять, как решать уравнения нового типа, вспомним, как решаются уже
известные нам аналогичные уравнения с дробями, знаменатели которых не содержали
переменной, например:
ж — 713

2 |в + 2*‘2
3(дс—7)
12
3 + 9
18
18 + — » З х — 2 1 = 12 + 4х дс = —33.
Мы умножили обе части уравнения на наименьший общий знаменатель данных
дробей, равный 18, привели уравнение к целым коэффициентам, а затем нашли х.
Попробуем теперь решить уравнение нового типа, применяя тот ж е способ на об­
ласт и его допустимых значений : х Ф3.
Приведём все слагаемые к общему знаменателю х — 3:
6

х г-7
2
1П
х г — 7 2 + 12(*-3)
х -3 х -3
х -3
х -3
Домножая обе части уравнения на общий знаменатель, получим:
я 2 — 7 = 2 + 12 (х — 3) » * 2 — 12* + 27 = 0.
Найдем корни квадратного уравнения по теореме, обратной теореме Виета:
х = 3 или х = 9.
Проверим, что полученные корни принадлежат ОДЗ уравнения (х / 3). Корень х = 3
не принадлежит ОДЗ, и его нужно исключить из множества решений. Такие корни на­
зывают посторонними корням и. Корень х = 9 принадлежит ОДЗ. Именно он и будет
решением исходного уравнения.
4

Глава 5, §2, п .5 .2 .1
Мы приходим к следующему алгоритму.
Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
1. Найти ОДЗ уравнения.
2. Привести обе части уравнения к общему знаменателю.
3. Домножить обе части уравнения на общий знаменатель.
4. Найти корни полученного уравнения.
5. Проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.
6. Записать в ответе те из найденных корней, которые принадлежат ОДЗ.
Теперь вернёмся к задаче, рассмотренной в начале пункта. Чтобы завершить её ре­
шение, нам осталось проверить, что найденный нами корень 9 удовлетворяет второму
неравенству из математической модели: 9 > 3 (истинно).
Найдем требуемую в условии задачи величину: (х — 3) 2= (9 — 3 )2 = 36.
О т в е т : площадь второго квадрата равна 36 см2.
Для решения задачи мы вывели общий алгоритм решения дробно-рациональных
уравнений, основанный на преобразовании дробно-рациональных выражений к це­
лым на ОДЗ уравнения. Однако в ряде случаев дробно-рациональное уравнение удоб­
нее решать, пользуясь условием р а в ен с тв а дроби нулю:
А=О
В фО
В соответствии с этим алгебраическая дробь равна нулю при тех, и только тех значениях
переменных, при которых её числитель равен нулю, а знаменатель нет. Значит, если дробА(х) Л
но-рациональное уравнение удается свести к виду
= 0, то мы сразу можем перейти
В < X )
к решению системы: целого рационального уравнения А(х) = 0 и неравенства В(х) Ф 0.

М
=0 «, 1|ВА(д
:)=0
В (х)
(х )*0
Поэтому, чтобы решить дробно-рациональное уравнение, можно собрать все его чле­
ны в левой части, привести дроби к общему знаменателю, а затем перейти к решению
системы, равносильной исходному уравнению. Например, уравнение, полученное нами
выше при решении задачи, можно решить с помощью этого способа следующим образом:
х 2- 7

хг-7
—1 2 = 0
х-3 х -3
I V — 1 2 * + 27 = 0
\х *3

х 2- 7 — 2 — 1 2 ( х — 3 )
х-3

Уравнение х г — \2 х + 27 = 0, как мы видели, имеет два корня, поэтому система рас­
падается на две системы:
V — 1 2 :c + 27 = 0

х = 3 или х = 9
ж+ 3

Первая система не имеет решения, а вторая — имеет решение х = 9. Значит, мы
получили тот же самый ответ, что и в предыдущем случае: исходное уравнение имеет
один корень х = 9.
5

Глава 5, §2, п .5 .2 .1

Таким образом, решение дробно-рационального уравнения можно свести к реше­
нию системы посредством следующего алгоритма.
Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
(с помощью условия равенства дроби нулю)
1. Перенести все слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки на
противоположные.
2. Привести все слагаемые в левой части уравнения к общему знаменателю

(тем самым записать уравнение в виде — = 0 ).
3. Составить систему

4. Решить первое уравнение системы и проверить, удовлетворяют ли полу­
ченные корни второму соотношению системы.
5. Записать в ответ те из найденных корней, которые удовлетворяют второ­
му соотношению системы.
Мы получили два способа решения дробно-рациональных уравнений, основанные
на преобразовании дробных выражений в целые с учётом ОДЗ и на условии равенства
алгебраической дроби нулю.
Пример 1.
Решить уравнение:

Решение:
Способ 1.
4
Зх2-8
+3
х 2- 4 *
х +2
ОДЗ: х*- ±2.
4(х-2) +3(хг -4) _ Зх2- 8
(х-2)(х +2)
(х-2)(х+2)
4 х — 8 + Зх2- 12 = Зхг — 8
4 х — 12 = 0
х =3
3 е ОДЗ.
Ответ: 3.
Способ 2.
Перенесём все слагаемые из правой части в левую и приведём их к общему знаме­
нателю:
4 |Э Зх2~8 _ 0 ^ 4 ( х — 2) +3(х2- 4 ) — ( З х 2-8 )
х +2 +Л х 2- 4
**
( х — 2 Н х +2)
4ж-8 + Зжг-12-Зж 2+ 8
(* -2 )(* + 2)
6

4х — 12
( х — 2) ( х +2)

Глава 5, §2, п .5 .2 .1

Составим и решим систему:
4 * -1 2 = 0
х =3
х = 3
( * — 2)( а: + 2)*0
( х -2 ) ( х + 2 ) ф 0
Ответ: 3.
Напомним, что равносильными называются уравнения, множества решений
которых совпадают. А преобразование уравнения называется равносильным, если
оно приводит к уравнению, равносильному данному.
При решении сложных, в том числе дробно-рациональных, уравнений нам по­
требуются следующие понятия.
Определение 3. Уравнение А является следствием уравнения В, если все корни
уравнения В являются корнями уравнения А.
Определение 4. Уравнения называются равносильными на множестве М, если
множества корней этих уравнений, принадлежащих множеству М, совпадают.
Например, уравнение х2 = 4 является следствием уравнения х = 2 (из равенства
чисел следует равенство их квадратов), но эти уравнения не равносильны (у первого
уравнения есть решение х = -2 , не являющееся решением второго). При этом эти
уравнения равносильны на множестве М = [0; +оо).
-1
Аналогично, уравнение х2 — 1 = 0 является следствием уравнения
=0, но
х -1
эти уравнения не являются равносильными. При этом данные уравнения равно­
сильны на ОДЗ х * 1 исходного уравнения

х -1
При решении уравнений нужно либо следить за равносильностью преобразова­
ний, либо после решения уравнения-следствия сделать проверку найденных кор­
ней, подставив их в исходное уравнение.

1) Какие из дробно-рациональных выражений не имеют смысла при
х = 3?
б)

2) Может ли -3 являться корнем уравнения

3) Укажите значения х, при которых потеряют смысл дробно-рациональные
2 х -2
18
х -6
выражения, входящие в уравнение
х +3 х 2- 9 х — 3
4) Укажите множество значений переменной, при которых имеют смысл все
2 х -2
18
выражения, входящие в уравнение—-—= —^ .
ж+ о х —9
5) Предположите, какое множество значений переменной называют областью
допустимых значений уравнения. Проверьте свое предположение с помощью
учебника.
7

Глава 5, §2, п .5 .2 .1 __________________________________________________ _

I Проанализируйте таблицу и попытайтесь составить определение дробно-рациональных уравнений, сопоставьте свой вариант с определением, приведённым
в учебнике.
Рациональные уравнения
Дробно-рациональные уравнения
Целые уравнения
1
= 0
х +1

2ж — 7 = О
— ж — 5 = ж- 4

1
5
жс—2
ж ж(ж-2)
2
ж+ 1
9 _ х
ж -4 + ж2-1 6 _ 2ж + 8

а) Чем похожи и чем отличаются данные уравнения:
ж -3 1 ж+ 5 ж — 6 | 1 ■ ж-12 „
5
4 20 И ж -4 ж ж(ж-4)
Укажите область допустимых значений для каждого из уравнений.
ж -3 1 ж+5
,
б) Решите уравнение—— +—= —— известным вам способом.
5
4 20
ж -6 1 ж-12
в) Решите данным способом дробно-рациональное уравнение —■■■+ —=
.
X

Какие дополнительные шаги необходимо выполнить при его решении?

г) Подойдёт ли способ, который вы использовали при решении этого уравнения
для решения всех дробно-рациональных уравнений? Составьте алгоритм решения
дробно-рациональных уравнений и сопоставьте его с алгоритмом на с. 5.
1) При каких значениях переменной равна нулю дробь?
а
2у-2
ж+10
а- 5
в)
б)
г)
Д) ‘
а) 8 ’
ж ’
ж -5 ’
у- 1 ’
Ь
2) Найдите корни уравнений, используя результаты выполнения предыдущего за­
дания:
2у-2
ж+ 10
а -5
— = 0 ;
=0.
=0 ;
=0 ;
8
ж
ж -5
у-1
3) Используя идею решения предыдущих уравнений, решите дробно-рациональ­
ное уравнение:

ж—1 ж2—1
ж+1
4) Составьте ещё один алгоритм решения дробно-рациональных уравнений и сопо­
ставьте его с алгоритмом на с. 6.

Решите дробно-рациональное уравнение двумя различными способами:
3
5
= 08-5ж 2-7ж
Какой из них вам больше понравился?

а) Рассмотрите ещё один способ решения этого уравнения.

3
5
8 — 5* 7 * -2
3 (7* — 2) = 5 (8 — 5*)
21* — 6 = 40 — 25*
46* = 46
ж = 1; 1 е ОДЗ.
Ответ.-. 1.
Какое свойство леж ит в основе этого решения?
б) Укажите уравнение, при решении которого удобнее использовать основное свой­
ство пропорции:
6
4 +£ + l_ j_
* -4 _ х -9
_ 4 -* =0
5ж + * 2- 9 * — 3
’
* +1
* ’
ж2- 9
Решите дробно-рациональное уравнение:
„ 5*2 +25* .
. 2
а) —
;— — = 0 ;
* +2 *
*+1
2- 4 *
г) 1+
=0 ;
б)
* +4
* -4
Решите дробно-рациональное уравнение:
2 * -7
1
1
й * 2- 9 * + 14 * 2- 3 * + 2 х — 1 ‘

х -1
1 _
*+1
ж3+Зж2 + ж + 3 + ж4-1 ж3+ 3ж2—* —3 ‘
Решите задачи № 9 -1 3 , составив дробно-рациональное уравнение.

а) Пешеход должен был пройти 6 км за определённый срок. Однако он задержался
с выходом на полчаса, поэтому, чтобы прийти вовремя, он шёл со скоростью, пре­
вышающей намеченную на 1 к м /ч . С какой скоростью шёл пешеход?
б) Поезд был задержан на станции на 20 минут. Чтобы наверстать потерянное
время, машинист увеличил скорость на 10 к м /ч и на отрезке пути в 100 кило­
метров ликвидировал отставание. С какой скоростью поезд шёл до задерж ки на
станции?

Ю I а) Катер прошёл 27 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на путь
по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Какова скорость катера
против течения реки, если скорость течения реки равна 3 км /ч?
б) Прогулочный теплоход в 10:00 вышел вниз по течению реки из пункта А
в пункт В. Пробыв в пункте В 3 часа, теплоход отправился назад и вернулся
в п ун ктА в 22:00. Определите собственную скорость теплохода, если известно,
что скорость течения реки 1,6 к м /ч , а расстояние между пунктами А и В равно
32,4 км (ответ выразите в км /ч).

Глава 5, §2, п .5 .2 .1
а) Завод заключил договор на выполнение 180 станков к определённому сроку.
Перевыполняя запланированную дневную норму на 2 станка, завод выполнил
заказ на 1 день раньше срока. За сколько дней завод выполнил заказ?
б) Через две трубы треть бассейна наполнится за 2 ч. За сколько часов каждая тру­
ба наполнит бассейн, если одной потребуется на 9 ч больше, чем другой?
Последовательно составьте математические модели каждой из задач и решите по­
следнюю из них:
1) Из пунктов А и В, расстояние между которыми составляет 6 км, вышли одновре­
менно навстречу друг другу два пешехода. Скорость первого на 3 км/ч больше ско­
рости второго, и поэтому он потратил на путь на 1 час меньше, чем второй. Сколько
времени был в пути второй пешеход, если шли они по одной и той же дороге?
2) Железнодорожные пути между пунктами А и В проходят только по одному
маршруту, длиной в 324 км. Из пункта А в пункт В выехал поезд. Через 1 ч 30 мин
из пункта В в пункт А выехал второй поезд. В пункты назначения они прибыли
одновременно. Найдите скорость второго поезда, если она на 5 м /с больше скоро­
сти первого (ответ выразите в км/ч).
3) Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км, выехали навстречу
друг другу велосипедист и мотоциклист. Мотоциклист выехал на 40 минут поз­
же велосипедиста. Встретились они на середине пути. Скорость мотоциклиста на
30 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите их скорости, если эти пункты
соединяет только одна дорога.
Последовательно составьте математические модели каждой из задач и решите по­
следнюю из них.
1) Два велосипедиста одновременно выехали из пункта А в пункт В, расстояние
между которыми равно 45 км. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости вто­
рого, поэтому он прибыл в пункт В на 30 мин раньше второго. Найдите скорость
второго.
2) Из города А в город В, расстояние между которыми равно 120 км, выехал автобус.
Через 1 ч вслед за ним по той же дороге выехала легковая машина, скорость кото­
рой на 20 км/ч больше, чем скорость автобуса. Легковая машина прибыла в пункт
В одновременно с автобусом. Найдите скорости автобуса и легкового автомобиля.
3) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 60 км, выехал авто­
бус. А через 20 минут вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которо­
го на 20 км/ч больше скорости автобуса. Автобус пришел в пункт В на 10 минут
позже легкового автомобиля. Найдите скорости автобуса и легкового автомобиля.
в з Запишите выражение в виде алгебраической дроби:
—

Упростите выражение:
771+ 2 ( п
1•
а) т -3 у

_й + 2’| Ь2
Ь- 2 ) Ь2 — 4

Разделите многочлен на многочлен:
а) (Зж3 + 2х2 — х — 4 ) : (ж — 1);

б) (ж5 — Зж‘ — Зж2 — 5ж + 2 ) : (ж + 1).

Глава 5 , § 2 , п .5 .2 .1

Выделите целую часть алгебраической дроби:
х^-Зх’ +Зх-Ь
х — 2 х -х + 2
б)а)
х +2
’
х -Ь
Решите систему, используя подходящую замену переменных
х
— = 1
—+ —= -2
~2х
2х+у у — 2 х
3У
* У
в)
б) 3
а)
1
18
1-®-9 ’
— = — 0,2
= -5
2х +у 2х — у
х
« У
Решите задачу, составив систему уравнений.
а) Сумма двух чисел равна -10. Если из большего числа вычесть меньшее, то полу­
чится 120. Найдите эти числа.
б) В билетной кассе железнодорожного вокзала в первой половине дня продали
25 взрослых и 12 детских билетов до Санкт-Петербурга, а во второй половине
дня — 15 взрослых и 20 детских билетов. При этом выручка в первой половине дня
оказалась на 10080 рублей больше, чем во второй половине дня. Каковы стоимость
детского и взрослого билетов, если стоимость детского билета составляет 35%
стоимости взрослого билета?

В колбе было 150 г 80%-го раствора кислоты. Лаборант отлил из колбы некоторое
количество раствора и затем добавил в неё столько же воды, чтобы получить 60% -й
раствор кислоты. Сколько граммов воды добавил лаборант?
Решите дробно-рациональное уравнение:
2 _5
г) 1+
х +4 х ’
18
х
5
Д) х — 3 х +3 х 2- 9 ’
4
2
х2
— +——= 4;
е)
1 х 2+1 ж * -Г
2х+1 х+1
Решите уравнение;
х +3
12
&) х 2+х х 2+3х + —= 0;

х +2
3
1
’ х 3-1 + х 2+х+1 = х — 1

|23_ Товарный поезд был задержан в пути на 18 минут, но затем на оставшихся 60 км

пути наверстал упущенное время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите перво­
начальную скорость поезда.

Г241 Катер прошёл 8 км по течению реки и 16 км против течения реки, затратив на весь
путь 1 — ч. Какова скорость катера по течению, если собственная скорость катера
3
равна 20 км/ч?
Завод заключил договор на выполнение 800 запасных деталей к определённому
сроку. Перевыполняя запланированную дневную норму на 20 деталей, завод
выполнил заказ на 2 дня раньше срока. За сколько дней завод выполнил этот
заказ?
11

Сравните условия задач. Составьте математические модели обеих задач и решите
одну из них.
1) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 20 км, выехал мотоциклист.
Через 6 минут вслед за ним выехал автобус, скорость которого на 10 км/ч больше
скорости мотоциклиста. Найдите скорости автобуса и мотоциклиста, если автобус
приехал в пункт В на 4 минуты раньше мотоциклиста.
2) Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 24 км, выехали навстре­
чу друг другу два велосипедиста. Скорость первого, который выехал на 20 минут
раньше второго, на 6 км/ч меньше скорости второго. Встретились они на середине
пути. Найдите их скорости.
Выполните действия:
г — я z s —s
Ь -За Ь-а
ж)
а)
Ы +bk t +k
2аЬ 2ab ‘
a3- d 3
a2+ad +d2
3 — р Зр +2
з)
у2+2уг +г2 » У+г
12 р2 8 Рг ’
т -п
тп2

х+2
2
х 2- 9 х 2- 3 х
3d2 4h’
2k 9d3 ’
е)

с2- 1 ц2+1
v* +v3 с2- с 1

4Ь2-2аЬ +аг! а 2 -4 Ь 2
а 3+8Ь3
(а -2 6 )2 ’
Зху2-1 2 х 3 . Зх2+6ху
S x3- y 3 Ах2+2ху +у2
а -6
а г + 10а + 25
а4- 1 а2 + а+1

L28j Выделите целую часть алгебраической дроби:

Зх3+х 2 -х +19
х +З

~29] Решите систему, используя подходящую замену переменных:
1
5
-=1
х +2 У- 1
5
3
+ — ^ — = -2
х +2 у — 1
Решите задачу, составив систему уравнений.
а) Скорость моторной лодки по течению реки составила 20 км/ч, а против тече­
ния — 15 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
б) На двух полках 64 книги. Если переставить со второй полки третью часть книг
на первую, то на первой станет в три раза больше книг, чем останется на второй.
Сколько книг было на каждой полке?

При каких значениях параметра а уравнение

_________
2
( х — а ) ( х — 1)

не имеет решения?
I 32 j Найдите все тройки положительных чисел, для которых выполняется равенство
■ а2(а-1)+ Ь 2(Ь-1)+с2(с-1) = а(а-1 )+ 6 (6 -1 ) + с(с-1).
12

________________________________________ Глава 5, §2, п.5.2.2

5.2.2.* Способы решения дробно-рациональных уравнений
Мне кажется, что, как правило, следует всегда
выбирать простейший путь,
а при одинаковых трудностях — наиболее ясный.
Лазар Карно (1753-1823),
французский государственный деятель, инженер и учёный
В предыдущем пункте мы вывели алгоритмы решения дробно-рациональных урав­
нений, основанные на преобразовании дробных выражений к целым с учётом ОДЗ и на
условии равенства алгебраической дроби нулю. Но известны и другие способы реше­
ния дробно-рациональных уравнений, которые позволяют в ряде случаев существенно
упростить решение. Познакомимся с несколькими такими способами на конкретных
примерах.
Замена переменной
При решении дробно-рациональных уравнений нередко эффективной бывает уже
знакомая нам замена переменной.
Пример 1.
7 — = 3|’ 92 -5 1+9.
Решите уравнение:—х-4
х -4
Решение:
1

с помощью новой переменной у, то есть сделав
х -4
1
замену у =—— , мы сможем представить наше уравнение в виде
х -4
7:/ = 3 (2 ^ — 5 ) + 9.
Заметим, что, обозначив

Тем самым от дробно-рационального уравнения с переменной х мы перешли
к линейному уравнению с переменной у. Решим последнее уравнение.
Ту = 3(2р — 5) + 9 7:/ = 6 :/-1 5 + 9 у = -6.
Вернемся к переменной х. Так как у =———, то — — = -6 . Мы получили уравнех -4
х-4
ние, равносильное данному, но имеющее существенно более простой вид:
1

х-4
Решим его по известному алгоритму. ОДЗ полученного уравнения: х * 4.
23
jc= 3-6 ( х — 4 ) о 1 = -6 х + 24 « -6* = -23
Так как 3 —* 4, то полученное значение х является корнем исходного уравнения.
6
Ответ
■■

Глава 5, §2, п .5 . 2 . 2 __________________________________________________
В рассмотренном примере мы ввели новое обозначение для алгебраической дроби.
Иногда же для упрощения решения уравнения бывает полезно обозначить новой пере­
менной более сложное повторяющееся выражение.
Пример 2.
1
1
5
Решите уравнени е——— ————— = — .
*-3 +Х + 2 + — 24
X

Сделав замену t = х + — , мы можем упростить первоначальное уравнение:
х
_ i _____i _ = _5_
t — 3 t+2 24′
Найдем ОДЗ полученного уравнения:
-2 .
Приведем обе части уравнения к общему знаменателю, равному 24(* — 3)(* +2),
и домножим на него обе части уравнения:
2 4 (t + 2 ) — 24(* — 3) = 5(t — 3 )(t + 2).
Упростим полученное уравнение и найдём его корни:
120 = 5(£2 — 3f + 2f — 6)

Полученные корни не равны ни 3, ни — 2 , то есть оба принадлежат ОДЗ. Поэтому
исходное уравнение распадается на два уравнения. Решим их.
1) х + — = 6
X

По теореме, обратной теореме Виета:

Корни первого уравнения не равны нулю, значит, они принадлежат ОДЗ и являют­
ся корнями исходного уравнения. Второе уравнение не имеет корней.
О т вет : Иногда замена переменных бывает не столь явной, и прежде чем понять, какое вы­
ражение удобно заменить новой переменной, уравнение требуется преобразовать.
Пример 3.
_
x z — 2 x _ 1 6 х -1 2
Решите уравнение: ——- —+ э = ——— — .
4 *-3
2х-х2
Р еш ен и е:
Преобразуем данное уравнение:
х 2- 2 х
_ 16Ж -12
х г — 2 х , 4 (4д :-3)
хг -2 х _
4
———-+ 5 = — ——=- ———-+ 5 = ———- y- / б 1 > .
К а к м ы в и д и м , п р и и с п о л ь зо в а н и и м е т о д а з а м е н ы п е р е м е н н о й н е т н е о б х о д и м о с т и
с р азу в ы п и с ы в а т ь О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я . Д о ст а т о ч н о с н а ч а л а н а й т и О Д З у р а в н е ­
н и я , п о л у ч е н н о го в р е з у л ь т а т е з а м е н ы п ер е м е н н о й , а п о то м О Д З одн ого и л и н е с к о л ь ­
к и х у р а в н е н и й , п о л у ч е н н ы х п о сл е в о з в р а т а к «стар о й » п ер е м е н н о й .

Одним из эффективны х способов реш ения дробно-рациональных уравнений явл яется
выделение целой части алгебраической дроби.
Выделение целой части
П рим ер 4.
Реш ите уравнение:

1 2 х -3 1
З х -9

Решение :
Н айдем ОДЗ — это множество рациональны х чисел, кроме х = 3; х = — 3 ; х = 1; х = — 1 .
Выделим целы е части во всех алгебраических дробях. Д ля этого разделим «в столбик» их
числители на знаменатели.
На ОДЗ данного у равнения мы м ож ем разделить числители всех алгебраических дробей на
их знаменатели. Тогда получаем:
5
л
5
— 2= 5+З х -9
Зх+9
2 х -2

П риведём каж дую часть полученного уравнения к общему знаменателю и упростим полу­
чившееся уравнение:
5(х + 3 ) — 5 ( х — 3 )
3(х — 9 )

Глава 5, §2, п .5 .2 .2
Теперь воспользуемся основным свойством пропорции. Это можно сделать, так как на ОДЗ
знаменатели дробей не равны нулю. Тогда получаем следующее уравнение:
10 (х2- 1) = я 2- 9
Преобразуем это уравнение и найдём его корни:
10*2- 10 = х г- 9 9*2- 1 = 0 «=> (3* — 1)(3* + 1) = 0 »

Полученные корни принадлежат ОДЗ.
Ответ

При решении дробно-рациональных уравнений часто бывает полезным комбинирование
способов выделения целой части и замены переменной.
Выделение целой части и замена переменной
Пример 5.
4 * -9

Решите уравнение: ——- = 5 +—— .
х +3
х +3
Решение:
Найдем ОДЗ: * * — 3 .
4 * -9

Выделим целую часть дроби —

. Для этого разделим «в столбик* ее числитель на знаме-

Тогда на области допустимых значений данного уравнения оно преобразуется к виду:

1
Обозначив у = —-—
, сделаем замену перем енной и решим полученное уравнение:
х +3

4 — 2 1 i/ = 5 + 6у 4 — 5 = 21 г/ + 6у 27у = -1

27
1
Теперь вернёмся к «старой* переменной:
*+3
27*
■
Так как х ф -3 , воспользуемся основным свойством пропорции и решим полученное уравI нение:
— ( * + 3) = 27 » — * — 3 = 27 « — х = 30 ¢= * = -30.
)

Так как -3 0 принадлежит ОДЗ, то -3 0 является корнем исходного уравнения,

33 | Проанализируйте уравнение:

1) Что интересного вы замечаете в записи этого уравнения?
2) Какой приём поможет упростить решение этого уравнения?
Решите данное уравнение с помощью этого приема. Сравните свой способ реше­
ния со способом, предложенным на с. 13.

Глава 5, §2, п .5 .2 .2

Решите уравнение с помощью замены переменной:
.
2х
. „ .( 2х ,
а ) —— 7 = 1 3 -4 —- 7 + 1
х-4
I х-4
=2 .
б) х 2- 2 х —
х ‘-2х
Решите уравнение с помощью замены переменной:
а)

7________2
+1 Х — — — 1

х 2+ 5х Эж-З
б) ——— + -=——-= 4 .
’ Зж-1
* а + б*
Решите уравнение, используя выделение целой части алгебраической дроби:
„ Зх-1 2х-1
а ) —— —+
х-2
х+2
6

I Велосипедист проехал 18 км с одной скоростью. А оставшиеся 6 км — со скоростью, на 6 км/ч меньшей первоначальной. Найдите скорость велосипедиста
на втором участке пути, если на весь путь он потратил 1,5 часа.

Решите систему уравнений:
а)

з*-Н= — 1 .
4х+2 у = 7
5х-4у = 1

\3х+9у\ = 12 ’
— 3 |* |+ 4 у = 1

Решите систему уравнений способом подстановки. Выполните проверку получен­
ного результата, решив систему способом алгебраического сложения:
* + 2 р + г = -1
— 3 х + 5 у — 3 г = 14
4 х — 5 у + 6 г = 9.
Решите квадратное неравенство:
а) х 2+ 6х < 0;

в) — 3 jc2+ 8х — б > 0;

б) z 2+ 1 5 x + 5 6 > 0 ;

Глава 5, §2, п.5.2.2_____
©

27
б) х г + 3х-х + 3х

Решите уравнение:
а)

х2-Ъх 28л:+ 28
_
б —— — + 2 — + 16 = 0.
х+1
х -Ъх
Решите уравнение:
. Зж+16 5;с-22
= 2 ;
х+3
х-3
5ж + 11
= 2-1
2х+5
2 *+ 5

Велосипедист проехал с определённой скоростью 10 км от города до турбазы. Воз­
вращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км/ч. На путь туда и обратно велоси­
педист затратил 1ч 40 мин. С какой скоростью возвращался велосипедист?

[451 Решите систему уравнений:
а)

2 \ х \+ у = 5 _
Зх-2у = 4 ’

Решите квадратное неравенство:
а)4л:2- 1 < 0 ;

I—— # Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а вто[47J Р°й уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится
произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель умень­
шить на 1, а второй увеличить на 1?
У двух братьев день рождения в один день, но один родился в X X веке, а второй уже в
XXI. На праздновании своего общего дня рождения они обнаружили, что и у того, и у
другого возраст равен сумме цифр года рождения. Найдите разницу в возрасте братьев.
I 49

Докажите, что для любого натурального числа п можно выбрать такое натураль­
ное число а, чтобы число а Выполните тест № 7 для самостоятельной проверки знаний.

§ 3. Рациональные неравенства
5.3.1. Решение рациональных неравенств. Метод интервалов
Ни одна вещь не возникает, не уничтожается,
но каждая составляется из смешения существующих вещей
или выделяется из них.
Анаксагор (ок. 500-428 до н.э.),
древнегреческий философ

Мы уже умеем решать линейные и квадратные неравенства, которые были полу­
чены нами как математические модели практических задач. В данном пункте мы рас­
ширим свои возможности по решению неравенств, возникающих в процессе математи­
ческого моделирования окружающего мира.
Рассмотрим, например, следующую задачу.
Задача.
Семья дачников пешком отправилась в путешествие к озеру, для этого им при­
шлось преодолеть расстояние в 6 км. На обратный путь они потратили на 1 ч больше,
чем на путь к озеру. Разница между скоростью движения к озеру и скоростью на об­
ратном пути составила не менее 1 км/ч. Сколько времени они добирались к озеру?
Решение:
Пусть время, затраченное на путь к озеру, составило х ч, где х > 0. Тогда:
Расстояние, км

По условию, разница между скоростью движения к озеру и скоростью на обратном
пути составила не менее 1 км/ч. Следовательно, математическая модель задачи
выглядит так:
X х +1
х>0

При решении этой задачи нами получены так называемые рациональные неравен­
ства. Как и в случае рациональных выражений, выделяются целые и дробно-рацио­
нальные неравенства. Введём следующие определения.
Определение 1. Рациональным неравенством называется неравенство, обе части
которого являются рациональными выражениями.
Определение 2. Целым неравенством называется рациональное неравенство, обе
части которого являются целыми выражениями.
19

Глава 5, §3, п.5.3.1
Определение 3. Дробно-рациональным неравенством называется рациональное нера­
венство, одна из частей которого является целым рациональным выражением, а другая дроб­
но-рациональным или обе части которого являются дробно-рациональными выражениями.
Разберёмся сначала со способом решения целых неравенств. Некоторые из них линейные и квадратные неравенства — мы уже умеем решать. Выведем на этой основе
общий способ решения любых рациональных неравенств.
При решении квадратных неравенств мы использовали графики соответствующих
функций. Например, чтобы решить неравенство х *1234- 5х + 6 > 0, мы находили нули
функции у = х 2 — Ъх + 6 и определяли её знак на каждом из образовавшихся интер­
валов (рис. 1). Корнями трёхчлена х 2 — Ъх 4- 6 являю тся числа 2 и 3 (точки на оси за­
крашены, так как неравенство нестрогое), ветви параболы направлены вверх. Поэтому
неравенству удовлетворяет любой х из множества ( — 0 ( * — 2 ) ( * — 3 ) » 0 .
Отметим на оси х закрашенными точками числа 2 и 3, где (х — 2)(х — 3) = 0, и опре­
делим знак каждого множителя и знак всего произведения на полученных промежут­
ках (рис. 2).
л; — 2 > 0 х > 2;

х-2 0 .
Разделив обе части равенства на 22• 5 = 20, приходим к неравенству, в левой части
которого стоит произведение множителей вида (х — а)п:
(х — 0,5)2(* — 2)3(* — 3) > 0.
2) Найдём корни каждого множителя: х х = 0,5, х 2 = 2, хя = 3, отметим их на оси х.
Мы получим 4 промежутка, на каждом из которых знак выражения в левой части
неравенства не меняется. Поскольку неравенство строгое, отмеченные точки не войдут
в решение неравенства — «выколем» их.
0,5
2
3
*
3) Определим последовательно знаки каждого множителя и всего произведения на
всех выделенных промежутках.
На самом правом промежутке все двучлены * — 0 , 5 , х — 2, х — 3 положительны
и поменяют знак с + на — при переходе через свои корни.
Выражение х — 2 поменяет свой знак при переходе через точку 2, значит, и множи­
тель (* — 2)3в силу нечётности показателя степени его тоже поменяет.
Смены знака не будет только у квадрата двучлена * — 0,5, так как любая его чётная
степень положительна при всех * ф 0,5.
Теперь, зная знаки множителей, мы можем определить знак всего произведения
на каждом из промежутков. Получаем:
(1 -0 ,5 )2
+
+
+
+
( х — 2 ) 3

*- 3
(х — 0,5)2(х — 2)3(х — 3)

0,5
2
3
х
4) В соответствии со знаком неравенства выберем промежутки, на которых левая
часть неравенства положительна, и запишем ответ:
(х — 0,5fyx — 2)3(х — 3)
+
+
+
/////

0,5
2
3
Ответ: х е (-оо; 0 ,5)U(0,5; 2)U(3; +со).
Заметим, что знаки на выделенных интервалах можно было получить быстрее. По­
скольку все точки первого справа интервала расположены правее любого из отмечен­
ного нами корней, на нем любой из двучленов нашего неравенства вида х — а имеет
знак «+*. Значит, и знак произведения этих двучленов и их степеней тоже «+*.
При этом смена знака одного из множителей приведёт к смене знака всего произве­
дения. Поэтому, зафиксировав знак «+» на самом правом интервале, знаки произведе-

Глава 5, §3, п .5 .3 .1 ______________________________________________________

ния множителей вида (х — а)п на остальных интервалах можно определить без всяких
вычислений по следующему правилу.
Правило смены знаков произведения множителей вида (х —а)п
При переходе через точку а знак произведения:
• не меняется, если множитель (х — а) имеет чётную степень;
• меняется на противоположный, если множитель (х — а) имеет нечётную
степень.
В некоторых случаях, прежде чем применять метод интервалов, неравенство тре­
буется преобразовать. Решим следующий пример, используя приведённое правило
«быстрого» определения знака произведения.
Пример 2.
Решить неравенство х(х3+ 2) > 2х + 1.
Решение:
1) Перенесем все слагаемые влево и упростим полученное выражение:
х ( х 3 + 2) > 2х + 1

х 4+ 2 х — 2 х — 1 > 0

Разложим многочлен х 4 — 1, стоящий в левой части неравенства, на множители
(х — 1)(лг + 1)(хг + 1).
Квадратный трёхчлен х г + 1 имеет отрицательный дискриминант, а старший ко­
эффициент а = 1 > 0, поэтому он всегда положителен, и при решении неравенства его
можно не учитывать. Приходим к неравенству:
х 4- 1 > 0

(х — 1)(х + 1)(хг + 1) > 0 »

2) Отметим на числовой прямой точки 1 и -1 , при которых (х — 1)(х +1) = 0. Учиты­
вая, что неравенство нестрогое, точки закрашиваем, их следует включить в решение
неравенства.
На первом интервале справа ставим знак «+», а при переходе через каждую отме­
ченную нами точку меняем знак на противоположный.
+

3) Выберем промежутки, которые удовлетворяют знаку неравенства, и запишем
ответ.
Ответ : х е (-со; — 1 ] U [1 ; +оо).
Опыт решения примеров 1 и 2 показывает, что целое неравенство можно при­
вести к неравенству, в левой части которого стоит произведение множителей вида
(х — a)n, а в правой части — 0, используя следующие равносильные преобразования:
• слагаемые можно переносить из одной части неравенства в другую, изменяя
знак на противоположный;
• многочлены можно раскладывать на множители по изученным ранее пра­
вилам;
• старшие коэффициенты всех множителей можно привести к 1 путем умноже­
ния и деления обеих частей неравенства на одно и то же число, отличное от 0
(если число положительное, знак неравенства не меняется, а если отрицатель­
ное — меняется на противоположный);

Глава 5, §3, п .5 .3 .1

• квадратный трёхчлен х 2+ рх + q с отрицательным дискриминантом D < О поло­
жителен на всей числовой прямой, поэтому на знак произведения он не влияет
и при решении неравенства его можно отбросить2.
Знак произведения множителей вида (х — а)п в первом справа интервале всегда
«+»,ав остальных интервалах его можно определять автоматически по приведённому
выше правилу смены знаков.
Итак, мы приходим к следующему алгоритму решения целых рациональных
неравенств методом интервалов.

Алгоритм решения целых рациональных неравенств
методом интервалов
Используя равносильные преобразования, привести правую часть нера­
венства к нулю, а левую — к произведению множителей вида (х — а)л, где
п &N.
Отметить на числовой прямой точки, при которых полученное произведе­
ние равно нулю (закрашенные либо выколотые в зависимости от строгости
неравенства).
Указать знак «+ » полученного произведения на первом справа интер­
вале.
Последовательно проставить знаки в остальных интервалах, пользуясь пра­
вилом смены знаков произведения множителей вида (х — а)п.
Определить по схеме интервалы и (или) точки, удовлетворяющие знаку
неравенства (или то, что таких нет),
Записать ответ.

Перейдём теперь к решению дробно-рациональных неравенств. Очевидно, что лю­
бое дробно-рациональное неравенство можно привести путём равносильных преобра­
зований (перенос слагаемых, приведение к общему знаменателю) к одному из нера­
венств вида:

Д * 2 > 0 * Ы 0 —;—— — < 0 .
х (х + 1 )
*(*+ 1 )
Разложим числитель дроби на множители и заменим полученное неравенство рав­
носильной ему системой:
(х -2 )(х + 3) < 0 ^ J * ( * + l ) ( * - 2 X * + 3 ) < 0
х(х + 1)
° |ж(ж +1) ^ 0
Неравенство нестрогое, поэтому все точки «из числителя» включаем в решение.
Точки «из знаменателя» выкалываем.
В крайнем правом интервале ставим знак « + » . Все множители в первой степени,
поэтому при прохождении каждой точки произведение меняет знак.
+
+
+
-3

Укажем промежутки, которые удовлетворяют знаку неравенства, и запишем их
объединение х е [-3; -1 ) и (0; 2].
Выберем из этих промежутков значения х, удовлетворяющие второму соотноше­
нию системы (х > 0), получим х е (0; 2].
О т в е т : дачники потратили на путь к озеру не более 2 ч.
В заключение разберём ещё один пример решения неравенства с необычной фор­
мой ответа.

Глава 5, §3, п .5 .3 .1
Пример 3.

Решение:
( г 3 + 8 ) ( г 4- ! ) 2 ^
( * — 3 ) 3(* + l)

( х +2)( х 2- 2 x + 4 ) ( x — l f ( x + l f ( x 2+l)’ ^
°

Квадратные трёхчлены х 2 — 2х + 4 и х 2+ 1 всегда положительны (D < 0), поэтому
при решении неравенства их можно не учитывать.
(* + 2 )(* -1 )2( ж+ 1)2 ^ 0 ^ |( х + 2)(д:-1)2(а: + 1)3(ж -3 )3 > 0
( * — 3 ) 3(* + 1)
»
[(ж -3)*(ж + 1)^0
+

2
1
1
3
х
В соответствии со схемой, помимо двух промежутков, знаку неравенства удовлет­
воряет и отдельно стоящ ая точка 1, включим её в ответ.
Ответ: х е [—2;—1) U U (3;+со).
Замечание. В ходе решения этого неравенства мы получили алгебраическую дробь,
числитель и знаменатель которой имели общий множитель (х + 1). Однако сокращение
мы не произвели, так как данное преобразование неравенства не является равносильным.
Вообще говоря, для решения дробно-рациональных неравенств методом интерва­
лов необязательно переносить множители из знаменателя в числитель. Дело в том, что
правило смены знаков, аналогичное тому, что мы сформулировали для произведения,
выполняется и для частного. И с учетом «выкалывания» точек «из знаменателя» им
тоже можно пользоваться. Однако при решении последнего неравенства переход от
дробно-рационального неравенства к целому помог нам обойтись без ряда дополни­
тельных рассуждений.

а) На каком из интервалов квадратный трёхчлен х 2 — 4х -1 2 имеет знак ♦-»?
знак «+ »?
б) Выпишите три интервала, на которые корни трёхчлена х 2 — 4х -1 2 разбивают
числовую прямую.
в) Меняет ли знак функция у = х 2- 4 х -1 2 на каждом из этих интервалов? Про­
читайте в учебнике, как называются такие интервалы.

511 1) При каком х двучлен х —

б равен нулю? Укажите интервал, на котором этот
двучлен отрицателен. Укажите интервал, на котором этот двучлен положите­
лен. Выполните это задание для двучлена х + 2.
2) На каком промежутке двучлен х — а положителен, а на каком отрицателен?
25

Глава 5, §3, п.5.3.1
Используя результаты выполнения предыдущего задания, дополните схему. Объ­
ясните знаки произведения (х — 6)(х + 2), указанные на ней:
х- 6
□
□
□
□
□
□
х+ 2
(х — 6)(х + 2)
+
+
-2

Сделайте вывод о способе нахождения интервалов знакопостоянства для произведения (х — а)(х — Ь).
Какое из этих неравенств не является равносильным остальным неравенствам:
а) З х2- 10х + 3 < 0;
б) (х — 3)(3х — 1) < 0;

в) — З х 2 + 10х — 3 < 0;
г) 3(х —3 ) ^ x — i j < 0 ?

Как можно решить неравенство х 2 — 4х — 1 2 > 0, не используя график соответству­
ющей функции?
Подойдет ли способ, который вы предложили для решения этого неравенства для
решения всех квадратных неравенств? Как бы вы назвали этот метод, сопоставьте
его с методом, описанным на с. 20.
Решите неравенство:
а) ( х — 7 ) ( х + 8 ) > 0 ;

б) ( х — 3 ) ( х + 2) 0;

Решите неравенства методом интервалов:
а) 4 х 2- 4 х + 1 > 0 ;

б) х 2 — 7х +12 > 0;
г) 12xz — х — 1 > 0;
е) —2 х 2 — 5х + 1 > 0.
Чем отличаются от предыдущих неравенства 2х2 — х + 1 > 0 и 7х2- 2 х + 3 < 0?
Решите их.
1) Решите методом интервалов неравенство (х — 1)2(х — 2)3 > 0.
Изменяется ли знак (х — 2)3при переходе через точку 2?
Изменяется ли знак (х — I)2при переходе через точку 1?
Как можно обобщить результаты этих наблюдений для всех степеней двучлена (х — о)»?
2) Решите методом интервалов неравенство (х — 1)(х — 2)(х — 3)(х — 4) > 0.
Какой знак имеет каждый из его множителей на самом правом промежутке?
Как изменяется знак всего произведения (х — 1)(х — 2)(х — 3)(х — 4) при переходе
через каждую из отмеченных на числовой прямой точек?
Можно ли не выписывать знаки каждого из множителей на выделенных интерва­
лах? Почему?

Глава 5, §3, п .5 .3 .1

3) Можно ли обобщить полученные вами выводы для всех произведений множите­
лей вида (х — а)п? Сопоставьте свои выводы с правилом смены знаков, указанным
на стр. 22.
Соотнесите неравенство со схемой его решения:
+
+
а) (х — 9)(х + 10) > 0;
1) / ; / / / / / / + ________ ^ / / / / /,/у.^.
-10
9
I
+

Запишите ответ к каждому из неравенств.
Соотнесите неравенство со схемой его решения:
а) (х — 9)3(х + 10) < 0;

в) (х — 9)г(х + 10) > 0;

г) (х — 9)(х + 10)3 > 0;

4) / / / / / / / / ^ ________ ^ / / / / / / /
X
-10
9
Запишите ответ к каждому из неравенств.
Решите неравенство:
а) (х -1 )3(х + 2)г(х -3 )> 0 ;

б) ( x — 3 ) V + 5)6(x -7 )< 0 ;

г) ( х — 1У ( х +2)г(х+5) < 0.

Решите неравенство:
а) (х -1 )(х 2- l ) >0 ;

(х + 10)(х + 9)г(х+8)4 > 0;

Решите целые неравенство:
а) — х ( 3х 4+ 2х + 5 ) < 2 - Зх&;
б) (х3 + 27) (2х — 4) > 0.
Какой способ вы использовали при решении этих неравенств? Какие равносиль­
ные преобразования можно использовать при решении неравенств?
Составьте свой вариант алгоритма решения целых неравенств и сопоставьте его
с алгоритмом на с. 23.
Решите неравенство:
а) 4 а:3-20л:2 >л:- 5 ;

б) л:3-4л:2- 8 х + 8 < 0 .
х ■+■4
1) Сопоставьте неравенство—- —> 0 с неравенством (л: + 4) (х — 3) > 0.
х 3
От чего зависит знак дроби? От чего зависит знак произведения?
Может ли х = 3 являться решением первого неравенства? Почему?
27

Глава 5, §3, п .5.3.1
Х + 4 .

2) Решите неравенство —— > 0 . Подойдёт ли способ, использованный вами при
х —о
решении этого неравенства, для решения любого дробно-рационального неравен­
ства? Какие ещё случаи возможны?
3) Составьте свой вариант алгоритма решения дробно-рациональных неравенств
и сопоставьте его с алгоритмом на с. 24.
Найдите верные утверждения:

а) Х + \ > 0 (х + 1) (х + 3) > 0;
л: + 3
(х + 7 )( х -1 ) > 0
б)
> о
*-1 *0
х-1

Решите дробно-рациональное неравенство:

Решите дробно-рациональное неравенство:

iJH
(*-1 )(*-2 )У -3 )’
(х — 4 )°(х -5 У

х(х + 3 )(х-2 )г
> ( * 2+ * + 1 )(* + 1)

69 1 Решите неравенства:
а)

2-х
( * + 5)(3 * 2-Зх + 1)

Решите уравнение методом замены переменной:

а) 6 f l £ ± l ] — 1 3 ~ ^ + 6 = 0 ;
[Зх+2)
Зх+2

Решите неравенство: ——т———-—- > ————— -—
* 2- 6 * + 9
ж2- 6 * + 9
Решите систему неравенств:
2-х
>1
х+1
а)
2-х
0;

ж3( ж + 2)2(ж -5)5
>0 .
(ж2 -2 ж + 3)3(ж -1 )’

(ж + 3)
Р еш и те неравенство:
а)

(ж-2)5(4ж2 +2ж-3) (ж -2)5(ж 2- ж + 3)
,
..
,
ч,
(ж2+2ж + 1)
(ж2 + 2ж + 1)
Р еш и те ур авн ен и е методом зам ен ы перем енной:

[92J Р еш и те неравенство:

Р еш и те си стем у л и н ей н ы х неравенств:

3 (2 ж -2 ,4 ) > 2 ( 4 ,5 — ж ) — 5 б ,2 ‘

Р еш и те совокуп н ость ли н ей н ы х неравенств:
2 ж -^ —^ < ж + 1
5
б)
7 ж -1
‘

ж > 3 (2 ж -1 ) + 18 ’

Н а д и агр ам м е п о к аза н ы резул ьтаты вы пускного э к за ­
м ен а по м атем ати к е (отм етка и процент п олучи вш и х её
учени ков). Н ай ди те средний балл, п олученны й вы п уск­
н и к ам и н а этом экзам ен е.
Н ай ди те н аи м ен ьш ее целое * , удовлетворяю щ ее

неравен ству х й ———.
Н азовем число п 2 — 1 почти квадратом натурального чи сла п. Д о к аж и те , что п ро­
изведение двух почти к вадратов н атурал ьн ы х чисел всегда равно разн ости к ак и х то двух к вадр ато в н ату рал ьн ы х чисел.

Глава 5, §3, п .5 .3 .2

5.3.2. Доказательство неравенств. Некоторые замечательные
неравенства

Большинство жизненных задач решаются как алгебраиче­
ские уравнения: приведением их к самому простому виду.
Л .Н . Толстой (1828-1910),
русский писатель, мыслитель

Решая неравенство, мы находим такие значения переменной, при которых данное
неравенство становится истинным высказыванием. Однако существуют неравенства,
истинные при любых значениях входящих в них букв. Простейшими примерами та­
ких неравенств являются, например, неравенства:
аг> 0,

Истинность данных неравенств очевидна. Первое следует из свойств произведе­
ния, второе — из определения модуля числа, а третье — из правил сложения действи­
тельных чисел.
Однако в большинстве случаев доказать истинность неравенства не так просто.
В этом пункте мы будем учиться доказывать неравенства.
Введем несколько определений, которые нам потребуются.
Определение 1. Доказать неравенство — это значит обосновать, что оно выполня­
ется при всех допустимых значениях входящих в него переменных (или для какого-то
заданного множества их значений).
Мы знаем, что понятия «больше», «меньше», «равно* возникли в связи со счётом
предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Однако наглядные
представления недостаточны для строгого доказательства буквенных неравенств. По­
этому сформулируем алгебраические определения соотношений «больше* и «меньше»,
основанные, тем не менее, на имеющемся у нас опыте сравнения и действий с числами,
а именно: вычитая из большего числа меньшее, мы получаем положительное число,
а из меньшего большее — отрицательное.
Определение 2. Говорят, что число а больше числа Ь, если разность а — Ъ положи­
тельна и число а меньше числа Ь, если разность а — b отрицательна.
Отсюда:
Va, b eR :a > b < = >a -b > 0
V a, b e R: a> b a — b > 0

У a, b e R : a < b ^ a - b < О
Va, b e . R : a < b < = >a — 6 < О

Данные утверждения помогут нам доказывать неравенства. Так для доказа­
тельства неравенства Р(х) > Q(x) на заданном множестве значений достаточно
составить разность Р(х) — Q(x) и убедиться в том, что она положительна при лю­
бом х.
32

Глава 5, §3, п .5 .3 .2

Разберёмся с применением этого способа на следующем примере.
Пример 1.
Доказать неравенство (а2+ I)2> а4 + 1.
Доказательство:
Перенесём все члены неравенства влево и докажем, что полученная разность
(а2+ I)2- (а4 + 1) неотрицательна.
Преобразуем полученное выражение:
(а24- I)2- (а4 + 1) = а 4+ 2а2+ 1 — а 4- 1 = 2а2.
Полученное произведение 2а2 неотрицательно при любых значениях а, значит,
(а2+ I)2 > а 4 +1, что и требовалось доказать. ■
В рассмотренном нами примере мы ссылались на то, что выражение 2а2 неотри­
цательно при любых значениях а. Этой идеей часто пользуются при доказательстве
неравенств. Для этого все члены неравенства переносят в одну сторону и преобразуют
полученное выражение к явно неотрицательному виду (к квадрату некоторого выра­
жения или сумме нескольких квадратов).
Пример 2.
Доказать, что для любого положительного значения х выполняется неравенство
х +— > 2 (сумма двух взаимно обратных положительных чисел не менее двух), приX

чём равенство имеет место только при х = 1.
Доказательство:
Рассмотрим разность:
1
х 2+1 -2 х (* -1 )2
х +— 2 = ———— = ——X

Числитель дроби является квадратом двучлена, значит, её знак зависит только
от знаменателя. По условию х > 0. На всем заданном множестве дробь положительна
и обращается в нуль только при х = 1, что и требовалось доказать. ■
Пример 3 (неравенство Коши-Буняковского).
Доказать, что для любых чисел a, b, с, d верно неравенство:
(ab +cd)2 < (a2+c2)(fc2+d2),
причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда ad = be, то есть когда пара
чисел а, с пропорциональна паре чисел b, d.
Доказательство:
Рассмотрим разность (a2+ c2)(b2+d2)-(aft + cd) .
Преобразуем полученное выражение:
a2b2+ b2c2+a2d2+ c2d2- a2b2- c2d 2- 2abcd =a2d2+b2c2- 2abed = (ad — b e f
Квадрат разности всегда неотрицателен и обращается в нуль тогда и только тогда,
когда (ad — be)2 = 0 , то есть ad = be.
Значит, исходное неравенство верно, что и требовалось доказать. ■
Для доказательства всех трёх приведённых неравенств использовался один и тот
же метод. Представим его в обобщённом виде.

При доказательстве неравенства можно выполнять следующие шаги:
1) составить разность левой и правой частей неравенства;
2) с помощью равносильных преобразований привести полученную раз­
ность к выражению, знак которого очевиден;
3) сделать вывод о выполнении исходного неравенства.
В математике есть так называемые «замечательные неравенства», которые помо­
гают доказывать другие неравенства. Многие из них связаны с понятием среднего двух
а +Ъ
чисел. Мы уже знаем, что число ■ ■- называется средним арифметическим двух чи­
сел а и Ь. Познакомимся ещё с одним средним двух чисел — средним геометрическим.
Определение 3. Средним геометрическим (или средним пропорциональным)
двух неотрицательных чисел а и Ъназывается число 4аЬ .
Установим неравенство, связывающее эти средние значения.
1. Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не превосходит их
среднего арифметического:
^±> 4аЬ ,
2

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = Ь.
Доказательство:
Составим разность левой и правой частей неравенства и выполним преобразова­
ния:
а +Ь
д-ьЬ-2УдЬ _ ( ^ ) + [& ) ~24a4b _ (4 a — 4 b )2 >
2

— ^ -Jab . При этом данное нестрогое неравенство обращается в равен­

ство тогда и только тогда, когда 4а = 4b , то есть а = Ь, что и требовалось доказать. ■
Рассмотрим пример доказательства неравенства, в котором применяется доказан­
ное нами соотношение между средними значениями.
Пример 4.
гг
а Ъ с d . .
Доказать, что неравенство —+—+—+ — ^ 4 справедливо для любых положительо с а а
ных чисел а, Ь, с, d.
Доказательство:
Рассмотрим левую часть неравенства. Применим к первому и третьему, а затем ко
второму и четвертому слагаемым неравенство между средним арифметическим и сред­
ним геометрическим. Получим:
а с . _ \ас
b d . _ [bd
b d
\b d с а
Vас
[ас
[bd
Теперь применим то же неравенство к числам ./—- и ./— :
Vbd
Vас

Глава 5, §3, п .5 .3 .2

Значит,
а
a b e d .
— + — + —+ —= —
Ъ с d а
b

Таким образом, — + — + + — > 4 , что и требовалось доказать. ■
b с d а
Зафиксируем способ доказательства, который был использован в данном
примере.
Для доказательства неравенства можно оценивать части неравенства,
используя ранее доказанные неравенства._______________________________
Познакомимся с ещё несколькими неравенствами для средних. Для этого введём следую­
щие определения.
Определение 4. Средним гармоническим двух положительных чисел а и b называется
2ab
число—— .
а +Ь
Определение 5. Средним квадратичным двух положительных чисел а и b называется
число

Легко видеть, что если а = Ъ, то все рассмотренные нами средние значения равны общему
значению а и Ъ. Если а * b (пусть для определённости а < Ь), то на числовой прямой все эти сред­
ние значения расположены между числами а и Ь.
Докажем это на примере среднего гармонического.
Пример 5.
Доказать, что среднее гармоническое чисел а и Ь, где 0 < а < Ъ, расположено между этими
числами:
2а6 .
а < ----- О.

Значит,
а 2+ Ъ2 . (а + Ь)
а + Ь . а +Ь
2
4
2
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = Ь, что и требовалось доказать.

3. Среднее гармоническое двух положительных чисел не превосходит их среднего
геометрического:
2аЬ
ч4 аЪ,
а +Ь
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = Ь.
Д оказательство:
Так как обе части неравенства неотрицательны, то
2аЬ
г-г
— — < yjab о
а +Ь

3Левое из неравенств имеет место для любых положительных чисел а и Ь.

Глава 5, §3, п .5 .3 .2
Составим разность и приведем ее к выражению, знак которого очевиден:
4a2b2 ab[a2+2ab +b2)-4 a 2b2 ab[a2+ 2аЬ +Ъ2- 4ab) ab(a-b)2 ^ п
ab —~—— -т = ———- :—— -г,———- = ———-:—— гъ——— = —:—— ^ 0 •
(а + Ь)
(а+Ь)‘
( а + 6)
(« + »)
Значит,
4агЬ2 . ,
2ab , г-г
———— т < а Ь

Так как а > 0 и Ь >0, равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = Ь, что и требова­
лось доказать. ■
Зафиксируем способ доказательства, который мы использовали в последних примерах
и который может быть полезен при доказательстве разнообразных неравенств.
При доказательстве неравенства можно заменять неравенство другим равносилъным ему неравенством. _________________________________________________
Замечание. Вообще, одно и то же неравенство часто может быть доказано несколькими спо­
собами. В математике, как и в жизни, ценится тот способ, который позволяет достичь цели
путем наименьших затрат.
Так, например, последнее неравенство можно доказать гораздо проще:
I разделим обе части неравенства на yfab [yfab > 0 j ;
а +Ь
2n/ оЬ

0 , так как а > 0 и Ь > 0 п о условию);

Истинность полученного неравенства между средним арифметическим и средним геоме­
трическим позволяет утверждать, что и исходное неравенство верно.
В заключение заметим, что классические средние, рассмотренные нами в этом
пункте, были известны ещё античным математикам. Они играли большую роль, на­
пример, в древнегреческой теории музыки. Однако неравенства для средних и сами
средние применяются до сих пор, причём не только в алгебре и геометрии, но и в дру­
гих науках, например в статистике при обработке результатов измерений.

g g I Укажите множество значений а , при которых неравенство обращается
1 в истинное утверждение:
б)

в) а 2+ 3 > 0;
г) (а — 4) (а + 3) > 0.
9 3
Какое из неравенств отличается от остальных? Приведите ещё один пример не­
равенства, которое истинно при любых значениях входящих в него букв.
а) 1 — а < 5;

Сравните числа:
а) 2 и 5;

Найдите разность этих чисел. Что вы замечаете?
Объясните, когда число а меньше числа Ь, на математическом языке.
Сформулируйте алгебраическое определение соотношений «меньше» и «боль­
ше» . Сопоставьте свой вариант с определением на с. 32.
37

Глава 5, §3, п.5.3.2 .
110 11 Докажите неравенство (а2+ 2)2 > а 1 + 1, используя введенное определение «боль­
ше». Сформулируйте шаги этого метода доказательства неравенств и сопоставьте
его с вариантом, изложенным на с. 34.
1021 Докажите неравенство:
, х+у
а)
2

1031 Докажите неравенство 1 + х > 2%/ж при х > 0.
1104| Докажите неравенство —+—> —— при х, у > 0.
j
ж У
Х +у
[l0 5 j Докажите неравенство 2(ж2+ р2) > (х + у)2.
|Щ 6 | Найдите среднее арифметическое следующих чисел:
а) 2 и 4;

Как расположено среднее арифметическое двух чисел по отношению к этим чис­
лам на числовой прямой? Запишите это свойство среднего арифметического с по­
мощью двойного неравенства (пусть для определенности а < Ь).
Докажите это неравенство.
[l0 7 j Познакомьтесь с другими средними, описанными на с. 3 4 -3 5 . Сформулируйте
и докажите для них свойства, аналогичные свойству среднего арифметического.
|К )8] В одном из древних математических текстов, автором которых считается древ­
негреческий математик Архит (ок. 428-365 гг. до н.э.), среднее арифметическое
т, среднее геометрическое g и среднее гармоническое ft определялись как равные
средние члены соответственно арифметической, геометрической и гармонической
«пропорций»:
а-т = т -а;

( a — f t ) : а = (ft- Ь ) : Ь.

Получите из этих «древних» равенств современные равенства, определяющие
описанные Архитом средние.
|К ) 9 | Докажите для неотрицательных чисел двойное неравенство
X2+y 2 +Z2 > x y + y z +z x

Xyfyz +y\fzx + Zyfxy .

Решите неравенство методом интервалов:

в) -4ж + 8ж(4 + ж) > (Зж-4)(Зж + 4) + 4(7ж -5);

е) ж2(ж -4)(ж + 2)(ж + 5) < 0.

|^ ^ ]| Решите неравенство:
а) (ж2-4)(ж2+ ж-2) < 0 ;
б) (ж2-7ж + 12)(3ж-ж2- 7 ) > 0 ;
в) (ж +6)(ж +1)(ж -2)3(3-ж )2(8-ж ) < 0 .
38

Глава 5, §3, п .5 .3 .2

Решите дробно-рациональное неравенство методом интервалов:
а) 5* ~ 12 < о •
5дг + 12

(х + 3)(4-х)(2х + 5)
> 0;
(Зле- ! ) ( * +4)

a) V (*2- 1 6 )(8 — 3 z ) ;

(дс—2)(дс2—1)(дс2—5де+6)
х+3
х+2 3
Найдите число целых решений неравенства————- < 0 .
х
х-2
Найдите область допустимых значений выражения:

х г- 9
Найдите целое положительное значение а, при котором множество решений нера­
венства (1 — х) (х — а) > 0 содержит пять целых решений.

Сравните числа а и 6, если известно, что:
а) а + 4 ,5= 6 + 4,5;

ж) 5а = 26
а _6
з) 5 2 *

г) a + V3 = 6 — V3 ;
Множества М

заданы числовыми промежутками:

а) М = (-8 ; 2), N = (-1 ; 8];
б)М = [-V 7; n/7 ],W = ( — oo;-V 7 ].
Найдите М U N, М П N.
Решите системы неравенств, содержащие модуль:
1 4,2-2ж >10-а:
I
|ix-o\
* — 6 | — 4 х
а) •
2х-3 > 7 ’

Решите систему неравенств, содержащую модуль, графическим способом:
ле-2| < 5
х\+х-2 < 0
а)
б)
лс-4| > 2
ле—1|+| де—2 |—3 > 0
Найдите область допустимых значений выражения:
\ l5 x -6
a) f t — \ x \ — 4 x + 6 ;
б)

Глава 5, §3, п .5 .3 .2

|1 2 2 | В таблице приведены данные о добыче угля на одном из российских месторож­
дений:
Номер шахты

Количество добытого
угля за смену (в т)

Найдите:
а) среднее количество добытого угля за смену в шахтах этого месторождения;
б) моду набора значений количества угля;
в) медиану набора значений количества угля.

ц 2 3 | Докажите, что при а ф 0 выполняется неравенство
^
а* + “ > 8 .
а

1+8* — „
Докажите неравенство
2 ^ 4.

Ц25] Докажите неравенство 2 (х2+ у2) > ( x — y f .
методом интервалов:
ГПб| Решите дробно-рациональное неравенство
()
а)

„
Зх2 — 9 х
б)- 2 х +Зх+2‘

Решите системы неравенств, содержащие модуль:
г,

В таблице приведены данные о возрастном составе участников школьных соревноВозраст
(сколько лет)

Найдите:
а) средний возраст участников соревнований;
б) моду набора значений возраста участников соревнований;
в) медиану набора значений возраста участников соревнований.

1291 Докажите неравенство х1 +у ‘ +8 > 8ху .

Даны действительные числа а, Ь, с, причем а > Ь > с. Докажите неравенство
а2Ь+й2с + с2а > Ьга +а2с + сгЬ.

Докажите неравенство (х +у)(у +z)(z +х) > 8xyz при х, у, г > 0 .

Глава 5, § 3 , п .5 .3 .3

5 .3 .3 .* Задачи на максимум и минимум
Е щ ё почт и ни когда . не бы вал о, чтобы т а сам ая го л о ва ,
кот орая вп ер вы е нат олкнулась н а ту или иную новую идею,
до конца и счерп ала бы её.
Л .Э . Больцман (1 8 4 4 -1 9 0 6 ),
австрийский физик,
иностранный почётный член Петербургской АН
При изучении квадратного трёхчлена мы научились находить его наибольшее
и наименьшее значения. Однако практические задачи требуют умения оценивать зна­
чения и других выражений. В этом пункте мы познакомимся с новым способом реше­
ния задач на максимум и минимум.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 1.
Чтобы огородить участок земли под посадку клубники, купили сетку длиною
Р метров. Какую максимальную площадь может иметь огороженный участок, если
он должен иметь прямоугольную форму? Как в этом случае следует расположить
изгородь?
Р еш ение:
Данную задачу можно переформулировать следующим образом: «Найти наиболь­
шую возможную площадь прямоугольника, если периметр его равен Р ».
Обозначим стороны прямоугольника а и b метров, тогда Р = 2 (а 4- Ь) м, а площадь
прямоугольника S = ab м2. Нам необходимо установить наибольшее значение произ. Р
ведения чисел аЪ при постоянной их сумме а + о = — .
Применим к длинам сторон прямоугольника неравенство между средним арифмеа+ Ъ

тическим и средним геометрическим —— * vao .
Для рассматриваемых в задаче величин оно означает ^ > V s . Выполним равно­
сильные преобразования (по условию Р > 0):

Мы получили неравенство, в котором зафиксирована оценка площади: S < — •
Нестрогое неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом обраща­
ется в равенство, если числа, среднее значение которых мы находили, равны. Значит,
Р2
свое максимальное значение — площадь принимает при а = о, то есть в случае, когда
16
„ Р
прямоугольник является квадратом со стороной — м.
Ответ-, сетка длиною Р м позволяет огородить участок максимальной площади
Р2
„ Р
— м2. Сетку следует обнести вокруг участка квадратной формы со стороной — м.

Глава 5, §3, п .5 . 3 . 3 __________________________________________________

Как мы видим, в некоторых случаях задача нахождения наибольшего или найметшего значения выражения решается с помощью уже известных неравенств (например,
доказанного нами в предыдущем пункте неравенства между средним арифметическим
и средним геометрическим).
Решим теперь с помощью этого неравенства несколько задач на максимум и ми­
нимум и, выявив особенности этого решения, сформулируем способ нахождения наи­
большего (наименьшего) значения выражений.
Пример 1.
g
Найти наименьшее значение выражения х +— при х > 0.
х
Решение:
„
9
Применим к числам х и — неравенство между средним арифметическим и сред­
ним геометрическим:
9

х +-> 2 > /9 *=> х + — > 6 .
х
х

9
Мы получили неравенство х +— > 6 , в котором зафиксирована оценка суммы. Оно
говорит о том, что любое значение суммы, в том числе и наименьшее, не меньше 6. Но
не дает информации, каким является наименьшее значение: 6, 9, 25, 1000? А в этом
как раз и состоит вопрос задачи.
Для ответа на этот вопрос воспользуемся вновь неравенством между средним ариф­
метическим и средним геометрическим. Мы знаем, что оно обращается в равенство,
если числа, средние которых находят, равны. Значит, наше равенство имеет место тог9
да и только тогда, когда х =— , то есть при х 2= 9. Так как х > 0, то х —3.
х

Ответ: наименьшее значение достигается при х = 3 и равно 6.
Итак, при решении задач на наибольшие и наименьшие значения нужно точно
устанавливать, при каких значениях переменных полученное нестрогое неравенство
обращается в равенство ( или доказать, что такие значения переменных существуют ).
Иначе можно получить неверный ответ. Так, например, при всех х > 0 выполняется нера9
венство х + — ^ 1 , но наименьшее значение этого выражения равно не единице, а шести.
Пример 2.
Найти наименьшее значение выражения

при х > 0.
Л
Решение:
Преобразуем данное выражение так, чтобы к нему можно было применить нера­
венство между средним арифметическим и средним геометрическим.
(* + 2)(д; + 3)
х 2+5х +6
6 _
————— =———— = * + —+ 5.
Теперь к числам х и — мы можем применить неравенство между средним арифме­
тическим и средним геометрическим.
При всех х > 0 имеет место неравенство:
х + — > 2 1 x ^ =2 ^ .
X

Значит, х + —+ 5 > 2V 6+5. Причем равенство имеет место тогда и только тогда,
когда х = — , то есть при х = >/б . Значит, наименьшее значение равно 2>/б + 5 .
(я + 2)(л; + 3)
о /с к
Ответ: наименьшее значение выражения ——- ——— при х > 0 равно 2v о + о
и достигается при * = V 6 .
Как мы видим, в некоторых случаях, чтобы применить известное неравенство
исходное выражение следует преобразовать.
Итак, мы приходим к следующему способу нахождения наименьшего (наибольше­
__________________
го) значения выражения.

Чтобы найти наименьшее (наибольшее) значение выражения Р(ж),
можно:
преобразовать выражение Р(х) так, чтобы его значение можно было оценить
с помощью известных неравенств;
получить оценку выражения в виде нестрогого неравенства Р(х) > k (Р <х) < Л),
где k — некоторое число;
найти значения переменной х> при котором имеет место равенство Р(х) = k
(или доказать, что такое значение х существует);
записать, что наименьшее (наибольшее) значение Р(х) равно k._____________

Рассмотрим несколько примеров применения полученного нами способа.
Пример 3.

Найти наименьшее значение выражения——г—-— .
х +1
Решение:
1) Преобразуем выражение так, чтобы его значение можно было оценить с помо­
щью уже известных нам неравенств:
х * + х г + 1 х* + 2хг + 1 — х 2-1 + 1 _ (*2 + l)2- ( * 2 + l) + l
a t , 1___ 1
д;2+1

2) Так как х 2 +1 >0 при всех значениях х, то из неравенства между средним ариф­
метическим и средним геометрическим следует, что
Х 4 + Х 2 +1

— = х 2+1+ , т — 1
х 2+ 1

3) Равенство имеет место тогда и только тогда, когда х2 +1 — — 2 + j :
х 2+ 1 =

х + х +1
,
„
;—-— равно 1 и достигается при х = и.
х +1
Заметим, что это значение можно было найти и проще. Преобразовав алгебраиче­
скую дробь в сумму двух дробей и выполнив сокращение, получим:
х ‘ + х 2+1 ,
х’
=1 + ^Г— > 1 .
х 2+ 1
х 2 +1
Ответ: наименьшее значение

Равенство достигается, когда числитель дроби

равен нулю, то есть при х = 0.

Глава 5, §3, п .5 . 3 . 3 _________________

Пример 4.
Найти наибольшее значение выражения

Решение:
х г +3х +16 = * 4 ° + 3 .
X
Аналогично рассмотренным выше примерам при всех х > 0 выполняется неравенх2+ 3х + 16
16s „
-х +— + 3 > 8 + 3 = 1 1 .
ство х +— ^ 2.f ? — =-8 . Значит,
х
16
Равенство имеет место при х =— , то есть х =4.
х
Тогда для обратной положительной величины при х = 4 имеем: —— — —— < —
Рассмотрим дробь, обратную данной

х
„
1
———- при х > 0 равно — и дости-

Ответ: наибольшее значение выражения

Пример 5.
Найти наименьшую возможную длину диагонали прямоугольника, если площадь его равна S.
Решение:
Пусть длины сторон прямоугольника равны а и Ъ. Тогда длина диагонали d по теореме Пи­
фагора равна -Ja2+Ьг , а площадь S = ab. Применим к длинам сторон неравенство между сред­
ним квадратичным и средним геометрическим

Для рассматриваемых в задаче величин оно означает, что

Равенство имеет место при а = Ь, то есть когда прямоугольник является квадратом.
Ответ: если площадь прямоугольника равна S, то наименьшую возможную длину диаго­
нали, равную ■J2S , имеет квадрат со стороной Vs .

|132| Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел:
а) 4 и 9;
б) 5 и 20;
в) 100 и 100;
г) 33 и 55.
Сравните полученные в каждом случае значения. Какое свойство позволяет сде­
лать это без всяких вычислений?
В каком случае среднее арифметическое равно среднему геометрическому?
Прямоугольник имеет стороны а и Ь, периметр Р и площадь S. Запишите среднее
арифметическое сторон этого прямоугольника, выразите его через периметр пря­
моугольника Р. Запишите среднее геометрическое сторон этого прямоугольника,
выразите его через площадь прямоугольника S.
1) Найдите наибольшую возможную площадь прямоугольника, периметр которого
равен Р. Какое из «замечательных неравенств» может в этом помочь?
2) Сопоставьте свой способ решения этой задачи с решением на с. 41.
3) Сформулируйте еще один способ, с помощью которого можно решить задачу на
максимум и сопоставьте его с изложенным на с. 43.

Глава 5, §3, п .5 .3 .3

Найдите наименьшее значение выражения

Найдите наибольшее значение выражения

[ И 7 | Докажите неравенство:
а) а2-аЬ +Ь2 > 0 ;

Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
а)

|140| Записан рост (в сантиметрах) шести учащихся восьмого класса: 160, 166, 158,

172, 164, 170. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел
от его медианы?

Фирма изготавливает и продаёт футболки с логотипом предстоящего спортивного
праздника. Стоимость заказа из 20 футболок составляет 1000 рублей, а заказа из
50 футболок — 2250 рублей. На сколько процентов стоимость одной футболки при
заказе 20 штук больше, чем при заказе 50 штук? (Ответ округлите до целого числа
процентов.)

142| Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел:
а) 6 и 24;

Придумайте пару чисел, среднее арифметическое которых совпадает со средним
геометрическим.

|143| Найдите наименьшее значение выражения х 4+4х2+4

Найдите наибольшее значение выражения

[Й5| Докажите неравенство:
а) 4 п2+ 25Ь2 > 20аЬ;

б) а2+2Ьг +с2 > 26(а + е );

Изобразите на координатной плоскости множества решений неравенств:

а) 4х — &у — 1 < 0;
б) — х — у + 3 > 0;
в) 5х + 5 > 0.
147jf Что больше — 123 456 789 • 123 456 787 или 123 456 7882?

11481 Какое наименьшее количество чисел нужно исключить из набора 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9 ,1 0 ,1 1 ,1 2 так, чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы с оди­
наковым произведением чисел в группах? Приведите пример такого разбиения на
группы.

Выполните тест № 8 для самостоятельной проверки знаний.
45

З адачи дл я сам окон тр ол я к главе 5

Задачи для самоконтроля к главе 5
Q 4 9 ] Н ай ди те область определения алгебраи ческой дроби:
2ж-1
ж+ 5
б)
в)
а)
4ж2 + 4ж + 1 ’
ж (ж — 5 ) ’
» 9ж2- 4

С ократите алгебраическую дробь:
а)

1511 В ы полните действия:
2 + 3d d — 3
а) 14d + 2 Id 5

5v-20
. _ 5о
в) 5 ——— + и — 4 и — 8 и +16 ‘

В ы полните действия:
8 а — Ь ________________
1 6 а-2 6
2а + З Ь ‘ 9бг + 1 2 а Ь + 4 а 2 ’

72fe6 р*
р 8 12ft° ;

у 3 + 64 # у 3 + 8 р + 16

рг-4 р -2 1 р6
рг
р -7 ’

Упростите вы р аж ен и е и н ай ди те его зн ач ен и е п ри х = \ ;’5 + 5 и у = \ ,;Г) — 5 :

П ри к а к и х зн ач ен и ях ж, где ж е Z , ал геб раи ческая дробь я в л я е т с я ц ел ы м числом?
а)

Р еш и те дробно-рациональное уравнение:
а ) 3ж^-21ж=0;
ж -1

Р еш и те дробно-рациональное уравнение:
_2_____2 _ ж
а) ж2 —1 ж -1 ж + 1 !

Н ай ди те все зн ач ен и я а, п ри которы х уравн ен и е

3
ж2+ ж — 2
ж + 9 ж -3 6
= 0 им еет единственж+ а

Р еш и те зад ачи , составив дробно-рациональное уравнение:
а) Р ассто ян и е м еж д у п р и стан ям и равно 84 к м . П о течению р ек и к атер прош ёл это
расстоян и е н а 1 час быстрее, чем обратны й путь. Н ай ди те собственную скорость
к атер а, если скорость теч ен и я р ек и р авн а 1 к м /ч .
б) М оторная л о д к а ры боохранной служ бы , вы й д я н а деж урство, п рош л а 8 к м про­
ти в теч ен и я и вернулась обратно, затрати в на обратны й путь н а 20 м и н ут м еньш е,

З адачи дл я сам окон тр ол я к главе 5

чем на движение против течения. Определите собственную скорость лодки, если
скорость течения равна 2 км/ч.
в) От пристани отправился по течению плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той
же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км.
Найдите скорость движения плота, если известно, что моторная лодка двигалась
на 12 км/ч быстрее, чем плот.
4
г) Через две трубы — бассейна заполняется за 8 часов. За сколько часов наполнит
5
бассейн первая труба, если она это делает на 15 часов быстрее второй трубы?
д) Поезд был задержан в пути на 12 минут. Чтобы наверстать потерянное вре­
мя, машинист увеличил скорость на 10 км /ч и на отрезке пути в 40 километров
ликвидировал отставание. С какой скоростью поезд должен был идти по рас­
писанию?

Решите уравнение:
15
х — 4 х+ — = 8.
х -4х
Решите уравнение:
а)

Решите неравенство методом интервалов:
а) ( х — 5 ) ( х +1)>0;

д) х г -12х +27 > 0 ;

в) ( 4 — * ) ( * — 8 ) > 0 ;

[jc2-1 0 jc-2 4 < 0
Решите систему неравенств ■
16 >0

Решите двойное неравенство 5х — 20 < х 2< 8х.

^64) Решите неравенство методом интервалов:
а) (* — 4 )5(х — 1)2(7 -* )< 0 ;

б) (дг-3)2(г + 1)3(х -5 ) > 0 .

Решите неравенство методом интервалов:
6 ) S + 2 x — 4 8 >0;
„ 1 * ^ 1 > 0,
л:( л; +9)
* (* -« )
Решите систему неравенств:
х
2 * -5
->2
— 1
>1
х-2

Докажите неравенство аг +Ьг — 8 а + 66 + 26>0 при любых значениях а и Ь.
тт „
х 4+16д:2 +16
Найдите наименьшее значение выраж ения——— -г——-.

Элементы комбинаторики,
теории вероятностей и статистики
§ 1. Элементы комбинаторики
6.1.1. Задача систематического перебора вариантов
О сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг.
Александр Пушкин, (1799-1837)
великий русский поэт, драматург и прозаик
На практике нам часто бывает нужно решать задачи, связанные с перебором вари­
антов, чтобы узнать их количество или чтобы из среди всех возможных комбинаций
выбрать оптимальную по некоторым заданным признакам. Например, играя в шаш­
ки, шахматы или какую-нибудь компьютерную игру, требуется выбирать ходы, веду­
щие к выигрышу.
Мы уже знаем, что при решении таких задач перебор следует осуществлять не
случайным образом, а систематически, по определённому правилу. При этом часто
помогают инструменты, известные нам ещё из начальной школы — таблица и схема,
которую мы называли «дерево» возможных вариантов.
Обобщим имеющиеся у нас знания, рассмотрев, например, следующие задачи, свя­
занные с перебором возможных вариантов и их подсчётом.
Задача 1.
Какие двузначные коды можно составить из букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж , 3, И, если на
первом месте может стоять гласная, а на втором согласная? Достаточно ли их будет
для кодирования экзаменационных листов 20 учащихся?
Решение:
Выпишем все комбинации, которые можно составить из этих букв указанным спо­
собом. Чтобы ничего не пропустить, упорядочим перебор с помощью таблицы.
Б

Из таблицы видно, что таких кодов 18, а значит, для кодирования 20 работ их
будет недостаточно. Чтобы увеличить число кодов, можно, например, ввести ещё одну
согласную букву, тогда количество кодов увеличится на 3 и составит 21.
48

Глава 6, §1, п.6.1.1
Задача 2.
Какие различные пароли, состоящие из четырёх различных букв, можно соста­
вить, если в пароле могут быть использованы только буквы А, Б, В, Г? Сколько таких
паролей существует?
Решение:
Рассмотрим сначала случай, когда на первом месте нашего пароля стоит буква А. В дан­
ной задаче пароль четырёхзначный, и для того, чтобы выписать все возможные варианты
с этой буквой, таблица уже не подойдёт. Поэтому составим для этого следующую схему:
1-е место
2-е место
3-е место
4-е место

Из схемы ясно видно, что в этом случае на втором месте могут стоять только буквы
Б, В и Г. Если на втором месте стоит буква Б, то на третьем месте могут стоять только
буквы В и Г, а на четвёртом, соответственно, буквы Г и В. Аналогично, по два варианта
получается, если на втором месте стоят буква В и буква Г. Таким образом, общее число
возможных вариантов в случае, когда на первом месте стоит буква А, равно шести:
АБВГ

Поскольку, согласно условию задачи, никаких ограничений на способ расположе­
ния букв в пароле не наложено, аналогичным образом мы получим по шесть различ­
ных паролей и в случаях, когда на первом месте будут стоять буквы Б, В или Г.
Б

Итак, общее число возможных паролей равно 6 x 4 = 24. Все варианты паролей можно
выписать из полученных нами схем, двигаясь по каждой из «ветвей* схемы сверху вниз.
Ответ: всего можно составить 24 различных пароля.
Если возможные варианты нужно просто подсчитать, то можно попробовать обой­
тись без непосредственного выписывания всех этих вариантов.
Задача 3.
Сколько двузначных кодов можно составить из всех цифр и букв А, Б, В, Г, Д, Е,
Ж, 3, если на первом месте может стоять цифра, а на втором буква? Достаточно ли их
будет для кодирования экзаменационных листов 160 учащихся?
Решение:
Для понимания общего числа кодов в данном случае нам достаточно заполнить
лишь первую строку таблицы, выписывая все возможные комбинации из указанных
букв и цифры 0.
49

Глава 6, §1, п.6.1.1
0

Мы видим, что кодов с цифрой 0 будет восемь — столько же, сколько различ­
ных букв используется в коде. Ясно, что в остальных строках, где на первом ме­
сте будет стоять любая из девяти оставшихся цифр, мы такж е получим по восемь
различных кодов: 1А, 1Б, 1В, 1Г, 1Д, 1Е, 1Ж, 13; 2А, 2Б, 2В, 2Г, 2Д, 2Е, 2Ж, 23
и т. п.
Значит, общее число кодов будет равно произведению 10 • 8 = 80. Их не хватит для
кодирования 160 листов.
Чтобы увеличить количество кодов, не добавляя новых символов, можно парами
1А и А1 кодировать различные работы, то есть учитывать порядок расположения бук­
вы и цифры. В этом случае число составленных кодов увеличится вдвое и станет доста­
точным для кодирования 160 экзаменационных листов.
Итак, для подсчёта числа комбинаций из различных объектов можно использо­
вать метод систематического перебора, который состоит в следующем.

Метод систематического перебора
(подсчёт числа комбинаций из различных символов)
Закрепить на первом месте комбинации один из символов, принадлежа­
щих множеству заданных в задаче символов.
Для выделенного случая выписать возможные варианты, используя таб­
лицу, схему или др. Подсчитать полученное число вариантов.
Если по условию задачи каждый из символов может занимать любую
позицию, то общее количество возможных вариантов равно произведению
числа вариантов, полученного для одного «закреплённого» символа на
количество заданных символов.
Если на символы наложены какие-либо ограничения, то вычислить ко­
личество возможных вариантов отдельно для всех символов с различными
свойствами, а затем сложить полученные числа.

Рассмотрим пример применения этого метода для решения следующей задачи.
Пример 1.
Сколькими способами можно подарить по открытке трём своим подругам, если ку­
плены четыре различные открытки?
Решение:
Обозначим открытки буквами а, Ь, с, d. Пусть запись (с, a, d) означает, что первой
подруге мы подарим открытку с, а второй — а, а третьей — d. Таким образом, задача
сводится к подсчёту комбинаций из трех символов множества Закрепив на первом месте комбинации букву а, систематически переберём воз­
можные варианты с помощью схемы:
а

________ __ ________________________________________ Глава 6, §1, п.6.1.1
Получим следующие варианты (а, b, с), (а, b, d), (а, с, b), (а, с, d ), (а, d, 6), (а, d, с) всего шесть.
По условию задачи каж ды й из символов может занимать любую позицию, поэтому
общее количество возможных вариантов равно произведению полученного числа 6 на
количество букв рассматриваемого нами множества , то есть
6 — 4 = 24.
Рассмотрим теперь, как с помощью метода систематического перебора можно ре­
шить задачу, в которой на заданные символы наложены некоторые ограничения.
Пример 2.
Для оформления спальни текстилем дизайнер мог выбрать плед бежевого, кремово­
го или золотистого тона, а также круглые или квадратные подушки. Для окон дизайнер
мог использовать либо шторы (кораллового или вишневого цвета), либо тюль (жёлтого
или белого цвета). Сколько различных вариантов оформления комнаты сможет соста­
вить дизайнер, если коралловые шторы не сочетаются с золотистым пледом, а с кремо­
вым пледом «смотрятся» только круглые подушки?
Решение:
Составим схему, указывая названия деталей интерьера, их цвета обозначим первы­
ми буквами, круглые и квадратные подушки соответственно цифрами 1 и 2. При этом
учтём те ограничения на составление интерьера, которые заданы в условии задачи.
ТТТторы

Количество вариантов равно количеству точек в последней строке. Значит, полу­
чилось 8 различных вариантов с шторами и 10 с тюлем, а всего 18 интерьеров.
Ответ: дизайнер может составить 18 различных вариантов интерьера.
а) Флаг составлен из двух одинаковых горизонтальных полос разных цве­
тов: жёлтого и голубого. Сколько различных вариантов удовлетворяют
этому условию?
б) Флаг составлен из трёх одинаковых горизонтальных полос разных цветов: крас­
ного, белого и синего. Сколько различных вариантов удовлетворяют этому условию?
в) Флаг составлен из четырёх одинаковых горизонтальных полос разных цве­
тов: красного, жёлтого, синего и зелёного. Сколько различных вариантов удов­
летворяют этому условию?
В каком случае вариантов было больше? В какой из задач потребовалось запи­
сывать, к ак вы перебираете возможные варианты?
Знаете ли вы, какие из рассмотренных вами вариантов действительно являются
государственными флагами?

]70|Посчитайте,
сколько слов русского языка состоят из одной буквы. Как организовать
выполнение этого задания, чтобы не потерять ни одного однобуквенного слова?

Глава 6, §1, п.6.1.1
Прочитайте задачу: «Какие двузначные коды можно составить из цифр 1, 2, 3, 4,
5 ,6 ,7 , 8, 9, если полученный код должен образовать четное число (цифры кода не
повторяются)? Достаточно ли их будет для кодирования 30 проектов, представлен­
ных для участия в конкурсе?»
Ответьте на вопросы:
а) Как нужно выписывать эти коды, чтобы не потерять ни одного кода и не допу­
стить дублей?
б) Какая таблица может помочь в организации систематического перебора? Вы­
полните перебор всех возможных вариантов, используя данную таблицу.
Из пункта А в пункт В существует две дороги, а из пункта В в
пункт С существует четыре дороги. Изобразите разными цве­
тами на схеме все возможные маршруты, с помощью которых
можно попасть из пункта А в пункт С через пункт В. Сколько
вариантов вы нашли?

Чем отличаются данные задачи? Решите их.
1) «Какие двузначные коды можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если на первом
месте кода может стоять цифра 1 или 2 (цифры кода не повторяются)? »
2) «Какие трехзначные коды можно составить из цифр 1, 2, 3 ,4 ,5 , если на первом
месте кода стоит цифра 1 (цифры кода не повторяются)?»
3) «Сколько трёхзначных кодов можно составить из цифр 1 ,2 ,3 ,4 ,5 , если цифры
кода не повторяются?»
а) Для организации какого перебора подойдёт таблица?
б) Может ли таблица помочь в организации перебора кодов второй и третьей задач?
Как графически изобразить варианты кодов для второй задачи?
в) Как количество вариантов для выделенного во второй задаче случая может по­
мочь при подсчёте общего числа вариантов третьей задачи?
174) Перечислите все возможные блюда, которые можно составить из рыбы, мяса, ку­
рицы и следующих гарниров: картофель жареный, картофельное пюре, гречка,
рис и макароны. Организуйте перебор с помощью таблицы, закрасьте ячейки с
самыми вкусными на ваш взгляд комбинациями. Сколько всего вариантов полу­
чилось?
Перечислите все возможные варианты обедов из трёх блюд, если предлагается сле­
дующее меню. На первое: щи и борщ; на второе: плов, жаркое и овощное рагу; на
третье: компот и сок. Сколько всего вариантов получилось?
Проанализируйте решение предыдущих задач. Обобщите, какими способами мож­
но организовать систематический перебор вариантов комбинирования различных
элементов. Можно ли упростить процесс подсчёта числа вариантов?
1 77| а) В некоторой стране есть четыре города: А, В, С и D. Есть 5 дорог из города А в
‘ город В , 4 дороги из города В в город С и 6 дорог из города С в D. Дорог из А в D, из
А в С и и з В в В нет. Сколькими способами можно добраться из города А в город D7
б) В некоторой стране есть четыре города: А, В, С и D. Есть 3 дороги из города А в
город В, 4 дороги из города В в город С и 5 дорог из города С в D. Дорог из А в В нет.
Сколькими способами можно добраться из города А в город D, если две дороги из
города С в город D на ремонте?

Г л ав а 6, § 1 , п .6 .1 .1

В гардеробе у Кати есть короткая и длинная юбки, чёрные и серые брюки, а т ак ­
же белая, голубая и зелёная блузки. Ещё у Кати есть два платка — ш ёлковый и ш ер­
стяной. Сколько различных нарядов, состоящих из юбки, кофты и платка, либо из
брюк, кофты и платка, может составить Катя из этих вещей, если:
а) все вещи хорошо смотрятся вместе?
б) голубая блузка не подходит ни под одну из юбок, а с брюками Маша шерстяной
платок не носит?
алфавите племени Ни-Бум-Бум три буквы. Словом является любая последова­
¢221Втельность
из трёх букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько
слов в язы ке племени Ни-Бум-Бум?

Кубик бросают дважды. Среди всех возможных последовательностей результатов
есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?

а) Администратор детского спортивного центра составлял расписание секций на сле­
дующий месяц, распределяя занятия по баскетболу, футболу, волейболу, гимнастике
и лапте по рабочим дням недели (выходные были посвящены соревнованиям и спор­
тивным праздникам). Укажите, сколькими способами можно составить расписание,
удовлетворив следующие просьбы тренеров. Тренер по футболу попросил, чтобы его
занятия были во вторник или в среду; тренер по баскетболу — чтобы его занятия были в
среду или в четверг; тренер по волейболу мог работать только во вторник или пятницу.
Тренеры по гимнастике и лапте могли работать в любые дни недели.
б) Сколькими способами можно посадить в одном ряду шесть девочек, если четыре
из них дружат, и все подружки хотят сидеть рядом?
в) Сколькими способами могут разместиться пять человек в пятиместном автомо­
биле, если только один из них не умеет управлять автомобилем?
а) Учащиеся седьмого класса изучают 8 различных предметов. Сколькими спосо­
бами можно составить расписание уроков на один день, так чтобы в этот день было
5 различных уроков?
б) Сколькими способами можно сшить штору, состоящую из четырёх одинаковых
вертикальных полос различных цветов, если имеются ткани б цветов?
в) Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, б, 8, если
цифры в числе могут повторяться?

11831 Докажите неравенство — j — + a > 1 при а > 0.

Найдите наименьшее значение выражения * + — ПРИ х > 0.

(х +Ш х + 20)
при х > 0
¢83 Найдите наименьшее значение в ы р аж ен и я——————-

¢861 Решите графически уравнение:
а) — 4 х — 4 = х 2; б ) х 3 = х;

в) — = — х .
х
Проверьте свое решение, решив уравнение аналитически.

Глава 6, §1, п.6.1.1
11 8 7 1 Н апиш ите область определения функции, график которой изображён на рисунке:
в)

/
/
(;е-1)2 + 3, если х > 2;
а) у = \ х 2, если 0 < х < 2;
— х у если х < О

— х + 6, если х < 2;
б) У-

«Прочитайте» каж ды й график по известному плану.

а) В магазине «Турист» продаётся 8 видов палаток и 5 различных склад­
ных столов. Сколькими способами можно купить в этом магазине палатку
и стол?
б) У Коли есть красный, зелёный, ж ёлтый и синий кубики. Сколькими способами
он может построить из них башню высотой в 4 кубика?
а) Между городом В и А имеется 7 дорог, а между городом А и С — 6 дорог. Между го­
родами В и С дорог нет. Сколькими способами можно добраться из города В в город С?
б) В меню школьной столовой 3 вида салатов, 2 вида первых блюд и 2 вида вторых
блюд. Сколькими способами можно купить в ш кольной столовой обед из салата,
первого и второго блюда?
в) Сколько различных шестизначных паролей из букв X и Z и цифр 1 , 3 ,5 , 7 мож­
но составить, если цифры и буквы в пароле не долж ны повторяться?

Под тремя напёрстками спрятаны два одинаковых шарика (возможно, что оба под одним
наперстком). Сколько разных вариантов расположения шариков под напёрстками?

[1921 а) В седьмом классе одной из ш кол в расписании зан яти й на среду долж ны быть

следующие предметы: геометрия, русский я зы к , ин ф орм атика, физкультура,
иностранны й язы к . У каж ите, скольким и способами мож но составить расписа­
ние, удовлетворив следующ ие просьбы учителей. Учителю ф изкультуры нуж ­
но, чтобы его урок был третьим или четвёртым; учителю иностранного язы ­
к а — чтобы его урок был вторым или третьим; учителю ин ф орм атики — чтобы
его урок был вторым или четвёртым. Остальные учи теля не вы сказы вали ника­
ких просьб.
б) Сколькими способами можно слож ить в стопку шесть ж урналов и две газеты,
так чтобы все ж урналы леж али рядом друг с другом?
в) Сколько различных четырёхзначных чисел, делящ ихся на 2, можно составить
из цифр 2, 4, 7, 8, если цифры в искомом числе не повторяются?

_______________________________________________ Глава 6, §1, п .6 .1 .2

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,
если цифры в числе могут повторяться?

Решите графически уравнение:

Найдите наименьшее значение выражения х + —— при х > 0.

б) (х + l ) z = -Ъх — 5;

Как можно проверить свое решение?
Постройте график кусочно-заданной функции и «прочитайте» его по известному плану
у[х, если х > 4;
У=

х + 2) +4, если х < 0
Баскетбольный матч российской суперлиги между ЦСКА и «Динамо» (Москва)
окончился победой ЦСКА со счетом 77: 53. В этом матче был момент, когда
ЦСКА уже забросил столько мячей, сколько «Динамо» (Москва) забросил после
этого момента. Сколько мячей к этому моменту было в сумме заброшено обеими коман­
дами?
Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться чис­
ло 2517?

6.1.2. Задача подсчёта различных вариантов. Правило
произведения
Первое условие, которое надлеж ит выполнять
в м а т е м а т и к е , — э т о бы ть точным, второе — бы ть ясным
и, насколько можно, простым.
Лазар Карно (1753-1823),
французский военный деятель, инженер, учёный
В предыдущем пункте мы использовали метод систематического перебора всех воз­
можных комбинаций элементов некоторого множества. Но чаще всего в задачах тре­
буется найти не сами комбинации, а их количество, то есть ответить на вопросы типа:
кСколько вариантов существует?», «Сколькими способами можно это сделать?». Так,
;сли мы захотим выяснить время, необходимое для проведения в школьном зале перзенства по волейболу в один круг (каждая команда играет с каждой другой один раз),
т м потребуется сосчитать количество встреч между парами команд. И если мы знаем,
жолько времени в среднем длится одна встреча, то, умножив это время на количество
»стреч, мы получим оценку времени проведения первенства.
В настоящее время для ответа на этот вопрос мы должны вначале осуществить си­
гм атический перебор всех встреч, а затем сосчитать их количество. Пусть, наприiep, в школе имеется 6 команд. Выпишем все возможные варианты встреч в таблице,
считывая, что, во-первых, команда не будет играть сама с собой, поэтому вместо игр
55

Глава 6, §1, п . 6 . 1 . 2 ____________________________________________________
1 — 1 , 2 — 2 и т . д. поставим прочерки. И во-вторых, чтобы не дублировать запись
одной и той же игры, договоримся на первом месте указывать меньший номер ко­
манды. Например, игру 1-й и 2-й команд запишем 1 — 2 (а не 2 — 1).
2

Непосредственный подсчёт записанных в таблице пар даст нам общее количество
игр, которые сыграют 6 команд: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
Естественно, что чем больше команд, тем труднее непосредственно выписать и пересчи­
тать все пары. Поэтому проще найти какие-либо общие закономерности, которые позволят
получить результат быстрее. Кто-то заметит, что количество пар с каждой последующей
цифрой уменьшается на один. Тогда общее количество игр, которые сыграют, например,
10 команд, равно: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + + 3 + 2 + 1 = 45. Другой заметит, что количество
заполненных ячеек в таблице в два раза меньше числа ячеек, не стоящих на диагонали, по­
этому оно равно половине разности квадрата числа и самого числа, значит: (102- 10): 2 = 45.
А кто-то, возможно, проведёт другие рассуждения, которые также приведут к ответу 45.
Однако чаще всего подобные задачи содержат огромное число вариантов и их непо­
средственный перебор практически невозможен. Упростить ж е перебор не всегда уда­
ётся, так как всякий раз для этого требуется некоторая «догадка». Поэтому гораздо
удобнее один раз и навсегда составить общие правила для задач того или иного вида,
а затем лишь применять готовые формулы. В связи с этим несколько столетий назад в
математическом знании выделился специальный раздел — комбинаторика, получив­
ший впоследствии мощное развитие и широкое применение.
Определение. К омбинат орикой называется раздел математики, изучающий спо­
собы подсчёта количества комбинаций, образованных из элементов конечных мно­
жеств по определенным правилам.
В качестве элементов множества могут выступать не только числа, но и любые объ­
екты — буквы, предметы, люди, команды, как в рассмотренной нами задаче, и т. д. По­
этому правила и формулы, установленные в комбинаторике, позволяют решать самые
разные задачи, совершенно друг на друга не похожие на первый взгляд.
Познакомимся с этими формулами и мы. Для начала рассмотрим несколько ком­
бинаторных задач.
Задача 1.
У Светы 3 нарядных платья и 5 бус. Чтобы найти самые красивые и неожиданные
их комбинации, Света решила примерить платья и бусы всеми возможными способа­
ми. Сколько вариантов ей пришлось перебрать?
Решение:
Ясно, что Света должна примерить все пять бус сначала с первым платьем, затем со вторым платьем, и наконец, — с третьим. При этом каж дый раз будет получаться по
пять различных комбинаций.
56

Глава б, §1, п .6 .1 .2

Обозначив платья П1, П2 и ПЗ, а бусы Б1, Б2, БЗ, Б4 и Б5, можно изобразить все
возможные варианты пар на следующей схеме:
П1

Отсюда, каждому из трёх платьев соответствует пять вариантов бус, все­
го 3 • 5 = 15 вариантов (общее количество вариантов равно количеству «веток»
в схеме).
Задача 2.
Найти количество двузначных чисел, у которых первая цифра — нечётная, а вто­
рая — меньше 6.
Решение’.
Начнем выписывать все указанные в задаче числа в порядке возрастания:
10, 11, 12, 13, 14, 15,
3 0 ,3 1 ,3 2 ,3 3 ,3 4 , 35,
50, 51, . 55,
70, 71, . 75,
90,91. 95.
Легко заметить закономерность: с каждой из пяти нечётных цифр начинаются
ровно шесть чисел. Всего получается пять раз по шесть чисел, то есть 30 чисел.
Иначе этот результат можно объяснить так: на первое место мы можем поставить
любую из пяти нечётных цифр. Зафиксируем её. Вне зависимости от выбора этой циф­
ры на втором месте может стоять любая из шести цифр от 0 до 5. То есть каждому из
пяти вариантов с фиксированной первой цифрой соответствуют шесть вариантов с вы­
бором второй цифры, всего 5 • 6 = 30 вариантов.
Обобщая способ решения этих задач, мы можем сделать важный вывод: если
первый элемент какой-то пары может быть выбран А способами, и для каждого из
этих способов второй элемент может быть выбран В способами, то эту пару можно
выбрать А ■В способами.
Применим полученный вывод к решению следующей задачи.
Задача 3.
Петя красит лавочки и стол на даче. Первую лавку он хочет покрасить одним из
четырёх цветов: синим, голубым, белым или зелёным, вторую — одним из трех цве­
тов — красным, жёлтым или коричневым, а стол — любым из перечисленных семи
цветов. Сколько разных вариантов покраски стола и лавок есть у Пети?
Решение:
Первая лавка может быть покрашена любым из 4 цветов. Для каждого выбранного
варианта покраски первой лавки имеется 3 цвета покраски второй лавки. Всего полу­
чается 4 -3 = 12 вариантов покраски лавок. Теперь для каждого из 12 выбранных вари­
антов покраски лавок имеется 7 вариантов покраски стола. Всего получается 12 • 7 = 84
варианта.
Иначе этот ответ может быть получен как произведение 4 • 3 -7 = 84.
57

Глава 6, §1, п .6 .1 .2 ____________________________________________________
Обобщив способ, использованный нами для подсчёта вариантов в этих задачах, по­
лучаем следующее правило.
Правило произведения
Если элемент я, может быть выбран А] способами, элемент а2 — Аг спосо­
бами, . элемент ап- А п способами и выбор разных элементов происходит
независимо, то набор (а,; а 2; ап) элементов можно выбрать А х*А г- . *А п
способами.
Применим это правило к решению задач.
Пример 1.
Сколько паролей, состоящих из четырёх букв, можно составить, если в пароле мо­
гут быть использованы буквы С, Т, О, П?
Решение:
Согласно условию задачи, подсчитывая количество возможных паролей, мы долж­
ны учитывать и те пароли, буквы в которых будут повторяться.
В качестве первой буквы пароля можно выбрать любую из четырёх указанных в
задаче букв. Значит, первую букву в пароле можно выбрать 4 способами.
Аналогично, каждую из второй, третьей и четвёртой буквы пароля также можно
выбрать четырьмя способами. Значит, всего можно составить 4 • 4 • 4 • 4 = 256 различ­
ных паролей.
Пример 2.
Сколько различных паролей, состоящих из четырёх различных букв, можно со­
ставить, если в пароле могут быть использованы только буквы С, Т, О, П?
Решение:
В отличие от предыдущего примера буквы в пароле не должны повторяться. Пер­
вой в пароле может стоять любая из четырёх букв, второй — любая из трёх оставшихся,
третьей — любая из двух оставшихся, четвертой — одна.
Значит, всего будет 4 ■3 • 2 • 1 = 24 различных пароля.
В завершение покажем, каким образом правило произведения может быть исполь­
зовано при решении задачи о первенстве по волейболу при игре 10 команд.
В каждой игре участвует две команды, поэтому нам надо сосчитать количество
пар, которые можно составить из 10 команд. Если бы выбор команд в пару осущест­
влялся вне зависимости от порядка их перечисления, то первой в паре могла оказать­
ся любая из 10 команд, а второй — любая из 9 оставшихся. По правилу произведения
общее количество пар будет равно 10 • 9 = 90. Однако при этом каждая игра подсчи­
тана дважды (сначала при подсчёте пар одного участника игры, а затем — при под­
счёте пар его соперника). Значит, на самом деле игр будет сыграно вдвое меньше
10-9
— = 45.
Теперь мы можем решить и общую задачу подсчёта количества игр при участии п

команд. Проводя аналогичные рассуждения, мы получим

Скоро мы узнаем формулу, которая позволит решить эту и подобные ей комбина­
торные задачи в одну строку без таких подробных рассуждений.
58

1) Чем похожи эти задачи:
1—
а) «К Маше в гости пришел Ваня, и она решила его чем-нибудь угостить. У
себя в буфете она нашла семь различных печений и пять разных пирожных. Сколь­
кими различными способами Маша может угостить Ваню, если она хочет дать ему
лишь одно пирожное и одно печенье? »
б) «К Ване в гости пришла Маша, и он решил её чем-нибудь угостить. Ваня, оты­
скав в холодильнике три яблока и четыре груши, решил дать Маше пару различ­
ных фруктов: одно яблоко и одну грушу. Сколько различных вариантов угощения
может он составить (все фрукты отличаются друг от друга и цветом, и размером)? »
2) Попробуйте решить эти задачи без непосредственного перебора всех возможных
вариантов угощения. Сформулируйте правило нахождения числа пар, каждый
элемент которых имеет несколько вариантов выбора. Сравните его с выводом на
стр. 58.

классе учатся 14 мальчиков и 15 девочек. Сколькими способами можно соста­
вить пару девочка-мальчик для открытия школьного бала?
На дне рождении собрались 10 юношей и 10 девушек. Сколькими способами из
них можно выбрать пару для участия в очередном танце?

классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать старосту класса и его
[202| Впомощника?

1) Прочитайте задачу: «К Маше в гости в очередной раз пришел Ваня, и она реши­
|жз] ла
его чем-нибудь угостить. Маша нашла в буфете семь различных печений, пять

разных пирожных и десять разных конфет. Сколько есть у неё способов составить
угощение для Вани, если она хочет дать ему одну конфету, одно печенье и одно
пирожное? »
2) Чем отличается эта задача от предыдущих задач про угощение? Попробуйте ре­
шить её. Как выводы, сделанные при решении предыдущих задач, смогут помочь
для подсчёта числа способов в этой задаче. Сформулируйте правило, которым вы
пользовались. Сравните его с правилом на с. 58.
Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть только цифры 1 ,2 ,
3, 4, 5 и они а) встречаются ровно по одному разу; б) могут повторяться?

Найдите количество трёхзначных чисел, у которых первая цифра — нечётная, вто­
рая —чётная, а третья —делится на 3.

Найдите количество прямоугольников со сторонами, параллельными осям коорди­
нат, таких что точка (14; 22) содержится внутри (но не на границе) каждого из них,
абсциссы вершин являются натуральными числами меньше 29, а ординаты — нату­
ральны и меньше, чем 31.
Как известно, все символы в компьютере закодированы «двоичным кодом», то есть
представлены с помощью всего двух символов 1 и 0, которые легко представляют­
ся сигналами. В современных ЭВМ, в зависимости от типа операционной системы
и конкретных прикладных программ, используются 8-разрядные и 16-разрядные
коды. Так, в 8-разрядном коде символ «пробел» переводится на машинный язык
последовательностью из восьми цифр: 00101000. Какое наибольшее число симво­
лов может быть закодировано 8-разрядным кодом? Какое наибольшее число сим­
волов может быть закодировано 16-разрядным кодом?

Глава 6. §1, п .6 .1 .2
а) Монету бросают трижды и каждый раз записывают, что выпало: «орел» или «решка».
Сколько разных последовательностей «орлов» и «решек» можно при этом получить?
б) Монетку бросают десять раз и каж ды й раз записывают, что выпало: «орел» или
«решка». Сколько различных последовательностей из «орлов» и «решек» может
при этом получиться?
а) Каждую клетку квадратной таблицы 2X2 можно покрасить в черный или белый
цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
б) Каждую клетку квадратной таблицы 3X3 можно покрасить в синий или белый
цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
Из города А в город В ведет одна дорога, в город С — че­
тыре, в D — пять, из города С в город В — три дороги, а из
D в В — шесть. Сколько существует способов доехать из
города А в город В, если считать, что по дорогам можно
ехать лиш ь в одном направлении — слева направо?

1) Прочитайте задачу: «В очередной раз к Маше в гости при­
шел Ваня, и она решила его чем-нибудь угостить. Маша,
lJ
отыскав в буфете семь печений, пять пирожных и десять конфет, решила дать Ване
только две какие-нибудь сладости (печенье с пирожным, пирожное с конфетой или кон­
фету с печеньем). Сколько различных вариантов угощения может она составить?»
2) Чем отличается эта задача от предыдущих задач про угощ ения? И з каких про­
стых задач, способ решения которых уже известен, она состоит? Попробуйте ре­
шить задачу и сформулировать способ решения аналогичных задач.
3) Придумайте для своего соседа по парте аналогичную задачу, обменяйтесь при­
думанными задачами, проверьте условие на корректность и решите составленную
соседом задачу.
Сколькими способами можно прочитать слово «КОМБИНАТОРИКА», двигаясь
вправо или вниз?
Р
И
К
А
к
О
м
Б
И
Н
А
Т
О
О
м
Б
Р
И
К
А
И
н
А
Т
О
м
Б
И
Н
А
О
р
К
А
Т
И
Б
И
Н
А
Т
О
Р
А
и
К
И
Н
А
Т
О
Р
А
И
к
Н
А
Т
О
Р
И
к
А
1 /*» Я з+ З л /з);

в) ^ (б — Т ? )’ + ^ (^ 7 + 2 )2;

(l- V 7 )2+ 2 , / i ^ 7 ? .

Решите уравнения:
а) х3 — 5х2 + 2 х — 1 0 = 0;
I~

б) 2у4 — 81/3 + Si/2 — 12у = 0.

Имеется 17 чисел равных 2,3 и 19 чисел равных 2,33. Можно ли их разбить
на две группы так, чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чи­
сел в другой группе?

Два пловца стартовали одновременно от одного бортика бассейна и стали плавать
по одной дорожке вперед и назад без остановки до того момента пока оба одновре­
менно не оказались у того бортика, от которого стартовали. Первый проплывал от
одного конца бассейна до другого за 3 минуты, а второй — за 5 минут. Сколько раз
за время этого плавания первый пловец обогнал второго?

= §2. Элементы статистики и теории вероятностей
6.2.1. Еще о статистических характеристиках. Дисперсия

Числа не управляют миром, но показывают,
как управляется мир.
Иоганн Вольфганг Гёте (1749-1832),
немецкий поэт и философ

В 7-м классе мы познакомились с простейшими статистическими характеристика­
ми, такими как среднее значение, мода, медиана и размах. Однако в статистике име­
ются и другие показатели, которые позволяют более точно описывать и анализировать
собранную информацию.
Прежде чем познакомиться с ними, введём определение.
Определение 1. Набор чисел упорядочен по возрастанию, если числа набора
записаны так, что каждое последующее число не меньше предыдущего. Набор чисел
упорядочен по убыванию, если числа набора записаны так, что каждое последующее
число не больше предыдущего.
Для удобства анализа набора чисел его лучше упорядочить. Рассмотрим пример.
В таблице выписаны результаты школьной олимпиады по математике в восьмых
классах:
Участник
Баллы

Маша Толя
64
73

Тогда упорядоченный по возрастанию набор баллов, набранных школьниками,
выглядит следующим образом:
54, 57, 59, 59, 61, 63, 64, 68, 73.
С помощью такой записи гораздо проще определить уже знакомые нам статистиче­
ские характеристики. Например, найти типичный балл, набранный восьмиклассни­
ками, — моду набора, равную 59.
Упорядоченный ряд чисел позволяет также легко находить число, стоящее посе­
редине ряда, — медиану. Она указывает, что средний результат показал Рома, потому
что есть четверо учеников, которые написали работу лучше него, и четверо, которые
справились с ней хуже.
Если бы мы искали медиану баллов, набранных девочками, то их упорядоченный
ряд выглядел бы следующим образом: 54, 59, 59, 63, 64, 68. Как мы знаем, медиану в
таком случае рассчитывают как среднее арифметическое двух чисел, находящихся по59 +
6 3
«1
середине: —
-—
=Ы
.
Нам известна ещё одна статистическая характеристика -р азм а х набора, позволя­
ющая определить, как велик разброс данных в наборе. Чтобы найти его, нам нужно

Глава 6, §2, п .6 .2 .1

вычислить разность минимального и максимального значения: 73 — 54 = 19. Недоста­
ток этого показателя заключается в том, что он зависит только от двух крайних значе­
ний в ряду чисел и не характеризует, как отличаются числа друг от друга внутри этого
набора.
Рассмотрим следующий пример.
Два соседа каждый день ездят на работу в одно и то же место. У них есть два вари­
анта поездки: на метро или на машине. В течение недели один из них ездил на метро,
а второй — на машине. Время своих поездок (в минутах) они указали в следующей
таблице:
День
-..недели
Транспорт
На метро
На машине

Оба варианта поездки занимают в среднем примерно одно и то же время:
(28 + 30 + 29 + 29 + 31 + 27): 6 = 174: 6 = 29 — на метро;
(32 + 28 + 27 + 35 + 36 + 25): 6 = 183: 6 = 30,5 — на машине.
Однако второй вариант подвержен гораздо большему влиянию внешних обстоя­
тельств (машина может сломаться, на улицах есть светофоры, бывают пробки и т. д.),
и поэтому значения в первой строке отличаются друг от друга меньше, чем значения в
нижней строке.
Наглядно это удобно показать на рисунке. Отметим на числовой оси время, затра­
ченное на эти ежедневные поездки. На рисунке, описывающем поездки на метро, точ­
ки будут лежать очень густо, мало отклоняясь от среднего значения, а на рисунке, ко­
торый описывает поездку на машине, заметны очень большие отклонения от средне­
го — эти значения имеют сравнительно больший разброс.
£ср
I

Для того чтобы различать такого рода ситуации, мы использовали ещё одну ста­
тистическую характеристику — отклонения от среднего значения. Чтобы понять,
как вычисляется набор отклонений от среднего, вернёмся к примеру с поездками
на работу.
Среднее время поездки на метро составляло 29 минут, тогда отклонения времени
поездок будут равны:
На метро
Отклонение от среднего

Среднее время поездки на машине составляло 30,5 минуты, тогда отклонения вре­
мени поездок будут равны:
На машине
Отклонение от среднего

Глава 6, §2, п.6.2.1
Во втором случае модули найденных нами отклонений отличаются существеннее,
чем в первом, — этот ряд является более «разбросанным» по своим значениям, что и
продемонстрировано нами на числовых осях.
Однако при таком анализе нам приходится оперировать целыми наборами чисел,
что не всегда удобно, ведь чисел может быть много. Поэтому в статистике выделяется
ещё один показатель, позволяющий находить среднее арифметическое квадратов откло­
нений от среднего значения. Его называют дисперсией (от латинского слова dispersio рассеиваю). Введем следующее определение.
Определение 2. Пусть М — среднее (арифметическое) значение набора чисел. Дис­
персией набора чисел называется отношение суммы квадратов разностей между эле­
ментами этого набора и числом М к количеству этих элементов.
Дисперсию набора принято обозначать П, тогда для числового набора х х, х2%. хп
выполняется:
D (Xl- M ) 2+(x2- M ) 2+ . (xn- M ) 2
п
Вычислим дисперсию набора рассмотренных выше данных о времени, затрачен­
ном для поездки на работу.
Вычислим дисперсию набора значений времени поездки на метро, пользуясь опре­
делением:
(28-29)2+ (30-29)2+(29-29)2+ (29-29)2+(31-29)2+(27-29)2 _ 10 _^2
6

Вычислим дисперсию набора значений времени поездки на машине, пользуясь
найденными нами значениями отклонений:
1,52+(-2,5)2+(-3,5)2+4,52+ 5,52 +(-5,5)2 71,25 _ и 8?5
6

Как мы видим, дисперсия характеризует отклонения результатов измерений
от среднего их значения: чем больше дисперсия, тем больше разброс значений в
наборе чисел, тем больше неопределённости и случайности в анализируемой си­
туации.
В рассмотренных примерах единицами измерения были сантиметры (рост), шту­
ки, и так далее. А как изменятся основные характеристики данных, если измере­
ния производить в других единицах? Например, в метрах, десятках штук. Понят­
но, что каждое значение при указанных изменениях уменьшится в 10 раз, соответ­
ственно и среднее значение также уменьшится в 10 раз. А дисперсия, что следует из
ее определения, уменьшится в 102 = 100 раз. А как быть, когда единицы измерения
изменяются по более сложным формулам? Например, как будут связаны характе­
ристики набора данных температуры в городе в 15-00 в течение июля, если её изме­
рять в градусах Цельсия (°С, набор данных X), и в градусах Фаренгейта (°F, набор
данных У). Пусть X,, Х2, . , Х31 — это значения температуры в °С в разные дни ме­
сяца, а Уj, У2, . , У31 — это значения температуры в °F. Согласно правилам перевода,
У1= Х 1- 1,8 4- 3 2 . У31 = Х31 • 1,8 + 32. Поэтому среднее значение
^

— У1+У2+. + У31 Х1 1,8 + 32 + Х2 1,8 + 32 + . + Х311,8 + 3 2 _
31
31
^ X t + Хг + . +Х з,

32 = м х 1 8 + з2.

Глава 6, §2, п.6.2.1
Найдем теперь связь между дисперсиями:
(У1 -М У )12+. + (У3,-М У )2
DY
31
(Xj 1,8 + 3 2 -М Х 1 ,8 -3 2 )2+ . +(Х 31 -1,8+ 32-M X -1,8-32)2
31
(X, — M X )2+ . + (Х31 — M X )2

31
Так же доказывается теорема в общем случае линейного преобразования
имеющегося набора данных.
Теорема. Если наборы данных X и Y связаны соотношением У = а • X + Ъ (это
означает, что для каждого k выполняется равенство: Ук = аХк + Ь), то их средние
(арифметические) значения и дисперсии связаны соотношениями: МУ = а • M X + Ь ,
DY = а2• DX.
В частности, если У = а • X, то МУ = а • MX, 1)У = а 2 • D X, а если У = X + Ь, то
МУ = MX + b, DY = DX.
В таблице представлены результаты забега семиклассников в соревнова­
ниях по бегу на дистанцию 100м:
Фамилия
Авдеев
Виданов
Дятлов

Фамилия
Зуев
Карцев
Мжельский

Фамилия
Петин
Тараскин
Шептунов

Результат
19,9
15,3

Пользуясь данными этой таблицы, выполните задания:
1) Укажите среднее, наибольшее и наименьшее значения, размах и моду этого
набора чисел.
2) Расположите результаты забега по возрастанию. Какие из найденных вами ра­
нее характеристик быстрее находить с помощью такого способа представления
данных?
3) Кто из ребят показал лучший результат, худший результат?
4) Кто из ребят показал средний результат? Какую характеристику вы исполь­
зовали для ответа на этот вопрос?

[25 21 В таблице показаны результаты измерения количества осадков за первую неделю октября (мм в сутки) в двух российских городах.
1.10

1) Проанализируйте таблицу и ответьте на следующие вопросы:
а) Жители какого города должны были пользоваться зонтом регулярно?
б) Жители какого города за эту неделю то попадали под сильные или затяжные
дожди, то наслаждались солнцем?
71

Глава 6, §2, п.6.2.1
в) В каком из городов полученные измерения сильнее отличаются друг от друга?
2) Пользуясь данными этой таблицы, выполните следующие задания:
а) Найдите среднее количество осадков, выпавших за неделю в каждом из го­
родов. Сравните полученные показатели. Характеризует ли этот показатель,
что числа второго набора сильнее отличаются друг от друга, чем числа пер­
вого?
б) Определите размах измерений количества осадков за неделю в каждом из
этих городов. Сравните полученные показатели. Характеризует ли этот пока­
затель, что числа второго набора сильнее отличаются друг от друга, чем числа
первого?
в) Могут ли известные вам характеристики показать, как сильно отличаются чис­
ла друг от друга внутри набора? Какие новые характеристики набора чисел вы мог­
ли бы предложить для ответа на этот вопрос? Сравните свой вариант со статистиче­
скими характеристиками, описанными в учебнике на с. 69-70.
Найдите отклонения от среднего значения для следующих наборов чисел:
8 )2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ;
б) 1, 2, 2, 3, 2, 2;
в) 24; 11, 15, 16, 16, 28, 30.
Найдите сумму отклонений для каждого набора. Как вы можете объяснить полу­
ченные результаты?
Вычислите дисперсию одного из этих наборов.
В таблице представлены данные о количестве
2012
2013
бутылок кваса (в тысячах), проданных в весен­
март
52
50
ние и летние месяцы за два года (по данным
компании-производителя). Вычислите диспер­
апрель
52
54
сию набора чисел (при необходимости восполь­
май
56
55
зуйтесь калькулятором):
июнь
64
59,5
а) за 2012 год; за весенний период 2012 года;
июль
60
62
б) за 2013 год; за летний период 2013 года.
Сравните полученные показатели.
август
55,5
61
Как вы можете пояснить результаты анализа?
Найдите медиану в следующих наборах чисел:
; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; 30) и (16; 18; 20; 22; 24; 26; 28);
б)(13; 15; 17; 19; 21; 23)и(15; 17; 19; 21).
Что интересного вы замечаете? Чем отличается второй набор от первого? Можно
ли обобщить результаты этих наблюдений на все наборы такого вида?
В некотором городе живет 100 000 трудоспособных жителей. Из них
• 5 000 безработные (их месячная зарплата равна 0 рублей);
^
• 30 000 жителей получают зарплату 7 000 рублей;
• 20 000 жителей — 10 000 рублей;
• 20 000 жителей — 15 000 рублей;
• 10 000 жителей — 20 000 рублей;
• 5 000 жителей — 30 000 рублей;
• 5 000 жителей — 40 000 рублей;
• 2 000 жителей — 50 000 рублей;

Глава 6, §2, п .6 .2 .1
• 2 000 жителей — 100 000 рублей;
• 1000 жителей — 500 000 рублей.
Вычислите среднее значение, медиану и моду зарплаты в этом городе. Какая из
характеристик лучше отражает уровень жизни людей в этом городе?

Решите квадратное уравнение устно:

Уравнение х 2 — 4х — 5 = 0 имеет корни х %и хг. Составьте уравнение, корнями которого являются числа Зх, — 1 и Зх2 — 1.

а ) х 2- 8 х + 12 = 0;

б) х2 — 11х + 30 = 0;

[2581 Для корней х,и хг уравнения 2х2 — 5х + 2 = 0 найдите значения выражений:
б) — + — +2 .

Один из корней квадратного уравнения х 2+ 2х — с = 0 равен 1 —Jb . Найдите другой
корень и значение параметра с.
Разложите на множители квадратный трёхчлен, если это возможно:
а ) х 2 — 17х + 60;

б )- 6 х 2 + 7 х — 2 ;

|2 6 l| Решите задачу:
^ а) Площадь прямоугольника равна 40 см2, а его периметр равен 28 см. Найдите
стороны прямоугольника.
б) Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из его катетов на 3 см,
а другой катет на 1,5 см больше первого. Найдите стороны треугольника.
При каких значениях параметра h уравнение xz —8х + k = 0 не имеет корней?

При каких значениях параметра а уравнение а х г + (а —2)х + а — 2 = 0 имеет ровно
один корень?
При каких значениях параметра т следующее уравнение имеет два различных корня:
х2 — 2(1 + 3 т ) х + 7(3 + 2 т ) = 0?
Найдите корни многочлена:
1) х2 — 2х — 8;
4) Зх2 — 13х + 4;
2 )х 2- 7х + 12;
5) 0,05х2 — 0,12х + 0,04;
3) — х 2 + И х — 18;
6) -0 ,0 2 х2 — 0,04х + 0,7.
Определите для каждого из многочленов, каким промежуткам принадлежат най­
денные корни:
а) (-8; 6);
б) [0; 5);
в) [-2; 5];
г ) (1; 10);
д )(0 ;2 ];
е) [2; 4].

Найдите дисперсию следующего набора чисел:

а) 200, 201, 202, 199, 200;

б) 0,2; 0; 0,2; 0,3; 0,1; 0,2; 0,2; 0,4.

2671 В лаборатории производится анализ крови. Таблица содержит результаты пяти из­
мерений гемоглобина (г/л) в одной пробе крови пациентки Петровой.
Номер измерения

Результат измерения (г/л)

Глава 6, §2, п .6 .2 .1

а) Содержание гемоглобина в крови вычисляется как среднее значение результа­
тов нескольких измерений. Найдите содержание гемоглобина в этой пробе.
б) Найдите дисперсию измерений.
в) Следуя правилу: если квадрат отклонения некоторого значения х превышает
дисперсию больше чем в 3,5 раза, то это значение выбраковывается (считается
ненадежным) и в дальнейшем не учитывается, определите, считается ли значе­
ние 50 надежным.
г) Найдите среднее арифметическое всех надежных значений. Что вы можете ска­
зать о содержании гемоглобина у этой пациентки, если норма содержания гемогло­
бина в крови у женщин 120 — 150 г/л?

[268| Найдите
моду, медиану и размах следующего упорядоченного по возрастанию на­
бора чисел:
8 )1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ;

в) 11, 15, 16, 16, 28, 30.

2691 В одной из компаний курьер получает 72 тысячи рублей в год. 20 специалистов этой компании получают по 120 тысяч в год. 10 ведущих специалистов
этой компании получают по 180 тысяч рублей в год, начальники всех четырёх
департаментов этой компании получают по 240 тысяч рублей в год. Президент
компании получает 600 тысяч рублей в год. Других работников в компании
нет. Представьте эти данные в виде упорядоченного по возрастанию числового
набора.
Найдите среднее значение, моду и медиану этого набора. На какой должности
должен работать сотрудник, чтобы получать среднюю зарплату в этой компании?
Сколько этот служащий получает в месяц?

Решите устно квадратное уравнение:

а) х 2 + 12х + 20 = 0;

б) х2 — 4х — 12 = 0;

Для корней х х и х 2уравнения х 2 — х — 12 = 0 найдите значение выражения х \ + х \ .

272 Разложите на множители квадратный трехчлен, если это возможно:
а ) х 2+ 2х — 48;

б ) — 7 х 2 + 34* + 41;

Площадь прямоугольника равна 90 м2, а его периметр равен 38 м. Найдите сторо­
ны прямоугольника.
При каких значениях параметра t уравнение х2- 6х — t = 0 не имеет корней?
Если к половине возраста Сашиного папы прибавить 8, то получится его
возраст 15 лет назад. Сколько лет Сашиному папе?
В офисе одной компании работает 150 человек. Причём часть сотрудников этой
компании всегда говорит правду, а все остальные всегда лгут. Каждому из со­
трудников компании был задан вопрос: «Если не считать Вас, то кого больше
среди остальных сотрудников компании — лжецов или тех, кто говорит прав­
ду?* Когда 76 участников на этот вопрос ответили, что лжецов больше, опрос
прекратили. Можно ли по результатам этого опроса определить, сколько в ком­
пании лжецов?
74

Глава 6, §2, п .6 .2 .2

6.2.2. Анализ статистических данных
Если запастись терпением и проявить старание,
то посеянные семена знания
непременно дадут добрые всходы.
Леонардо да Винчи (1452-1519),
итальянский художник, учёный и изобретатель

Как мы знаем, существуют разные способы представления и анализа статистиче­
ских данных и многие из них нам уже знакомы. В этом пункте мы расширим свои
знания о статистическом анализе, что увеличит наши возможности при работе с ин­
формацией.
Диаграммы рассеивания
Существуют разные способы представления и анализа статистических данных. В
некоторых случаях, когда данные представляются парами значений, удобно изобра­
зить эти данные точками на координатной плоскости. Такое представление мы назо­
вём диаграммой рассеивания. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Какова связь между ростом и возрастом школьников?
На основе таблицы, в которой указаны рост (в см) и возраст (в годах) нескольких
мальчиков, построим диаграмму.
Рост (см)
Возраст(лет)

Из диаграммы видно, что люди разного возраста могут иметь одинаковый рост, и
иногда даже младшие дети могут быть выше старших. Но в целом для данной группы
наблюдается закономерность: чем старше ребёнок, тем он выше.
Пример 2. Какова связь между температурой воздуха и объёмом проданного кваса?
В таблицу записали для одной из недель июля максимальную дневную температу­
ру (в градусах Цельсия) и объём проданного кваса (в литрах) в небольшом магазине.
75

Глава 6, §2, п .6 .2 .2

День недели
Температура (°С)
Объём кваса (л)

Из диаграммы видно, что в более жаркие дни продажи кваса увеличивались. Но на
продажи влияли и другие факторы. Например, в выходные дни продажи увеличились
по сравнению с рабочими днями.
Пример 3. Какова связь между температурой воздуха и количеством проданных
книг?
Для той же недели июля в таблицу записали максимальную дневную температуру
(в градусах Цельсия) и количество книг (в штуках), проданных в книжном магазине.
День недели
Температура (°С)
Книги (шт.)

32 температура, °С

Из диаграммы видно, что явной зависимости между количеством проданных книг
и температурой не наблюдается. Можно предположить, что увеличение числа продан­
ных книг в середине недели связано, например, с появлением в продаже ожидаемой
книжной новинки.
Таким образом, диаграмма рассеивания в некоторых случаях (примеры 1, 2) может
показывать связи в статистических данных.
76

Глава 6, § 2 , п .6 .2 .2
Случайная изменчивость
Многие процессы в природе, окружающем нас мире, быту описываются числен­
ными величинами. Значения этих величин могут изменяться. В одних случаях мы
можем понять причины этих изменений и степень их влияния, в других случаях это
сделать затруднительно. Для описания таких процессов вводится термин «случайная
изменчивость*. При анализе полученных данных важно установить закономерности
в изменчивых величинах, понять причины изменчивости, сформировать правила, по­
зволяющие делать выводы (принимать решения) на основе наборов данных, получае­
мых при исследовании аналогичных процессов.
Одним из важных примеров случайной изменчивости является процесс измерения
физических величин, например величины напряжения.
Пример 4. Во многих европейских странах, а с 2015 года и в России, напряжение
в бытовой электрической сети должно составлять 230 В. Означает ли это, что при под­
ключении к розетке вольтметра он всегда будет показывать ровно 230 В?
Приведём результаты эксперимента, в ходе которого в произвольные моменты вре­
мени замерили напряжение в розетке: (225 В; 229 В; 235 В; 230 В; 237 В; 235 В; 231 В;
226 В; 228 В; 229 В>. Как мы видим, напряжение меняется в течение дня. Иногда оно
равно 230 В, иногда больше, иногда меньше. Это может быть обусловлено разными
причинами. Например, в вечерние часы, когда жильцы дома наиболее активно поль­
зуются бытовыми приборами, напряжение может понизиться.
Зная об изменчивости величин, производители приборов обеспечивают стабиль­
ность их работы при незначительных отклонениях от нормы. На некоторых электри­
ческих приборах (холодильник, стиральная машина) вы можете увидеть табличку с
указанием «220-240 В».
Найдем статистические характеристики полученного набора данных.
Среднее значение равно 230,5 В, медиана равна 229,5 В, размах составляет 12 В.
Отсюда можно сделать вывод, что в среднем напряжение близко к требуемому, размах
незначителен, то есть бытовые электроприборы будут работать нормально.
Пример 5. В таблице приведены значения среднемесячной температуры июня (в
градусах Цельсия) в Москве за 10 лет.
2008

Найдём статистические характеристики этого набора данных.
Среднее значение равно 17,5 °С, медиана равна 17,7 °С, размах составляет 5,3 °С.
Можно сделать вывод, что среднемесячная температура июня обычно не сильно
отличается от среднего значения. Однако бывают годы с существенным отклонением
от нормы.
На среднемесячную температуру влияет множество факторов, и причины её из­
менчивости сложны и разнообразны. Тем не менее можно предполагать, что и в бли­
жайшие годы среднемесячная температура июня будет около 17,5 °С, хотя возможны
и отклонения от нормы.
Случайные выбросы
Иногда при анализе статистических данных видно, что некоторые значения значи­
тельно отличаются от основной массы данных. Такие данные называются случайными
выбросами. Причинами случайных выбросов могут быть человеческие или техниче77

Глава 6, §2, п .6 . 2 . 2 __________________________________________________

ские ошибки, попадание в выборку редких случаев и т. п. Иногда случайные выбросы
легко заметить не только потому, что они сильно отличаются от других данных, но и
потому, что они противоречат, например, физическим законам.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 6. Медсестра в журнал записала рост (в см) учащихся 8 класса, сидящих
на первом ряду.
У нее получился следующий набор данных: 158; 164; 167>.
Легко увидеть, что 1165 см — случайный выброс. Причина — описка при записи.
Пример 7. Группу студентов спросили, за какое время (в секундах) каждый из них
пробегает дистанцию в 100 м. Был получен следующий набор данных: 14,3; 13,5; 10,6; 14,8; 14,2; 13,7; 14,1; 14,3>.
В данном случае результат 10,6 с — случайный выброс. Возможно, и здесь была
допущена ошибка при записи. Однако такой результат мог быть верным, если отвечав­
ший студент —кандидат в мастера спорта.
Пример 8. Осенью в течение недели записывали данные электронного уличного
термометра в 12 часов дня (температуру в градусах Цельсия). Был получен следующий
набор данных: .
В этом наборе данных значение 29 °С — случайный выброс. Помимо ошибочной за­
писи, возможны и другие причины. Например, термометр испорчен. Также возможно,
что датчик термометра неправильно установили, и на него попадали прямые солнеч­
ные лучи, а суббота оказалась солнечным днем. Две последние причины ставят под
сомнение правильность всего набора данных.
При анализе статистической информации в случае обнаружения случайного вы­
броса нужно понять возможные причины его появления. В некоторых случаях случай­
ные выбросы следует исключить из данных для анализа. А иногда может потребовать­
ся (как в примере 8) повторный сбор статистической информации.
Как случайные выбросы влияют на статистические характеристики?
Несложно видеть, что случайный выброс может сильно изменить среднее значе­
ние. В то же время медиана набора меняется незначительно.
Так, в примере 6 среднее значение равно 262 см, а медиана 164,5 см. Если ис­
ключить случайный выброс, то среднее значение станет равным примерно 162,7 см,
а медиана 164 см. Если случайный выброс будет перепроверен и в тетрадь будет
внесен правильный рост (165 см), то среднее значение будет равно 162 см, а медиа­
на 164,5 см.

На автодроме для трёх автомобилей замерили длину тормозного пути

в метрах на сухой дороге и скорость в км/ч перед началом торможения.
Данные записали в таблицу.
Автомобиль 2

Тормозной путь (м)

Глава 6, §2, п .6 .2 .2

Составьте диаграмму рассеивания, изобразив эти данные точками на координатной
плоскости, отложив по оси Ох скорость (км/ч), а по оси Оу длину тормозного пути (м).
Какую закономерность вы наблюдаете?
Верны ли утверждения:
а) если у автомобилей одинаковая скорость, то у них одинаковый тормозной путь;
б) чем больше скорость, тем длиннее тормозной путь?
|278| Днем в тир пришло несколько человек. Каждый из них сделал по 5 выстрелов по
мишени.
Для каждого из стрелков в таблицу записали его возраст и сумму выбитых им оч­
ков (из 50 возможных).
Возраст(лет)

Составьте диаграмму рассеивания, изобразив эти данные точками на координат­
ной плоскости, отложив по оси Ох возраст (лет), а по оси Оу количество очков.
Наблюдаете ли вы какую-либо закономерность?
Верно ли, что чем старше стрелок, а) тем он лучше стреляет, б) тем он хуже стре­
ляет?
Дорога от дома до школы в течение недели (с понедельника по субботу) занимала у
Пети соответственно 18, 17, 18, 17, 13, 19 минут.
Какое из данных существенно отличается от других?
В один из дней недели Петя проспал и вынужден был идти в школу очень быстрым
шагом. Какой это был день недели?
Найдите среднее значение и медиану данных о времени дороги до школы. Какими
были бы эти характеристики, если убрать случайный выброс?
Сравните их между собой. Какие выводы можно сделать?
В газете напечатали таблицу со среднемесячными температурами января (в граду­
сах Цельсия) в Москве за 10 лет.
2008
-5 ,8

Какое из данных существенно отличается от других? Какой может быть причина
случайного выброса?
Найдите среднее значение и медиану приведённых данных. Какими были бы эти
характеристики, если исправить данные случайного выброса?
|28 XI Решите линейное неравенство:
J a) 3d — 15 + l i d < - 5d + 10 - d;

б) 9p + 3(4p — 5) 11п — 9х;
д)х с + 5;

п
Отмерьте расстояние в 100 м (либо в 60 м); подойдёт, например, беговая до­
рожка у вас в школе. Посчитайте вместе с друзьями, сколько шагов каждо79

Глава 6, § 2 , п . 6 . 2 . 3 _______________________________________________________

му из вас потребовалось на преодоление дистанции. Для каждого из ребят вычис­
лите среднюю длину шага и в таблицу запишите его рост (в см) и среднюю длину
его шага (в см).
Составьте диаграмму рассеивания по этим данным.
Наблюдаете ли вы какую-либо закономерность?
В черте города на реке начало ледохода наблюдалось в течение 7 лет соответственно
10, 12, 11, 16, 14, 25, 13 апреля. Определите случайный выброс в данном наборе.
Какими причинами его можно объяснить?
В газете опубликовали таблицу, в которую записали количество очков, набранных
победителем чемпионата России по футболу за несколько лет.
Ч ем п и онат
О чки

Определите случайный выброс в данном наборе. Какими причинами его можно
объяснить?
В течение 8 уроков учитель математики поставил в 8 «а» классе 8 ,1 1 ,6 ,9 , 7, 25, 6,
8, 9, 7 оценок. Объясните причину случайного выброса.

Решите линейное неравенство:
а) 55 — 2 + Ь > — 7 + 65;
б) 7(4 — 1 1 т )> -56(2 + т).

Найдите все значения у, удовлетворяющие неравенству:
а) у + 7 < d\

в) 175 + 201/ > 8 Ь — 7 у ;

6.2.3. Случайные события и их частота

. Случайность главным образом зависит
от нашего знания.
Якоб Бернулли (1654-1708),
швейцарский математик

В предыдущем пункте мы вспомнили, какие статистические показатели нам
известны, и научились рассчитывать новый показатель — дисперсию набора. Как
мы знаем, дисперсия характеризует разброс значений в наборе чисел, чем она
значительнее, тем больше неопределённости и случайности в анализируемой си­
туации. В этом пункте мы подробнее остановимся на случайном характере многих
окружающих нас явлений, для этого выявим ещё одну новую для нас статистиче­
скую характеристику.
Рассмотрим следующий пример.
80

Глава 6, §2, п .6 .2 .3

В таблице собраны данные о посещаемости одного из кинотеатров в зимние кани­
кулы (число посетителей указано с точностью до десятков).
Понедельник 31.12

Сначала вычислим среднее значение ряда этих чисел:
60 + 50 + 70 + 120 + 300 + 430 + 340 + 200 + 200 + 200 + 180 + 200 + 360 + 300 ЗОЮ
5
14
14
Теперь вычислим характеристики разброса.
Вычислим размах этого набора чисел: 430 —50 = 380, его величина показывает,
что посещаемость очень неравномерна по своим значениям. При этом существенно от­
личаются друг от друга не только крайние показатели посещаемости, но и остальные
числа внутри этого набора. Поэтому дисперсия, характеризующая отклонения резуль­
татов измерений от среднего их значения, будет очень значительной (составит около
13 000).
Как мы видим, посещаемость изменяется день ото дня. Это происходит потому, что
она зависит от самых разнообразных факторов: от погоды — в морозную погоду вместо
прогулки лучше пойти в кино; от пробок на дороге — из-за них можно опоздать на ки­
носеанс и т. д.
События реальной жизни различаются по степени своей определённости: одни
из них наступят однозначно, другие не произойдут никогда, а некоторые могут либо
произойти, либо нет. Например, после марта точно наступит апрель, но не наступит
январь, а вот выпадение снега в начале апреля может как произойти, так и не
произойти. Соответственно, события можно разделить на достоверные, невозможные
и случайные. Уточним эти понятия.
Определение 1. Событие называется достоверным, если оно заведомо произойдёт.
Определение 2. Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдёт.
Определение 3. Событие называется случайным, если оно может произойти, а мо­
жет и не произойти.
На практике мы иногда относимся к случайным событиям как к достоверным
(рассчитываем, что они произойдут) или как к невероятным (рассчитываем, что они
не произойдут). Скажем, восьмиклассник Митя перебегает дорогу в неположенном
месте. Он считает аварию практически невозможным событием и не принимает во
внимание такой исход.
Митя делает две серьёзные ошибки.

В однократном эксперименте разумно не учитывать маловероятные исходы,
но если повторять эксперимент достаточно много раз, то и маловероятные события
осуществятся: в больших городах дорожные происшествия по вине пешеходов
случаются каждый день.
Кроме того, нужно учитывать ещё и последствия редких событий. Если Митя,
выходя из дому и рассчитывая на солнечную погоду, не взял бы зонтик и промок
под дождем, это было бы неприятно, но не трагично. А в бизнесе, в медицине, в
космических полетах цена ошибки может быть настолько велика, что учитывать надо
и очень маловероятные события.
В реальной практике зачастую требуется как можно точнее знать, насколько часто
случайные события приводят нас к недопустимому (или наоборот, очень нужному)
результату. Так, посещаемость кинотеатра-случайное событие, и директор кинотеатра
интересуется прежде всего тем, как часто посещаемость выше среднего значения 215.
В нашей таблице таких случаев 5 из 14 (они выделены жирным шрифтом), то есть
более чем в трети случаев. Однако если эти 5 случаев встретятся в годовой таблице,
то это составит уже менее 2% — принципиально иная картина. Поэтому чтобы судить
о частоте нужного события, следует учитывать не только количество подходящих
результатов, но и отношение этого числа к общему числу рассмотренных результатов.
Частота события — ещё одна важная статистическая характеристика, которая
широко используется на практике. Для её определения, как правило, проводят специ­
альные эксперименты, в которых вычисляют число нужных (благоприятных) резуль­
татов и делят его на общее число результатов. В математике производимые действия
(например, подбрасывание игральной кости — кубика, на гранях которого отмечены
точки от 1 до 6) называют испытаниями, а их результаты (выпало то или иное число
точек) — исходами. Тогда математическое определение частоты события можно сфор­
мулировать так.
Определение 4. Частотой события А в данной серии испытаний называется
отношение числа М испытаний, в которых это событие произошло, к числу N всех
М
проведённых испытаний, то есть W(A) = — , где W(A) — частота события А .
N
Например, если нам требуется установить частоту выпадения пяти очков при под­
брасывании игрального кубика, а в серии из 30 бросков пять очков выпало 7 раз, то
частота выпадения пяти очков в нашей серии испытаний равна

30 ‘
Замечание. Очевидно, что частота случайного события выражается правильной
дробью, значение которой заключается между 0 и 1. Чем ближе эта дробь к 1, тем чаще
происходило данное событие, а чем ближе к 0 — тем реже. Частота достоверного со­
бытия равна 1, так как М = N; а частота невозможного события равна нулю, так как
М = 0. Как и любую долю величины, частоту можно выразить в процентах.
Рассмотрим примеры нахождения частоты случайного события.
Пример 1.
Чтобы определить, каким образом форма крыльев самолёта влияет на его ско­
рость, в классе проводили эксперимент по запуску бумажных самолётиков. Ученики
разбились на тройки: двое запускали самолётики — один с узкими, а другой — с широ­
кими крыльями. Третий определял, какой самолёт прилетел быстрее, и подсчитывал
результаты.

Глава 6, §2, п .6 .2 .3

Результаты испытаний каждая группа фиксировала в таблице, например:
Результаты группы 1
№ испытания

Исход испы тания'»^’-^
С узкими крыльями

С широкими крыльями

После того как каждая из девяти групп повторила испытание 10 раз, они просум­
мировали результаты каждой группы и свели их в общую таблицу:
Число исходов случайного события

Общее число
испытаний

С узкими крыльями

С широкими крыльями

Сравните частоты прилета самолета каждого вида. Какую гипотезу могли выдви­
нуть ребята в результате проведения этой серии экспериментов?
Решение:
Общее число всех испытаний, проведённых девятью группами, равно 90. Число ис­
ходов, в которых быстрее был самолёт с узкими крыльями, равно 72. Отсюда частота
этого события составляет 72 : 90 = 0,8. Число исходов, в которых быстрее был самолёт
с широкими крыльями, равно 18. Частота этого события составляет 1 8 :9 0 = 0,2.
Сравнивая полученные частоты, мы видим, что самолёт с узкими крыльями чаще
прилетал первым. Ребята могли предположить, что чем уже крылья самолета, тем
большую скорость он может развивать. Действительно, самолету с небольшими по
площади крыльями приходится преодолевать меньшее сопротивление воздуха, и по­
этому он может развивать большую скорость.
Обратим внимание на то, что учащиеся из первой группы, опираясь только на свои
результаты, могли выдвинуть неверную гипотезу: форма крыльев самолёта не влияет
на скорость самолёта. Именно поэтому для повышения достоверности полученных
результатов эксперимент повторяют многократно.
Мы можем теперь сформулировать следующий способ нахождения частоты.
Чтобы найти частоту случайного события, нужно:
1. Сформулировать событие, частоту которого необходимо найти.
2. Многократно повторить эксперимент, воспроизводящий это событие,
либо воспользоваться статистическими данными о его проведении.
3. Подсчитать число всех проведенных испытаний — N.
4. Подсчитать число исходов, в которых это событие произошло — М.
М
5. Вычислить частоту события W (A) =—~ .
N
83

Глава 6, §2, п .6 .2 .3 __________________________________________________

Пример 2.
В таблице приведено количество выпадения решки в серии опытов, проведённых
восьмиклассниками на уроке математики. Чему равна частота выпадения решки:
а) в каждом из испытаний; б) в общем итоге?
Номер испытания
1
2
3
Итого:

Количество выпадения решки
4
53
101
158

Количество испытаний
10
100
200
310

Решение:
Искомые частоты находим по формуле W(A) = — .
N
a) W б) ЩА,_3) = 0,50967. « 0,51.
Ответ: 0,4; 0,53; 0,505; 0,51.
Из рассмотренных нами примеров видно, что значение частоты одного и того же слу­
чайного события зависит от количества проведенных испытаний. Так, в эксперименте
с решкой частота её выпадения в первом испытании составляет 0,4, во втором — 0,53, в
третьем — 0,505, а при итоговом подсчёте она приблизительно равна 0,51. Однако можно
заметить, что при увеличении количества испытаний значения относительной частоты
выпадения решки все меньше и меньше отличаются друг от друга.
Этот опыт с монетой неоднократно проводили выдающиеся математики прошлого:
Паскаль, Ферма, Гаусс. Для этого каждому экспериментатору пришлось подбрасы­
вать монету до нескольких тысяч раз. Сей­
час подобный опыт можно смоделировать W k
на компьютере. Одни из его результатов
1
описаны с помощью графика на рис. 1.
0,5
Анализируя график зависимости часто­
ты W от числа испытаний V, можно заме­
о о о о N
тить, что частота выпадения решки обладает
f-н eg со
свойством устойчивости, а именно: с ростом
Рис. 1
числа испытаний её значения устанавлива­
ются вблизи одного и того же числа 0,5.
Оказывается, подобная устойчивость частоты свойственна и другим массовым слу­
чайным событиям, например демографическим явлениям.
Исследователи, анализирующие большие массивы случайных событий, пришли к
удивительному выводу: случайные события подчиняются определённым правилам.
О том, какие это правила и как они используются на практике, мы поговорим в
следующем пункте.

Наташа выписала свои отметки по алгебре за IV четверть и получила следующий набор значений: 3, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 5. Она решила сравнить
свои отметки за IV четверть с отметками, полученными ею за III четверть, и тоже
выписала их: 4, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 4.
1) Укажите среднее значение, размах и моду набора отметок за IV четверть.

_ ____________________________________________ Глава б, §2, п.6.2.3

2) Дисперсия какого набора выше за III или IV четверть? В какой из четвертей
Наташа показывала более стабильные результаты?
3) Какую из отметок получала Наташа чаще других отметок в III четверти? в IV
четверти?
4) В какой из этих четвертей Наташа получала «отлично» чаще? Достаточно ли
для ответа на этот вопрос указать количество пятерок за каждую из четвертей? Ка­
кую новую статистическую характеристику вы могли бы предложить для ответа
на этот вопрос? Сравните свой вариант со статистической характеристикой, описанной в учебнике на с. 82.
На дне рождения гости играли в «Фанты». В мешке для фантов оказались: часы
наручные, брелок от ключей, три сотовых телефона, браслет и два кольца.
1) Среди следующих высказываний, описывающих продолжение этой игры, най­
дите истинные и ложные.
а) Сотовый телефон вынимали из мешка 3 раза,
б) Браслет вынимали из мешка 2 раза.
в) Частота, с которой вынимали сотовый телефон, составила 0,375.
г) Частота, с которой вынимали часы, равна 0,125.
д) Кольца из мешка вынимали с той же частотой, что и телефоны.
2) Предположите, по какому признаку следующие события были распределены в
три группы?
1
Первым из мешка вынут
брелок.

Из мешка вынули предмет, при­ Из мешка вынули
надлежащий одному из гостей. 4 телефона.

Сотовый телефон вынима­ На девятый раз мешок оказал­
ли из мешка 3 раза подряд. ся пуст.

Из мешка вынули
белого кролика.

3) Дайте названия этим группам, сопоставьте свои варианты с классификацией со­
бытий на стр. 81.
Игральный кубик подбросили 500 раз. При этом число 1 выпало 99 раз, число 2 63 раза, число 3 — 7 6 раз, число 4 — 9 6 раз, число 5 — 8 4 раза, а число 6 — 8 2 раза.
Вычислите (с точностью до сотых) частоту наступления следующих случайных
событий:
а) выпадение числа 1;

в) выпадение числа 3;

д) выпадение числа 5;

б) выпадение числа 2;

г) выпадение числа 4;

е) выпадение числа 6.

[292| те,а) Проведите
15 испытаний по подбрасыванию пятирублевой монеты и запиши­
сколько раз у вас выпал «орел» и сколько раз выпала «решка». Используя
калькулятор, вычислите с точностью до сотых частоту выпадения «решки* в
проведенной серии испытаний.
б) Проведите 30 испытаний по подбрасыванию пятирублевой монеты и запиши­
те, сколько раз у вас выпал «орел» и сколько раз выпала «решка». Вычислите
частоту выпадения «решки» в проведенной серии испытаний. Как изменилась
частота выпадения «решки»?
Сравните свои результаты с результатами ваших одноклассников.
85

Глава 6, §2, п .6 .2 .3

в) Занесите результаты всех испытаний по подбрасыванию монеты в вашем классе
в одну таблицу и вычислите с точностью до сотых частоту выпадения «реш ки».
Как изменилась частота? Что вы замечаете?
Замечание. Уточните условия исследования а) — в), изложенные выше, и подумай­
те, как можно сэкономить время его проведения.
а) При проведении социологического опроса был задан вопрос: «Какие книги вы
в основном читаете: бумажные или электронные?». Ответ «Бумажные» выбрали
189 человек. После подсчёта оказалось, что частота данного ответа среди всех от­
ветов, полученных на данный вопрос, равна 0,63. Сколько человек принимало
участие в этом опросе? Сколько человек назвали другой вариант ответа?
б) При проведении социологического опроса, в котором приняли участие 250 человек,
был задан вопрос: «Делаете ли вы по утрам зарядку?». После подсчёта оказалось, что
частота ответа «да, каждый день» среди всех ответов, составила 0,34. Сколько из опро­
шенных делают по утрам зарядку? Сколько человек назвали другие варианты ответа?
В задании приведено стихотворение Николая Заболоцкого, содержащее 456 букв.
Используя калькулятор, вычислите (с точностью до тысячных) частоту появления
букв «О», «И », «Т », «К ».
Я воспитан природой суровой,
Пролежал бы всю ночь до утра я,
Запрокинув лицо в небосвод.
Мне довольно заметить у ног
Одуванчика шарик пуховый,
Жизнь потоком светящейся пыли
Подорожника твёрдый клинок.
Всё текла бы, текла сквозь листы,
Чем обычней простое растенье,
И туманные звёзды светили,
Тем живее волнует меня
Заливая лучами кусты.
И, внимая весеннему шуму
Первых листьев его появленье
Посреди очарованных трав,
На рассвете весеннего дня.
В государстве ромашек, у края,
Всё лежал бы и думал я думу
Где ручей, задыхаясь, поёт,
Беспредельных полей и дубрав.
По статистике эти буквы повторяются в осмысленных текстах со следующей ча­
стотой: из 1000 знаков буква «О» встречается в среднем 109 раз; «И» — 75; «Т» 63; «К» — 34 раза. Почему полученные вами частоты не совпадают с приведен­
ными статистическими данными?

Термин «функция» (лат. functio — «исполнение», «совершение») впервые
появляется в 1692 г. в трудах немецкого учёного Г. Лейбница, притом со­
всем не в том понимании, в котором его используют сейчас. И только в 1718 г.
этот термин уже в смысле, близком к современному его толкованию, встречает­
ся у совсем другого учёного.
Решите эти квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функ­
ции. Расположив наименьшие целые неотрицательные решения каждого из
них в порядке убывания, узнайте имя этого швейцарского учёного:

ж2- 1 9 * + 9 0 « 0

Глава 6, §2, п .6 .2 .3

Найдите значения х, при которых данное выражение имеет смысл:
а) \1х2+ 5 х ;

[2 97 | При каких значениях параметра а решением неравенства х 2-

ах + 4 > 0 является
любое действительное число?
[298] При каких значениях параметра а неравенство хг+ (а + 1)х + 4 > 0 имеет хотя бы
одно решение?

[299] Сократите дробь:
а)

d2 -6 4
d2+d — 5 6 ’

с +3c-10
с2-10с + 16 ‘

Выполните действия:
,
а)

n + 10ft п +Ыг
пг — 25k2 n2- 5 n k ’

Ь2+9Ь +2 1 -4 Ь
b3- 1
6z+ft + l

Упростите выражение и найдите его значение при т = -0,0127:
8-9 т 2

9т2+ 2 4 т + 16 (^6т + 8

6т+8
2 J 1 6 -1 2 т

Упростите выражение:
^ 4-Jmn + -Jm-yfn _
т — п -Jm+yfn ’

т\[т+т\1п _m + 2^/mл +л
б) п .у /т -п у /п
т п -п

[303] При каких значениях ft, где k е Z, алгебраическая дробь

k3 +9k2-7А+1
является
k -1

|304 | ^ П0М°ЩЬЮ напарника или группы одноклассников проведите следующее
I ■ I исследование:
1) Проведите 20 испытаний по подбрасыванию игрального кубика и запишите в
таблице результат каждого испытания. Вычислите с точностью до сотых часто­
ту выпадения 6 очков в проведённой серии испытаний.
2) Проведите 40 испытаний по подбрасыванию игрального кубика и запишите в
таблице результат каждого испытания. Вычислите частоту выпадения 6 очков в
проведённой серии испытаний.
Что вы замечаете? Увеличьте число испытаний. Подтвердили ли ваши испытания
известное вам свойство частоты?
а) При проведении социологического опроса выпускникам школы задали вопрос:
«Какие профессии вы считаете наиболее перспективными?» Ответ «Инженер»
выбрали 105 человек. Подсчёт показал, что частота этого ответа среди всех ответов
на данный вопрос равна 0,21. Сколько ребят принимало участие в этом опросе?
б) В социологическом опросе 450 участникам предметных олимпиад был задан
вопрос: «Для чего вы участвуете в олимпиадах?». После подсчёта всех ответов на
данный вопрос оказалось, что частота ответа «Чтобы проявить себя, проверить
свои знания» равна 0,38. Сколько ребят дали такой ответ?
87

Глава б, §2, п .6 .2 .4

[3061 Используя калькулятор, вычислите(с точностью до 0,001), частоту появления букв
«А», «Н», «П» в приведённом ниже отрывке из романа А. Грина «Алые паруса».
«Не помня, как оставила дом, Ассоль бежала уже к морю, подхваченная
неодолимым ветром события; на первом углу она остановилась почти без сил; ее
ноги подкашивались, дыхание срывалось и гасло, сознание держалось на волоске.
Вне себя от страха потерять волю, она топнула ногой и оправилась. Временами
то крыша, то забор скрывали от нее алые паруса; тогда, боясь, не исчезли ли они,
как простой призрак, она торопилась миновать мучительное препятствие и,
снова увидев корабль, останавливалась облегчённо вздохнуть.»
По статистике из 1000 знаков осмысленного текста буква «А» встречается в
среднем 75 раз, «Н» — 63 раза, а «П» — 28 раз. Почему полученные вами частоты не
совпадают с приведёнными статистическими данными?
Решите квадратное неравенство:
а) 2х2- 5х + 3 < 0;

При каких значениях параметра а неравенство — х 2+ (а + 1)х
решений?
Сократите дробь:
ft2- 1 7ft +72
Ь2 + 146 + 49
а3-125
а)
б)
в ) f t 2 — 18 f t +81 ;
Ьг -49
:
а2-10а + 25 ’
Упростите выражение:
а)

т2- т — 20
т2+т — 12

Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова
вычли сумму его (полученного числа) цифр и т. д. После одиннадцати таких
вычитаний получился нуль. С какого числа начинали?
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из семи цифр: двоек и
троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4.
Придумайте код, открывающий сейф.

6.2.4. Случайные события и их вероятность
Теория вероятностей по существу
представляет собой не что иное, как здравый смысл,
сведённый к вычислениям.
П.-С. Лаплас (1749-1827),
французский математик, физик, астроном,
один из создателей теории вероятностей
В предыдущем пункте мы выделяли достоверные, невозможные и случайные со­
бытия. Так, например, при бросании двух игральных костей выпадение суммы очков,
равной 1, является невозможным событием, суммы очков, большей 1 — достоверным
событием, а суммы в 7 очков — случайным событием.
88

_____________________________________________ _______ Глава 6, §2, п .6 .2 .4

При этом определить достоверное и невозможное события можно чисто теоретиче­
ски (например, сделать вывод о том, что сумма очков при бросании двух кубиков всег­
да больше 1). А вот найти частоту случайного события можно лишь путем большого
числа испытаний.
Возникает вопрос: возможно ли судить о частоте случайных событий без проведе­
ния испытаний? Подобное суждение очень пригодилось бы на практике, ведь нам ча­
сто бывают нужны различные прогнозы — погоды, шансов на победу того или иного
участника соревнований и т. д.
Потребность прогнозировать случайные события возникла давно и привела к
«рождению» нового раздела математики — теории вероятностей. В данном пункте
мы познакомимся с основными понятиями этой теории и задачами, которые она по­
зволяет решать.
Вначале рассмотрим равновозможные и несовместные события. Уточним эти по­
нятия.
События являются равновозможными, если ни один из его исходов не имеет пре­
имущества перед остальными. Например, бросая игральную кость, мы можем ожи­
дать в равной степени любой из шести исходов: «выпало 1 очко», «выпало 2 очка».
«выпало 6 очков». Если же к одной из граней кубика приклеить кусочек пластилина,
то больше шансов, что брошенный кубик упадет на стол именно этой гранью. В этом
случае указанные исходы перестанут быть равновозможными.
Если мы будем бросать сразу два кубика, то на одном кубике может выпасть,
например, 4 очка, а на другом — 3 очка, поэтому такие события называют
совместными. А вот выпадение 3 очков и выпадение 4 очков на одном и том
же кубике одновременно произойти не могут, поэтому такие события называют
несовместными.
В реальной жизни равновозможные элементарные исходы встречаются не
только при бросании игральной кости или монетки. Это и выбор «наудачу* бочон­
ка при игре в лото, и выбор «случайного прохожего» для проведения соцопроса, и
случайно выбранная ручка в магазине из кучи ничем не отличающихся таких же.
В этих случаях говорят, что происходит случайный выбор.
Определение. Случайным называется выбор одного объекта из нескольких,
при котором у всех объектов одинаковая вероятность оказаться выбранным.
Замечание 1. Отметим, что на практике (если это не монетка или игральная
кость) довольно сложно организовать случайный выбор. Не так просто организо­
вать процесс выбора, чтобы можно было гарантировать выполнение условия оди­
наковой вероятности оказаться выбранным для каждого из объектов. Хотя бы по­
тому, что непонятно, как посчитать эту вероятность.
В математике для оценки достоверности равновозможных и несовместных собы­
тий используется новая для нас численная характеристика. Чтобы её ввести, решим
следующую задачу.
Задача 1. Оценить, какой из двух прогнозов об исходе броска игрального кубика
более вероятен (правдоподобен): «Выпадет максимальное число очков* или «Выпадет
чётное число очков».
Решение:
При бросании игрального кубика имеется всего шесть возможных исходов: 1, 2, 3,
4, 5 и 6 очков, эти исходы несовместны.
89

Глава 6, §2, п .6 .2 .4
1 — 6 исх.

1) Максимально возможное число очков получа­
ется только в одном случае — когда выпадет 6. Все
события равновозможны, поэтому доля, которая
приходится на данный исход, составляет 1 : 6 = —.
6

Значит, достоверность выпадения максималь­
ного числа очков равна

6′
2) Событие «выпадет чётное число очков» про­
изойдет в трёх несовместных случаях: когда выпа­
дет либо 2, либо 4, либо 6 очков.
Следовательно, на часть, соответствующую
чётному числу очков, приходится 3 из 6 равно­
возможных исходов. Значит, достоверность вы ­

падения чётного числа очков можно вы разить частным 3 : 6 = — = — = 0,5.
6

3) Мы можем сравнить полученные численные характеристики и на этом основа­
нии ответить на вопрос задачи.
m
1 < —,
1 то выпадение максимального числа очков менее вероятно, чем
Так к ак —
6

чётного числа очков. Разумность этого вывода подтверж дается практи кой .
Ответ: более правдоподобен прогноз о выпадении чётного числа очков.
Обобщим наши рассуждения. Рассмотрим некоторое испытание, которое может
завершиться одним из п возможных исходов, и все они попарно несовместны и равно­
возможны. Пусть т из этих п исходов приводят к наступлению некоторого события А
(будем называть такие события благоприятными для А). Тогда вероятностью собы.
т
тия А при данном испытании естественно считать число — .
п
Классическое определение вероятности
Вероятност ью случайного события называют отношение числа благопри­
ятных исходов к числу всех возможных исходов (для испытаний с равновоз­
можными попарно несовместными исходами)4.
Обозначение: р(А) = — , где р(А) — вероятность случайного события А, т п
количество возможных благоприятных исходов, п — количество всех воз­
можных исходов.
Замечание 2. Применим данное определение к невозможному и достоверному событиям.
Событие С невозможно, если не существует ни одного благоприятного исхода. Зна­
чит, в этом случае т = 0 и, следовательно, р <С) = —= 0 .
п
Для достоверного события D все исходы испытания являются благоприятными,
п
поэтому в данном случае т = п, и, значит, p(D) = —= 1 .
4 В современном варианте этого определения используются понятия множества, подмножества и их
элементов. С ними вы познакомитесь позже.

____________________________________________Глава 6, §2, п.6.2.4

Ясно, что значение вероятности наступления случайного события заключается
между 0 и 1, и чем ближе это значение к единице, тем достовернее его наступление.
Далее равновозможные события в соответствии с принятой в математике термино­
логией мы будем называть равновероятными. Корректность такого определения лег­
ко объяснить. Пусть В — один из п равновозможных исходов некоторого испытания.
Тогда для наступления события В имеется ровно один благоприятный исход, поэтому
р(В) = —. Такую же вероятность будут иметь и все остальные исходы.
п
Решим несколько примеров, в которых применяется введённое определение.
Пример 1. В лыжных соревнованиях восьмиклассников приняли участие 6 учени­
ков из 8 «А», 5 — из 8 «Б» и 9 — из 8 «В». Судья произвольным образом раздал им номе­
ра: от 1 до 20. Какова вероятность того, что первый номер достанется ученику 8 «А*?
Решение:
Пусть все участники соревнований до раздачи номеров были выписаны в список.
Тогда равновероятными являются следующие события: первый номер достался первому
по списку, второму по списку. двадцатому по списку участнику. Поэтому количество
всех возможных исходов: кому достанется первый номер, есть п = 20. Благоприятными
для события А = «первый номер достался ученику из 8 «А» являются т = 6 исходов.
Поэтому искомая вероятность равна р(А) =— = 0,3 .
Ответ: 0,3.
Пример 2. Одновременно подброшены три монеты. Определите вероятность того,
что ровно две из них упадут орлом вверх.
Решение:
Если подбросить монету, то два результата «выпал орел» и «выпала решка» явля­
ются равновероятными.
Обозначим выпадение орла буквой О, а решки — буквой Р, и выпишем все возмож­
ные исходы этого испытания: ООО, POO, ОРО, OOP, ОРР, POP, РРО, РРР — их всего
восемь, и они несовместны и равновероятны.
Благоприятными для события А = «ровно две из трех монет упадут орлом» являют3
ся три исхода: Р£Ш» OOP, ОРО. Поэтому искомая вероятность равна р <А) = — = 0,375.
Ответ: 0,375.
Обобщая способ решения примеров 1 и 2, приходим к следующему способу анализа
и решения «вероятностных» задач.
Чтобы вычислить вероятность случайного события, нужно:
Установить, в чём состоит испытание, рассматриваемое в задаче.
Понять, что исходы испытания несовместны и равновероятны.
Подсчитать число всех возможных исходов испытания — п.
Сформулировать событие А, вероятность наступления которого необходимо
найти.
5. Подсчитать число исходов испытания, благоприятствующих рассматрива­
емому событию — т.

6. Вычислить вероятность рассматриваемого события: р <А) =— .
91

Глава 6, §2, п .6 .2 .4

Рассмотрим задачи, где нужно найти и сравнить вероятности нескольких событий.
Пример 3. Три подруги собрались пойти в гости и решили с помощью жребия опре­
делить, кому из них идти в магазин за тортом. Они договорились бросить две монеты,
и если выпадут два орла, то за тортом пойдёт Аня, орел и решка — Вика, две решки Даша. Является ли такой жребий справедливым?
Решение:
Жребий является справедливым, если вероятности выпадения указанных в усло­
вии задачи комбинаций монет (два орла, орел и решка; две решки) будут одинаковы.
Вычислим эти вероятности.
Испытание имеет 4 несовместных равновероятных исхода: 0 0 , ОР, РО, РР. Нам
нужно найти вероятности событий А = «выпало два орла», В = «выпали орел и решка»
и С = «выпали две решки». По определению вероятности, они равны:
р(А)Л,

Значит, вероятность отправиться за тортом у Вики вдвое выше, чем у любой из
двух других девочек.
Ответ: описанный в задаче жребий справедливым не является.
Пример 4. При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков может
принимать значения от 2 до 12. Выпадение какой суммы имеет наименьшую, а ка­
кой — наибольшую вероятность?
Решение:
Составим таблицу возможных исходов ис­
первая кость
пытания, в которой верхний ряд указывает
1
2
4
3
5
6
количество очков, выпавших на первой кости,
левый — на второй кости, а на пересечении со­
1
3
4
6
2
5
1
ответствующих им столбцов и строк — суммар­
ное количество выпавших очков.
2
3
4
5
6
8
1
Как мы видим из таблицы, суммы 2 и
12 встречаются по одному разу, 3 и 11 — по два
3
4
5
6
9
8
1
раза, . сумма 7 — шесть раз.
Обозначим А п событие «Сумма выпавших
4
5
6
8
9 10
1
очков равна п *, где 2 < п < 12. Из таблицы вид­
но, что наименьшую вероятность имеют собы­
5
6
8
9 10 11
1
тия и А12, их вероятности равны:
6

Наибольшая вероятность — у события А7,
.
6 1
она равна р(А7) = — = — .
Ответ: наименьшую вероятность имеет выпадение суммы в 2 и в 12 очков, а наи­
большую вероятность — выпадение суммы в 7 очков.
Итак, классическое определение вероятности случайного события «работает»
только в случае, когда каждый из исходов испытания является равновозможным. Но
в реальной жизни события, как правило, неравновозможны. Например, форма объек92

__________________________________________________ Глава 6, §2, п .6 .2 .4

тов всегда имеет отклонения от идеальной формы геометрических тел, пусть и мини­
мальные; плотность материала, из которого сделан некоторый предмет, в разных его
точках различна и т. д. Как же определить вероятность наступления того или иного
реального события?
Как мы видели в предыдущем пункте, в подобных случаях частота случайного со­
бытия устанавливается с помощью реальных испытаний. Однако уже достаточно дав­
но, сотни лет назад, сравнивая результаты практических опытов с результатом, кото­
рый дает теоретический расчет, учёные прошлого обнаружили удивительную законо­
мерность: частота случайного события при достаточно большом числе испытаний
близка к его вероятности. Так, ранее мы выяснили, что частота выпадения «решки»
устанавливается вблизи числа ^ , и точно то же самое значение получается при вычист 1
лении вероятности выпадения решки по формуле: — = —.
п 2
Этот вывод послужил основанием для введения понятия статистической веро­
ятности.
Определение статистической вероятности
Статистической вероятностью случайного события А называется число,
около которого принимает значения частота этого события при достаточно
большом числе испытаний.
Приведём пример использования статистической вероятности.
Пример 4. По информации из родильных домов города выяснилось, что из
1200 младенцев, появившихся на свет в прошедшем году, 606 оказались маль­
чиками. Исходя из этих данных, найти статистическую вероятность рождения
мальчика в этом городе.
Решение:
Переведём статистическую информацию «из 1200 младенцев 606 мальчиков» на
язык теории вероятности: в результате 1200 испытаний событие А = «родился маль­
чик» произошло 606 раз.
Частоту рождения мальчика находим по формуле W(A) = — =—— = 0,505. ЗнаN 1200
чит, статистическая вероятность рождения мальчика в этом городе приблизительно
равна 0,505.
Ответ: р стят~ 0,505.
Связь классической и статистической вероятностей можно описать следующим об­
разом. Классическая вероятность вычисляется по формуле без проведения каких-либо
испытаний. Статистическая вероятность, напротив, вычисляется эмпирически после
проведения большого числа испытаний. При достаточно большом количестве испыта­
ний эти вероятности примерно равны.
Статистическая вероятность широко применяется в естествознании, экономике,
производстве, сельском хозяйстве, медицине. Например, только экспериментальным
путем можно выявить признаки заболевания, позволяющие с высокой вероятностью
поставить человеку правильный диагноз; определить всхожесть семян в данной почве,
чтобы грамотно провести посев и получить высокий урожай, и т. д.

Глава 6, §2, п .6 .2 .4

Итак, для расчёта вероятности случайного события можно использовать следую­
щий алгоритм:

Определите, каким — невозможным, достоверным или случайным является следующие событие.
1) При измерении двух углов равнобедренного треугольника получены одинако­
вые градусные меры.
2) При измерении двух углов при основании равнобедренного треугольника по­
лучены одинаковые градусные меры (± 1°).
3) При измерении углов треугольника получено два прямых угла.
4) На любом развороте книги номера страниц одинаковой чётности.
5) На любом развороте книги номера страниц разной чётности.
6) На любом развороте книги номер одной из страниц делится на 5.
Придумайте свои примеры невозможного, достоверного и случайного события.
| 3 и | Выберите пару, события которой могут произойти одновременно:
1) «сейчас утро» — «сейчас идет снег»;
2) «сейчас утро» — «сейчас месяц июль»;
3) «сейчас месяц июль» — «сейчас идет снег».
Какие события представлены в оставшейся паре? Познакомьтесь с их названием,
обратившись к тексту с. 89.
Из событий: «Восьмиклассник Коля получил за итоговый тест по алгебре 10 бал­
лов»; «Восьмиклассник Коля получил за итоговый тест по алгебре 1 балл»; «Вось­
миклассница Оля получила за итоговый тест по алгебре 10 баллов» составьте пару
совместных и пару несовместных событий.
1) Восьмиклассник подбросил игральный кубик 10 раз и определил, что частота
исхода «выпало менее 7 очков» равна 1, а частота исхода «выпало более 7 очков»
равна нулю. Можно ли было определить эти частоты до проведения испытания?
2) Оцените, какой прогноз об исходе броска игрального кубика является более
правдоподобным: «Выпадет менее 7 очков» или «Выпадет более 7 очков»? Какой
из этих исходов имеет явное преимущество перед другим?
3) Имеется ли преимущество одних исходов над другими среди исходов: «выпало
1 очко», «выпало 2 очка». «выпало 6 очков»? Как можно назвать такие исходы?
Познакомьтесь с их названием на с. 89.
94

Глава 6, §2, п.6.2.4
1) Игральный кубик брошен 10 раз. Можно ли сделать точный прогноз о частоте
исхода «на кубике выпало чётное количество очков»?
2) Попробуйте оценить, какой из двух прогнозов об исходе броска более прав­
доподобен: «выпадет максимальное число очков» или «выпадет чётное число
очков».
3) Сопоставьте свой способ оценки прогнозов со способом, предложенным на
с. 90-91. Какая числовая характеристика используется в математике для подоб­
ных оценок?
К праздничному концерту было подготовлено три выступления семиклассников,
четыре — восьмиклассников и пять — девятиклассников. Чтобы определить поря­
док выступлений, ребята «вслепую» вытаскивают карточки с номерами от 1 до 12.
Какова вероятность того, что первыми выступят восьмиклассники?
1) В сборнике билетов по физике всего 20 билетов, в восьми из них встречается
вопрос по оптике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экза­
мене билете школьнику а) достанется вопрос по оптике; б) не достанется вопроса
по оптике.
2) В таксопарке 12 иномарок и 10 ма­
шин отечественного производства.
Найдите вероятность того, что по­
сле заказа такси к клиенту приедет
а) иномарка; б) машина отечественно­
го производства.
Найдите сумму полученных в каждой
из задач вероятностей. Как вы дума­
ете, почему получено такое значение
сумм? Будет ли в аналогичных ситуа­
циях наблюдаться такое же свойство?
Сформулируйте гипотезу о сумме ве­
роятностей исходов испытания.
1) Докажите следующее свойство. Пусть испытание имеет п исходов. Если т ис­
ходов благоприятствуют событию А, а остальные п — т исходов — событию В , то
р( А) + р(В) = 1 . Как называются события А и В, рассматриваемые в этом свойстве?
2) Являются ли события «достанется билет по оптике» и «не достанется билет по
оптике» из предыдущей задачи 1 несовместными? Являются ли события «приедет
иномарка» и «приедет отечественный автомобиль» из предыдущей задачи 2 несо­
вместными? Пользуясь доказанным свойством, решите предыдущее задание (16;
26) другим способом.
В ящике находятся 4 белых, 1 красный и 3 чёрных шара. Наугад вынимается один
шар. Найдите вероятность того, что вынутый шар:
а) белый;
в) чёрный;
д) не синий;
ж) чёрный или белый
з) красный или белый.
г) синий;
б) красный;
е) не белый;
В 8 «А» классе 25 человек. Из них по жребию выбирают двух дежурных. Найдите
вероятность того, что дежурить пойдет ученик этого класса Вася Петров.
95

На чемпионате по прыж кам в воду выступают 40 спортсменов, среди них семь пры­
гунов из Голландии и два прыгуна из Боливии. Порядок выступлений определяет­
ся жеребьёвкой.
а) Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Боливии.
б) Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Голландии.

Известно, что Серёжа родился в ноябре. Найдите вероятность того, что он родился
а) 31-го числа; б) 13-го числа; в) до 13-го числа (не включительно); г) после 13-го числа.

Одновременно бросили 3 кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших
очков а) равна 2; б) равна 3; в) меньше 20; г) больше 20; д) равна 17; е) равна 15.

Книга раскрыта в произвольном месте. Найдите вероятность того, что:
а) разность номеров страниц на развороте равна О;
б) разность номеров страниц на развороте равна 1;
в) сумма номеров страниц на развороте оканчивается цифрой 2;
г) сумма номеров страниц на развороте оканчивается цифрой 3;
д) произведение номеров страниц на развороте оканчивается цифрой 1;
е) произведение номеров страниц на развороте оканчивается цифрой 0;
ж) произведение номеров страниц на развороте оканчивается цифрой 8.

Двое бросают монету: один бросил её 10 раз, другой — 11 раз. Чему равна вероят­
ность того, что у второго монета упала орлом большее число раз, чем у первого?
«Выиграл сражение не тот, кто дал хороший со­
вет, а тот, кто взял на себя ответственность за
его выполнение и приказал выполнить». Это слова од­
ного из выдающихся военачальников и государствен­
ных деятелей X V III-X IX веков. Он имел исключитель­
ную память, работоспособность, тонкий ум, полковод­
ческий и дипломатический гений. Этот великий чело­
век так сильно поразил народное воображение и поро­
дил столько споров, что они не утихают до сих пор. Вы
сможете узнать, о ком идёт речь, расположив наимень­
шие (или единственные) корни дробно-рациональных
уравнений в порядке возрастания:

4
1
4
9 х 2- \ ‘ З х 2- х (Здс —I)2

1. Запуск среды Visual LISP

Файл с текстовым кодом Auto LISP можно создавать в блокноте. Однако пользователям предлагается специальный удобный интерфейс — IDE ( Integrated Development Environment ). Интегрированная среда разработки предназначена для создания кода, отладки его и тестирования программы Auto LISP. Запуск среды производится по команде Tools — AutoLISP — Visual LISP Editor . Можно также набрать в командной строке команду Vlide . Окно Visual LISP показано на рис. 3 .1.

Рис. 3 .1. Окно среды Visual LISP

В строке заголовка приведен адрес открытого файла в окне AutoCAD . Ниже строки меню расположены панели инструментов:

В рабочей области размещены три окна:

· файл AutoLisp с расширением . LSP , открытый по команде File — Open File ;

· консоль Visual LISP Console ;

В среде заголовка файла AutoLISP отображается пиктограмма в виде чистого листа бумаги. Если в файл внесены изменения, то к пиктограмме добавляется изображение карандаша.

2. Создание процедуры

Выполните команду File — New File . В окне введите текст процедуры, который вы видите на рис. 3.1. Воспроизведем его еще раз :

(defun c:line10 (/ pt) ;Creates a line of length 10 relative X

(princ «Please click a point: «)

(setq pt (getpoint))

(command «_line» pt «@10,0» «»)

Хотя текст здесь разбит на строки, это сделано только для наглядности. Все тело процедуры и каждый оператор в отдельности заключены в круглые скобки. Количество открывающих и закрывающих скобок должно быть одинаковым. Позиция закрывающей скобки несущественна. Если имеются встроенные скобки, то интерпретатор обрабатывает в первую очередь выражение во внутренних скобках. Результат этой обработки используется далее для обработки выражения во внешних скобках.

Любой текст после точки с запятой считается комментарием. Слова « Creates a line of length 10 relative X » интерпретатором не обрабатываются. Эти слова пишут, чтобы облегчить понимание процедуры читающими их людьми.

Первая строка начинается со слова defun ( DEfine FUNction ) — определение функции. Далее идет имя функции с: line 10. Можно было бы написать просто line 10. Но тогда для запуска процедуры в AutoCAD нужно набирать в командной строке ( line 10), т.е. это имя в скобках. Задание имени процедуры с префиксом с: позволяет вызывать ее как простую команду путем набора имени line 10.

Последним элементом в первой строке является выражение (/ pt ). pt — это переменная (от слова point ). Так как перед именем переменной стоит слеш (прямая косая черта), то это локальная переменная. Она хранит какое-то значение, которое используется только в данной процедуре. Чтобы эта переменная была доступной и в других процедурах, надо сделать ее глобальной. Для этого нужно записать ее определение без слеша — ( pt ). При задании нескольких переменных они перечисляются через пробел. Если переменные не задаются, то круглые скобки оставляют пустыми.

Вторая строка выводит в командной строке текст Please click a point : (Пожалуйста, укажите точку:). В командную строку выводится текст в кавычках, стоящий после оператора princ .

В третьей строке вначале выполняется команда getpoint , заключенная во внутренних скобках. Можно перевести это как «получить координаты точки, заданной пользователем». При этом пользователь вправе воспользоваться любым методом задания координат: набрать числа в командной строке, щелкнуть в нужном месте экрана или использовать объектную привязку. В любом случае программа считывает заданные координаты. Говорят, что функция getpoint «возвращает свое значение».

Следующей выполняется команда в наружной паре скобок: setq pt ( getpoint ). Оператор setq присваивает переменной pt значение, возвращаемое функцией getpoint . Например, мы щелкнули в точке с координатами 5,10. Тогда переменная pt примет значение 5,10.

В четвертой строке процедуры стоит выражение command «_ line « pt «@10,0» «». Функция command просто отправляет на выполнение любую следующую команду AutoCAD , заключенную в кавычки. В данном случае это команда построения отрезка line .

При выполнении этой команды вначале запрашиваются координаты первой точки. Затем запрашиваются координаты второй точки. В соответствии с этими запросами после имени команды записаны параметры команды. На запрос Specify first point: берется значение переменной pt . На запрос Specify next point or [ Undo ]: берется значение @10,0 . Напомним, что знак @ означает задание относительных координат.

Четвертая строка заканчивается пустыми кавычками. Это эквивалентно нажатию клавиши ENTER , т.е. приводит к окончанию операции.

Таким образом, программирование в среде AutoLISP сводится к заданию всех параметров команды в том порядке, какой наблюдается при черчении в пространстве модели. AutoCAD делает запрос о выборе параметра команды или о значении параметра. Ответ он находит в процедуре AutoLISP .

3. Редактирование и запуск процедуры

Редактор Visual LISP автоматически раскрашивает набранный текст в зависимости от элемента синтаксиса:

голубой встроенные функции и защищенные символы;

пурпурный текстовые строки;

зеленый целые числа;

цвет морской волны действительные числа;

пурпурный на сером фоне комментарии;

черный нераспознанные элементы.

Для форматирования кода процедуры можно нажать кнопку Format Edit Window панели инструментов Tools или запустить команду Tools — Format Code in Editor . Если вы хотите форматировать только выделенный фрагмент процедуры, то нужно щелкнуть по кнопке Format Selection .

Типичные ошибки в синтаксисе (несоответствие скобок, неверное употребление функций и пр.) можно обнаружить, щелкнув по кнопке Check Edit Window ( Check Selection ). Результаты проверки отобразятся в окне Build Output .

При необходимости можно преобразовать выделенный операторный блок программы в комментарий нажатием кнопки Comment Block . Такая операция часто применяется при настройке программы.

Для выполнения процедуры в AutoCAD выполните следующие действия:

· загрузите код программы в активное окно AutoCAD щелчком по кнопке Load active edit window ;

· в окне Console введите выражения (c:line10 Ã ) — откроется окно AutoCAD с приглашением: Command: ‘VLIDE Please click a point:;

· укажите точку любым способом — щелкните мышью по экрану или наберите координаты в командной строке. В пространстве модели будет построен отрезок. Затем снова откроется окно Visual LISP ;

· щелкните в окне текстового редактора и сохраните файл в папке \AutoCAD 2007\Support как Line10.lsp.

В окне Visual LISP добавьте к файлу Line10.lsp команду

( command «_ zoom » » all » «»)

Далее выполните следующие действия:

· загрузите процедуру щелчком по кнопке « Load edit active window »;

· перейдите в окно AutoCAD щелчком по кнопке « Activate AutoCAD »;

· наберите в командной строке Line10 Ã ;

· вернитесь в окно Visual LISP и сохраните файл;

· закройте окно Visual LISP .

4. Загрузка файла AutoLISP

Чтобы использовать в данном чертеже AutoCAD процедуру AutoLISP , необходимо ее в этот чертеж загрузить. Это можно сделать либо в среде AutoLISP , либо непосредственно в пространстве AutoCAD .

В среде AutoLISP нужно открыть файл по команде File — Open File . Для его загрузки, как описано выше, нужно выполнить команду Tools — Load Text in Editor .

В среде AutoCAD загрузить процедуру AutoLISP можно двумя способами. По первому способу для загрузки процедуры Line10. lsp нужно в командной строке набрать ( load “ line 10”) Ã . Имя без расширения заключается в кавычки. Круглые скобки показывают интерпретатору командной строки, что это выражение AutoLISP . В ответ будет выдано имя функции. Протокол командной строки будет выглядеть следующим образом:

Command: (load «line10»)

Чтобы запустить загруженную процедуру, наберите в командной строке имя функции как простую команду: line 10. В ответ на приглашение укажите точку. В протоколе операции будут отображены таким образом:

Please click a point: _line Specify first point:

Specify next point or [Undo] : @10,0

Specify next point or [Undo] :

После запуска команды ( load » line 10″ ) программа ищет файл Line 10. lsp во всех каталогах (папках) поддержки. Маршруты поиска файлов поддержки можно просмотреть в диалоговом окне, открываемом по команде Tools — Options — Files (рис. 3.2):

Рис. 3 .2. Списки маршрутов поиска файлов поддержки

Маршруты поиска файлов поддержки можно редактировать: удалять, добавлять, изменять порядок списка. Рекомендуется создать отдельную папку LISP для файлов . lsp и ввести ее адрес в список маршрутов.

Для совместного использования функций в нескольких открытых чертежах вместо команды ( load “ИМЯ ФАЙЛА” ) нужно применить команду ( vl-load-all “ИМЯ ФАЙЛА” ). Это эквивалентно помещению процедуры AutoLISP в файл acaddoc . lsp .

Второй способ загрузки процедуры AutoLISP состоит в использовании команды Tools —Load Application . Можно просто набрать в командной строке AppLoad. После запуска команды активизируется диалоговое окно Load/Unload Application (рис. 3.3). Для облегчения поиска нужно указать тип файлов lsp .

Рис . 3.3. Диалоговое окно Load/Unload Application

Загрузка файла процедуры в чертеж

1. Откройте Блокнот и наберите в нем следующий текст:

;;; Co здание окружности радиусом 30 мм

(defun c:circle30 (/ pt) ;Creates a circle of radius 30

(princ «Please click a center: «)

(setq pt (getpoint))

(command «_circle» pt «30»)

(command «zoom» «extents»)

2. Сохраните файл как Circle 30. lsp в папке AutoCAD 2007\ Support .

3. Загрузите файл в чертеж, набрав в командной строке ( load “ Circle 30”) Ã

4. По приглашению укажите центр окружности

5. Откройте файл Circle 30. lsp в среде Visual LISP . Измените его так, чтобы с его помощью можно было бы построить прямоугольник. Обе точки должны задаваться пользователем.

6. Закрасьте контур прямоугольника красным цветом по команде ChProp . Сравните свой текст процедуры с таким вариантом:

(defun c:RecRed (/ startpt endpt)

(setq startpt (getpoint «Select the start point:»))

(setq endpt (getpoint «Select the end point»))

(command «_rectang» startpt endpt)

(command «_chprop» «_last» «» «_color» «t» «255,0,0» «»)

(command «zoom» «extents» «»)

Процедуры для трехмерного пространства

Откройте новый чертеж. В среде Visual LISP создайте две процедуры для построения трехмерных объектов.

;;;Параллелепипед с параметрами:

;;;координаты начальной точки 0,0,0;

(command «_box» «0,0,0» «_L» «15» «10» «5» «»)

(command «_chprop» «_last» «» «_color» «blue» «»)

(command «_view» «_seiso» «»)

(command «_zoom» «extents» «» )

;;;Примечание: В конце команды ставится «» (Enter).

;;;Гантель с параметрами:

;;;длина цилиндра Solid 30;

;;;центры сфер — центры оснований цилиндра;

;;; радиусы сфер 2,5.

(command «_cylinder» «0,0,0» «2.5» «30» «»)

(command «_sphere» «0,0,0» «10» «»)

(command «_sphere» «0,0,30» «10» «»)

(command «_shapemode» «_o» «»)

(command «_view» «_seiso» «»)

(command «_chprop» «last» «» «_color» «red» «»)

(command «_zoom» «extents» «»)

Проанализируйте эти процедуры. Запустите в модели AutoCAD команды chprop , shapemode , view , zoom . Рассмотрите параметры этих команд. Установите рабочее пространство 3 DModeling . Запустите процедуры. В процедуре Gantel закрашивается только одна сфера. Исправьте процедуру так, чтобы закрашивался весь объект.

5. Справочная система

Справку по любому термину AutoLISP можно получить в общей справочной системе AutoCAD . Но среда AutoLISP располагает своей справочной службой HELP (рис. 3 .4).

Рис. 3 .4. Диалоговое окно справки AutoLISP

В справке три основных раздела, относящихся к программированию на AutoLISP :

· AutoLISP Reference ( Справочник по AutoLISP). Здесь собраны все команды и все функции AutoLISP ;

· Visual LISP Developer ’ s Guide (Руководство разработчика на Visual LISP ). Здесь содержатся все основные алгоритмы с примерами применения языка на практике;

· Visual LISP Tutorial (Учебник по Visual LISP ) — хорошее пособие для начинающих пользователей.

Найти в справке основные операторы для работы с числами и текстом

В окне Visual LISP for AutoCAD выберите команду HELP — Visual LISP Help Topics — — AutoLISP Functions —Operators . В левой части окна откроется список операторов, а в правой части помещены комментарии и примеры (рис. 3.5). Например, об операторе сравнения (= numstr [ numstr ] . ) сказано, что он применим и к числам и к тексту. Здесь numstr — число или строка. Оператор возвращает значение TRUE , если аргументы или строки равны, иначе возвращает NIL .

(= 499 499 500) returns nil,

(= 20 388) returns nil,

(= «me» «me») returns T,

(= 2.4 2.4 2.4) returns T,

Исполнение циклических алгоритмов на базе системы «Кумир»

Цели: сформировать умение записи, исполнения и отладки алгоритмов с использованием цикла пока; добиться понимания использования цикла пока; развивать умение анализировать.

Ученики должны знать: правила записи и исполнения цикла пока; свойства цикла пока.

Ученики должны уметь: использовать при составлении алгоритмов конструкцию цикла пока и записывать ее на языке Кумир, владеть методами отладки: по шагам, непрерывно.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный и репродуктивный (на этапе объяснения нового материала), репродуктивный с элементами проблемного (этап закрепления материала).

Обеспечение урока:

• система Кумир;
• интерактивная доска;
• мультимедийный проектор;
• карточки-задания.

Ход урока

1. Объяснение нового материала.

В общем случае алгоритм должен быть универсальным, т.е., он не должен зависеть от расстояния между Роботом и стеной. Для этого в алгоритмическом языке есть специальная команда – цикл пока.

Общий вид цикла пока

В общем виде цикл пока записывается так:

При выполнении цикла компьютер повторяет следующие действия:

а) проверяет записанное после служебного слова пока условие;

б) если условие не соблюдается, то выполнение цикла завершается, и компьютер начинает выполнять команды, записанные после кц. Если же условие соблюдается, то компьютер выполняет тело цикла, снова проверяет условие и т.д.

Пример.

Метод отладки: по шагам.

Диалог Компьютера и Робота

Компьютер: снизу свободно?

Робот: смещается вниз в клетку Б.

Компьютер: снизу свободно?

Робот: смещается вниз в клетку В.

Компьютер: снизу свободно?

Робот: нет.

Так как Робот ответил нет, т.о. записанное после пока условие не соблюдается и выполнение цикла заканчивается.

Продемонстрировать в системе Кумир методы отладки: по шагам и непрерывно.

Тело цикла может не выполниться ни разу, если условие в цикле пока не соблюдается с самого начала. Например, если в алгоритме «вниз до стены» Робот на первый же вопрос «снизу свободно » ответит нет, то компьютер не вызовет команду «вниз» ни разу.

Зацикливание. Выполнение цикла пока может и не завершиться, если условие все время будет соблюдаться. Например, если ниже Робота никаких стен нет, то при выполнении предыдущего алгоритма, компьютер «зациклится», т.е. будет бесконечно спрашивать у Робота «снизу свободно», получать в ответ да и командовать «вниз».

2. Эксперименты с программой на примере исполнителя Робот.

Необходимо, в системе Кумир, предварительно сделать заготовки расположения Робота (файлы 1.fil-6.fil).

Упражнения.

Эксперименты с программой.

Задание 1. (Загрузить файл 1.fil)

Требуется перевести Робота из клетки А в клетку Б. Использовать цикл пока:

Задание 2. (Загрузить файл 2.fil)

Дано, что Робот находится у левой стены внутри прямоугольника, огороженного со всех сторон стенами. Внутри прямоугольника стен нет, размеры прямоугольника неизвестны. Требуется закрасить горизонтальный ряд клеток от исходного положения Робота до правой стены и вернуть Робота в исходное положение.

Задание 3. (Загрузить файл 3.fil)

Робот находится в горизонтальном коридоре. Закрасить все клетки коридора:

Задание 4. (Загрузить файл 4.fil)

1. Переделайте алгоритм «закрасить ряд вправо и вернуться» используя в нем цикл:

2. Используя вспомогательный алгоритм, составьте алгоритм, при выполнении которого Робот закрашивает прямоугольник.

Задание 5. (Загрузить файл 5.fil)

Составьте алгоритм для закраски всех клеток вокруг прямоугольной стены:

Задание 6. ( Загрузить файл 6.fil) (Из материалов экзамена 2009г.)

Робот находится в левом верхнем углу огороженного пространства, имеющего форму прямоугольника. Размеры прямоугольника неизвестны. Написать для Робота алгоритм, закрашивающий четыре угловые клетки прямоугольника.

Задание 7. (Загрузить файл 6.fil) (Из материалов экзамена 2009 г.)

Робот находится в левом верхнем углу огороженного пространства, имеющего форму прямоугольника. Размеры прямоугольника неизвестны. Написать для Робота алгоритм, закрашивающий все клетки, расположенные внутри прямоугольника и прилегающие к нижней стороне прямоугольника.

3. Закрепление. Вопросы:

Какие команды Компьютер будет давать Роботу при выполнении цикла:

а) нц пока клетка не закрашена

б) нц пока клетка закрашена

В ситуации, когда Робот стоит:

1. в закрашенной клетке,
2. в не закрашенной?

Расположение Робота показано на следующих рисунках:

Как будет выполняться цикл?

Домашнее задание. Определите значение переменной S после выполнения операторов:

Литература: А.Г.Кушниренко «Основы информатики и вычислительной техники».