Два иррациональных числа сумма которых рациональное число

Упр.12.8 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Похожие решебники

Мордкович, Семенов, Александрова

Популярные решебники 8 класс Все решебники

Enjoy English
Биболетова, Бабушис
Разумовская
Разумовская, Львова
Быстрова, Кибирева
Рабочая тетрадь

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых — рациональное число

Например:
1 число: 1 минус корень из трех, 2 число: 1 плюс корень из трех;
по отдельности иррациональные, а сумма равна двум — рационально.

Остальные ответы

Или еще проще
корень из двух и минус корень из двух — числа иррациональные, а их сумма равна 0 — рациональному числу

Саша, там говорится сумма
1/6 и 1/3 — обыкновенные дроби, рациональные числа по определению
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Два иррациональных числа сумма которых рациональное число

Как известно из геометрии, общею мерою двух отрезков прямой, или двух углов, или двух дуг одинакового радиуса, вообще двух значений одной и той же величины, называется такое значение этой величины, которое в каждом из них содержится целое число раз без остатка. В геометрии же утверждается, что могут быть такие два отрезка, которые не имеют общей меры, например, сторона квадрата и его диагональ. Это отношение может быть выражено только бесконечной непериодической дробью: Иррациональные числа . Числа целые, дробные, десятичные конечные и десятичные периодические носят общее название рациональных чисел ; десятичные бесконечные дроби непериодические называются иррациональными числами . Первые служат мерою величин, соизмеримых с единицею, вторые — мерою величин, несоизмеримых с единицею. Иррациональное число считается известным (или данным), если указан способ, посредством которого можно находить любое число его десятичных знаков. Два иррациональных числа (как и два рациональных) считаются равными , если они произошли от измерения одною и тою же единицею двух равных величин; из двух неравных чисел то считается большим, которое произошло от измерения большей величины. Две равные величины, конечно, должны содержать в себе одинаковое число целых единиц, одинаковое число десятых долей, одинаковое число сотых долей и т.п., поэтому равные иррациональные числа должны быть выражены одинаковыми цифрами. Большая же величина должна содержать в себе большее число целых или — при равенстве целых — большее число десятых, или — при равенстве целых и десятых — большее число, сотых и т.д. Например, число 2,745037. больше числа 2,745029. так как в первом 6-я цифра выражает число большее, чем 6-я цифра во втором, при тождественности всех предыдущих цифр. Иррациональные числа могут быть положительными и отрицательными, смотря по тому, измеряют ли они величины, считаемые положительными, или величины, считаемые отрицательными. Числа рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные получили новое название действительных или вещественных чисел . Приближенные значения иррационального числа . Пусть нам дано какое-нибудь иррациональное число α , т.е. пусть указан способ, посредством которого мы можем получить сколько угодно цифр числа α (этим способом может быть, например, то правило, посредством которого мы находим приближенные квадратные корни с точностью до 1/10 до 1/100 до 1/1000 и т.д.). Положим, мы нашли такие 5 цифр числа α : α = 1,73205080. Возьмем из этих цифр несколько первых, например, цифры 1,73, а остальные отбросим. Тогда мы получим приближенное значение числа α , причем это значение будет с недостатком, так как 1,73 и ):

до 0,1

до 0,01

до 0,001

до 0,0001

для числа α .

для числа β .

Соответствующие приближенные значения с избытком получаются из этих чисел посредством усиления последнего десятичного знака на 1. Тогда: сложить α и β значит найти число, которое было бы больше каждой из сумм:

1,7+1,4=3,1, 1,73+1,41=3,14, 1,732+1,414=3,146, 1,7320+1,4142=3,1462;
и меньше каждой из сумм:
1,8+1,5=3,3, 1,74+1,42=3,16, 1,733+1,415= 3,148, 1.7321+1,4143=3,1464,

• больше каждого из произведений: 1,7*1,4=2,38 1,73*1,41=2,4393, 1,732+1,414=2,449048, 1,7320+1,4142=2,4493944;
• и меньше каждого из произведений: 1,8+1,5=2,7, 1,74+1,42=2,4708, 1,733+1,415= 2,452195, 1,7321+1,4143=2,464623481129,

1) Из определения арифметического квадратного корня следует, что -x ≥ 0 . Умножим обе части этого неравенства на -1 и получим, что . 2) На основании определения арифметического квадратного корня имеем , или .

1) Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результат перемножить. или , если . Например, . 2) Чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его из числителя и знаменателя отдельно и первый результат разделить на второй. , если . Например, . 3) Чтобы возвысить корень в степень, надо возвысить в эту степень подкоренное выражение, оставив тот же показатель корня. или , если . Например, ; . 4) Чтобы извлечь корень из корня, надо перемножить показатели корней. или , если , . Например, . 5) Если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых можно извлечь точный корень, то какие множители, по извлечении из них корня, могут быть написаны перед знаком корня (т.е. могут быть вынесены за знак корня). , если . Например, ; . 6) Иногда бывает полезным решить обратную задачу и внести множитель под знак корня. Для этого достаточно возвысить такие множители в степень, показатель которой равен показателю корня, а затем записать множители под знаком корня. Например, 7) Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. , т.к. . . Например. 1) Исключить иррациональность в знаменателе дроби . . 2) Исключить иррациональность в знаменателе дроби .

Перейти к выполнению теста: Тест. Иррациональные числа

Об одном множестве иррациональных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО / РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО / ПРОСТОЕ ЧИСЛО / НИЖНИЙ КЛАСС СЕЧЕНИЯ / ВЕРХНИЙ КЛАСС СЕЧЕНИЯ / IRRATIONAL NUMBER / RATIONAL NUMBER / PRIME NUMBER / LOWER CLASS OF SECTION / UPPER CLASS OF SECTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Фомин Василий Ильич

Методом Дедекинда построены два бесконечных множества иррациональных чисел.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Фомин Василий Ильич

Методика изучения системы действительных чисел
Действительные числа — раздел повышенного уровня в двухуровневой системе математического образования

Моделирование основных аспектов вещественного и комплексного анализа в рамках аксиоматики для гипернатуральных чисел

О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей
О гипотезе Абеля
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Two infinite sets of irrational numbers are built by Dedekind method.

Текст научной работы на тему «Об одном множестве иррациональных чисел»

ОБ ОДНОМ МНОЖЕСТВЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ © В.И. Фомин

Ключевые слова: иррациональное число; рациональное число; простое число; нижний класс сечения; верхний класс сечения.

Методом Дедекинда построены два бесконечных множества иррациональных чисел.

При определении иррациональных чисел по Деде-кинду во многих учебниках [1, с. 35; 2, с. 18, 79] приводится единственный пример конкретного сечения в области рациональных чисел, порождающего иррациональное число (сечение, определяющее число ), и У студентов формируется ложное представление о том, что иррациональные числа — это некие экзотические объекты и их не так много. Ниже приводится пример сечения в области рациональных чисел, определяющего иррациональное число, позволяющий увидеть, что множество иррациональных чисел бесконечно, т. е. что «иррациональных чисел не меньше, чем рациональных чисел». Этой информации о количестве иррациональных чисел вполне достаточно при изложении темы «Иррациональные числа» по учебному плану, не содержащему теорему о том, что множество иррациональных чисел имеет мощность континуума [3, с. 17, 22].

Пусть О — множество рациональных чисел, М = .

Возьмем г е М , п е N , п > 3 . Положим

Заметим, что А ^ 0 , В ^ 0 и А и В = О , ибо не существует 5 е О | = 1 — гп [4-5]. Кроме того, А В = 0 и для Уа е А, УЬ е В а < Ь. Следовательно, А | В - сечение в области рациональных чисел.

В нижнем классе А нет наибольшего числа. Действительно, пусть а е А . Покажем, что 3 а1 е А | а1 > а . Если а < 0, то в качестве а можно взять любое а >0 | а» < 1 - г" . Пусть а е А и а >0 , следовательно, 1 — г» — а» > 0 . Покажем, что при достаточно большом

т е N число а = а + — е А, т. е.

(заметим, что а1 > а). По биному Ньютона

а +11 = а» + Е» Ска»-к Г 1

и для выполнения (1) достаточно, чтобы

для чего достаточно взять

В верхнем классе В нет наименьшего числа. Действительно, пусть Ь е В , следовательно, Ь» -1 + г» > 0 . Покажем, что при достаточно большом т е N число

Ь = Ь — — е В, т. е. т

Ь -11 = Ь» +Е (-1)кС„кЬ «-к Г -1 . т 1 I т1

Неравенство (2) принимает вид

bn +^(-\fCknbn-k[ -k=1 ^ m

Отбрасывая в левой части неравенства (3) все слагаемые со знаком «-» и заменяя во всех оставшихся

слагаемых выражение (1/ т^ на 1/ т , приходим к оценке вида

шего числа (это показывается точно так же, как было сделано выше при построении иррационального числа

аг п = ^ 1 — гп ). Следовательно, построенное сечение А | В определяет иррациональное число. Обозначим его через а/ = 47 . Таким образом, для каждого простого числа I можно построить иррациональное число а = 47 , при этом, если /1; 12 е Ь , ф 12 , то ^Т^ , ибо сечения, определяющие числа ^ , , не совпадают. Множество Н = есть счетное множество иррациональных чисел, ибо множество Ь с N бесконечно [6, с. 18, 79], а всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно [3].

Чтобы у студентов не создавалось представления о том, что иррациональные числа порождаются лишь радикалами, желательно в процессе обучения математике приводить примеры иррациональных чисел иной природы. Например, после обоснования второго замечательного предела

где A > 0 . Тогда для выполнения (3) достаточно, чтобы

е. достаточно взять

уместно доказать [7, с. 155], что число е иррационально, опираясь на тот факт, что

Итак, в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классе В нет наименьшего числа. Следовательно, построенное сечение А | В определяет иррациональное число. Обозначим его через

I arn = n 1 — rn | r e MJ

счетное множество иррациональных чисел как объединение счетного множества счетных множеств (при каждом п е N, п > 3 множество Мп счетно в силу

счетности множества М ).

Можно привести более простой пример счетного множества иррациональных чисел. Рассмотрим множество простых чисел

Замечание 1. Для простого числа / не существует рационального числа, квадрат которого равен 7 . Пусть I е Ь , / фиксировано. Положим

Заметим, что А ф 0 , В ф 0 и в силу замечания 1 А и В = 0>. Кроме того, А п В = 0 и для Va е А, УЬ е В ^ а < Ь. Следовательно, А | В - сечение в области рациональных чисел. В нижнем классе А нет наибольшего числа, в верхнем классе В нет наимень-

[2]. Заметим, что использование суммы ряда в первом учебном семестре вполне корректно, ибо понятия числового ряда (в частности, знакоположительного ряда) и его суммы можно ввести после доказательства теоремы о существовании конечного предела у возрастающей ограниченной сверху последовательности, что позволит сразу же указать одно из применений этой теоремы: установить признак сходимости знакоположительных рядов.

Несмотря на то, что множество иррациональных чисел несчетно, а множество рациональных чисел счетно, т. е. что основную массу вещественных чисел представляют иррациональные числа, отсутствует общепринятое обозначение множества иррациональных чисел, хотя наличие такого обозначения существенно сокращало бы записи рассуждений, в которых для вещественных чисел приходится рассматривать отдельно два случая: когда вещественные числа являются рациональными и когда вещественные числа являются иррациональными. Для других базовых множеств вещественных чисел такие обозначения имеются: N -множество натуральных чисел (natural — натуральный); Z — множество целых чисел; Q — множество рациональных чисел (quotient — отношение). Учитывая англ. irrational — иррациональное, естественно использовать для обозначения множества иррациональных чисел символ I, но этот символ уже занят под другие общепринятые обозначения ( I — единичный оператор (identity operator), I — интеграл (integral) и т. д.). Вопрос об общепринятом обозначении множества иррациональ-

ных чисел остается открытым. В качестве одного из вариантов такого обозначения можно предложить букву У (ипсилон) греческого алфавита, ибо 1) иррациональные числа — это принципиально новые математические объекты по сравнению с рациональными числами, и для обозначения множества таких объектов можно использовать букву другого алфавита; 2) первая буква в названии У совпадает с первой буквой в слове «иррациональное»; 3) символ У не задействован в других общепринятых обозначениях. В итоге получаем краткую информативную запись множества вещественных чисел: М = О и У .

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Построение конкретных бесконечных подмножеств множества иррациональных чисел методом Дедекинда способствует лучшему пониманию учащимися необходимости расширения поля рациональных чисел до поля действительных чисел.

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977. 368 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. М., 1970. Т. 1. 616 с.

3. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., 1974. 480 с.

4. Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat’s last Theorem // Annals of Mathematics. 1995. V. 142. Р. 443-551.

5. Wiles A. Ring theoretic of certain Hecke algebras // Annals of Mathematics. 1995. V. 142. P. 553-572.

6. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М., 1972.

7. Сизый С.В. Лекции по теории чисел. М., 2007. 191 с.

Поступила в редакцию 27 февраля 2015 г.

Fomin V.I. ABOUT ONE SET OF IRRATIONAL NUMBERS

Two infinite sets of irrational numbers are built by Dedekind method.

Key words: irrational number; rational number; prime number; lower class of section; upper class of section.

Фомин Василий Ильич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и механики, e-mail: vasiliyfomin@bk.ru

Fomin Vasiliy Ilyich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Applied Mathematics and Mechanics Department, e-mail: vasiliyfo-min@bk.ru