Докажите что число является квадратом натурального числа

Докажите что число является квадратом натурального числа

У натурального числа n есть такие два различных делителя а и b , что ( а – 1)( b + 2) = n – 2.
Докажите, что число 2 n является квадратом натурального числа.

Решение

( а – 1)( b + 2) = n – 2 ⇔ ab – b + 2 a = n . Так как n делится на a и делится на b , то и левая часть полученного равенства делится и на a , и на b . Следовательно, b делится на a , a 2 а делится на b . Второе условие означает, что b ≤ 2 a . Учитывая, что b ≠ a , имеем b = 2 a .
Подставив этот результат в исходное равенство, получим 2 а ² – 2 а + 2 а = n , откуда 2 n = 4 a ².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	11
задача
Номер	11.4.3

Решение на Задание 1008 из ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Макарычев Ю.Н.

Издатель: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2013г.

Издатель: А.Г. Мордкович, 2013г.

Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2015г.

Докажите что число является квадратом натурального числа

Доказать, что каждое из чисел последовательности 11, 111, 1111, . не является квадратом натурального числа.

Решение

Все эти числа при делении на 4 дают остаток 3, а квадраты – только остатки 0 и 1.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	20
задача
Номер	20.4

Проект осуществляется при поддержке и .

докажите что число a.122333444455555666666777777788888888999999999 не может быть квадратом никакого натурального числа.

докажите что натуральное число, десятичная дробь которого состоит из одной единицы, двух двоек, трех троек . девяти девяток, не может быть квадратом никакого натурального числа.

Лучший ответ

Доказать, что натуральное число
a = 122333444455555666666777777788888888999999999,
десятичная запись которого состоит из одной единицы, двух двоек, трёх троек, …, девяти девяток, не может быть квадратом никакого натурального числа.

———————————————————————————
Рассматриваемое натуральное число содержит
N = 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45 цифр. Но в данном случае рассматривать все цифры числа нет необходимости. Достаточно ограничиться лишь последними двумя.
Наше число — нечётное, и могло бы быть квадратом лишь нечётного числа.
Представим исходное нечётное натуральное число в виде
2·k − 1, где k — натуральное. Тогда его квадрат равен
(2·k − 1)² = 4·k² − 4·k + 1 = 4·k·(k − 1) + 1
Квадрат нечётного натурального числа при делении на 4 даёт остаток, равный только единице. Рассматриваемое же натуральное число оканчивается на 99 и при делении на 4 даёт остаток, равный 3.
Следовательно, рассматриваемое натуральное число не может быть квадратом никакого натурального числа.

Остальные ответы

Предположим, что наше число является квадратом натурального числа А. Пусть А = 10B + x, где x — последняя цифра числа А. Тогда A^2 = (10B + x)^2 = 100B^2 + 20xB + x^2. Поскольку A^2 оканчивается на 9, то и x^2 тоже оканчивается на 9, поэтому x = 3 или x = 7, так как только эти цифры в квадрате оканчиваются на 9.

Пусть x = 3. Тогда A^2 = (10B + 3)^2 = 100B^2 + 60B + 9 = 10(10B^2 + 6B ) + 9. Но 10B^2 + 6B — четное число, поэтому оно оканчивается на четную цифру, значит, предпоследняя цифра числа A^2 четная. Таким образом, A^2 не может оканчиваться на 99.

Пусть x = 7. Тогда A^2 = (10B + 7)^2 = 100B^2 + 140B + 49 = 10(10B^2 + 14B + 4) + 9. Но 10B^2 + 14B + 4 — четное число, поэтому оно оканчивается на четную цифру, значит, предпоследняя цифра числа A^2 четная. Таким образом, A^2 не может оканчиваться на 99.