§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
К
риволинейной трапецией называется область на плоскости 
ограниченная осью
, прямыми
,
где
и графиком непрерывной на отрезке
функции
(см. рис.1).
азбиением отрезка 
наn частей называется набор чисел 
из этого отрезка, где
и
. В каждом отрезке (элементарном участке)
разбиения выберем некоторую точку
. Такое разбиение обозначим буквой
, а длину элементарного участка — через
. Пусть на отрезке
определена некоторая функция
.
Определение. Интегральной суммой для функции 
, построенной по разбиению
отрезка
, называется сумма произведений значений функции в выбранных точках
на длины элементарных участков.
Обозначение: 
. Если
в 
, то 
приближенно равнаплощади соответствующей криволинейной трапеции.
Определение. Определенным интегралом от функции 
на отрезке
называется предел интегральных сумм этой функции по разбиениям отрезка
, у которых максимальный
стремится к нулю, т.е.
.
Если 
в
, то этот интеграл выражаетточную площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Теорема. Если функция 
непрерывна на отрезке
или имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода, то эта функция интегрируема на
, т.е.
существует.
§4. Свойства определенного интеграла
В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые функции – интегрируемы в соответствующих отрезках.
1) 
,
— постоянная.
2) Если 
на
, то
.
3) Оценка определенного интеграла снизу и сверху. Если на отрезке 
функция
ограничена снизу и сверху числамиm и 
, т.е. если на
,то 
.
4) Теорема о среднем. Пусть функция 
непрерывна на отрезке
, тогда на этом отрезке найдется такая точкаc, что
.
Это значение 
называетсясредним значением функции на 
.
5) Оценка модуля определенного интеграла. .
6) Свойство линейности.
6) Свойство аддитивности. Если выполняется неравенство , то
.
Если 
, то интегралом
называется число
. Интеграл
считается равным нулю. Свойство аддитивности справедливо (при условии существования интегралов) для чисел
расположенных в любом порядке, т.е. требование
здесь не обязательно.
Теорема 1. (Ньютона — Лейбница) Пусть функция 
непрерывна на отрезке
и функция
есть ее первообразная на этом отрезке, тогда
.
Теорема 2. (Замена переменной в определенном интеграле) Пусть функция 
непрерывна в отрезке
, а функция
монотонная и непрерывно дифференцируема в отрезке
, где
,
, тогда
.
Теорема 3. (Нахождение определенного интеграла по частям) Пусть функции 
и
непрерывно дифференцируемы в отрезке
, тогда верно равенство
.
Сокращенная запись: .
§5. Несобственные интегралы
5.1. Пусть функция 
непрерывна в промежутке 
.Несобственным интегралом от a до 
от этой функции называется предел:
.
Если этот предел существует (равен числу), то несобственный интеграл называется сходящимся; если он не существует, то интеграл называется расходящимся. В случае, если 
в промежутке
, такой интеграл выражает площадь неограниченной фигуры с границами:
,
и графиком функции
. Для сходящегося интеграла эта площадь конечна, для расходящегося – бесконечна. Формула Ньютона-Лейбница для таких несобственных интегралов имеет вид:
.
5.2. Пусть теперь функция 
непрерывна в промежутке
. Тогданесобственным интегралом от 
доb называется предел
.
Такой интеграл (при ) выражает площадь фигуры с границами:
, 
и
.
Формула Ньютона-Лейбница: .
5.3. Если функция 
непрерывна на всей числовой оси, то несобственным интегралом от 
до
называется следующая сумма двух интегралов
(здесь 
— некоторое число). Это определение не зависит от выбора
. Такой интеграл называетсясходящимся, если сходятся оба интеграла:
и 
.
Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то интеграл 
называетсярасходящимся. При 
интеграл
выражает площадь области с границами
и
.
Формула Ньютона-Лейбница: .
Определенный интеграл как предел суммы
К понятию определенного интеграла приводят многие физические задачи. В конечном счете, все они сводятся к определению площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим плоскую фигуру ограниченную отрезком оси , двумя вертикальными прямыми и , а также кривой (для определенности мы нарисовали кривую над осью ).
Площадь такой трапеции можно найти приближенно. Для этого разбиваем отрезок на не обязательно равных частей точками:
,
и на каждом отрезке выберем точку . Произведение есть площадь прямоугольника со сторонами и . При малых сумма площадей этих прямоугольников будет мало отличаться от площади всей трапеции. Строгое определение определенного интеграла следующее (интеграл Римана).
Обозначим длину наибольшего отрезка через . Составим интегральную сумму . Конечно, эта сумма зависит еще и от самого разбиения и от выбора точек . Так вот, если предел таких интегральных сумм при существует, то он называется определенным интегралом от функции по промежутку :
Мы не останавливаемся на построении строгой теории интеграла Римана. Отметим только, что кусочно — непрерывные функции интегрируемы по Риману. Хотя теория интеграла Римана вполне законченная, но имеет свои недостатки. В частности, интегралы от неограниченных функций, а также интегралы по неограниченным промежуткам (несобственные интегралы) не существуют, как интегралы Римана.
Приведем несколько примеров, показывающих, как вычисляются определенные интегралы через пределы частичных сумм.
Пример 1 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм, производя надлежащим образом разбиение промежутка интеграции: .
Разбиение промежутка интегрирования проведем так: .
Значения функции для определенности возьмем в правых концах промежутков.
Воспользуемся формулой: .
Тогда, продолжая дальше цепочку равенств, получим окончательно: .
Пример 2 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм: .
Разбиение промежутка интегрирования проведем, как и в предыдущем примере:
Оставим интегральные суммы. Значения функции берем в левых концах промежутков:
Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии:
У нас . В результате получим:
Теперь используем следствие второго замечательного предела:
Согласно этой формуле, закончим вычисления: . Это и есть значение определенного интеграла .
Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.
Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.
Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.
Решение.
Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).
В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.
В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.
Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.
Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?
Определенный интеграл как предел интегральных сумм
Остановимся на еще одном подходе к задаче о площади криволинейной трапеции, который приводит к несколько иной, более общей трактовке определенного интеграла. Простоты ради по-прежнему будем считать заданную на отрезке [а; Ь] непрерывную функцию у = f(x) неотрицательной, но не обязательно возрастающей — ее график изображен на рис. 8.7.
На чертеже кроме криволинейной трапеции ААВВ изображена ступенчатая фигура, образованная прямоугольни-
л л л ь ~ а
ками с основаниями Дг, = Дг2 =. = Ах„ =-, так что правая
верхняя вершина каждого из них лежит на графике данной функции. Площадь S„ этой фигуры выражается в виде суммы площадей всех составляющих ее прямоугольников следующим образом:
Написанное выражение называется интегральной суммой; S„ дает приближенное значение площади S криволинейной трапеции, причем погрешность будет уменьшаться с ростом п, т.е. с увеличением числа прямоугольников. Точное равенство получится, если в интегральной сумме устремить п к бесконечности.
Определение 8.3. Предел последовательности интегральных сумм Sn называется определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а; Ь]:
Символ J есть стилизованная буква S — от латинского слова «Summa», тот же смысл имеет и греческая буква I (читается: «сигма») используемая для обозначения суммирования.
Таким образом, определенный интеграл есть число, геометрически выражающее площадь криволинейной трапеции.
Проиллюстрируем сказанное на простом примере, в котором несложность выкладок облегчит понимание дела.
Будем рассматривать линейную функцию: у = he, заданную на отрезке [0; й], — в этом случае криволинейная трапеция превращается в треугольник ОВВ (рис. 8.8).
Рис. 8.8
Запишем интегральную сумму S,v выражающую в этом примере площадь составленной из прямоугольников ступенчатой фигуры, «описывающей» треугольник ОВВ:
Несложными тождественными преобразованиями оно приводится к виду:
Перейдем к предел)’ при п—
Замечание. Разумеется, проще найти площадь треугольника ОВВ по формуле Ньютона — Лейбница:
или вообще пе применяя интегралов, а иростр по элементарной формуле, перемножая длины катетов ОВ и ВВ:
Но нашей целью было проследовать в этом примере тем маршрутом, который приводит к определенному интегралу в новом, более общем понимании, которое как раз и отражено в приведенном выше рассуждении Льва Толстого об интегрировании как о суммировании бесконечного числа бесконечно малых элементов: при п —»°° каждое слагаемое в интегральной сумме является бесконечно малым, а число слагаемых стремится к бесконечности.
§ 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.
2. В каждом частичном отрезке [xi-1;xi], i = 1,2. n выберем произвольную точку сi є [xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(сi).
3. Умножим найденное значение функции ƒ (сi) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (сi) • ∆хi.
4. Составим сумму Sn всех таких произведений:
Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1,2. n).
5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ → 0.
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Т аким образом,
Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью ( отрезком) интегрирования.
Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интегралназывается интегрируемой на этом отрезке.
Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.
Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл
Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.
Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).
1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования:
Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
3. Для любого действительного числа с.