Почему 1 в степени бесконечность это неопределенность

Число в степени бесконечность

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется непосредственно. Поскольку показательная функция

при а>1 возрастает, то для таких а

Соответственно, применение второго замечательного предела здесь не требуется. Используем следующее свойство пределов:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f(x)} \right]^{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f(x)} \right]^{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)}}$

при условии, что эти пределы существуют.

Рассмотрим примеры, в которых нужно найти число в степени бесконечность.

Найти пределы функций:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}})^{4x + 8}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?$

Получили неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.

Найдем пределы основания и показателя степени. (Как находить предел бесконечность на бесконечность, уже рассматривали ранее. Делим и числитель, и знаменатель на старшую степень икса, в данном случае — на x.)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x - 3}}{{5x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{5 + \frac{1}{x}}} = \frac{2}{5},$

Таким образом, приходим к выводу, что

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}})^{4x + 8}} = {\left[ {\frac{2}{5}} \right]^\infty } = 0.$

2) Вычислить предел функции:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{3{x^2} - 7}}{{2{x^2} + 5}})^{4{x^2} - 1}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?$

Рассуждаем аналогично. При нахождении предела основания степени делим многочлены в числителе и знаменателе на старшую степень икса, то есть на x²:

1 в степени бесконечность

1 ∞ > — это один из примеров математической неопределённости.

Парадокс [ ]

и даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354 есть единица. Алсо, многие считают, что парадокс — нифига не парадокс, а фигня какая-то

Так почему же это является неопределённостью? [ ]

По правилу Лопиталя (правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида ноль/ноль, бесконечность/бесконечность. А здесь надо логарифимировать предел и переходить к произведению в степени.) lim x → ∞ 1 x = lim x → ∞ x ⋅ 1 x − 1 >=\lim _>> . Но поскольку x = ∞ (по условию), то одним из множителей второго предела является ∞ , что уже говорит о том, что вычислить этот предел невозможно. Таким образом, 1 ∞ > является неопределённостью, и это доказано.

Научный форум dxdy

В учебнике Фихтенгольца доказывается, что n^(1/n) — корень n-ной степени из n = 0 при n стремится к бесконечности (том 1, стр.66).
Отсюда следует, что 1 в степени бесконечность стремится к бесконечности (к n). Это мне не понятно. Для меня было очевидно, что 1 в любой степени стремится к 1. Так ли это и почему получается, что 1 в степени бесконечность равно бесконечности? Прошу объяснить или подсказать где почитать разъяснение этого.

Re: 1 в степени бесконечность
14.03.2010, 19:23

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось meduza 14.03.2010, 19:23, всего редактировалось 1 раз.

$$\left(1^<\infty></p> <p>\right)$» /> — неопределённость и может стремиться к чему угодно или же не стремится ни к чему. Про пределы и раскрытие неопределённостей есть в любом учебнике матана, в том же Фихтенгольце или его lite-версии Пискунов.</p> <p>P. S. Правила форума обязывают использовать TeX.</p> <p><b>Re: 1 в степени бесконечность</b><br /> 14.03.2010, 19:23</p> <table cellspacing=$ Заслуженный участник

$$\lim\limits_<n\to\infty></p><div class='code-block code-block-5' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

Напишите предел, который Вас интересует. Например, \sqrt[n] n =1$» />.

Re: 1 в степени бесконечность
14.03.2010, 19:28
meduza в сообщении #297689 писал(а):

$$\left(1^<\infty></p> <p>\right)$» /> — неопределённость и может стремиться к чему угодно или же не стремится ни к чему.</p> <p>При каких условиях тогда он стремится к 1 и при каких — к бесконечности?<br /> <b>Re: 1 в степени бесконечность</b><br /> 14.03.2010, 19:30</p><div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$