Сколько подмножеств имеет множество содержащее 6 элементов
УПС, страница пропала с радаров.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
Вам может понравиться Все решебники
Мерзляк, Поляков
Баранова, Афанасьева, Михеева
Дидакт. материалы
Мерзляк, Полонский, Якир
Алексеев, Низовцев
Агибалова, Донской
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Сколько подмножеств имеет множество содержащее 6 элементов
Множество представляет собой набор элементов, сгруппированных по определенному признаку. В математике это может быть множество натуральных, целых или рациональных чисел. В природе это множества яблок на дереве, песчинок в пустыне или звезд в космосе. На практике множество может представлять собой набор данных, массивы результатов измерений или входных воздействий. Множество — это простейший математический объект, поэтому с ним можно осуществлять простые арифметические действия, то есть складывать, вычитать или разбивать на составляющие — подмножества.
Несобственные подмножества
Каждое множественный объект имеет два несобственных подмножества: само множество и пустое. Согласно канторовской теории, любое множество считается подмножеством самого себя. Пустое множество — это своеобразный нуль теории множеств, и такой набор не содержит ни одного элемента. Потребность в пустом множестве обусловлена аксиомой, что любой результат операции между множествами также должен быть множеством. Пустой набор элементов также считается подмножеством для любого набора чисел.
Собственные подмножества
Помимо самого себя и пустого множества, набор чисел может иметь определенное количество собственных подмножеств. Их численность определяется мощностью множества, то есть количеством его элементов. Для объекта A, которое состоит из n-ного числа элементов, существует количество собственных подмножеств, которое определяется по формуле: N = 2 n — 2. Из этого следует, что для набора из 3 элементов существует 2 3 — 2 = 6 собственных подмножеств, из 4 членов — 2 4 — 2 = 14 собственных подмножеств и так далее. К примеру, для множества
Если не разделять подмножества на собственные и несобственные, то для каждого множества существует подмножества, количеством:
где n — количество элементов.
Это означает, что для того же набора добавятся также пустое множество и оно само.
Подмножества и парадоксы
Канторовская теория множеств зашла в тупик, когда ее постулаты породили парадоксы. Наиболее известной проблемой наивной теории множеств считается парадокс Рассела. Известный британский философ и ученый Бертран Рассел рассмотрел бесконечные множества как абстрактные объекты. Если любое множество считается подмножеством самого себя, то верно выражение A Î A. Допустим, существует глобальное множество S, содержащее в себе все наборы объектов, которые не включают самих себя.
Далее возникает вопрос, верно ли, что S Î S? Если верно, то выходит, что S не содержит самого себя, так как изначально набор S содержит все множества, не содержащие себя, следовательно, S Î S. Если неверно, значит, набор S не соответствует первичному определению, следовательно, S Î S.
Данный парадокс так же известен как проблема цирюльника. Некий брадобрей заявляет, что будет брить только тех, кто не бреет сам себя. Тех, кто сами справляются с бритвой, цирюльник брить отказывается. Возникает парадокс: кто побреет цирюльника? Если он бреется сам, то он не должен себя брить, а если не бреется, то брить себя обязан. Для решения подобных парадоксов в теорию множеств была внесен раздел о типах объектов. Согласно теории типов, подмножества всегда должны быть низшего порядка по отношению к своему надмножеству.
Наша программа позволяет сгенерировать все возможные подмножества для любого заданного набора чисел. Для этого вам достаточно ввести числа через запятую в форму онлайн-калькулятора, после чего программа рассчитает все подмножества для выбранного набора, включая собственные и несобственные. Рассмотрим пример генерации подмножеств.
Пример работы калькулятора
Допустим, у нас есть множество последовательных натуральных чисел мощностью 4. Это означает, что наш объект выглядит как А = . Согласно формуле, для A существует 2 4 = 16 подмножества: 14 собственных и 2 несобственных. При помощи калькулятора рассчитаем эти составляющие. Мы получим:
Точно также вы можете рассчитать количество подмножеств для множества произвольной мощности.
Заключение
Множество — это элементарный математический объект, с которым можно осуществлять разные арифметические операции. Используйте наши онлайн-калькуляторы для работы с множественными объектами.
Подмножества
Выясним , сколько всего существует подмножеств данного множества . Запишем элементы заданного множества P в каком — либо порядке и каждому элементу поставим в соответствие двоичный разряд Пусть 0 ( нуль ) обозначает , что соответствующий элемент отсутствует в подмножестве , а 1 — что этот элемент входит в подмножество . Тогда каждому |P|- разрядному двоичному числу будет соответствовать определенное подмножество . Известно , что всего существует 2 |P| |P|- разрядных двоичных чисел . Следовательно , число всех подмножеств также равно 2 |P| .
Проиллюстрируем это на примере множества P = . В табл . 1 указаны элементы a, b, c, и под каждым элементом записаны двоичные цифры . В левой колонке приведены десятичные эквиваленты двоичных трехразрядных чисел . В правой части таблицы перечислены сами подмножества . В верхней строке под элементами a, b, c записаны нули . Это значит , что в подмножество с нулевым номером не входит ни один элемент множества P. Следовательно , получаем пустое подмножество.
Заметим , что при табличном представлении подмножеств в таблице всегда будет присутствовать строка с номером 0 ( нуль ), которой соответствует |P|- разрядное двоичное число , состоящее из |P| нулей . Следовательно , пустое множество является подмножеством любого множества . В строке с номером 1 под элементом c записана единица . Это значит , что в подмножество с номером 1 входит элемент c, и подмножество имеет вид . В строке с номером 2 единица соответствует элементу b, следовательно , подмножество номер 2 имеет вид , и т . д . до последней строки , где нет нулей , что соответствует случаю , когда в подмножество входят все элементы множества P. Такое подмножество совпадает с множеством P. Таким образом , рассмотренный прием позволяет не только найти все подмножества , но и пронумеровать их .
- Подмножества бывают двух видов : собственные и несобственные .
- Само множество P и пустое множество называются несобственными подмножествами . Все остальные подмножества называются собственными . Следовательно , всякое непустое множество P содержит два несобственных подмножества и 2 |P| – 2 собственных подмножеств . Согласно табл . 1 несобственные подмножества имеют вид ∅ и , все остальные шесть подмножеств являются собственными .
- Булеан множества P = имеет вид B(P) = ,,,,,>
- Кардинальное число (число элементов) любого собственного подмножества множества P меньше |P|.
- Чтобы убедиться в этом , поставим в соответствие каждому элементу множества P двоичный разряд , как показано в табл.1. Среди всех |P|- разрядных двоичных чисел существует только одно число , не содержащее нулей . Ему соответствует несобственное подмножество , совпадающее с множеством P. Удалим это число . В каждом из оставшихся |P|-разрядных чисел содержится хотя бы один нуль , показывающий , какой элемент множества P не входит в соответствующее подмножество . А это значит , что в каждом из собственных подмножеств число элементов меньше , чем |P|.
Упражнения.
1. Сколько одноэлементных подмножеств содержится в множестве вида Q = ?
2. Дано множество вида A = . Укажите верные записи (с ответами):
а ) a ∈ A – истинно; ∈ A — ложно;
б ) d ⊂ A — ложно; ⊂ A — истинно;
в ) ∅ ∈ A – ложно; ∅ ⊂ A — истинно;
г ) ⊆ A – истинно; ∈ A — ложно;
д ) ⊂ – истинно; a, b ⊆ – ложно.
3. Сколько собственных подмножеств имеет множество M = ?
Решение. M = , следовательно число собственных подмножеств равно
2|M|-2 = 25-2 = 32 – 2 = 30
Задачи с решением:
M0004. Известно , что число собственных подмно — жеств некоторого множества K равно числу его не — собственных подмножеств . Найдите |K| и кардинальное число булеана множества K.
M0005. В множестве R отсутствуют собственные под — множества . Определите кардинальное число множества R и кардинальное число булеана множества R.
M0006. Известно , что число собственных под — множеств некоторого множества в 15 раз больше числа его несобственных подмножеств . Найдите кардинальное число этого множества .
M0007. Некоторое множество имеет 62 собствен — ных подмножества . Найдите число элементов булеана этого множества .
M0008. Некоторое множество содержит пять одно — элементных подмножеств . Найдите кардинальное число булеана этого множества .
M0009. Кардинальное число множества S равно 7. Найдите число собственных подмножеств множества S.
M0010. Булеан некоторого множества P содержит 256 элементов . Найдите число собственных подмножеств множества P.
M0011. Булеан множества P состоит из 128 элементов . Найдите кардинальное число множества P.
M0012. Дано множество P. Когда из него удалили три элемента , получилось множество , булеан которого содержит 64 элемента . Найдите |B(P)| .
M0013. Булеан множества M имеет 16 элементов . В множество M добавили несколько элементов . Получи — лось новое множество P, для которого |B(P)| = 1024. Найдите разность |P| – |M| .
M0014. Множество P имеет 56 собственных под — множеств , среди которых нет ни одного одноэлемент — ного подмножества . Найдите |B(P)| .
M0015. Множество P имеет 27 подмножеств , среди которых нет ни одного одноэлементного под — множества . В множество P добавили два элемента . Получилось множество M. Найдите |B(M)| .
M0016. Дано множество S = . Сколько существует подмножеств этого множества , не содер — жащих букв ? Сколько существует подмножеств , не со — держащих цифр ? Сколько существует подмножеств , не содержащих ни букв , ни цифр ?
M0017. Сколько собственных подмножеств имеет синглетон ? Сколько несобственных подмножеств имеет синглетон? Синглетон — это конечное множество , содержащее только один элемент .
Стоимость решения одной задачи 100руб.
Нахождение числа всех подмножеств данного множества
Если задано некоторое множество А, то можно рассматривать новое множество М (А) – множество всех его подмножеств.
Пример 1. Сколько подмножеств имеет множество А = ?
По свойствам отношения включения, имеем Æ А и А .
Таким образом, одноэлементное множество А = имеет 2 подмножества.
Пример 2. Сколько всего подмножеств имеет двухэлементное множество А = , в>?
По свойствам отношения включения, имеем Æ А и А .
Одноэлементные подмножества: , .
Таким образом, двухэлементное множество А = , в> всего имеет 4 подмножества.
Пример 3. Сколько всего подмножеств имеет трехэлементное множество А = ?
По свойствам отношения включения, имеем Æ А и А .
Одноэлементные подмножества: , , .
Двухэлементные подмножества: , , .
Таким образом, трехэлементное множество А = всего имеет 8 подмножеств.
Пример 4. Сколько всего подмножеств имеет четырехэлементное множество А = , в, с, d>?
По свойствам отношения включения, имеем Æ А и А .
Одноэлементные подмножества: , , , . Двухэлементные подмножества: , , , , , . Трехэлементные подмножества: , , , .
Таким образом, четырехэлементное множество всего имеет 16 подмножеств.
Нетрудно заметить, что с увеличением количества элементов множества А, число всех его подмножеств значительно увеличивается. Возникает вопрос: сколько подмножеств имеет множество из n – элементов?
Ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение.
Теорема 5. Конечное множество, содержащее n элементов, имеет 2 п подмножеств, то есть если Ап = 1, а2. aп >, то п(М(Ап))=2 п .
Доказательствопроведем, используя метод математической индукции.
В этом случае п(М(А1)) = 2 1 = 2 что и доказывает справедливость теоремы при п = 1.
Предположим, что п(М(Aк)) = 2 , то есть множество Aк имеет 2 подмножеств.
3) Докажем, что тогда множество Aк+ 1, имеет 2 подмножеств. В самом деле, если к элементам множества Aк, содержащего к элементов, добавить еще один элемент aк+1, то к имеющимся 2 подмножествам добавятся еще 2 новых подмножества, и, следовательно, множество Aк+ 1, содержащее к + 1 элементов, будет иметь 2 + 2 = 2× 2 = 2 подмножеств.
Таким образом, п(М(Aк+ 1 )) = 2 .
На основании метода математической индукции можно сделать вывод, что Теорема. 5 справедлива для любого натурального числа п. Теорема доказана.
Воспользуйтесь поиском по сайту:
studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с) .