Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?
Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «банан»?
Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «знание»?
Сколькими способами можно составить предложение, переставляя 3 слова: «кот» «сметану» «съел»?
Решение. Перестановки трех различных слов можно получить способами, т. е. всего вариантов . . . . .
Сколькими способами можно составить предложение, переставляя 3 слова: «мама» «мыла» «раму»?
Решение. Перестановки трех различных слов можно получить способами, т. е. всего вариантов . . . . .
Сколькими способами можно составить предложение, переставляя 4 слова: «студент» «экзамен» «сдал» «хорошо»?
Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так , чтобы 4 буквы «е» не шли подряд?
13. Перестановки с повторениями
При перестановке букв в слове «толпа» получается P5 = 5! = 120 «слов». Если же переставлять буквы в слове «топот», то получится меньше различных «слов», потому что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка двух букв «о» не изменяют «слова»; всего перестановок в данном случае будет . Мы имеем здесь дело с перестановками с повторениями.
Общую задачу сформулируем следующим образом.
Имеется n элементов k различных типов: n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа, …, nk элементов k-го типа, . Сколько можно составить различных перестановок из этих элементов?
Число перестановок c повторениями обозначают 
. Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют n2! перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом 
способами так, что она остаётся неизменной.
Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно
, (11.1) где 
.
Замечание. Отметим, что формула числа сочетаний из n элементов по k элементов совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями из k элементов одного типа и n–k элементов другого типа:
.
Пример 11.1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?
Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем
.
Пример 11.2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?
Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:
.
Пример 11.3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?
Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем
.
Пример 11.4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?
Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим
.
Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить 
способами. Всего получаем 
способа.
11.1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?
Ответ: .
11.2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ: .
11.3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?
Ответ: .
11.4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?
Ответ: .
11.5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?
Ответ: .
11.6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?
Ответ: .
11.7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?
Ответ: .
11.8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?
Ответ: .
11.9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать 
способами. Всего 
способов.
- Главная
- Заказать работу
- Стоимость решения
- Варианты оплаты
- Ответы на вопросы (FAQ)
- Отзывы о нас
- Примеры решения задач
- Методички по математике
- Помощь по всем предметам
- Заработок для студентов
42. Перестановки с повторениями
Четыре цифры 1, 2, 3, 4 можно переставлять друг с другом способами. В слове «мама» четыре буквы. Но перестановок из этих букв можно составить не 24, а только 6:
Чтобы поНЯть, почему так случилось, поставим в сООтветствие цифрам 1 и 2 букву «м», а цифрам 3 и 4 — букву «а». Тогда, например, перестановке 1234 будет соответствовать слово Ммаа, а перестановке 1324 — слово мама. Но слово ммаа соответствует не только перестановке 1234, но и еще трем перестановкам: 2134, 1243 и 2143. Читатель может убедиться в этом прямой подстановкой букв вместо цифр. Но более поучительно такое рассуждение: если цифры 1 и 2 меняются местами, то в соответствующем слове меняются меСТами две буквы «м», а потому само слово остается неизменным. Неизменным оно оСТается и при взаимной переСТановке цифр 3 и 4, — при этом в слове меняются местами две буквы «а». Теперь Ясно, как из любой перестановки получить перестановки, прИВодящие к тому же самому слову: можно либо оставИТь ЭТу перестановку неизменной, либо поменять в ней местами цифры 1 и 2, либо поменять местами цифры 3 и 4, лИБо, наконец, одновременно переставить 1 и 2, а также 3 и 4. Всего получается 4 перестановки цифр, отвечающие одному и тому же слову. Отсюда видно, что все множество из 24 перестановок цИФр 1, 2, 3, 4 распадается на четверки, дающие одно и то же слово. Поэтому число различных слов равно 4!/4 = 6. Вот эти четверки перестановок:
Рассмотрим теперь задачу в общем виде. Пусть Дан Кортеж длины П, составленный из элементов множества 
, причем буква 
входит в ЭТот кортеж 
раз,…, буква 
— 
раз. Тогда 
. Если переставлять в этом кортеже буквы, будут получаться новые кортежи, имеющие тот же состав, т. Е. Такие, что буква входит в них раз,…, буква 
Входит 
раз. Мы будем называть эти кортежи ПеРесТАНовками с повторениями из букв 
, имеющими состав 
. Число таких перестановок Обозначим 
.
С помощью правила произведения находим, что число перемещений букв, не меняющих данную перестановку, равНО 
Но П чисел можно переставлять друг с другом П! способами. Поэтому число различных перестановок букв, имеющих состав 
, т. е. 
, в раз меньше, чем П!:
, (5)
Пользуясь формулой (5), легко узнать, например, сколько различных кортежей получится, если переставлять буквы слова «математика». Это слово имеет состав (2, 3, 2, 1, 1, 1) и потому получается
комбинаторика — Количество слов [закрыт]
Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно получить, переставляя буквы в слове ABRACADABRA так, чтобы никакие две буквы A не стояли рядом?
задан 11 Янв ’23 14:38
fedormipt
77 ● 1 ● 6
100% принятых
(11 Янв ’23 15:01) Rams
Вопрос был закрыт. Причина — «Повтор вопроса». Закрывший — Rams 11 Янв ’23 15:01
1 ответ
Сначала посчитаем количество всех слов, которые можно составить из перестановок букв, исключив все А. Потом заметим, что любое слово без А содержит 6 букв. Нам разрешается вставлять между двумя соседними буквами только одну А. Значит, у нас имеется 7 таких мест (в начало и в конец слово мы также можем поставить букву) для 5 букв A. В итоге получаем следующий ответ:
$$\frac C _ 7 ^ 5 = \frac \frac = 3 * 3 * 2 * 5 * 6 * 7 = 3780$$
отвечен 11 Янв ’23 15:02