Как найти базис корневого подпространства линейного оператора?
Вы нашли (каким-то способом) подпространство K , заданное четырьмя векторами:
v1 = (1,1,1,1) v2 = (-1,0,0,0) v3 = (0,-1,0,0) v4 = (0,0,-1,0) Теперь необходимо найти базис: набор независимых векторов, с помощью которых можно выразить любой вектор из подпространства K .
В данном случае, максимально возможное число независимых векторов — 4, по размерности векторов входящих в подпространство K (у векторов — четыре координаты).
Проверим, является ли набор векторов линейно независимым.
Для этого можно составить матрицу A
1 1 1 1 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0
и посчитать ее определитель:
det(A)=1≠0 который отличен от нуля, а значит вектора — линейно независимы (как и замечено в одном из комментариев) и составляют базис подпространства K . Заметим, что использование определителя для определения ранга матрицы плохое и неоправданное решение в общем случае, особенно если речь идет о предаставлении числе в компьютере с помощью арифметики с плавающей точкой. В этом случае версии QR-разложения (rank-revealing модификация), SVD разложения (а также другие способы) сильно предпочитетельней и с точки зрения надежности, и с точки зрения эффективности.
Теперь, очевидно, что любой вектор из K может быть выражен с помощью базиса , и покрывают R^4 .
Базис можно нормировать (поделить каждый вектор на его длину), однако это необязательно.
4.3.2 Базис и размерность линейных пространств. Координаты вектора
Понятие базиса линейного пространства тесно связано с понятием линейной зависимости векторов. Для векторов линейного пространства вводятся понятия линейной комбинации, линейной зависимости и линейной независимости системы векторов аналогично введенным в векторной алгебре и для столбцов (строк) матрицы. Справедливы также и теоремы о линейной зависимости.
Дадим критерий линейной зависимости и линейной независимости векторов в арифметическом пространстве.
Теорема 1. Векторы 
, 
, … , 
арифметического пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг 
матрицы 
меньше числа векторов 
. Необходимым и достаточным условием их линейной независимости является равенство 
.
Из этой теоремы следует, что векторы
(1)
Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует система из 
линейно независимых векторов, а любая система, составленная из 
векторов, линейно зависима. Обозначается 
.
Таким образом, размерность пространства – это максимальное число, содержащихся в нем линейно независимых векторов. Пространства, имеющие конечную размерность, называются конечномерными. Пространства, в которых можно найти сколько угодно линейно независимых векторов, называются бесконечномерными.
Определение. Любая совокупность из линейно независимых векторов -мерного линейного пространства называется базисом этого пространства.
Отметим, что базис пространства определяется неоднозначно, но все его базисы насчитывают одно и то же число векторов.
Система векторов (1) образует базис арифметического пространства, который называют каноническим базисом.
Следующая теорема демонстрирует фундаментальную роль базиса в представлении векторов наборами чисел (ключевая идея аналитической геометрии, восходящая к Декарту).
Теорема 2. Любой вектор из можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов.
Если векторы 
образуют базис пространства , а 
– любой вектор из , то на основании теоремы
. (2)
Правая часть (2) представляет собой линейную комбинацию векторов 
с коэффициентами 
.
Определение. Коэффициенты линейной комбинации, с помощью которой вектор выражается через базисные векторы, называются координатами относительно этого базиса.
Таким образом, числа в выражении (2) являются координатами вектора относительно базиса .
Координаты вектора относительно выбранного базиса определяются единственным образом.
Так же, как и в векторной алгебре справедлива теорема о том, что линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами.
Итак, если в линейном пространстве выбран базис, то сложение векторов и умножение вектора на число выполняется так же, как и в арифметическом пространстве. При этом между векторами из и векторами из арифметического пространства можно установить взаимно-однозначное соответствие, сопоставив каждому вектору из вектор 
из арифметического пространства. Очевидно, что линейной комбинации векторов из соответствует точно такая же линейная комбинация соответствующих векторов арифметического пространства. Другими словами, произвольное линейное пространство изоморфно арифметическому пространству, откуда следует, что из всех -мерных линейных пространств достаточно изучить одно из них, например, арифметическое. В частности, теорему 1 можно сформулировать для любого линейного пространства :
Теорема 1. Векторы 
линейного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из координат этих векторов относительно какого-нибудь базиса, меньше 
. Необходимым и достаточным условием их линейной независимости является равенство .
Заметим, что фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений является базисом пространства решений этой системы.
Пример 1. Доказать, что векторы 
, 
, 
пространства 
линейно зависимы. Найти коэффициенты линейной комбинации.
Решение. Докажем, что векторы 
линейно зависимы. Для этого найдем ранг матрицы 
:
;
Первая и вторая строки одинаковы, поэтому одну из них можно вычеркнуть. Отсюда следует, что ранг матрицы 
равен 2, так как в матрице есть минор второго порядка 
. Ранг матрицы меньше числа векторов, следовательно векторы линейно зависимы. Это значит, что существуют числа 
, среди которых есть отличные от нуля, такие, что 
. Так как линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами, то 
Можно найти из системы
.
Пунктиром выделен базисный минор. Свободное неизвестное . Находим общее решение системы:
;
– общее решение системы.
Базис пространства решений (фундаментальная система решений) состоит из одного вектора.
Если 
, то 
. Отсюда 
.
Пример 2. Относительно канонического базиса заданы четыре вектора: 
, 
, 
, 
. Образует ли система векторов 
базис линейного пространства ?
Решение. Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг:
.
Ранг матрицы равен 4 и равен количеству векторов. Значит векторы линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в пространстве .
Пример 3. Относительно канонического базиса 
, 
, 
пространства 
даны четыре вектора 
, 
, 
и 
. Доказать, что векторы 
можно принять за базис пространства и найти координаты вектора В этом базисе.
Решение. Составим матрицу из координат векторов . Докажем, что ранг этой матрицы равен 3 или, что то же самое, определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.
.
Ранг матрицы равен 3 и равен числу векторов. Определитель этой матрицы равен 
. Значит векторы можно принять за базис. Как найти координаты вектора В этом базисе?
В базисе 
вектор имеет координаты 
, то есть его разложение по базису имеет вид 
. Нам же нужно получить разложение вектора по базису , то есть
, (3)
Где – координаты в базисе .
Так как векторы даны в базисе , то 
, 
, 
.
Подставим в (3) выражения через :
.
Так как координаты вектора относительно одного и того же базиса определяются единственным образом, то имеем:
Эта система имеет единственное решение, так как
Ее определитель .
Замечание: здесь знак ~ означает, что если выписать системы с полученными матрицами, то они будут эквивалентными.
.
Таким образом, . Подставляя эти значения в систему, в каждом уравнении получим тождество.
Относительно базиса вектор имеет координаты 
, то есть 
. Обобщим результат этой задачи.
- Главная
- Заказать работу
- Стоимость решения
- Варианты оплаты
- Ответы на вопросы (FAQ)
- Отзывы о нас
- Примеры решения задач
- Методички по математике
- Помощь по всем предметам
- Заработок для студентов
VMath
Благодарю Ю.А.Смолькина за обнаружение 07.08.19 ошибки на настоящей странице и информирование о ней.
Линейное пространство
Определения
Пусть дано множество $ \mathbb V_<>=\left\ < X,Y,Z,U,\dots \right\>$ элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения $ X+Y_<> $ и умножения на любое вещественное число $ \alpha_<> $: $ \alpha \cdot X_<> $, и множество $ \mathbb V_<> $ замкнуто относительно этих операций: $ X+Y \in \mathbb V ,\ \alpha \cdot X \in \mathbb V_<> $. Пусть эти операции подчиняются аксиомам:
1. $ X+Y=Y+X_<> $ для $ \ < X,\, Y\>\subset \mathbb V_<> $;
2. $ (X+Y)+Z_<>=X+(Y+Z) $ для $ \ < X,\, Y,\, Z \>\subset \mathbb V_<> $;
3. в $ \mathbb V_<> $ cуществует нулевой вектор $ \mathbb O_<> $ со свойством $ X+ \mathbb O =X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $;
4. для каждого $ X\in \mathbb V_<> $ существует обратный вектор $ X^<\prime>\in \mathbb V_<> $ со свойством $ X+X^<\prime>=\mathbb O_<> $;
5. $ 1\cdot X=X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $;
6. $ \lambda \left(\mu X \right)_<>= \left(\lambda \mu \right)X $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $, $ \ <\lambda ,\, \mu \>\subset \mathbb R_<> $ ;
7. $ (\lambda + \mu)X=\lambda X + \mu X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $, $ \<\lambda ,\, \mu \>\subset \mathbb R_<> $ ;
8. $ \lambda (X + Y) =\lambda X_<> + \lambda Y $ для $ \ < X,\, Y\>\subset \mathbb V_<> , \lambda \in \mathbb R $.
Тогда такое множество $ \mathbb V_<> $ называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из $ \mathbb R_<> $ — последние называются скалярами 1) . Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .
Если в аксиомах 6 — 8 допустить умножение и на комплексные скаляры, то такое линейное пространство называется комплексным. Для упрощения рассуждений в настоящем разделе будут рассматриваться только вещественные пространства.
Линейное пространство является группой относительно операции сложения, причем группой абелевой.
Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору $ X\in \mathbb V_<> $: $ X^<\prime>=-1\cdot X_<> $, его привычно обозначают $ — X_<> $.
Подмножество $ \mathbb V_ $ линейного пространства $ \mathbb V_<> $, само являющееся линейным пространством (т.е. $ \mathbb V_ $ замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства $ \mathbb V_<> $. Тривиальными подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_<> $ называются само $ \mathbb V_<> $ и пространство, состоящее из одного нулевого вектора $ \mathbb O_<> $.
Примеры линейных пространств
Пример 1. Пространство $ \mathbb R^ $ упорядоченных троек вещественных чисел $ (a_1,a_2,a_) $ с операциями, определяемыми равенствами:
$$ (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3),\ \alpha (a_1,a_2,a_3) = ( \alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3 ) \ . $$ Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца $ (a_1,a_2,a_) $. На рисунке показано и типичное подпространство пространства $ \mathbb R^ $: плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами $ \mathbb V_1 $ являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения 2) очевидна.
Исходя из этой геометрической интерпретации, часто говорят о векторе $ X_<> $ произвольного линейного пространства $ \mathbb V_<> $ как о точке пространства $ \mathbb V_<> $. Иногда эту точку называют «концом вектора $ X_<> $». Кроме удобства ассоциативного восприятия, этим словам не придается никакого формального смысла: понятие «конец вектора» отсутствует в аксиоматике линейного пространства.
Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства $ \mathbb V_1 $ (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор» 3) ) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства $ \mathbb R^ $. Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости $ \mathbb V_1 $.
Вообще говоря, с подобными интерпретациями понятия вектора все обстоит не так просто. Попытки аппелировать к его физическому смыслу — как к объекту, имеющему величину и направление — вызывают справедливую отповедь строгих математиков. Определение же вектора как элемента векторного пространства очень напоминает эпизод с сепульками из знаменитого фантастического рассказа Станислава Лема (см. ☞ ЗДЕСЬ ). Не будем зацикливаться на формализме, а исследуем этот нечеткий объект в его частных проявлениях.
Пример 3. Естественным обобщением пространства $ \mathbb R^ $ служит пространство $ \mathbb R_<>^ $ — векторное пространство строк $ (x_1,\dots,x_) $ или столбцов $ (x_1,\dots,x_n)^ $. Один из способов задания подпространства в $ \mathbb R_<>^ $ — задание набора ограничений. Множество решений системы линейных однородных уравнений:
$$ \left\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0,\\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0 \end\right. \iff AX=\mathbb O $$ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R_<>^ $. В самом деле, если $$x_1=\alpha_1,\dots, x_n=\alpha_n $$ — решение системы, то и $$x_1=t \alpha_1,\dots, x_n= t \alpha_n $$ — тоже решение при любом $ t \in \mathbb R $. Если $$x_1=\beta_1,\dots, x_n=\beta_n $$ — еще одно решение системы, то и $$x_1=\alpha_1+\beta_1,\dots,x_n=\alpha_n+\beta_n $$ — тоже будет ее решением.
Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?
Пример 4. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей
$$ (x_1,\dots,x_n, \dots ) \, , $$ обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Подпространство этого пространства образуют, например, линейные рекуррентные последовательности $ \_ $ удовлетворяющие — при произвольных числах $ \ \> \subset \mathbb R $ — линейному однородному разностному уравнению $ n_<> $-го порядка, $$ x_=a_1 x_+ \dots+ a_n x_K \ npu \ K \in \ \ ; $$ здесь числа $ \< a_1,\dots,a_, a_n \ne 0 \> \subset \mathbb R $ считаются фиксированными.
Можно рассматривать строки (последовательности) «бесконечные в обе стороны» $ \< \dots,x_<-2>,x_,x_0,x_1,x_2,\dots \> $ — они используются в ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.
Пример 5. Множество $ m\times n_<> $-матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство $ \mathbb R^ $.
В пространстве квадратных матриц фиксированного порядка каждое из следующих подмножеств составляет линейное подпространство: симметричных, кососимметричных, верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.
Пример 6. Множество полиномов одной переменной $ x_<> $ степени в точности равной $ n_<> $ с коэффициентами из $ \mathbb A_<> $ (где $ \mathbb A_<> $ — любое из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из $ \mathbb A_<> $ не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов
$$ f(x)=x^n -x+1 \quad \mbox < и >\quad g(x)=-x^n+x^-2 $$ не является полиномом $ n_<> $-й степени. Но вот множество полиномов степени не выше $ n_<> $ $$ \mathbb P_n= \left\ < p(x) \in \mathbb A [x] \big| \deg p(x) \le n \right\>$$ линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином 4) . Очевидными подпространствами $ \mathbb P_ $ являются $ \mathbb P_, \mathbb P_1,\dots,\mathbb P_ $. Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше $ n_<> $. Множество всевозможных полиномов
$$ \mathbb P= \bigcup_^ <\infty>\mathbb P_n $$ (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.
Пример 7. Обобщением предыдущего случая будет пространство полиномов нескольких переменных $ x_1,\dots, x_ $ степени не выше $ n_<> $ с коэффициентами из $ \mathbb A_<> $. Например, множество линейных полиномов
$$ \left\< a_1x_1+\dots+a_x_+b \big| (a_1,\dots,a_,b) \in \mathbb A^ \right\> $$ образует линейное пространство. Множество однородных полиномов (форм) степени $ n_<> $ (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.
С точки зрения приведенного в предыдущем пункте определения, множество строк с целочисленными компонентами $$ \mathbb Z^n = \left\< (x_1,\dots,x_n)\ \mid \ \_^n \subset \mathbb Z \right\> \ , $$ рассматриваемое относительно операций покомпонентного сложения и умножения на вещественные скаляры, не является линейным пространством. Тем не менее, все аксиомы 1 — 8 будут выполнены если мы допустим умножение только на целочисленные скаляры. В настоящем разделе мы не будем акцентировать внимание на этом объекте, но он довольно полезен в дискретной математике, например в ☞ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ. Линейные пространства над конечными полями рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.
Изоморфизм
Пусть имеются два линейных пространства разной природы: $ \mathbb V_<> $ с операцией $ +_<> $ и $ \mathbb W_<> $ с операцией $ \boxplus_<> $. Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.
Говорят, что пространства $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $ изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если $ X_<> \leftrightarrow X^ <\prime>$ и $ Y_<> \leftrightarrow Y^ <\prime>$ то $ X+Y \leftrightarrow X_<>^ <\prime>\boxplus Y^ <\prime>$ и $ \lambda X_<> \leftrightarrow \lambda X^ <\prime>$.
При изоморфизме пространств $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $ нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.
Пример. Пространство $ \mathbb R^_<> $ изоморфно пространству $ \mathbb P_^<> $. В самом деле, изоморфизм устанавливается соответствием
$$ [a_1,\dots,a_n] \leftrightarrow a_1+a_2x+\dots + a_nx^ \ .$$
Пример. Пространство $ \mathbb R^ $ вещественных матриц порядка $ m_<>\times n $ изоморфно пространству $ \mathbb R_<>^ $. Изоморфизм устанавливается с помощью операции векторизации матрицы (матрица «вытягивается» в один столбец).
Пример. Пространство квадратичных форм от $ n_<> $ переменных изоморфно пространству симметричных матриц $ n_<> $-го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая $ n=3_<> $:
$$ a_x_1^2+a_x_1x_2+a_x_1x_3+a_x_2^2+a_x_2x_3+a_x_3^2 \leftrightarrow \left( \begin a_ & \fraca_ & \fraca_ \\ \fraca_ & a_ & \fraca_ \\ \fraca_ & \fraca_ & a_ \end \right) \ . $$
Понятие изоморфизма вводится для того, чтобы исследование объектов, возникающих в различных областях алгебры, но с «похожими» свойствами операций, вести на примере одного образца, отрабатывая на нем результаты, которые можно будет потом дешево тиражировать. Какое именно линейное пространство взять «за образец»? — См. концовку следующего пункта.
Линейная зависимость, базис, координаты
Линейной комбинацией системы векторов $ \\> $ называется произвольный вектор $$ \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m $$ при каких-то фиксированных значениях скаляров $ \alpha_, \dots, \alpha_ $.
Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов $ \\> $ $$ \left\< \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m \bigg| \\subset \mathbb R \right\> $$ называется линейной оболочкой векторов $ X_1,\dots,X_ $ и обозначается $ <\mathcal L>(X_1,\dots,X_) $.
Теорема 1. Линейная оболочка векторов $ X_1,\dots,X_ $ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $.
Пример. В пространстве $ \mathbb P_ $ полиномов степеней $ \le n_<> \ge 3 $ линейной оболочкой полиномов $ x,x^2,x^3 $ будет множество полиномов вида $ a_0x^3+a_1x^2+a_2x $, т.е. множество полиномов степеней $ \le 3 $, имеющих корень $ \lambda_<>=0 $. ♦
Система векторов $ \< X_,\dots,X_m \> $ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа $ \alpha_,\dots,\alpha_m $, такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и $$ \alpha_1X_1+\dots+\alpha_mX_m=\mathbb O $$ Если же это равенство возможно только при $ \alpha_=0,\dots,\alpha_m=0 $, то система векторов называется линейно независимой (л.н.з.).
Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы)
$$ f_1=(x_1+x_2+x_3)^2,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ являются линейно зависимыми, поскольку $$ f_1-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$ Полиномы $$ \tilde f_1=x_1+x_2+x_3,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ не являются линейно зависимыми, но являются функционально зависимыми, поскольку $$ \tilde f_1^2-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$ ♦
Теорема 2. а) Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.
б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.
в) При $ m>1 $ система $ \,\dots,X_m\> $ л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее вектор линейно выражается через остальные, т.е. существуют $ j\in \ $ и константы $ \gamma_,\dots,\gamma_, \gamma_,\dots,\gamma_ $ такие, что $$ X_j=\gamma_1X_1+\dots+\gamma_X_+ \gamma_X_+\dots + \gamma_X_ .$$
Теорема 3. Если каждый из векторов системы $ \ < X_1,\dots,X_\> $ линейно выражается через векторы другой системы $ \< B_,\dots,B_k \> $ с меньшим числом векторов: $ kто система $ \< X_,\dots,X_m \> $ будет л.з.
Доказательство аналогично приведенному ☞ ЗДЕСЬ.
Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.
Теорема 4. Системы векторов
$$ \ < X_1,\dots,X_\> \quad \mbox < и >\quad \< Y_,\dots,Y_k \> $$ будут эквивалентными тогда и только тогда когда совпадают линейные оболочки этих систем: $$<\mathcal L>(X_1,\dots,X_m)=<\mathcal L>(Y_1,\dots,Y_k) \ . $$
Теорема 5. Если каждая из двух эквивалентных систем
$$ \ < X_1,\dots,X_\> \quad \mbox < и >\quad \< Y_,\dots,Y_k \> $$ является л.н.з., то эти системы состоят из одинакового числа векторов: $ m=k_<> $ .
Линейно независимая система векторов $ \\>\subset \mathbb V $ называется базисом этого пространства если каждый $ X\in \mathbb V $ можно представить в виде линейной комбинации указанных векторов: $$ X=\sum_ \alpha_j X_j \ . $$
При этом не подразумевается конечность системы, т.е. суммирование может распространяться на бесконечное число слагаемых. Так, например, пространство бесконечных строк (или последовательностей) $ \left[a_,a_2,\dots\, \right] $ имеет бесконечный базис, состоящий из векторов $$ [\underbrace_j,0,\dots \, ] \quad npu \ j \in \mathbb N \ . $$
В случае, когда базис пространства $ \mathbb V_<> $ конечен, пространство $ \mathbb V_<> $ называется конечномерным, а число векторов базиса тогда называется размерностью пространства $ \mathbb V_<> $ и обозначается 5) : $ \dim \mathbb V_<> $. Также полагают, что размерность тривиального пространства, состоящего из одного только нулевого вектора, равна нулю: $ \dim \ <\mathbb O_<>\>= 0 $.
Пример. Линейное пространство $ m\times n_<> $ матриц имеет размерность $ mn_<> $. Так, для случая $ m_<>=3 ,n=2 $ в качестве базиса можно выбрать следующий набор матриц
$$ \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end \right) \ . $$ ♦
Найти размерности подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц порядка $ n_<> $.
Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением
под умножением цвета на положительное число $ k_<> $ — увеличение в $ k_<> $ раз яркости цвета
Анимация ☞ ЗДЕСЬ (1500 K, gif)
под умножением на $ (-1) $ — взятие дополнительного цвета. При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три цвета: красный, зеленый и синий, т.е. образует трехмерное линейное пространство. (Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку яркости цветов ограничены верхним порогом раздражения.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведения. ♦
Если $ \dim \mathbb V=d_<> $ и вектора $ X_1,\dots,X_ $ являются базисными для $ \mathbb V_<> $, то разложение вектора $ X \in \mathbb V_<> $ в сумму: $$ X=\alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_d X_d \ .$$ называется разложением вектора $ X_<> $ по базису $ X_1,\dots,X_ $; при этом числа $ \alpha_1,\dots, \alpha_ $ называются координатами вектора $ X_<> $ в данном базисе.
Теорема 6. Если $ \dim \mathbb V=d>0 $, то любая система из $ d_<> $ линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства.
Доказательство. Пусть $ \ $ — л.н.з. система. Рассмотрим произвольный $ X\in \mathbb V_<> $. Если система $ \ $ л.н.з., то $ \dim \mathbb V \ge d+1 $, что противоречит условию теоремы. Следовательно, система линейно зависима: $ \alpha_0X+\alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O $ при каком-то из чисел $ \_^ $ не равном нулю. Если $ \alpha_0=0 $, то $ \alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O $ при каком-то ненулевом коэффициенте. Это означает, что система $ \ $ линейно зависима, что противоречит предположению. Следовательно $ \alpha_0\ne 0 $, но тогда вектор $ X_<> $ может быть представлен в виде линейной комбинации векторов $ Y_1,\dots,Y_d $: $$X=- / Y_1-\dots -/Y_d \ .$$ По определению, система $ \ $ является базисом $ \mathbb V $. ♦
Теорема 7. Любой вектор $ X \in \mathbb V_<> $ может быть разложен по фиксированному базису пространства единственным образом.
Очевидно, $ \dim \mathbb R^ = n $: строки из $ n_<> $ элементов $$[1,0,0,\dots,0],\ [0,1,0,\dots,0],\ [0,0,1,\dots,0],\ \dots , [0,0,0,\dots,1] $$ образуют базис этого пространства.
Имеются два способа задания линейных подпространств в $ \mathbb R^_<> $. Пусть $$ \mathbb V_1 = <\mathcal L>(A_1,\dots,A_k) \quad npu \ \ \subset \mathbb R^n \ .$$ В разделе ☞ РАНГ установлено, что $$ \dim \mathbb V_1 = \operatorname \ < A_1,\dots,A_k \>= \operatorname (A) \ ,$$ где $ A_<> $ — матрица, составленная из строк (столбцов) $ A_,\dots,A_k $.
Пример. Найти базис подпространства
Решение. Ищем $$ \operatorname \left( \begin 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1&0&-1&0 \\ -1& 2 &-1 &1 \\ 0& 1& 0 & 1 \end \right) $$ по методу окаймляющих миноров. Существует минор третьего порядка $$ \left| \begin 1 & 2 & 1 \\ -1&0&0 \\ 0& 1 & 1 \end \right| $$ отличный от нуля, а определитель самой матрицы равен нулю. Замечаем, что найденный отличный от нуля минор расположен в первой, второй и четвертой строках матрицы. Именно эти строки и образуют базис.
Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.
Другим способом задания линейного подпространства в $ \mathbb R^ $ может служить задание набора ограничений, которым должны удовлетворять векторы подпространства. Таким набором ограничений может являться, например, система уравнений $$ \left\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0,\\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0 \end\right. \qquad \iff \qquad AX=\mathbb O . $$ Какова размерность подпространства решений этой системы? На этот вопрос мы ответим сразу же, если вспомним определение фундаментальной системы решений (ФСР). Именно, ФСР — как набор линейно независимых решений, через которые линейно выражается любое решение системы однородных уравнений — является базисом подпространства этих решений.
Теорема 8. Множество решений системы однородных уравнений $ AX=\mathbb O_<> $ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R^ $. Размерность этого подпространства равна $ n-\operatorname (A) $, а фундаментальная система решений образует его базис.
Пример. В пространстве $ \mathbb P_ $ полиномов степеней $ \le n_<> $ каноническим базисом можно взять систему мономов $ \ $, т.е. $ \dim \mathbb P_ =n+1 $. Координатами полинома
$$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n $$ будут его коэффициенты. Можно выбрать и другой базис, например, $ \ $ при произвольном числе $ c_<> $. Координатами полинома в этом базисе будут теперь коэффициенты формулы Тейлора: $$ f(x) \equiv f(c)+ \frac
Найти координаты полинома
Теорема 9. Любое векторное пространство $ \mathbb V_<> $ размерности $ d_<> $ изоморфно $ \mathbb R^ $.
Доказательство. Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если $ \ $ — какой-то базис $ \mathbb V_<> $, то вектору $ X \in \mathbb V $ поставим в соответствие набор его координат в этом базисе: $$ X=x_1X_1+\dots+x_d X_d \ \Rightarrow \ X \mapsto [x_1,\dots,x_d]\in \mathbb R^d . $$ На основании теоремы $ 6 $, такое соответствие будет взаимно-однозначным, а проверка двух свойств изоморфизма тривиальна. ♦
Последний результат позволяет свести исследование свойств произвольного линейного пространства $ \mathbb V_<> $ к исследованию свойств пространства $ \mathbb R^
Критерии линейной зависимости
Теорема . Строки
$$ \<(a_,\dots,a_),\dots, (a_,\dots,a_)\> \subset \mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \left|\begin a_&\dots & a_ \\ \dots & & \dots \\ a_& \dots & a_ \end \right|=0 \, . $$
Теорема . Строки
$$ \<(a_,\dots,a_),\dots, (a_,\dots,a_)\> \subset \mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \operatorname A a_&\dots & a_ \\ \dots & & \dots \\ a_& \dots & a_ \end \right) \, . $$
$$ \<(a_<11>,\dots,a_),\dots, (a_,\dots,a_)\> \subset \mathbb R^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \det (A^ A) = 0 \, . $$ (Определитель в левой части можно интерпретировать как определитель Грама системы строк.)
Теорема . Аналитические на интервале $ ]a,b[ $ функции $ u_1(x),\dots,u_n(x) $ линейно зависимы на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда их вронскиан
Относительный базис
В настоящем пункте $ \mathbb V_1 $ обозначает линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $, отличное от тривиального; обозначаем $ d_1=\dim \mathbb V_1 $.
Теорема. Произвольный базис подпространства $ \mathbb V_1 $ можно дополнить до базиса пространства $ \mathbb V_<> $.
Доказательство. Пусть $ \ \> $ — какой-то базис $ \mathbb V_1 $. В пространстве $ \mathbb V_<> $ найдется вектор $ X_ $ такой, что система $ \, X_\> $ будет л.н.з. (В противном случае, $ \dim \mathbb V=d_1 $, что противоречит условию настоящего пункта.) Если $ d_1+1=d = \dim \mathbb V $, то, на основании теоремы 5 предыдущего пункта, требуемый базис построен. Если же $ d_1+1 $ найдется вектор $ X_ $ такой, что система $ \, X_,X_ \> $ будет л.н.з. И т.д. Процесс закончится за конечное число шагов. ♦
Говорят, что система векторов $ \ $ линейно независима относительно подпространства $ \mathbb V_1 $ пространства $ \mathbb V_<> $ если $$<.>_<> \mbox < из условия >\quad \alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \in \mathbb V_1 \quad \mbox < следует >\quad \alpha_1=\dots=\alpha_k=0 \ .$$
Теорема. Обозначим $ \\> $ — произвольный базис $ \mathbb V_1 $. Система $ \,\dots,X_k\> $ л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \,X_1,\dots,X_k\> $ линейно независима.
Пример. Найти все значения параметра $ \alpha > $, при которых система
Решение. Базисом подпространства $ \mathbb V_1 $ является произвольная ФСР заданной системы однородных уравнений, например $ \>,\ Y_2=[6,-5,0,1]^>\> $. Теорема утверждает, что система $ \ < X_1, X_2\>$ л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \ < X_1, X_2,Y_1,Y_2\>$ л.н.з. (в обычном понимании). Последнее равносильно тому, что матрица, составленная из этих векторов, должна иметь ранг равный $ 4_<> $. $$\operatorname \left( \begin 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & \ \alpha > & 2 & -5 \\ \alpha > & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end \right)=4 \ \iff \ \left| \begin 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & \alpha > & 2 & -5 \\ \alpha > & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end \right|= \alpha >^2-10\, \alpha > +16 \ne 0 \ . $$
Ответ. $ \alpha >\not \in \ < 2,\, 8\>$.
Говорят, что система векторов $ \ $ образует базис пространства $ \mathbb V_<> $ относительно (или над) $ \mathbb V_1 $ если она л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ и любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ можно представить в виде $$ X=c_1X_1+\dots+c_kX_k+Y, \quad \mbox < где >\quad Y\in \mathbb V_1 \ . $$
Теорема. Обозначим $ \ < Y_1,\dots,Y_\> $ — произвольный базис подпространства $ \mathbb V_1 $. Система $ \ $ образует базис $ \mathbb V_<> $ относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \ < X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_\> $ образует базис $ \mathbb V_<> $.
Доказательство. Действительно, любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ выражается через векторы $ X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_ $. По предыдущей теореме для линейной независимости этих векторов необходимо и достаточно относительной линейной независимости $ X_1,\dots,X_k $. ♦
Базис $ \mathbb V_<> $ строится дополнением базиса $ \mathbb V_1 $ векторами $ X_1,\dots,X_k $ линейно независимыми относительно $ \mathbb V_1 $. Поэтому
Это число называется коразмерностью 6) подпространства $ \mathbb V_1 $ в пространстве $ \mathbb V $.
Сумма и пересечение линейных подпространств
Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_<> $. Множество $$ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 = \left\$$ называется суммой, а множество $$ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 = \left\$$ — пересечением подпространств $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $. Аналогично определяется сумма и пересечение произвольного количества подпространств.
Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.
Как правило, $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 \ne \mathbb V _1 \cup \mathbb V_2 $.
Теорема. $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ и $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ являются подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_<> $.
Докажите, что $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ — это подпространство минимальной размерности, содержащее как $ \mathbb V_1 $, так и $ \mathbb V_2 $.
Понятие суммы линейных подпространств является частным случаем суммы Минковского двух произвольных подмножеств $ \mathbb A_1 $ и $ \mathbb A_2 $ линейного пространства: $$ \mathbb A_1 + \mathbb A_2 = \ < X+Y \ \mid \ X \in \mathbb A_1, Y \in \mathbb A_2 \>. $$ Для подмножеств $ \mathbb A_1=\ < [1,0], [0,1], [0,-1] \>$ и $ \mathbb A_2=\ < [0,0], [1,1] \>$ пространства $ \mathbb R^2 $ имеем: $$ \mathbb A_1 + \mathbb A_2 = \ < [1,0], [0,1], [0,-1], [2,1], [1,2] \>\, . $$
Теорема. Имеет место формула:
$$ \dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ . $$
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Можно ли обобщить этот результат на случай трех (и более подпространств)? Cправедлив ли, к примеру, аналог формулы включений-исключений в следующем виде:
$$\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2 + \dim \, \mathbb V_3 — $$ $$ -\left\ + $$ $$+ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) =\dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2 + \mathbb V_3) \ ?$$
Теорема. Имеет место формула:
Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения
$$\mathbb V_1=<\mathcal L>\left( \left[ \begin 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 1 \\ 2 \end \right] , \left[ \begin -2 \\0 \\ 1 \\ 1 \end \right] \right) \quad \mbox < и >\quad \mathbb V_2=<\mathcal L>\left( \left[ \begin -1 \\3 \\ 2 \\ -1 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 0 \\ -1 \end \right] \right) $$
Решение. Действуя согласно предыдущей теореме, составляем матрицу из всех векторов $$ \left( \begin 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & -1 & -1 \end \right) $$ и ищем ее ранг методом окаймляющих миноров. Имеем: $ \operatorname = 3 $ при ненулевом миноре матрицы расположенном в первых трех ее столбцах.
Ответ. Базис $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ составляют векторы $ X_1,X_2,X_3 $; $ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) = 3+2 — 3 =2 $.
Алгоритм нахождения базиса $ <\mathcal L>(X_1,\dots,X_m) \cap <\mathcal L>(Y_1,\dots,Y_) $ проиллюстрируем на примере.
Пример. Найти базис $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ при
$$ \begin \mathbb V_1= <\mathcal L>\left( \left[ \begin 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end \right] \right) \\ <>_<> \qquad \qquad \quad X_1 \quad \quad \ X_2 \quad \quad X_3 \end ,\ \begin \mathbb V_2= <\mathcal L>\left( \left[ \begin 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end \right] \right) \\ <>_<> \quad \qquad \qquad Y_1 \qquad \ Y_2 \quad \quad Y_3 \end \ . $$
Решение. 1. Сначала найдем базисы каждого из подпространств: $$\dim \mathbb V_1=2, \ \mathbb V_1=\mathcal L(X_1, X_2) \ ; \ \dim \mathbb V_2=3,\ \mathbb V_2=\mathcal L(Y_1, Y_2, Y_3) \ . $$
2. Произвольный вектор $ Z\in \mathbb R^5 $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $, должен раскладываться по базису каждого из подпространств: $$Z=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2= \beta_1 Y_1 + \beta_2 Y_2 + \beta_3 Y_3 \ .$$ Для определения неизвестных значений координат составляем систему уравнений $$ \begin \qquad X_1 \ X_2 \\ \qquad \downarrow> \ \ \ \downarrow> \\ \left( \begin 1 & 1 & -1 & &-1 & & \ 0 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & 0 & & 0 & & \ -1 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & -1 & & -1 & &\ 0 \end \right) \\ \qquad \qquad \qquad \uparrow> \qquad \ \ \uparrow> \qquad \quad \uparrow> \\ \quad \qquad \qquad -Y_1 \quad — Y_2 \quad -Y_3 \end \left( \begin \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end \right)= \mathbb O_ $$ и решаем ее по методу Гаусса с нахождением фундаментальной системы решений: $$ \left( \begin 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \left( \begin \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end \right)= \mathbb O \quad \Rightarrow \qquad \mbox < ФСР >\qquad \begin
3. Получившиеся значения координат позволяют выразить базис пересечения — либо через базис подпространства $ \mathbb V_1 $ (если использовать полученные значения для $ \alpha_1,\alpha_2 $), либо через базис подпространства $ \mathbb V_2 $ (если использовать $ \beta_1,\beta_2, \beta_3 $). Например, $$ Z_1=-1/3 X_1 + 1/3 X_2 = [0,1,0,1,0]^>,\ $$ $$ Z_2=1/3 X_1 + 2/3 X_2 = [1,1,1,1,1]^> \ . $$
Найти базисы суммы и пересечения подпространств
Решение ☞ ЗДЕСЬ.
Прямая сумма линейных подпространств
Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_<> $. Говорят, что $ \mathbb V_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ если любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ может быть представлен в виде $ X=X_1+X_2 $, где $ X_1\in \mathbb V_1,X_2\in \mathbb V_2 $ и такое представление единственно. Этот факт записывают: $ \mathbb V= \mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2 $. Вектор $ X_ $ называется проекцией вектора $ X_<> $ на подпространство $ \mathbb V_1 $ параллельно подпространству $ \mathbb V_ $.
Пример. Линейное пространство квадратных матриц порядка $ n_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц. В самом деле, для матрицы $ A_ $ справедливо разложение
$$A=\frac \left(A+A^ \right) + \frac \left(A-A^ \right) $$ и в правой части первая скобка дает симметричную матрицу, а вторая — кососимметричную. Покажите, что не существует иного разложения матрицы $ A_<> $ в сумму симметричной и кососимметричной.
Теорема. Пусть $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $. Эта сумма будет прямой тогда и только тогда, когда подпространства $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ имеют тривиальное пересечение:
$$\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>\ .$$
Доказательство. Необходимость. Пусть сумма $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ — прямая, но существует вектор $ X\ne \mathbb O $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Но тогда и вектор $ (-X) $ принадлежит $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Для нулевого вектора $ \mathbb O $ получаем два представления в виде суммы проекций на подпространства: $$ \mathbb O = \mathbb O + \mathbb O = X+ (-X) \, . $$ Это противоречит понятию прямой суммы.
Достаточность. Если $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>$, но существует вектор $ X \in \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $, имеющий два различных разложения в сумму проекций $$ X=X_1+X_2 =Y_1+ Y_2 \quad npu \quad \ \subset \mathbb V_1, \ \ \subset \mathbb V_2, $$ то $$ (X_1-Y_1)+(X_2-Y_2) =\mathbb O \quad \Rightarrow \quad X_1-Y_1=Y_2-X_2 \, , $$ т.е. вектор $ X_1-Y_1 $ принадлежит $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Но, по предположению, $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>$, следовательно, $ X_1-Y_1=\mathbb O $, но тогда и $ Y_2-X_2=\mathbb O $. ♦
Сумма $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ будет прямой тогда и только тогда, когда базис $ \mathbb V_<> $ может быть получен объединением базисов $ \mathbb V_ $.
Сформулированное таким образом утверждение содержится во многих учебниках по линейной алгебре. Тем не менее, с формальной точки зрения, оно неверно. В самом деле, пусть $ \mathbb V_1 = <\mathcal L>(X_1,X_2),\, \mathbb V_2 = <\mathcal L>(X_2,X_3) $ при линейно независимых $ X_1,X_2,X_3 $. Очевидно базис $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 =<\mathcal L>(X_1,X_2,X_3) $ получается объединением базисов $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $. В то же время $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2\ne \ <\mathbb O \>$. Причина возникновения этой ошибки кроется в содержании термина «объединение базисов». С точки зрения терминологии теории множеств, во множестве не могут содержаться одинаковые элементы (во множестве они неразличимы). Однако мы с самого начала изложения допустили, что в систему векторов могут входить одинаковые, которые различаются порядком своего расположения (хотя это особо и не подчеркивалось, векторы в системе всегда пронумерованы). Исходя из этих соображений, объединение базисов $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ будет пониматься 8) в настоящем пункте (и кое-где далее) как система векторов, в которую входят последовательно векторы базисов $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — с допуском дублей. В рамках такой договоренности, для приведенного примера получим: объединение базисов линейных подпространств $ <\mathcal L>(X_1,X_2) $ и $ <\mathcal L>(X_2,X_3) $ представляет систему $ \ $, которая, очевидно, не является базисом. Таким образом сумма $ <\mathcal L>(X_1,X_2)+<\mathcal L>(X_2,X_3) $ не является прямой, и результат следствия остается справедливым.
Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств
$$\mathbb V_1=<\mathcal L>\left( \left[ \begin 2 \\3 \\ 11 \\ 5 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 5 \\ 2 \end \right] , \left[ \begin 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end \right] \right) \quad \mbox < и >\quad \mathbb V_2=<\mathcal L>\left( \left[ \begin 2 \\1 \\ 3 \\ 2 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 3 \\ 4 \end \right] , \left[ \begin 5 \\2 \\ 6 \\ 2 \end \right] \right) $$ будет прямой и найти проекции вектора $ Z=[2,0,0,3]^ $ на эти подпространства.
Решение. Базисы $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ составляют соответственно системы $ \ $ и $ \ < Y_1,Y_2 \>$, т.е. $ \dim \, \mathbb V_1=\dim \, \mathbb V_2 =2 $. На основании следствия достаточно установить, что объединенная система $ \ $ л.н.з. Для этого достаточно проверить, что определитель матрицы $$ A=\left( \begin 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end \right) $$ отличен от нуля. Поскольку это условие выполнено, то сумма $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ — прямая и базис этой суммы состоит из взятых векторов. Для нахождения разложения вектора $ X_<> $ по этому базису решаем систему уравнений $$A \left[ \begin \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end \right] = Z $$ и получаем единственное решение: $ \alpha_2=-1,\, \alpha_3=-1,\, \beta_1 =1\, , \beta_2=1 $. Разложение $ Z=Z_1+Z_2 $ составляют векторы $ Z_1=\alpha_2 X_2+\alpha_3 X_3 $ и $ Z_2=\beta_1 Y_1+\beta_2 Y_2 $.
Линейные многообразия
Пусть $ \mathbb V_1 $ — линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $, а $ X_ $ — произвольный фиксированный вектор из $ \mathbb V_<> $. Множество $$ \mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 = \left\ $$ называется линейным многообразием (порожденным подпространством $ \mathbb V_1 $). Размерностью этого многообразия называется размерность порождающего его подпространства: $ \dim \mathbb M = \dim \mathbb V_1 $. В случае $ 1 < \dim \mathbb M = k < \dim \mathbb V $ о многообразии $ \mathbb M $ говорят как о k-мерной плоскости (или гиперплоскости), а при $ k=1 $ — как о прямой.
Образно говоря, многообразие — это сдвиг порождающего его линейного подпространства.
Пример. Множество полиномов вида
$$ f(x)= a_0x^3+a_1x^2+a_2x+1 \in \mathbb R[x] \, , $$ т.е. таких, что $ \deg f \le 3, f(0)=1 $ образует линейное многообразие, порожденное линейным подпространством полиномов $ \ < x(a_0x^2+a_1x+a_2) \mid (a_0,a_1,a_2) \in \mathbb R^3 \>$.
Пересечение многообразий определяется традиционным способом, а сумма многообразий не определяется. Будем называть многообразия, порожденные одним и тем же подпространством $$ \mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 \quad u \quad \widetilde <\mathbb M>= \widetilde X_0+ \mathbb V_1 \ , $$ параллельными многообразиями.
Пример. Множество столбцов пространства $ \mathbb R^ $, удовлетворяющих системе уравнений
$ \
а $ \mathfrak r= \operatorname A= \operatorname [A\mid \mathcal B] $.
Получаем, следовательно, $ (n-<\mathfrak r>) $-мерную плоскость в $ \mathbb R^n $, a в случае $ (n-<\mathfrak r>)=1 $ — прямую $$\mathbb M=X_0+tX_1 \quad npu \ t \in \mathbb R \ ; $$ в последнем случае вектор $ X_ $ называют направляющим вектором этой прямой.
Некоторые задачи на линейные многообразия ☞ ЗДЕСЬ.
Факторпространство
Преобразование координат при замене базиса
Пусть $ \mathbb V_<> $ — линейное пространство размерности $ n_<> $, пусть $$ \ \quad u \quad \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n\>$$ — два произвольных его базиса («старый» и «новый»).
Задача. Вывести соотношения, связывающие координаты произвольного вектора $ X\in \mathbb V_<> $ в старом и новом базисах: $$X=x_1X_1+\dots+x_nX_n=<\mathfrak x>_1<\mathfrak X>_1+\dots+<\mathfrak x>_n<\mathfrak X>_n \ .$$
Предположим, что нам известны координаты векторов нового базиса в старом: $$ \left\< \begin <\mathfrak X>_1&=&c_X_1+c_X_2+\dots+c_X_n, \\ <\mathfrak X>_2&=&c_X_1+c_X_2+\dots+c_X_n, \\ \dots& & \dots \\ <\mathfrak X>_n&=&c_X_1+c_X_2+\dots+c_X_n. \end \right. $$ Матрица $$ C=\left( \begin c_ & c_ & \dots & c_ \\ c_ & c_ & \dots & c_ \\ \dots & & & \dots \\ c_ & c_ & \dots & c_ \\ \end \right), $$ по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе называется матрицей перехода от старого базиса к новому, а также — ввиду одного из приведенных ниже результатов — матрицей преобразования координат.
Доказательство. Cначала покажем справедливость утверждения в частном случае $ \mathbb V=\mathbb R^n $. Вектора нового и старого базисов являются столбцами из $ n $ вещественных чисел, и равенства, задающие элементы матрицы $ C_<> $, можно переписать в матричном виде: $$ \left[<\mathfrak X>_1|\dots|<\mathfrak X>_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \ . $$ Здесь $ | $ означает конкатенацию. Поскольку системы $ \ $ и $ \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n\> $ — базисные, то $$\det \left[X_1|\dots |X_n\right] \ne 0, \quad \det \left[<\mathfrak X>_1|\dots |<\mathfrak X>_n\right] \ne 0 \ .$$ Из последнего матричного равенства (и теоремы Бине-Коши ) тогда следует, что $ \det C\ne 0 $.
Теперь докажем теорему для случая произвольного пространства. Если $ \det C= 0 $, то столбцы матрицы $ C_<> $ линейно зависимы (см. ☞ ЗДЕСЬ ), т.е. существует линейная комбинация $$\alpha_1 c_+ \dots+\alpha_n c_=0 \quad npu \quad \forall j\in \ $$ и при некотором $ \alpha_k\ne 0 $. Но тогда из формул $$ \left\< \begin <\mathfrak X>_1&=&c_X_1+c_X_2+\dots+c_X_n, \\ <\mathfrak X>_2&=&c_X_1+c_X_2+\dots+c_X_n, \\ \dots& & \dots \\ <\mathfrak X>_n&=&c_X_1+c_X_2+\dots+c_X_n. \end \right. $$ следует, что $$\alpha_1 <\mathfrak X>_1+ \dots+\alpha_n <\mathfrak X>_n=\mathbb O \ ,$$ что противоречит линейной независимости системы $ \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n\> $. ♦
Пример. Найти матрицу перехода
| от базиса | к базису |
|---|---|
| $ \left[1,1,0,0,0\right] $ | $ \left[1,1,1,1,1\right] $ |
| $ \left[1,0,1,0,0\right] $ | $ \left[1,1,1,1,0\right] $ |
| $ \left[1,0,0,1,0\right] $ | $ \left[1,1,1,0,0\right] $ |
| $ \left[1,0,0,0,1\right] $ | $ \left[1,1,0,0,0\right] $ |
| $ \left[1,1,1,1,1\right] $ | $ \left[1,0,0,0,0\right] $ |
Решение. Можно попытаться найти элементы матрицы $ C_<> $ напрямую — устанавливая формулы связи между строками. В нашем конкретном примере это не очень трудно сделать — первый и четвертый столбцы матрицы $ C_<> $ вообще очевидны поскольку $ <\mathfrak X>_1 = X_5,\, <\mathfrak X>_4 = X_1 $. Но мы пойдем по формальному пути и воспользуемся определяющим матричным соотношением, которое мы получили при доказательстве предыдущей теоремы. Поставим координаты базисных векторов по столбцам соответствующих матриц: $$ \left[<\mathfrak X>_1|\dots|<\mathfrak X>_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ C= \left[X_1|\dots|X_n\right]^ \cdot \left[<\mathfrak X>_1|\dots|<\mathfrak X>_n\right] \ . $$ В нашем примере имеем: $$ C= \left( \begin 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end \right)^ \left( \begin 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)= $$ $$ =\frac \left( \begin 1 & 2 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end \right) \left( \begin 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) = $$ $$ =\left( \begin 0 & 1/3 & 2/3 & 1 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & 2/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & -2/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 1 & 2/3 & 1/3 & 0 & -1/3 \end \right) . $$ ♦
Теорема. Координаты вектора в старом и новом базисах связаны посредством матрицы перехода $ C_<> $ соотношениями
Практическое значение последнего результата невелико, т.к. нас интересуют именно новые координаты.
Новые координаты выражаются через старые по формуле
$$ \left( \begin <\mathfrak x>_1 \\ <\mathfrak x>_2 \\ \vdots \\ <\mathfrak x>_n \end \right) =C^ \left( \begin x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end \right), $$ при этом матрицу $ C^ $ можно интерпретировать как матрицу перехода от нового базиса к старому.
Пусть в некотором «новейшем» базисе $ \< <\mathcal X>_1,\dots,<\mathcal X>_n \> $ пространства $ \mathbb V_<> $ вектор $ X_<> $ имеет координаты $ (\varkappa_1,\dots,\varkappa_n) $. Как они связаны с координатами $ (x_,\dots,x_n) $ в старом базисе $ \ $, если известны матрица $ C_<> $ перехода от этого базиса к базису $ \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n \> $ и матрица $ D_<> $ перехода от базиса $ \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n \> $ к базису $ \<<\mathcal X>_1,\dots,<\mathcal X>_n \> $ ?
Евклидовы пространства
— как линейные пространства, в которых вводится понятия угла и расстояния между векторами — рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.
Нормированные пространства
— как линейные пространства, в которых вводится понятие расстояния между векторами — рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.
Примеры решений. Линейные пространства
В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач о линейных пространствах по темам: проверка линейности подпространства, базис пространства и подпространства, ортогональное подпространство, размерность.
Понравилось? Добавьте в закладки
Решения задач: линейные пространства
Задача 1. Образует ли линейное подпространство пространства $R^4$ множество $V$, заданное по правилу:
Задача 2. Даны векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ и $a$ в стандартном базисе пространства $R^4$.
Требуется:
а) убедиться, что векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ образуют базис пространства $R^4$;
б) найти разложение вектора $a$ по этому базису;
в) найти угол между векторами $e_1$ и $e_2$.
Задача 3.Найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L^<\perp>$
Задача 4. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства $V_3$ :
1) радиус-векторы точек данной плоскости;
2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором $\overline$ угол $\alpha$;
3) множество векторов, удовлетворяющих условию $|\overline|=1$ .
Задача 5. Пусть $L$ — множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию $p(1)+p'(1)+p»(1)=0$. Доказать, что $L$ — линейное подпространство в пространстве $P_2$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Задача 6. Образуют ли многочлены $p_1(x)=x^3+x^2-1$, $p_2(x)=x^2-2x$, $p_3(x)=x^3+x$, $p_4(x)=x^2-3$ базис в пространстве $P_3$?
Задача 7. Доказать, что матрицы вида $$ \begin 2a & a+3b-2c\\ b & 5c\\ \end $$ образуют линейное подпространство в пространстве матриц $M_$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.