Найдите все пифагоровы тройки, в которых все числа находятся в диапазоне [1; 5000] [закрыт]
Учебные задания допустимы в качестве вопросов только при условии, что вы пытались решить их самостоятельно перед тем, как задать вопрос. Пожалуйста, отредактируйте вопрос и укажите, что именно вызвало у вас трудности при решении задачи. Например, приведите код, который вы написали, пытаясь решить задачу
Закрыт 2 года назад .
Это сообщение было исправлено и отправлено на проверку 2 года назад , но повторное открытие сообщения провалилось:
Исходные причины закрытия не были исправлены
Пифагоровой тройка назовём тройку чисел (a, b, c), такую что a ≤ b ≤ с и a 2 +b 2 =c 2 . Найдите все пифагоровы тройки, в которых все числа находятся в диапазоне [1; 5000]. Запишите в ответе количество подходящих троек, а затем – значение c для тройки, в которой сумма a+b+c максимальна. Помогите пожалуйста, код нужен на python, в ответе к заданию (5681 4988)
k = 0 for m in range(1, 5000+1): if (a < 5000) and (a ** 2 + b ** 2 == c ** 2): print(a,b,c) k += 1 print(k) Отслеживать
задан 5 дек 2021 в 11:52
17 1 1 серебряный знак 6 6 бронзовых знаков
А чем помочь? Про цикл for и сами можете прочитать.
5 дек 2021 в 11:59
Сейчас отредактирую вопрос и сами все увидите, я пытался делать не получается, даже сначала делал до 1000 чтобы он мне хотя бы вывел это количество пифагоровых троек, до 1000 их вроде 179 точно уже не помню, ну так вот код даже так не правильно выводит, поэтому сюда и написал
5 дек 2021 в 12:03
Не, картинки никто смотреть не будет, код вставляйте текстом.
5 дек 2021 в 12:04
все, добавил код вот смотрите, кстати еще там по заданию нужно еще вывести максимальное значение с максимальной пифагоровой тройки, получается просто через функцию ( max() ) сделать или как?
5 дек 2021 в 12:11
Что-то я не очень понимаю, какое отношение имеет этот код к этой постановке задачи
5 дек 2021 в 12:33
3 ответа 3
Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию
Ну, я написал код, но пока вам его не покажу - это всё-таки учебное задание. Но дам подсказки:
- перебирайте в цикле a в указанном вам диапазоне [1,5000]
- перебирайте в цикле b , учитывая, что оно тоже должно быть в диапазоне [1,5000] и кроме того, что a
- c перебирать не нужно, его можно вычислить зная a и b из уравнения, которое вам дано
- вычисленное c нужно проверить на попадание в диапазон и на то, что получилось вообще целое число
- если c получилось подходящее - увеличивайте счётчик, кроме того, сравните получающееся a+b+c с ранее запомненным значением (сначала запомните 0, как и в счётчик), если оно больше - запомните его и запомните c
- после окончания циклов выведите значение счётчика и запомненного c
Вышеуказанные два вложенных цикла + логика внутри них работают 8 секунд в Google Colab, этого вполне достаточно, чтобы дальше код можно было особо не оптимизировать.
Вот если бы было три вложенных цикла по 5000 значений, то это бы работало конкретно долго.
P.S. Ответ у меня сошёлся с указанным в задании.
Ну раз GrAnd выложил код, добавлю и я свой. Он прям "в лоб" написан, без особых оптимизаций, разве что из цикла я вынес a ** 2 и перебор b прерываю, если c вышло из диапазона. В функцию вынесено, чтобы можно было при желании обернуть в numba.njit :
def find(): count = 0 max3 = 0 max_c = 0 for a in range(1, 5001): a2 = a * a for b in range(a, 5001): b2 = b * b c = (a2 + b2) ** 0.5 if c > 5000: break if c == int(c): count += 1 if a+b+c > max3: max3 = a+b+c max_c = c return count, int(max_c) print(find()) Как найти все пифагоровы тройки включающие число
Переход. Второй способ решения.
Блок-схема
2. Найти количество пифагоровых троек не превышающих числа n. n вводится с клавиатуры.
| Переход Блок-схема |
3. Вывести на экран двузначные примитивные пифагоровы тройки.
| Переход Блок-схема |
4. Найти количество трехзначных примитивных пифагоровых троек.
| Переход Блок-схема |
1(1). Составить программу, которая находит все пифагоровы тройки, не превышающих 20.
Первый способ решения. Сортировка по возрастанию первого числа.
Ответ:
3 4 5 - пифагоровы
5 12 13 - пифагоровы
6 8 10 - пифагоровы
8 15 17 - пифагоровы
9 12 15 - пифагоровы
12 16 20 - пифагоровы
-
begin
- Установить способы получения пифагоровых чисел.
- Изучить свойства примитивных пифагоровых троек, составить их таблицу.
- Изучить материал, связанный с теоремой Ферма и попытками ученых всего мира доказать ее.
- Выявить практическое применение пифагоровых троек.
a1:=SQR(a);
for b:=a to 20 do a, чтобы убрать повторяющиеся тройки чисел>
-
begin
b1:=SQR(b);
for c:=1 to 20 do
-
begin
c1:=SQR(c);
if c1=a1+b1 then writeln (a:5,b:5,c:5,' - пифагоровы');
end;
Наверх
Блок-схема
1(2). Составить программу, которая находит все пифагоровы тройки, не превышающих 20.
Второй способ решения. Сортировка по возрастанию первого числа.
Ответ:
3 4 5 - пифагоровы
5 12 13 - пифагоровы
6 8 10 - пифагоровы
8 15 17 - пифагоровы
9 12 15 - пифагоровы
12 16 20 - пифагоровы
-
for b:=a to n do
-
begin
cc:=a*a+b*b;
c:=1;
while (c*c
end;
Наверх
Блок-схема
1(3). Составить программу, которая находит все пифагоровы тройки, не превышающих 20.
Третий способ решения.
Ответ:
3 4 5
5 12 13
6 8 10
8 15 17
9 12 15
12 16 20
-
for y:=x to 20 do
-
for z:=y to 20 do
-
if x*x+y*y=z*z then writeln(x:10,y:10,z:10);
Наверх
Блок-схема
2. Найти количество пифагоровых троек не превышающих числа n. n вводится с клавиатуры.
Ответ: n=50
Количество пифагоровых троек = 20
-
begin
a1:=SQR(a);
for b:=a to n do
-
begin
b1:=SQR(b);
for c:=1 to n do
-
begin
c1:=SQR(c);
if c1=a1+b1 then inc(kol);
end;
Наверх
Блок-схема
3. Вывести на экран двузначные примитивные пифагоровы тройки.
Ответ:
11 60 61
12 35 37
13 84 85
16 63 65
20 21 29
28 45 53
33 56 65
36 77 85
39 80 89
48 55 73
65 72 97
-
x, y, z: integer;
min, i, nod1, nod2, nod3: integer;
-
if (y mod i=0) and (z mod i=0) then nod2:=i;
-
if (x mod i=0) and (z mod i=0) then nod3:=i;
-
writeln(x:10,y:10,z:10);
Наверх
Блок-схема
4. Найти количество трехзначных примитивных пифагоровых троек.
Ответ: k=97
-
x, y, z: integer;
min, i, nod1, nod2, nod3: integer;
k: integer; begin
clrscr;
for x:=100 to 999 do
for y:=x to 999 do
for z:=y to 999 do
if x*x+y*y=z*z then
-
begin
-
if x for i:=1 to min do
-
if (x mod i=0) and (y mod i=0) then nod1:=i;
-
if (y mod i=0) and (z mod i=0) then nod2:=i;
-
if (x mod i=0) and (z mod i=0) then nod3:=i;
Наверх
Блок-схема
Список задач раздела 12
1.1.Дано натуральное число n. Получить все пифагоровы тройки натуральных чисел, каждое из которых не превосходит n, т.е. все такие тройки натуральных чисел a, b, c, что a 2 + b 2 = c 2 . 1.2.Дано натуральное число n. Найти все меньшие n числа Мерсенна. Число Мерсенна – это простое число,
| представленное в виде M p =2 p –1, | где p – тоже | простое | ||||
| число. | ||||||
| 1.3. Даны две целые переменные a, b. | Составить | фрагмент | ||||
| программы, после исполнения которого значения | ||||||
| переменных поменялись бы местами (новое значение a | ||||||
| равно старому значению b и наоборот) не | используя | |||||
| дополнительных переменных. | ||||||
| 1.4. Вводится | положительное | целое | число | |||
| A < 10000.Определить сумму его цифр S и разность A-S. | ||||||
| 1.5. Дано | целое | число | а и | натуральное | (целое | |
| неотрицательное) | число n. | Вычислить а в | степени n. | |||
Другими словами, необходимо составить программу, при исполнении которой значения переменных а и n не меняются, а значение некоторой другой переменной (например, b) становится равным а в степени n. (При этом разрешается использовать и другие переменные.)
| Использовать операторы | присваивания | лишь | вида | |
| := | , | |||
| := | , | |||
| := + 1. | ||||
| 1.9.Дано натуральное (целое | неотрицательное) | число | а и | |
целое положительное число d. Вычислить частное q и остаток r при делении а на d, не используя операций div и mod.
| 1.10. Дано | натуральное | n, | вычислить n! |
| (0!=1, n! = n * (n-1)!). | |||
1.11. Последовательность Фибоначчи определяется так: a(0)= 1, a(1) = 1, a(k) = a(k-1) + a(k-2) при k >= 2. Дано n, вычислить a(n). 1.12. Дано натуральное число n. Среди чисел 1, 2, . n найти все такие, запись которых совпадает с последними цифрами записи их квадрата. 1.13. Составить рекурсивную программу-функцию
| вычисления | значений | многочлена | ||
| f x a x n | a x n 1 | . a | x a | по схеме Горнера |
| 0 | 1 | n 1 | n | |
f x . a 0 x a 1 x a 2 x . a n 1 x a n . 1.14. Определить k - количество трёхзначных натуральных чисел, сумма цифр которых равна n (1,n,27). 1.15. Число, равное сумме всех своих делителей, включая единицу, называется совершенным. Найти и напечатать все совершенные числа в интервале от 2 до х. 1.16. Даны два натуральных числа a и b, не равные нулю одновременно. Вычислить НОД (a,b) - наибольший общий делитель а и b.
1.17. Написать модифицированный вариант алгоритма Евклида, использующий соотношения НОД (a, b) = НОД (a mod b, b) при a >= b, НОД (a, b) = НОД (a, b mod a) при b >= a. 1.18. Даны натуральные а и b, не равные 0 одновременно. Найти d = НОД (a,b) и такие целые x и y, что d = a*x + b*y. 1.19. Написать вариант алгоритма Евклида, использующий соотношения
| НОД(2*a, | 2*b) | = | 2*НОД(a,b) |
| НОД(2*a, | b) | = | НОД(a,b) |
при нечетном b, не включающий деления с остатком, а использующий лишь деление на 2 и проверку четности. 1.20. Написать рекурсивную программу-функцию нахождения наименьшего десятичного натурального числа N >1, оканчивающегося цифрой q такого, что если перенести эту цифру из конца в начало N , то полученное число окажется в q раз больше N . 1.21. Составить программу, печатающую разложение на простые множители заданного натурального числа n > 0 (другими словами, требуется печатать только простые числа и произведение напечатанных чисел должно быть равно n; если n = 1, печатать ничего не надо). 1.22. Задано число. Получить наибольшее (наименьшее) число, записанное теми же цифрами.. 1.23. Используя команду write (i) лишь при I = 0,1,2. 9 составить программу, печатающую десятичную запись заданного натурального числа n > 0. 1.24. Написать программу сложения двух простых дробей. 1.25. Даны натуральные числа n и k, n > 1. Напечатать k десятичных знаков числа 1/n. (При наличии двух десятичных разложений выбирается то из них, которое не содержит девятки в периоде.) Программа должна использовать только целые переменные.
1.26. Дано натуральное число n > 1. Определить длину периода десятичной записи дроби 1/n. 1.27. (Э. Дейкстра). Функция f с натуральными аргументами и значениями определена так: f(0) = 0, f(1) = 1, f (2n) = f(n), f (2n+1) = f (n) + f (n+1). Составить программу вычисления f (n) по заданному n, требующую порядка log n операций. 1.28. Даны натуральные числа а и b, причем b > 0. Найти частное и остаток при делении а на b, оперируя лишь с целыми числами и не используя операции div и mod, за исключением деления на 2 четных чисел. 1.29. Найти и распечатать все пары дружественных чисел, меньших 10000. (Дружественные -- два числа, каждое из которых равно сумме правильных делителей другого. Например, 220 и 284.). 1.30. Натуральное десятичное k-значное число называется числом Армстронга, если оно равно сумме k-ых степеней своих цифр. Например, 534494836 = 5 9 + 3 9 + 4 9 + 4 9 + 9 9 + 4 9 + 8 9 + 3 9 + 6 9 . Составить программу, которая по заданному M ≤ 9 находит все числа Армстронга для всех k ≤ M. 1.31. Все натуральные числа от 1 до N написаны на 2 × N карточках так, что каждое число встречается на двух карточках. Из карточек выкладываются последовательности длины 2 × N, обладающие следующим свойством: для каждого числа L между карточками с
| числом | L | лежит | ровно | L | карточек. | ||
| Пример: | | 3 | | 1 | | | 2 | | 1 | | 3 | | 2 |. |
| Для всех | 3 ≤ N ≤ 12 | найти | и | напечатать | количество | ||
Исследовательская работа "Пифагоровы тройки"
проект по геометрии (9 класс) на тему
Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учеными мира на протяжении многих веков. Проблема, о которой пойдет речь в данной работе – изучить свойства пифагоровых троек, способ их получения, а также выяснить их практическое применение. Данная проблема представляет особую актуальность, так как в школьной программе по геометрии эта тема практически не рассматривается, но при решении планиметрических задач часто встречается. И поэтому у школьников такие задачи, связанные с применением пифагоровых троек, вызывают затруднения.
Цель данной работы – обосновать теоретическую и практическую значимость пифагоровых троек в области математики и в жизнедеятельности человека.
Объект и исследования : уравнение Пифагора.
Предмет исследования : пифагоровы тройки.
Методы исследования : анализ и синтез полученных фактов из литературы по теме, систематизация полученных знаний, моделирование реальных ситуаций.
Глава I.Уравнение Пифагора. Пифагоровы тройки и способы их нахождения.
1.Уравнение Пифагора и пифагоровы тройки.
Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к одной из «величайших» проблем теории чисел – проблеме, ростки которой появились задолго до Пифагора – в Древнем Египте и Вавилоне. Задача Пифагора в современных терминах может быть сформулирована так: «решить в натуральных числах неопределенное уравнение x 2 + y 2 = z 2» . Это уравнение называется «пифагоровым», так как выражает известное из «теоремы Пифагора» метрическое соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника. Геометрический смысл данного уравнения заключается в том, что для всякой тройки положительных чисел х, у и z, такой, что x 2 + y 2 = z 2 , существует прямоугольный треугольник с катетами х, у и гипотенузой z.
Тройка натуральных чисел ( х, у, z), которая является решением данного уравнения называется пифагоровой тройкой, а прямоугольные треугольники с такими сторонами называются пифагоровыми треугольниками. Например, (3,4,5) является пифагоровой тройкой. Прямоугольный треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5, называется еще и египетским, так как (как известно из школьной программы геометрии) его использовали в Древнем Египте для построения прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид это надо было уметь. Интересно, что площадь этого треугольниеа равна совершенному числу 6, а периметр равен 12 – число, которое считалось символом счастья и достатка. Пирамиды месопотамского фараона Снофру (XXVIIв. до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. Также сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. На них даже встречаются такие тройки, как (12709, 13500 и 18541). Нет сомнений, что такие числа были найдены не простым перебором, а по неким правилам.
2. Способы нахождения пифагоровых троек.
Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения пифагоровых троек, которые являются решением неопределенного уравнения x 2 + y 2 = z 2 ?
Способ первый: Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой подпишем разность между последовательными квадратами:
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 .
3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 , 21 , 23 , 25 , 27 .
А теперь внимание! В нижней строке есть квадратные числа! Первое из них 9 = 3^2 , над ними 16 = 4^2 и 25 = 5^2 - знакомая нам пифагорова тройка (3, 4, 5).
Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Если продолжить строку квадратных чисел и посчитать соответствующие разности, то во второй строке найдете 49 = 7^2 , этому числу отвечают в строке квадратов 576 = 24^2 и 625 = 25^2 . И действительно, 7^2 + 24^2 = 25 . Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте.
Но, составлять такие последовательности довольно скучное и трудоемкое занятие. По формуле находить такие тройки и проще и быстрее.
Способ второй: Эти формулы были известны уже две с половиной тысячи лет назад. Пусть (x, y, z,) – пифагорова тройка и x –нечетное число. Тогда y = (x^2-1)/2 и z =(x^2+1)/2. По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:
Если x = 3, то y =(3^2-1)/2=4 , z = 3^2+1/2=5, получилась первая тройка (3, 4, 5).
Если x = 5, то y = (5^2-1)/2 =12, z = (5^2+1)/2=13, вторая тройка (5, 12, 13).
Если x = 7, то y = (7^2-1)/2=24 , z = (7^2+1)/2=25, третья тройка (7, 24, 25) и так далее.
Способ третий: Теперь установим правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:
х^2 = z^2 – y^2 или х^2 = (z – y)(z + y)
Это значит, что число x^2 должно раскладываться на два неравных множителя (z + y) и (z–y), которые мы обозначим так, что получится система:
Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа m и n? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим:
z = m^2 + n^2, y = m^2 – n^2, тогда подставляя в равенство для х^2, получаем, что x = 2mn, где m и n – произвольно взятые взаимно простые натуральные числа, причем m>n.
Применяя указанные формулы, легко найти все решения уравнения x 2 + y 2 = z 2 в натуральных числах. Например: пусть m = 9, n = 7 , где m>n.
Решим уравнение по формулам:
x = 2mn, x = 2* 9 *7 = 126;
y = m^2 – n^2, y = 81 – 49 = 32;
z = m^2 + n^2, z = 81 + 49 = 130.
Действительно, 126 + 32 = 130, так как 15876 + 1024 = 16900
Ответ: 126, 32, 130.
3.Примитивные пифагоровы тройки и их свойства.
Пифагоровы тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются примитивными (или простейшими). Например, (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (9,40,41) и так далее. То есть, числа, входящие в примитивную тройку должны быть взаимно простыми. Ясно, если (х, у, z) примитивная тройка, то для любого натурального n – тройка (nx,ny,nz) тоже будет примитивной, то есть любую пифагорову тройку можно получить из примитивной умножением каждого ее члена на натуральное число.
Пифагор нашел формулы для нахождения примитивных троек, которые в современной символике могут быть записаны так:
х = 2n + 1, y = 2n(n + 1), z = 2n + 2n + 1, где n- натуральное число.
Перечислим свойства примитивных пифагоровых троек:
Свойство 1. Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты.
Следствие : В примитивной пифагоровой тройке одно число может быть четным.
Свойство 2. В примитивной пифагоровой тройке (x, y, z) числа x и y не могут быть одновременно нечетными.
Свойство 3 . Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 3.
Свойство 4 .Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 4.
Свойство 5. Одно из чисел пифагоровой тройки должно быть кратно 5.
4. Великая теорема Ферма
Начатое Пифагором исследование «безобидного» уравнения x 2 + y 2 = z 2 привело к сложнейшей проблеме современной теории чисел – исследование в целых числах уравнения x n + y n = z n .
Занимаясь неопределенными уравнениями, известный французский математик Пьер Ферма высказал в 1637 году предположение, что для любого натурального числа n, большего 2, уравнение x n + y n = z n не имеет решений в натуральных числах. Сам Ферма доказал эту теорему для случая n = 4, Эйлер в 1770 году доказал для случая n = 3, Дирихле и Ленеандр в 1825 – для n = 5, Ламе – для n = 7, Кумер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов – любителей. И лишь в 1995 году ( после 7 лет напряженной работы) эту теорему окончательно доказал английский математик, профессор Пристанского университета Эндрю Уайлс.
Таким образом,, великая и неприступная на протяжении нескольких столетий теорема Ферма доказана.
Итак, обобщая сказанное в первой главе, можно сделать вывод - теперь стало понятно как древние египтяне и пифагорейцы находили подобного рода тройки чисел, рассмотренные способы позволяют без труда составлять пифагоровы тройки и применять их при решении неопределенных уравнений второй степени с тремя неизвестными. В результате выявления свойств примитивных троек, а так же формул Пифагора, можно составить таблицу примитивных пифагоровых троек, которые в дальнейшем можно использовать для решения задач. (см. приложение 1).
Глава II. Практическое применение пифагоровых троек.
Пифагоровы тройки имеют огромное практическое применение. Рассмотрим для примера несколько задач:
Задача №1 Построить из спичек разносторонний треугольник с высотой 12.
Решение: Спичка здесь – эталон длины и, таким образом, прямые, выложенные ими, имеют целочисленную длину. Этот треугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с одним общим катетом, равным 12 спичкам. Среди примитивных пифагоровых троек двух таких троек нет, так как один из катетов — четной длины, а второй — нечетной. Но, можно выбрать два примитивных треугольника, или тот же самый треугольник и умножить тройки так, чтобы получить наименьшее общее кратное двух катетов, которое равняется 12. Например, взять тройки (3,4,5) и (4,3,5), первую умножить на 4, а вторую — на 3, получим (12,16,20) и (12,9,15). Ответ — треугольник со сторонами 20, 15 и 16 + 9 = 25 и с высотой 12 спичек.
Другой вариант решения — тройки (12,5,17) и (4•3, 3•3, 5•3), которые дают треугольник со сторонами 17, 15 и 5 + 9 = 14 и с высотой 12 спичек.
Оба решения показаны на рисунке:
Задача №2 Раскроить материал для четырехугольного ромбовидного змея, вот такого: , чтобы все его стороны и внутренние планки, которые перекрещиваются под прямым углом, были длиной в целое количество сантиметров.
Решение: для решения данной задачи можно воспользоваться задачей №1. Задача №3 В треугольник, со сторонами 5, 12 и 13 проведена медиана к большей стороне. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые медиана разбивает этот треугольник.
Решение: Заметив, что (5,12,13) – пифагорова тройка чисел, значит, треугольник с такими сторонами – прямоугольный. Воспользовавшись свойством медианы прямоугольного треугольника, легко увидеть, что получилось два равнобедренных треугольника с вписанными в них окружностями, что
позволяет легко найти расстояние между центрами этих окружностей. Если не заметить, что данный в задаче треугольник прямоугольный, то решение будет намного длиннее.
Задача №4 Найти cos , tg и ctg , если sin = 24/25, если – угол второй четверти.
Решение : Конечно , данную задачу можно решить с помощью тригонометрических тождеств, но с помощью пифагоровой тройки (7,24,25) решение будет намного быстрее.
Исходя из определения cos, tg и ctg острого угла прямоугольного треугольника, учитывая, что числа 7 и 24 – это катеты, а 25 – гипотенуза и, зная, в какой четверти находится угол, записываем:
cos = - 7/25, tg = - 24/7, ctg = - 7/24.
Задача №5 При оформлении фасада дома мозаикой, требуются разноцветные равные прямоугольные треугольники из стекла, с целочисленными сторонами и с катетом 10 см. Требуется определить, какими должны быть другие стороны данных треугольников.
Решение: Заданный катет – четное число, значит х = 10 = 2mn, где m>n и они взаимно простые числа. Возможна единственная комбинация m и n – это 5 и 1. Так как 2*5*1=10. Остальные стороны равняются у=m^2-n^2=24, z=m^2+n^2=26. Таким образом, ответ – это треугольники со сторонами 10см, 24 см и 26 см.
Задача №6 Известно, что угол наклона пандуса для передвижения инвалидов на колясках внутри и снаружи здания должен быть не больше 5 градусов и высотой, не превышающей 80 см. От жильцов дома, строительной организации поступил заказ - построить пандус для инвалида-колясочника. Какой длины должен быть пандус, удовлетворяющий этим требованиям?
Решение: Можно считать, что пандус имеет форму прямоугольного треугольника. Тангенс 5 градусов приближенно равен 0,0875. Использую таблицу примитивных пифагоровых троек, можно легко найти нужную тройку чисел, которая удовлетворяет условию, что, катет, противолежащий углу в 5 градусов в прямоугольном треугольнике, должен быть не более 80 см. Учитывая реальность ситуации подбором получаем, что нужные нам тройки – (25,312,313) или (27,364,365). Следовательно, пандус может иметь длины 25 см, 312 см, 313 см или 27 см, 364 см, 365 см.
В результате, можно сделать вывод, что пифагоровы тройки, их свойства и способы получения, значительно упрощают решение многих планиметрических задач, а так же нашли широкое применение в реальных жизненных ситуациях.
В заключении хочется отметить, что работа над проектом позволила узнать материал, которого нет в школьной программе. К сожалению, полностью показать все аспекты научной теории, связанной с уравнением Пифагора и пифагоровыми тройками, а так же множества практических задач из алгебры, геометрии и практической деятельности человека, не позволяет объем данной работы. Однако, опираясь на поставленные задачи, удалось раскрыть важность исследуемой темы.
Изначально были выявлены базовые теоретические знания, включающие описание общих понятий об уравнении Пифагора и пифагоровых тройках. На базе полученных знаний были выявлены способы их получения и свойства. Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что в нем на основе системного подхода представлена роль, которую играет открытие пифагоровых троек в науке и в жизнедеятельности человека.