1. Параллельные прямые
Почему в определении очень важно обозначить, что мы говорим о прямых, лежащих на одной плоскости? Потому что тогда, когда прямые не лежат на одной плоскости, они могут не пересекаться и не быть параллельными, то есть не идти рядом.
Интересный пример получаем, рассматривая прямые на поверхности шара (не на плоскости). Если шар достаточно большой, то в какой-то точке прямые могут выглядеть параллельными, а на самом деле они пересекаются в точках, которые называют полюсами шара.
Но для параллельных прямых, лежащих на одной плоскости, справедливо, что точки пересечения нет.
Обозначение параллельных прямых: AB || CD .
Эту запись читают так: «Прямая АВ параллельна прямой CD ».
Если AB || CD , то CD || AB .
Другой способ обозначения параллельных прямых — вместо двух больших букв можно использовать одну маленькую букву и записать так: a || b.
Параллельные прямые
Паралле́льные прямы́е, прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В евклидовой геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна такая прямая. Это утверждение равносильно Пятому постулату Евклида (о параллельных).
В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C C C (рис.) вне данной прямой A B AB A B проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих A B AB A B . Из них параллельными к A B AB A B называются только две. Прямая C E CE CE называется параллельной к прямой A B AB A B в направлении от A A A к B B B , если: 1) точки B B B и E E E лежат по одну сторону от прямой A C AC A C ; 2) прямая C E CE CE не пересекает прямую A B AB A B ; всякий луч, проходящий внутри угла A C E ACE A CE , пересекает луч A B AB A B . Аналогично определяется прямая C F CF CF , параллельная к A B AB A B в направлении от B B B к A A A .
Редакция математических наук
Опубликовано 24 августа 2022 г. в 12:05 (GMT+3). Последнее обновление 24 августа 2022 г. в 12:05 (GMT+3). Связаться с редакцией
Информация
Области знаний: Планиметрия
- Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
ISSN: 2949-2076 - Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
Главный редактор: Кравец С. Л.
Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
- © АНО БРЭ, 2022 — 2023. Все права защищены.
- Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей. - Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
Определение параллельных прямых в пространстве.
Такое дело. Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. (*уч. Геомет. 10 класс) Сегодня я спросил у учителя: «Прямые могут быть параллельны, ели они находятся вне плоскости». На что она, как обычно, психанула: «Прямые не могут находится вне плоскости, и плоскость не имеет границ! » Я понял из такого же учебника и википедии, что основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Т. е. плоскость это фигура, а фигура имеет границы. Здесь мне отвечали: «Конечно, прямая может находится вне плоскости», «Да, она бесконечная. Не фигура, а понятие» Кто-нибудь расставит точки над «И»? Офигенное естествознание получается.. . Геометрия — самый ненужный предмет в школе!
Дополнен 10 лет назад
Интересно, поможет ли Х2 найти мне ответ?
Лучший ответ
Смотри фигура, понятие черт с ним хоть горшком обзови суть не изменится. (сам лично обзываю обычно множеством точек) — на пальцах плоскость — это нечто одназначно определяемое 3 точками не лежащими на одной прямой и имеющее бесконечные размеры (на пальцах, аксиомы я не помню)
Теперь о вопросе.
1) Для каждой прямой существует плоскость такая что прямая прнадлежит этой плоскости.
2) Если для 2 прямых существует, плоскость такая что они принадлежат этой плоскости и не имеют точек пересечения — они называются параллельными
3) Не для каждой пары прямых существует плоскость такая, что обе этих прямые лежат в ней (если для 2 прямых не существует плоскости, которой они принадлежат обе, их называют скрещивающимися)
Примеры параллельных и скрещивающихся прямых из жизни:
паралельные — линейки в тетрадке по русскому) , 2 грани доски.
скрещивающиеся: фонарный столб и бордюр
(П. С. к словам прошу по возможности не придираться, если смысл понятен)
Остальные ответы
Прямые параллельны если существует проекция, в которой они являются двумя точками с разными координатами.
Плоскость — это не фигура. Плоскость — это плоскость. Если хочешь — это геометрическое место точек прямой, перемещающейся параллельно самой себе. Кстати, а какие границы имеет прямая? И еще, через две параллельные прямые в пространстве можно провести плоскость и, при том, только одну.
сформулируем чуть иначе (может быть так будет понятнее)
параллельными называются именно непересекающиеся прямые, через которые можно провести общую плоскость.
через любую прямую и точку вне ее можно провести плоскость. берем прямую, берем любую точку на другой прямой, проводим плоскость, если прямые параллельны, то вся вторая прямая окажется лежащей в этой плоскости.
прямые могут и не лежать в одной плоскости, и бесконечность тут вообще не при чем — называются скрещивающимися.
посмотри на комнату, на ее ребра — тут есть и параллельные и скрещивающиеся.
1. Параллельность прямых, прямой и плоскости
1. так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α .
2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) — точку \(A\).
3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (\(2\) аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).
Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.
Доказательство:
1. через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость α .
2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости α через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Доказательство:
рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость α в точке \(M\) (1 рис.).
Из \(1\)-й теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость β .
Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости β (2 рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (\(4\) аксиома).
Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости β .
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).
Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).
Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости α .
Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Дано: a ∥ c и b ∥ c .
Доказать: a ∥ b .
Доказательство:
выберем точку \(M\) на прямой \(b\).
Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
1) прямая \(b\) пересекает плоскость α ; или 2) прямая \(b\) находится в плоскости α .
Пусть прямая \(b\) пересекает плоскость α .
Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость α . Так как a ∥ c , то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α . Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость α , является неверным.
Значит, прямая \(b\) находится в плоскости α .
Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).
Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.
Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости α , и у них нет общих точек, то они параллельны.
Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых .
Выводы:
1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.
2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: если a ∥ b и b ∥ c , то a ∥ c .
одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.
Допустим, что у параллелограмма \(ABCD\) сторона \(AD\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону \(BC\), тоже пересекает плоскость α .
2. Параллельность прямой и плоскости
Существуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
1) прямая лежит (находится) в плоскости;
2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);
3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.
Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.
Доказательство:
доказательство проведём от противного. Пусть \(a\) не параллельна плоскости α , тогда прямая \(a\) пересекает плоскость в некоторой точке \(A\). Причём \(A\) не находится на \(b\), так как a ∥ b . Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся.
Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a ∥ b , они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая \(a\) должна быть параллельна плоскости α .
Обрати внимание!
Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.
Теорема 6.
Если плоскость β проходит через данную прямую \(a\), параллельную плоскости α , и пересекает эту плоскость по прямой \(b\), то b ∥ a .