Как доказать что случайные величины независимы
Перейти к содержимому

Как доказать что случайные величины независимы

  • автор:

Независимые случайные величины

Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.

Независимость в совокупности

Определение:
Случайные величины [math]\xi_1, \ldots ,\xi_n[/math] называются независимы в совокупности (англ. mutually independent), если события [math]\xi_1 \leqslant \alpha_1, \ldots ,\xi_n \leqslant \alpha_n[/math] независимы в совокупности.

Примеры

Карты

Пусть есть колода из [math]36[/math] карт ( [math]4[/math] масти и [math]9[/math] номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:

[math]\xi[/math] — масть вытянутой карты : [math]0[/math] — червы, [math]1[/math] — пики, [math]2[/math] — крести, [math]3[/math] — бубны

[math]\eta[/math] : принимает значение [math]0[/math] при вытягивании карт с номиналами [math]6, 7, 8, 9, 10[/math] или [math]1[/math] при вытягивании валета, дамы, короля или туза

Для доказательства того, что [math]\xi, \eta[/math] независимы, требуется рассмотреть все [math]\alpha,\beta[/math] и проверить выполнение равенства: [math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

Для примера рассмотрим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math] , остальные рассматриваются аналогично:

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \dfrac [/math]

[math]P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] [math] \cdot [/math] [math] \dfrac [/math] [math] = [/math] [math] \dfrac [/math]

Тетраэдр

Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): [math]\Omega = \[/math] . [math]\xi (i) = i \bmod 2[/math] , [math]\eta(i) = \left \lfloor \dfrac \right \rfloor[/math] .

Рассмотрим случай: [math]\alpha = 0[/math] , [math]\beta = 1[/math] . [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P(\eta \leqslant 1) = 1[/math] , [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \dfrac [/math] .

Для этих значений [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если: [math]\xi (i) = i \bmod 3[/math] , [math]\eta(i) = \left \lfloor \dfrac \right \rfloor[/math] , то эти величины зависимы: положим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math] . Тогда [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \dfrac [/math] [math] \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)[/math] .

Честная игральная кость

Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: [math]\Omega = \[/math] , [math]\xi (i) = i \bmod 2[/math] , [math]\eta (i) = \dfrac <\mathcal i>>[/math] . Для того, чтобы показать, что величины [math]\xi, \eta[/math] зависимы, надо найти такие [math]\alpha, \beta[/math] , при которых [math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

При [math]\alpha = 0, \beta = 1[/math] :

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \dfrac [/math] [math] = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac [/math] , [math]P(\eta \leqslant 1) = [/math] [math] \dfrac [/math]

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)[/math] , откуда видно, что величины не являются независимыми.

См.также

  • Вероятностное пространство, элементарный исход, событие
  • Дискретная случайная величина
  • Математическое ожидание случайной величины

Источники информации

  • НГУ — Независимость случайных величин
  • Википедия — Независимость (теория вероятностей)

Зависимые и независимые случайные величины

Мы называли две величины независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Выведем необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

ТЕОРЕМА 13.1.17. Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X,Y) была равна произведению функций распределения составляющих:

Помощь с решением задач

б) Достаточность. Пусть . Отсюда

Следствие. Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих:

а) Необходимость. Пусть X и Y – независимые непрерывные случайные величины. Тогда (на основании предыдущей теоремы) .

Дифференцируя это равенство по x, затем по y, имеем

или (по определению плотностей распределения двумерной и одномерной величин)

б) Достаточность. Пусть

Интегрируя это равенство по x и по y, получим

Отсюда (на основании предыдущей теоремы) заключаем, что X и Y независимы.

Замечание. Так как приведенные выше условия являются необходимыми и достаточными, можно дать новые определения независимых случайных величин:

1) две случайных величины называют независимыми , если функция распределения системы этих величин равна произведению функций распределения составляющих;

2) две непрерывные случайные величины называют независимыми , если плотность совместного распределения системы этих величин равна произведению плотностей распределения составляющих.

ПРИМЕР 13.1.59 Двумерная непрерывная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения
f(x,y) = (sin(x) sin(y)) / 4 в квадрате ; вне этого квадрата f(x,y)=0.

Доказать, что составляющие X и Y независимы.

Решение. Используя предыдущие формулы, легко найдем плотности распределения составляющих: . Плотность совместного распределения рассматриваемой системы равна произведению плотностей распределения составляющих, поэтому X и Y независимы.

Разумеется, можно было доказать, что условные законы распределения составляющих равны их безусловным законам, откуда также следует независимость X и Y.

28. Зависимые и независимые случайные величины

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей.

Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям.

Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y Были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y Были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

Определение. Корреляционным моментом MXy Случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Практически используются формулы:

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т. к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин.

Для того, чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции Rxy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Свойство: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

Свойство: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

Случайные величины называются Коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и Некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости.

Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

Часто по заданной плотности распределения системы случайных величин можно определить зависимость или независимость этих величин.

Наряду с коэффициентом корреляции степень зависимости случайных величин можно охарактеризовать и другой величиной, которая называется Коэффициентом ковариации. Коэффициент ковариации определяется формулой:

Пример. Задана плотность распределения системы случайных величин Х и Y.

Выяснить являются ли независимыми случайные величины Х и Y.

Для решения этой задачи преобразуем плотность распределения:

Таким образом, плотность распределения удалось представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от Х, а другая – только от У. Т. е. случайные величины Х и Y независимы. Разумеется, они также будут и некоррелированы.

  • Главная
  • Заказать работу
  • Стоимость решения
  • Варианты оплаты
  • Ответы на вопросы (FAQ)
  • Отзывы о нас
  • Примеры решения задач
  • Методички по математике
  • Помощь по всем предметам
  • Заработок для студентов

Научный форум dxdy

Каждая из случайных величин $X$и $Y$принимает лишь два значения, причем $Cov(X, Y) = 0$. Докажите, что $X$и $Y$независимы

Рассматриваю величины $X$и $Y$, мат. ожидание которых равно нулю (если это не так, вычту из $X$и $Y$их мат. ожидания и тогда из независимости полученных переменных будет следовать и независимость $X$и $Y$).
$X$и $Y$принимают значения $X_1$, $X_2$, $Y_1$и , $Y_2$соответственно

Тогда:
$Cov(X, Y) = E[X \cdot Y] = X_1 Y_1 \cdot P(X=X_1, Y=Y_1) + X_1 Y_2 \cdot P(X=X_1, Y=Y_2) + X_2 Y_1 \cdot P(X=X_2, Y=Y_1) + X_2 Y_2 \cdot P(X=X_2, Y=Y_2) = 0$
Но не могу понять как из этого доказать независимость $X$и $Y$

Re: Доказать, что случайные величины независимы
11.03.2020, 02:23

Заслуженный участник

Лучше перейдите к случайным величинам, которые принимают значения только 0 и 1. Это надо что-то вычесть и поделить. Потом запишите ковариацию, приравняйте к нулю. И вспомните определение независимости случайных величин. Все довольно просто получается.

Re: Доказать, что случайные величины независимы
22.03.2020, 11:58

Последний раз редактировалось vicvolf 22.03.2020, 12:33, всего редактировалось 7 раз(а).

mehanat в сообщении #1444146 писал(а):

Каждая из случайных величин $X$и $Y$принимает лишь два значения, причем $Cov(X, Y) = 0$. Докажите, что $X$и $Y$независимы

Если для невырожденных случайных величин $X,Y$выполняется: $E(X,Y)=E(X)E(Y)$, то они являются независимыми. Напомню, что вырожденной случайной величиной называется случайная величина,принимающая одно значение с вероятностью равной 1. В данном случае случайные величины принимают два значения, поэтому являются невырожденными. Здесь все просто $Cov (X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=0$. Поэтому выполняется $E(X,Y)=E(X)E(Y)$. (отредактировал текст)

Re: Доказать, что случайные величины независимы
22.03.2020, 12:01

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Otta 22.03.2020, 12:46, всего редактировалось 1 раз.

vicvolf в сообщении #1446238 писал(а):
Здесь все просто

А что именно «просто»?

vicvolf в сообщении #1446238 писал(а):
(отредактировал текст)
vicvolf в сообщении #1446238 писал(а):

Если для невырожденных случайных величин $X,Y$выполняется: $E(X,Y)=E(X)E(Y)$, то они являются независимыми.

Это неверно, даже если вместо матожидания вектора имелось в виду матожидание произведения.
Re: Доказать, что случайные величины независимы
22.03.2020, 12:49

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось DeBill 22.03.2020, 12:51, всего редактировалось 1 раз.

vicvolf в сообщении #1446238 писал(а):

Если для невырожденных случайных величин $X,Y$выполняется: $E(X,Y)=E(X)E(Y)$, то они являются независимыми.

Здесь есть неточности: 1. Вместо запятой должно быть умножение, да?
2. Утверждение верно для ВЫРОЖДЕННЫХ (а для НЕ — не, вообще говоря)

И составляет это содержание стандартной задачи «приведите пример некоррелированных, но не независимых»

Похожие публикации:
  1. Как заполнить анкету в ворде над строкой
  2. Как подключить maven к проекту в intellij idea
  3. Как убрать закраску на фото
  4. Что такое среднее арифметическое в информатике

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *