Как из 4 точек сделать треугольник

Треугольник Серпинского¶

Ещё один фрактал, обладающий свойством самоподобия, — это треугольник Серпинского. Его пример показан на рисунке 3. Треугольник Серпинского иллюстрирует трёхходовой рекурсивный алгоритм. Процедура его отрисовки вручную очень проста. Начинаем с большого треугольника, который делим на четыре маленьких, связанных с серединами сторон первоначального. Игнорируя вновь созданный внутренний треугольник, делаем всё то же самое для каждого из трёх угловых. Каждый раз при создании нового набора треугольников, вы рекурсивно применяете эту процедуру к трём меньшим угловым фигурам. Так можно продолжать до бесконечности (если у вас достаточно острый карандаш). Перед тем, как продолжить чтение, можете попробовать самостоятельно нарисовать треугольник Серпинского, используя описанный метод.

Рисунок 3: Треугольник Серпинского.

Поскольку мы можем повторять этот алгоритм до бесконечности, что сделать базовым случаем? Им станет произвольное число — сколько раз мы хотим разделить треугольник на части. Иногда это число называют “степенью” фрактала. Каждый раз при рекурсивном вызове мы вычитаем из степени единицу, пока она не станет равной нулю. Тогда мы останавливаем рекурсию. Код, генерирующий треугольник Серпинского с рисунка 3, показан в ActiveCode 4.

Run Save Load Show in Codelens

Рисование треугольника Серпинского (lst_st)

Программа из ActiveCode 4 следует изложенным выше идеям. Первое, что делает sierpinski , — это прорисовывает внешний треугольник. Затем идут три рекурсивных вызова, по одному для каждого из новых угловых треугольников, полученных после соединения средних точек сторон. Мы снова используем стандартный модуль Python turtle . Вы можете изучить в подробностях все его методы, воспользовавшись командой help('turtle') в командной строке Python.

Посмотрите на код и подумайте, в каком порядке будут прорисовываться треугольники. Поскольку точный порядок углов определяется спецификацией начального набора, давайте предположим, что углы идут в следующем порядке: нижний левый, верхний, нижний правый. Так как функция sierpinski вызывает сама себя, вычисление будет идти к наименьшему возможному треугольнику в левом нижнем углу, а затем уже будут заполняться остальные треугольники в обратном порядке. Потом заполнятся треугольники в верхнем углу — к наименьшему и самому верхнему. Наконец, будут заполнен правый нижний угол, опять же по направлению к наименьшему нижнему правому.

Иногда полезно думать о рекурсивных алгоритмах в терминах диаграммы вызовов функции. Рисунок 4 показывает, что рекурсивные вызовы всегда начинаются слева. Активная функция выделена чёрным, неактивные вызовы — серым. Чем ниже вы спускаетесь по рисунку 4, тем меньше треугольники. Функция заканчивает рисунок одного уровня за один раз; закончив с нижней левой частью, она перемещается к нижней середине и так далее.

Рисунок 4: Построение треугольника Серпинского.

Функция sierpinski сильно зависит от функции getMid . Последняя принимает в качестве аргументов две конечные точки и возвращает точку, находящуюся по середине между ними. В дополнение, ActiveCode 4 содержит функцию раскраски треугольников, использующую методы begin_fill и end_fill из модуля turtle . Это означает, что каждая степень треугольника Серпинского рисуется другим цветом.

readers online now | | Back to top

© Copyright 2014 Brad Miller, David Ranum. Created using Sphinx 1.2.3.

Треугольник Серпинского: что это такое, как построить и где его применять

Серпинский — польский математик, в честь которого назвали улицу в Варшаве и кратер на Луне. Он стал известен благодаря своим работам по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций и так далее. В этом материале мы остановились на треугольнике Серпинского. Рассказали, что он из себя представляет, как его построить и в каких областях можно применять.

Краткая биография Серпинского

Вацлав Серпинский родился 14 марта 1882 г. в Варшаве, которая в то время входила в состав Российской империи. В 22 года он поступил на физико-математический факультет Варшавского университета. После его окончания ему присвоили звание кандидата наук и наградили золотой медалью за работы по теории чисел.

В 1905 году Серпинский получил степень доктора математических наук в Ягеллонском университете в Кракове. Вскоре после этого его назначили адъюнкт-профессором того же университета. Он ввел в университетскую программу курс по теории множеств, впервые включив такую дисциплину в академическую программу. В 1910 году Серпинского назначили профессором.

Одновременно с преподаванием он опубликовал несколько своих научных работ. Во время Первой мировой войны обстоятельства вынудили его остаться в России. Однако в 1918 году он смог вернуться в Польшу через Финляндию и Швецию. После возвращения Серпинского назначили заведующим кафедрой математики Варшавского университета, которую он занимал до конца своей карьеры.

Вклад ученого в науку

Теория чисел

В 1906 году Серпинский получил степень кандидата наук в Варшавском университете за свои работы в области теории чисел. Одним из его ранних научных трудов была статья «О разложении простых чисел в квадратичные формы», опубликованная в 1908 году. В ней он исследовал разложение простых чисел в квадратичные формы и применил алгебраические методы к арифметическим задачам.

Теория множеств и аксиома выбора

В 1917 году Серпинский опубликовал работу «Сведения о множествах, дополняющих кривую Пеано», в которой представил исследования в области теории множеств и предложил новый подход к изучению дополняющих множеств. Важным вкладом в теорию множеств стала его работа «Множество Кантора и аналогичные ему множества», опубликованная в 1920 году.

Фрактальная геометрия

В 1917 году Серпинский впервые упомянул о треугольнике Серпинского в работе «Сведения о множествах, дополняющих кривую Пеано». В 1920 году он опубликовал работу «Множество Кантора и аналогичные ему множества», в которой впервые упоминается о ковре Серпинского. Он активно исследовал фракталы в последующие годы и создал множество фрактальных конструкций, таких как квадратный фрактал и множество «серпинскомтине».

Что такое треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — это фрактал, который получается из треугольника путем рекурсивного деления его на меньшие треугольники. На каждом шаге берется каждый треугольник и заменяется на еще три равносторонних треугольника меньшего размера. Этот процесс повторяется до бесконечности для каждого из меньших треугольников, которые остались.

Три способа, как построить треугольник

Геометрический способ

Самый простой способ построить треугольник Серпинского — это геометрический:

• постройте равносторонний треугольник;
• разделите его на четыре равносторонних треугольника и удалите тот, который находится в центре;
• повторяйте те же действия с остальными треугольниками до бесконечности.

Результатом повторного выполнения одного и того же действия будет фрактал. Он будет выглядеть одинаково даже при увеличении изображения. Это узор, который повторяется внутри самого себя.

Давайте рассмотрим математические свойства этого фрактала. Если площадь первого треугольника — A, то, разделив треугольник на четыре части и сохранив только три из них, получим оставшуюся площадь:

если повторять те же действия снова и снова, каждый раз разделяя треугольники на четыре части и сохраняя только три из них, по n-му шагу мы получим следующую формулу.

Это означает, что каждый шаг имеет меньшую площадь, чем предыдущий, и стремится к нулю, если продолжать до бесконечности.

Теперь, если периметр исходного треугольника равен, скажем, P, то на следующем шаге периметр заштрихованной области будет равен

поскольку мы должны добавить периметр вырезанного треугольника. Периметр растет на каждом шаге, и к n-му шагу он может быть выражен как

С каждым шагом площадь уменьшается и в конце концов достигает нуля, а периметр увеличивается и в конце концов становится бесконечным. Например, если мы начнем с треугольника с периметром всего 1 сантиметр, то после 62 повторений периметр заштрихованной области будет достаточно длинным, чтобы дотянуться от Земли до Луны и обратно.

Несмотря на это, все, что находится внутри этого треугольника, может поместиться на кончике пальца. На 62 шаге площадь заштрихованной области составит всего 3,45 х 10^-9 см^2. Это слишком мало для того, чтобы увидеть ее невооруженным глазом или отобразить на экране компьютера.

Треугольник Паскаля

Построить треугольник Серпинского-Паскаля можно с помощью следующих шагов:

• начните с верхнего ряда треугольника и поставьте там число 1;
• в следующем ряду под каждым числом поставьте 1, а между числами — сумму чисел, которые стоят над ними в верхнем ряду. Таким образом, во втором ряду будут стоять две единицы, а между ними число 2;
• для всех остальных рядов сделаете то же самое;
• продолжайте этот процесс для всех следующих рядов. Каждый новый ряд будет иметь на одно число больше, чем предыдущий.

Таким образом, получится пирамида чисел, где каждое число — это сумма двух чисел, стоящих над ним в верхнем ряду. Этот геометрическую фигуру называют «Треугольник Паскаля», его можно использовать для разложения многочлена (x + y)^k. Если в треугольнике есть достаточное количество рядов и мы выделим только нечетные числа, то обнаружим уже знакомый нам треугольник Серпинского.

Видение фрактального узора, подобного треугольнику Серпинского, в простой сетке четных и нечетных чисел, показывает, что связи между различными математическими темами могут быть обнаружены в самых неожиданных местах.

Мы получили треугольник Серпинского из треугольника Паскаля, когда взяли ряды и разделили числа на четные и нечетные, то есть разделили каждое число на 2 и сосредоточились только на остатках. Но что, если сосредоточиться на остатках и делить на другое число?

Если делить на число k и использовать разные цвета для каждого возможного остатка, то получится треугольник k-Серпинского. В следующей галерее представлен первый 641 ряд различных треугольников k-Серпинского.

В результате мы получаем обобщенную версию треугольника Серпинского. Теперь в треугольнике k-Серпинского можно увидеть все узоры, которые были скрыты в традиционном варианте, особенно если число k-простое.

Метод случайных точек

Чтобы построить треугольник методом случайных точек:

• нарисуйте на листе бумаги три фиксированные точки A, B и C;
• выберите начальную точку x0 где-либо на листе бумаги. Это будет точка, с которой начнется процесс построения треугольника;
• выберите случайным образом одну из трех фиксированных точек A, B или C;
• переместитесь из начальной точки x0 в среднюю точку выбранной фиксированной точки (A, B или C). Для выбранной точки A вычислите среднюю точку между x0 и A, для точки B — среднюю точку между x0 и B, для точки C — среднюю точку между x0 и C;
• отметьте новую точку x1 в средней точке выбранной фиксированной точки. Это станет следующей точкой в построении треугольника;
• повторите процесс, выбирая на каждом шаге одну из трех фиксированных точек A, B или C и перемещаясь в среднюю точку между выбранной точкой и последней отмеченной точкой. Это создаст новую точку x2, затем x3 и так далее;
• продолжайте процесс до тех пор, пока вы не получите желаемую степень детализации и треугольник полностью не сформируется.

Вначале трудно разглядеть возникающую закономерность, поскольку есть всего несколько точек, которые расположены как бы в случайном порядке. Однако если повторить процесс достаточное количество раз, то треугольник Серпинского начинает приобретать очертания, а точки A, B и C образуют его вершины

Если не только отметить точки x0, x1 и так далее, но и провести линию, которая соединяет каждые две последовательные точки, то в итоге получится фигура.

Если у нас есть точки A, B, C и D, и мы произвольно переместимся в среднюю точку любой из этих четырех точек, то в итоге получится треугольник Серпинского.

Можно даже выбрать k точек в пространстве размерности (k-1) и, произвольно перемещаясь к средним точкам, создать обобщенный фрактал Серпинского. Однако не получится визуально наблюдать этот фрактал, потому что мы не можем визуализировать такое количество измерений. Этот фрактал существует за пределами нашего визуального восприятия, но не за пределами нашего воображения.

Свойства треугольника Серпинского

• Самоподобие. Каждая его более мелкая часть аналогична всему треугольнику в целом. Таким образом, он имеет степень самоподобия, и вся структура повторяется на все более мелких масштабах.
• Фрактальность. Треугольник Серпинского — это фрактал, что означает, что он обладает сложной и повторяющейся структурой на всех уровнях масштаба.
• Бесконечность. Процесс рекурсивного деления треугольника повторяется до бесконечности, что приводит к бесконечному числу мелких треугольников в структуре.
• Плотность. Треугольник заполняет все пространство внутри исходного треугольника, но при этом имеет конечную площадь, так как его размер уменьшается с каждой итерацией.
• Равносторонность. Исходный треугольник и все его более мелкие части — это равносторонние треугольники, у которых все стороны равны между собой.
• Определенность. Каждый шаг рекурсивного деления строго определен и повторяется одинаково для каждого треугольника на всех уровнях масштаба.
• Простота правил. Для получения треугольника применяется простое правило деления каждого треугольника на три равносторонних меньших треугольника без изменения углов и формы.

Сферы применения треугольника Серпинского

Треугольник Серпинского находит применение в различных областях.

• Компьютерная графика и анимация. Треугольник Серпинского используют для создания узоров и текстур, а также для генерации фрактальных ландшафтов и фоновых изображений в компьютерной графике и анимации.
• Алгоритмы и кодирование данных. Принцип самоподобия применяют в алгоритмах сжатия данных и кодировании, что может привести к более эффективному хранению и передаче информации.
• телекоммуникации. Фрактальные антенны, основанные на принципе самоподобия, используют для повышения производительности и уменьшения размеров антенн в радиотехнике и мобильных связях;
• Электроника и микроэлектроника. Треугольник Серпинского используют в дизайне интегральных микросхем для создания более эффективных и надежных структур.
• Музыка и звуковые эффекты. Идея самоподобия фрактала применяют для создания уникальных музыкальных композиций и звуковых эффектов.
• Образование и популяризация науки. Треугольник Серпинского используют для образовательных целей, чтобы познакомить людей с концепцией фракталов и помочь им понять абстрактные геометрические концепции.
• Искусство и дизайн. Фрактальные узоры используют в искусстве и дизайне для создания уникальных узоров и композиций.

Треугольник Серпинского — захватывающая исследовательская тема

Треугольник Серпинского — это фрактал с удивительными свойствами самоподобия и фрактальности. Методы его построения открывают множество возможностей для исследования сложных геометрических структур и создания визуальных узоров. Ученые со всего мира продолжают и сейчас изучать треугольник Серпинского, так как фракталы остаются одной из активно разрабатываемых тем в области математики и компьютерных наук.

• Блог компании ГК ITGLOBAL.COM
• Математика
• Биографии гиков

1. Построение треугольника по трём элементам

1. Если от точки \(C\) к прямой \(a\) проведён перпендикуляр \(CA\), то все остальные отрезки, проведённые от этой точки к прямой, называются наклонными .

2. Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой, так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

3. Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Расстояние между параллельными прямыми
Все точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой параллельной прямой.

Следовательно, расстояние между двумя параллельными прямыми определяется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки, взятой на одной прямой, на другую прямую.

Построение треугольника по трём элементам
В теме о построениях было рассмотрено:
1) как провести окружность с данным центром и радиусом.

2) как на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
3) как построить угол, равный данному.
4) как построить биссектрису угла.
5) как построить перпендикулярную прямую.
6) как построить середину отрезка.

Используя рассмотренные построения и данные элементы треугольника, можно построить треугольник, равный данному.

построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Даны два отрезка \(a\) и \(b\), они равны сторонам искомого треугольника, и угол ∠ \(1\), равный углу треугольника между сторонами. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данным отрезкам и углу.

1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки \(A\) отложить отрезок, равный данному отрезку \(a\).
3. Построить угол, равный данному ∠ \(1\) (вершина угла \(A\), одна сторона угла лежит на прямой).
4. На другой стороне угла отложить отрезок, равный данному отрезку \(b\).
5. Соединить концы отрезков.

Согласно признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.

построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Дан отрезок \(a\) и два угла ∠ \(1\) и ∠ \(2\), равные углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данному отрезку и углам.

1. Провести прямую.

2. На прямой от выбранной точки \(A\) отложить отрезок, равный данному отрезку \(a\), и отметить другой конец отрезка \(B\).

3. Построить угол, равный данному ∠ \(1\) (вершина угла \(A\), одна сторона угла лежит на прямой).
4. Построить угол, равный данному ∠ \(2\) (вершина угла \(B\), одна сторона угла лежит на прямой).
5. Точка пересечения других сторон углов является третьей вершиной искомого треугольника.

Согласно признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.

Преобразование треугольников в четырехугольники

Может ли кто то помочь с преобразованием треугольников в четырехугольники? Сам плохо в этом разбираюсь, но нужно сделать свою функцию для этого (язык программирования не имеет значения).

Есть список полигонов вида:[[0, 1, 2], [2, 1, 3]. ] и вершин [0.1, 0.2, 0.1. ]

Могу заплатить за помощь или готовое решение.

На сайте c 06.02.2012
Сообщений: 869
Калининград

первое же видео на ютубе

Репутация: 0
На сайте c 06.09.2018
Сообщений: 3
Тверь
Цитата Motocat:
первое же видео на ютубе

Мне нужен алгоритм, в максе я знаю как это сделать.

На сайте c 31.01.2011
Сообщений: 273
город Хряков
Цитата Motocat:

первое же видео на ютубе

Я так понял, ТС спрашивает про алгоритм, а не про какую кнопку нажать.

Цитата EugeneEx:

Может ли кто то помочь с преобразованием треугольников в четырехугольники? Сам плохо в этом разбираюсь, но нужно сделать свою функцию для этого (язык программирования не имеет значения).

Есть список полигонов вида:[[0, 1, 2], [2, 1, 3]. ] и вершин [0.1, 0.2, 0.1. ]

Могу заплатить за помощь или готовое решение.

Не на том форуме вопрос.

Я так понял, вам нужен алгоритм. Если так, то советую поискать на хабре, наверняка где-то есть уже написанное решение.

Ну или давайте разберемся 🙂

У вас есть массив треугольников, каждый треугольник имеет вид [1, 2, 3] — массив из трех точек.

Нужно получить на выходе массив четырехугольников. Четырехугольник — это два треугольника. Соответствнно, на выходе у вас будет массив вида

треугольник1[точка1, точка2, точка3],

треугольник2[точка1, точка2, точка3]

треугольник1[точка1, точка2, точка3],

треугольник2[точка1, точка2, точка3]

четырехугольник2[треугольник1[точка1, точка2, точка3],треугольник2[точка1, точка2, точка3]],

Таким образом, Вам надо найти пары треугольников, имеющие общую грань.

Для того, чтобы этого достичь, самый простой, прямой и медленный путь выглядит так:

1. Создаем пустой массив, заготовку под конечный результат.

2. Начинаем перебор всех треугольников исходного массива.

3. Для каждого треугольника перебираем все остальные треугольники исходного массива, ищем такой, с которым у текущего треугольника есть общая грань (две общих точки).

4.1. Если не нашли пару — это изолированный треугольник. Убираем его в отдельный массив изолированных треугольников.

4. Если нашли пару, тогда оба треугольника удаляем из массива, и создаем элемент массива результатов — квад, состоящий из двух найденных треугольников.

5. Ищем следующий треугольник для анализа. Для этого нужно сделать два шага:

5.1 перебираем уже найденные квады, пробуем найти к каждому их треугольнику прилегающий треугольник в исходном массиве (так же, как в пункте 3). Если поиск удался — повторяем алгоритм с шага 3 для найденного треугольника из исходного массива.

5.2 если смежный треугольник в исходном массиве не найден — берем первый оставшийся треугольник исходного массива, и повторяем для него процедуру с шага 3.

6. Повторяем процедуру до тех пор, пока в исходном массиве остаются любые треугольники.

Таким образом, на входе у нас есть исходный массив треугольников, на выходе мы получаем массив квадов, каждый из которых состоит из двух треугольников, и массив треугольников, не имеющих смежных (см. видео выше — там видно, что после квадификации осталось несколько треугольников, которые «не пригодились»).

Ладно, вот вам пдф, там английский язык и уйма математики, но в разделе 3.1 — алгоритмы квадификации 🙂