Как найти высоту с которой брошено тело вертикально вниз

Задача 1: в последние 2 сек тело проходит вдвое больший путь

Тело, брошенное вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с, в последние 2 с падения прошло путь вдвое больший, чем в две предыдущие 2 с. Определить время падения и высоту, с которой тело было брошено. Построить график зависимости пройденного пути, ускорения и скорости от времени.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 27 сентября 2007 года.

Сделаем рисунок к задаче и введем следующие обозначения:

h₁ — расстояние пройденное телом в две предыдущие секунды, тогда
2h₁ — расстояние пройденное телом за последние две секунды,
t — время падения с высоты H.

Высота падения тела H равна:

а высота h (без четырех секунд) равна:

Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим:

Составим еще одно уравнение высоты:

Вычитая из уравнения (1) уравнение высоты (4), получим в конце (формула исправлена):

Приравнивая правые части уравнений (3) и (5), имеем (после преобразований) t = 4,5 c, тогда высоту, с которой падало тело, можно рассчитать по формуле (1). Высота равна 123,75 м.

Для построения графиков составим уравнения пути H(t), g(t) и v(t):

H = 5t +5t 2 , g = 10 м/с 2 = const, v = 5 + 10t.

Примечание: начало отсчета выбиралось в точке бросания тела, и ось направлялась вертикально вниз (по вектору начальной скорости и ускорения), что видно из графиков.

• задачи с решениями
• кинематика
• механика
• прямолинейное движение
• формулы и графики
• равноускоренное движение
• свободное падение

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

1. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Согласно второму закону Ньютона сила тяжести, обусловленная гравитационным притяжением, действует на все тела на поверхности Земли и вблизи неё вне зависимости от того, покоятся они или движутся.

При свободном падении тело движется равноускоренно. Это значит, что скорость свободно падающего тела увеличивается при приближении к поверхности Земли. Этому способствует ускорение свободного падения (рис.\(~\)\(1\)).

Если подбросить тело вверх, то, при отсутствии сопротивления воздуха, тело будет двигаться только под действием силы тяжести (рис. \(2\)), которая направлена вниз (к центру Земли). В эту же сторону направлено и ускорение свободного падения.

Начальная скорость тела при броске υ 0 направлена вверх. В результате скорость тела уменьшается до нуля (состояние «верхняя точка траектории») в соответствии с формулой v = v 0 − gt , т. е. на \(9,8\) м/с каждую секунду.

Обрати внимание!

Чем большую начальную скорость получило тело при броске, тем больше будет время подъёма и тем на большую высоту оно поднимется к моменту остановки.

После того как тело поднялось на наибольшую высоту, оно под действием силы тяжести начинает равноускоренно падать.

Вдоль оси \(Oy\) тело движется равноускоренно с ускорением свободного падения g y и начальной скоростью υ 0 .

Скорость изменяется с течением времени: υ y = υ 0 y + g y t .
Путь, пройденный телом: s y = υ 0 y t + g y t 2 2 .
Обрати внимание!

При движении вверх с начальной скоростью υ 0 значение скорости будет уменьшаться, тело будет замедляться. Направления проекций скорости и ускорения свободного падения на ось \(Oy\) будут противоположными.

Движение тела, брошенного вертикально вверх и вниз

Если некоторое тело будет свободно падать на Землю, то при этом оно будет совершать равноускоренное движение, причем скорость будет возрастать постоянно, так как вектор скорости и вектор ускорения свободного падения будут сонаправлены между собой.

Если же подбросить некоторое тело вертикально вверх и при этом считать, что сопротивление воздуха отсутствует, то можно считать, что оно тоже совершает равноускоренное движение с ускорением свободного падения, которое вызвано силой тяжести. Только в этом случае скорость, которую мы придали телу при броске, будет направлена вверх, а ускорение свободного падения направлено вниз, то есть они будут противоположно направлены друг к другу. Поэтому скорость будет постепенно уменьшаться.

Через некоторое время наступит момент, когда скорость станет равняться нулю. В этот момент тело достигнет своей максимальной высоты и на какой-то момент остановится. Очевидно, что, чем большую начальную скорость мы придадим телу, тем на большую высоту оно поднимется к моменту остановки.

Далее, тело начнет равноускоренно падать вниз под действием силы тяжести.

Формулы для равноускоренного движения применимы для движения тела, брошенного вверх. V₀ всегда > 0

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является прямолинейным движением с постоянным ускорением. Если направить координатную ось OY вертикально вверх, совместив начало координат с поверхностью Земли, то для анализа свободного падения без начальной скорости можно использовать формулу \(y = y_0+v_0yt+\frac\) ,

положив \(υ_0 >0, y_0 = 0, y=H, a = –g.\) Или \(H=y_0+v_t-\frac2\) .

Вблизи поверхности Земли, при условии отсутствия заметного влияния атмосферы скорость тела, брошенного вертикально вверх, изменяется во времени по линейному закону: \(v=v_0-gt\) , если тело поднялось на максимальную высоту, то \(v=0\) , а \(v=v_0-gt\) .

Скорость тела на некоторой высоте h можно найти по формуле: \(v=\sqrt^2-2gh>\) .

Максимальная высота подъема тела пропорциональна квадрату начальной скорости: \(H=\frac^2>\) .

Формула высота подъема тела за некоторое время при известной конечной скорости: \(h=\frac2t.\)

Свободно падающее тело может двигаться прямолинейно или по криволинейной траектории. Это зависит от начальных условий. Рассмотрим это подробнее.

Свободное падение без начальной скорости: \((υ_0 = 0)\) . При выбранной системе координат движение тела описывается уравнениями: \(υ_y=gt, y =\frac2.\) Из последней формулы можно найти время падения тела с высоты h: \(t = \sqrtg> .\) Подставляя найденное время в формулу для скорости, получим модуль скорости тела в момент падения: \(υ= \sqrt.\)

Если тело подбросить, то оно сначала движется равнозамедленно вверх, достигает максимальной высоты, а затем движется равноускоренно вниз. Учитывая, что при \(y = h_\) скорость \(υ_y = 0\) и в момент достижения телом первоначального положения \(y = 0\) , можно найти

\(t_1=υ_0\cdot g \) – время подъема тела на максимальную высоту;

\(h_\) – максимальная высота подъема тела;

\(t_2=2t_1=\fracg \) – время полета тела;

\(v_=-v_0\) – проекция скорости в момент достижения телом первоначального положения.

Пройти тест по разделу

1. Ка­мень, бро­шен­ный с по­верх­но­сти земли почти вер­ти­каль­но вверх, упал со ско­ро­стью 15 м/с на крышу дома, на­хо­дя­щу­ю­ся на вы­со­те 20 м. Най­ди­те время полета камня. Со­про­тив­ле­ние воз­ду­ха не учи­ты­вать. Ответ при­ве­ди­те в се­кун­дах.
2. Ка­мень, бро­шен­ный с крыши дома почти вер­ти­каль­но вверх со ско­ро­стью 10 м/с, упал на землю через 3 с после брос­ка. С какой вы­со­ты бро­шен ка­мень? Со­про­тив­ле­ние воз­ду­ха не учи­ты­вать. Ответ при­ве­ди­те в мет­рах.
3. Тело брошено вверх с начальной скоростью 30 м/с. Среднепутевая скорость за 4 секунды равна ( g = 10 м/с², сопротивление воздуха не учитывать)
4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то оно достигает высоты (g = 10 м/с²)
5. На тело действует сила тяжести, равная 40 Н, и сила в 30 Н, направленная горизонтально. Модуль равнодействующей этих сил
6. Часть уклона длиной в 100 м лыжник прошел за 20 с, двигаясь с ускорением 0,3 м/с \(^2\) . Скорость лыжника в конце уклона
7. Направление скорости и ускорения при прямолинейном движении не совпадает. Это значит, что
8. Если высота и дальность полета оказались равны, то тело брошено под углом, \(tg\ \alpha\) которого равен
9. Два тела брошены под углом к горизонту так, что проекция начальной скорости на вертикальную ось одной из них в два раза больше другой. Найдите отношение максимальных высот, на которые поднимутся тела.

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Тело, брошенное вертикально вверх, движется равномерно замедленно с начальной скоростью u₀ и ускорением a = -g. Перемещение тела за время t представляет собой высоту подъема h.
Для этого движения справедливы формулы:

Если:
u₀ — начальная скорость движения тела ,
u — скорость падения тела спустя время t,
g — ускорение свободного падения, 9.81 (м/с²),
h — высота на которую поднимется тело за время t,
t — время,
То, движение тела, брошенного вертикально вверх описывается следующими формулами:

Высота подъема тела за некоторое время, зная конечную скорость

Высота подъема тела за некоторое время, зная ускорение свободного падения

\[ h = u_0 t — \frac \]

Скорость тела через некоторое время, зная ускорение свободного падения

\[ u = u_0 — gt \]

Скорость тела на некоторой высоте, зная ускорение свободного падения

Максимальная высота подъема тела, зная первоначальную скорость и ускорение свободного падения

Тело, брошенное вертикально вверх, достигает максимальной высоты в тот момент, когда его скорость обращается в ноль. Поднявшись на максимальную высоту тело начинает свободное падение вниз.

Время подъема на максимальную высоту подъема тела, зная первоначальную скорость и ускорение свободного падения

Примечание к статье: Движение тела, брошенного вертикально вверх

• Сопротивление воздуха в данных формулах не учитывается.
• Ускорение свободного падения имеет приведенное значение (9.81 (м/с²)) вблизи земной поверхности. Значение g на других расстояниях от поверхности Земли изменяется!