Как найти точку пересечения биссектрис треугольника

Точка пересечения биссектрис треугольника

Определение и точка пересечения биссектрис треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Биссектриса угла – это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам:

Первая замечательная точка треугольника – точка пересечения биссектрис. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника.

Примеры решения задач

Пример 1, точка пересечения биссектрис треугольника

$\angle BAC+\angle BCA=180^{\circ} -56^{\circ} =124^{\circ}$

Так как и – биссектрисы, то

$\angle OAC=\frac{1}{2} \angle BAC,\ \angle OCA=\frac{1}{2} \angle BCA$

Из треугольника выразим :

$\angle AOC=180^{\circ} -\angle OAC-\angle OCA=180^{\circ} -\frac{1}{2} (\angle BAC+\angle BCA)=180^{\circ} -62^{\circ} =118^{\circ}$

Пример 2, точка пересечения биссектрис треугольника

откуда . Аналогично для треугольника получим соотношение . Складываем полученные равенства

$3AC+3AB=4KC+4BK,$

$3(AC+AB)=4(KC+BK)=4BC=4\cdot 24=96,$

$AC+AB=\frac{96}{3} =32 cm$

Тогда периметр треугольника будет равен

Точка пересечения биссектрис

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.

Для этого надо сначала составить уравнения биссектрис треугольника и найти точку их пересечения.

Дан треугольник ABC с вершинами в точках A(0;-3), B(12;-12) и C(3,36;-0,48).

1) Найти точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

2) Найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

3) Составить уравнение вписанной в треугольник ABC окружности.

1) Составим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

$\frac{{y - ( - 3)}}{{ - 12 - ( - 3)}} = \frac{{x - 0}}{{12 - 0}},$

Уравнение прямой AC:

$\frac{{y - ( - 3)}}{{ - 0,48 - ( - 3)}} = \frac{{x - 0}}{{3,36 - 0}},$

$3,36(y + 3) = 2,52x,$

$2,52x - 3,36y - 10,08 = 0,$

Уравнение прямой BC:

$\frac{{y - ( - 12)}}{{ - 0,48 - ( - 12)}} = \frac{{x - 12}}{{3,36 - 12}},$

$- 8,64(y + 12) = 11,52(x - 12),$

$- 3(y + 12) = 4(x - 12),$

Составим уравнение биссектрисы треугольника ABC, исходящей из угла B. Она образована прямыми AB и BC:

$\frac{{3x + 4y + 12}}{{\sqrt {3^2 + 4^2 } }} = \pm \frac{{4x + 3y - 12}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }},$

откуда уравнения биссектрис угла B: x-y-24=0 или x+y=0. Чтобы понять, которое из двух уравнений является биссектрисой внутреннего угла треугольника, следует подставить в уравнения координаты точек A и C. Поскольку они лежат по разные стороны от биссектрисы внутреннего угла B, то подстановка их координат в уравнение биссектрисы даёт числа разных знаков.

A(0;-3) и C(3,36;-0,48) в x+y=0: 0+(-3)0. Получили числа разных знаков, x+y=0 — биссектриса угла B треугольника ABC.

Составим уравнение биссектрисы угла C. Угол C образован прямыми AC и BC, откуда

$\frac{{3x - 4y - 12}}{{\sqrt {3^2 + ( - 4)^2 } }} = \frac{{4x + 3y - 12}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }},$

уравнения биссектрис угла C: 7x-y-24=0 и x+7y=0.

A(0;-3), B(12;-12) в 7x-y-24=0: 7·0-(-3)-240. Получили числа разных знаков, значит 7x-y-24=0 — уравнение биссектрисы внутреннего угла C.

Поскольку все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, третью биссектрису находить не требуется.

Точку пересечения биссектрис углов B и C найдём из системы уравнений

O(3;-3) — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

2) Радиус вписанной в треугольник ABC окружности можно найти как расстояние от точки O до прямой AB, BC или AC. Найдем, например, расстояние от O до AB:

$r = \left| {OF} \right| = \frac{\left \right|}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }} = \frac{9}{5}.$

3) Чтобы найти уравнение вписанной в треугольник ABC окружности, в уравнение окружности подставляем координаты центра O(3;-3) и r=9/5:

Пересечение биссектрис треугольника

Существует теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Данный факт, как и всякая теорема, требует доказательства, так как к примеру можно предположить, что биссектрисы треугольника иногда могут не пересекаться в одной точке. На рисунке ниже слева три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Справа изображена гипотетическая ситуация, когда каждая биссектриса пересекается с двумя другими в разных точках.

Для доказательства теоремы изобразим две биссектрисы треугольника. Понятно, что они пересекаются в одной точке и других точек пересечения быть не может (т. к. биссектрисы углов одного треугольника не могут быть параллельны друг другу, а любые две прямые всегда имеют точку пересечения, притом только одну). От точки пересечения двух биссектрис проведем три перпендикуляра к сторонам треугольника.

Здесь дан треугольник ABC, изображены биссектрисы его угла A и угла B, которые пересекаются в точке O. От точки O проведены перпендикуляры к сторонам треугольника: ОP ⊥ AB, OQ ⊥ BC, OR ⊥ CA.

Как известно, отрезки-перпендикуляры, проведенные от любой точки биссектрисы угла к сторонам этого угла, равны друг другу. Это следует из равенства прямоугольных треугольников. Например, на рисунке ∆AOP = ∆AOR по общей гипотенузе и равным углам при вершине A (т. к. AO делит угол A пополам).

Значит, OP = OR, так как это перпендикуляры к сторонам треугольника от одной точки биссектрисы AO. Также OP = OQ как перпендикуляры от биссектрисы BO.

Так как OP = OR и OP = OQ, значит OR = OQ. Это означает, что точка O находится на одинаковом расстоянии от сторон BC и CA треугольника. Эти стороны образуют угол C. Как известно, все точки внутри угла, которые равноудалены от его сторон, лежат на биссектрисе этого угла. Значит, точка O лежит на биссектрисе угла C.

Таким образом, биссектриса угла C проходит через точку пересечения биссектрис двух других углов треугольника. Поэтому теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, доказана.

Найти точку пересечения бессектрис треугольника, если даны координаты его вершин.

Если известны координаты точек, то Вы можете найти длины сторон, а потом найти точки, в которых биссектрисы пересекают противоположные стороны, пользуясь формулой деления отрезка в данном отношении и и теоремой о том, что биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Например, если у Вас треугольник АВС и нужно найти биссектрису ВЕ, то сначала нужно вспомнить, что АЕ/ЕС=АВ/ВС. Потом обозначаете это отношение за лямбда найдёте координаты Е, как точки, делящей отрезок АС в отношении лямбда. Ну а зная координаты двух точек на биссектрисе, можно найти ей уравнение. Достаточно найти уравнение двух биссектрис и потом решить их как систему, чтобы найти точки пересечения.

Остальные ответы

Тяжеловато, но можно так. Составить ур-я прямых треуг-ка, сост-ть ур-е биссектрис (наверное коэф при х будет средним
среди коэф прямых) , потом пересечение посчитать. Если очень нужно могу эту версию на выходных на бумаге прикинуть

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника

Точка пересечения биссектрис треугольника

Определение и точка пересечения биссектрис треугольника

Примеры решения задач

Точка пересечения биссектрис

Пересечение биссектрис треугольника

Найти точку пересечения бессектрис треугольника, если даны координаты его вершин.

Добавить комментарий Отменить ответ