Метод близкого квадрата
Метод близкого квадрата использует формулы сокращенного умножения в другом виде. Для использования метода необходимо знать квадрат числа соседнего с искомым числом. Соседнее число, это число на единицу больше или меньше числа, для которого ищем квадрат. Если непонятно сейчас, то на примерах станет понятно.
Чтобы найти квадрат следующего (предыдущего) числа, необходимо к квадрату предыдущего числа прибавить (отнять) число, которое у которого знали квадрат и само число, у которого ищем квадрат.
Метод близкого квадрата неудобно применять для чисел, оканчивающихся на цифры 3 и 7, так обычно немногие помнят или могут быстро подсчитать ближайшие квадраты.
Необходимо найти 31 2 , зная квадрат числа 30: 30 2 =900
Здесь 31 следующее число после 30. 900 квадрат числа 30, который известен или его легко подсчитать очень быстро.
31 2 =900+30+31=961
Необходимо найти 29 2 , зная квадрат числа 30: 30 2 =900
Здесь 29 предыдущее число от 30, квадрат, которого известен. Так как нам нужно квадрат предыдущего, то мы отнимаем числа:
29 2 =900-30-29=841
Доказательство сразу получается, если формулы сокращенного умножения немного переформулировать, учитывая, что b=1
(a+1) 2 =a 2 +2*a*1+1 2 = a 2 +2*a+1=a 2 +a+ (a+1)
(a?1) 2 =a 2 —2*a*1+1 2 = a 2 —2*a+1=a 2 ?a? (a?1)
Получим, что a+1 и а-1, это число, которое нужно возвести в квадрат. Число а это число квадрат, которого известен а 2 .
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Быстрое возведение чисел от 1 до 100 в квадрат
Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.
*квадраты до сотни
Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.
Правило 1 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
70 * 70 = 4900. В таблице отмечены красным.
Правило 2 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625. В таблице отмечены зеленым.
Правило 3 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2 Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849. В таблице отмечены светло-оранжевым.
Правило 4 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2 Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809. В таблице отмечены темно-оранжевым.
Правило 5 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 90 до 100.
XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2 Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649. В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.
Правило №6 (отсекает 32 числа)
Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения 🙂
В таблице отмечены синим.
Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:
Формулы (осталось 24 числа)
Для чисел от 25 до 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2 37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369 Для чисел от 50 до 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2 67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489 Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136. UPDATE
Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»:
Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».
Для квадратов, соответственно, еще проще.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464 Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.
Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.
Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.
Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.
- Счет в уме
- возведение в квадрат
- тренировка памяти
Квадратные числа
Квадратные числа, или точные (полные) квадраты — это натуральные числа, которые можно представить в виде квадратов натуральных чисел. Это определение можно заменить на равносильное: число называется квадратным, если значение квадратного корня из него является целым.
Таблица квадратов [ ]
Чтобы найти квадрат числа от 0 до 99, можно воспользоваться таблицей квадратов, в которой по вертикали указан первый разряд числа (или его отсутствие), а по горизонтали второй разряд:
| _0 | _1 | _2 | _3 | _4 | _5 | _6 | _7 | _8 | _9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| — | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1_ | 100 | 121 | Свойства квадратных чисел [ ] |
- Все точные квадраты большие 1 — составные числа
- Произведение точных квадратов является точным квадратом:
m 2 • n 2 = (mn) 2 - Квадрат любого натурального числа n равен сумме первых n нечётных чисел:
1 2 = 1,
2 2 = 4 = 1 + 3,
3 2 = 9 = 1 + 3 + 5,
4 2 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7
и так далее - Последовательность, составленная из разностей соседних квадратов, является арифметической прогрессией с разностью 2:
2 2 — 1 2 = 3,
3 2 — 2 2 = 5,
4 2 — 3 2 = 7
и так далее - Есть квадраты квадратных чисел: 11681 256 625 и так далее
- в десятичной системе исчисления квадратные числа могут заканчиваться только на цифры: 0 1 4 5 6 и 9
Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.
Квадрат
Квадра́т (от лат. quadratus , четырёхугольный [1] ) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой ( 90 ∘ ) )> [2] .
- 1 Варианты определения
- 2 Свойства
- 2.1 Стороны и диагонали
- 2.2 Вписанная и описанная окружности
- 2.3 Площадь
- 2.4 Уравнение квадрата
- 2.5 Математические проблемы
- 2.6 Симметрия
- 3.1 В математике
- 3.2 Орнаменты и паркеты
- 3.3 Другие применения
- 3.4 Графика
- 4.1 Многомерное пространство
- 4.2 Неевклидова геометрия
Варианты определения
Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами [3] [4] .
- Четырёхугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
- Четырёхугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом.
- Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
- Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
- Ромб, у которого диагонали равны.
- Ромб, у которого два соседних угла равны.
- Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
- Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
- Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
- Дельтоид, все углы которого прямые.
Свойства
Основной источник: [4]
Стороны и диагонали
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали d = a 2 . >.>
Вписанная и описанная окружности
Вписанная и описанная окружности для квадрата
Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:
r = a 2 . >.>
Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:
Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.
Площадь
Площадь квадрата
Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади
Из формулы S = a 2 , ,> связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.
Квадрат имеет два замечательных свойства [5] .
- Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
- Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.
К уравнению квадрата; здесь R = 2 , x 0 = y 0 = 0 =y_=0>
Уравнение квадрата
В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке < x 0 , y 0 >,y_\>> и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде [6] :
где R — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна R 2 , >,> его диагональ равна 2 R , а площадь квадрата равна 2 R 2 . .>
К уравнению квадрата
Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:
- | x − y | + | x + y | = a (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
- max ( x 2 , y 2 ) = r 2 ,y^)=r^>
- (в полярных координатах[7] ) r ( φ ) = min ( r | cos φ | , r | sin φ | ) <|\cos \varphi |>>,<|\sin \varphi |>>\right)>
Математические проблемы
Пример квадрирования квадрата 112 × 112
С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.
- Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.
- Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
- Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
- Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
- Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.
Симметрия
Линии симметрии
Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:
- одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
- четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.
Применение
В математике
Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.
Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.
В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:
Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно) [8] .
Графы: K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.
Орнаменты и паркеты
-
Мозаики, включающие квадраты
Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.
Другие применения
Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.
Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.
Графика
Ряд символов имеют форму квадрата:
- Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
- U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
- ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
- 口 (Китайский иероглиф «рот»)
- 囗 (Китайский иероглиф «ограда»)
В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box или \square .
В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:
Вариации и обобщения
Многомерное пространство
Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.
Неевклидова геометрия
В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.
Примечания
- ↑ Квадрат // Советский энциклопедический словарь. — 2-е изд.. — М. : Советская энциклопедия, 1982. — С. 561. — 1600 с.
- ↑ Квадрат // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 776. — 1184 с.
- ↑Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М. : АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
- ↑ 4,04,1Каплун, 2014, с. 171—173.
- ↑Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М. : МЦНМО, 2004. — С. 117, 119. — 312 с. — ISBN 5-94057-171-9.
- ↑Уравнение квадрата в декартовой системе координат(неопр.) . Дата обращения: 9 ноября 2021.Архивировано 9 ноября 2021 года.
- ↑What is the polar equation for a square, if any?
- ↑Болтянский В. Г.Третья проблема Гильберта. — М. : Наука, 1977. — 208 с. Архивировано 28 июня 2021 года.
Литература
- Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д. : ООО «Феникс», 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.
Ссылки
- Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
- Знание.Вики:Статьи с некорректным использованием шаблонов:Книга (указан archiveurl)
- Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN
- Знание.Вики:Статьи без ссылки на Викисклад
- Правильные многоугольники
- Четырёхугольники