Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
ТЕОРЕМА 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
ТЕОРЕМА 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Докажем теорему 2 методом «от противного».
С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию.
Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, а p – полупериметр, т.е.
Теорема Птолемея
ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
Складывая равенства (1) и (2), получаем:
Теорема Птолемея доказана.
Справочник по математике для школьников
- Арифметика
- Алгебра
- Тригонометрия
- Геометрия (планиметрия)
- Геометрия (стереометрия)
- Элементы математического анализа
- Вероятность и статистика
Геометрия (планиметрия)
- Основные фигуры планиметрии
- Фигуры, составляющие основу планиметрии
- Углы на плоскости
- Теорема Фалеса
- Углы, связанные с окружностью
- Признаки параллельности прямых
- Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
- Свойства и признаки равнобедренного треугольника
- Свойства и признаки прямоугольного треугольника
- Свойства сторон и углов треугольника
- Подобие треугольников
- Теорема Пифагора. Теорема косинусов
- Биссектриса треугольника
- Медиана треугольника
- Высота треугольника. Задача Фаньяно
- Средние линии треугольника
- Теорема Чевы
- Теорема Менелая
- Описанная окружность. Теорема синусов
- Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
- Площадь треугольника
- Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Вневписанные окружности
- Четырехугольники
- Параллелограммы
- Трапеции
- Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
- Описанные четырехугольники
- Площади четырехугольников
- Многоугольники
- Правильные многоугольники
- Углы, связанные с окружностью
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
- Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
- Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
- Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Вневписанные окружности
- Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
- Описанные четырехугольники
- Площади четырехугольников
- Площадь треугольника
- Вывод формул Герона и Брахмагупты
- Средние линии
- Геометрические места точек на плоскости
- Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости
Учебные пособия для школьников
- Задачи на проценты
- Квадратный трехчлен
- Метод координат на плоскости
- Прогрессии
- Решение алгебраических уравнений
- Решение иррациональных неравенств
- Решение логарифмических неравенств
- Решение логарифмических уравнений
- Решение показательных неравенств
- Решение показательных уравнений
- Решение рациональных неравенств
- Решение тригонометрических уравнений
- Степень с рациональным показателем
- Системы уравнений
- Тригонометрия в ЕГЭ по математике
- Уравнения и неравенства с модулями
- Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами
Демоверсии ЕГЭ
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
- Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе
Демоверсии ОГЭ
- Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
- Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
- Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
- Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
- Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
- Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
- Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
- Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
- Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе
3. Трапеция
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны, называется трапецией .
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями.
\(AD\) и \(BC\) — основания.
Стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами трапеции.
\(AB\) и \(CD\) — боковые стороны трапеции.
Есть несколько видов трапеций. Чаще всего рассматриваются прямоугольные и равнобедренные трапеции.
Прямоугольная трапеция
Трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной трапецией.
Равнобедренная трапеция
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной .
Свойства трапеции
Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360 ° .
Свойство, которое присуще трапеции любого вида:
сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .
Рис. 1-4. Трапеция, © ЯКласс.
Трапеция
Подробнее
Подробнее
Подробнее
Определения
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.
Теоремы: свойства трапеции
1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\) .
2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
Доказательство
1) Т.к. \(AD\parallel BC\) , то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\) , следовательно, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\) .
2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) .Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.1) Докажем параллельность.
Проведем через точку \(M\) прямую \(MN’\parallel AD\) ( \(N’\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN’\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N’\) — середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N’\) совпадут.
2) Докажем формулу.
Проведем \(BB’\perp AD, CC’\perp AD\) . Пусть \(BB’\cap MN=M’, CC’\cap MN=N’\) .
Тогда по теореме Фалеса \(M’\) и \(N’\) — середины отрезков \(BB’\) и \(CC’\) соответственно. Значит, \(MM’\) – средняя линия \(\triangle ABB’\) , \(NN’\) — средняя линия \(\triangle DCC’\) . Поэтому: \[MM’=\dfrac12 AB’, \quad NN’=\dfrac12 DC’\]
Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB’, CC’\perp AD\) , то \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B’M’=M’B\) . Значит, \(B’M’N’C’\) и \(BM’N’C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M’N’=B’C’=BC\) .
\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Теорема: свойство произвольной трапеции
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.
Проведем прямую \(PN\) ( \(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам ( \(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]
Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам ( \(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]
Отсюда \(\dfrac=\dfrac\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .
2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.
Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам ( \(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]
Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac=\dfrac\]
Отсюда \(\dfrac=\dfrac\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .
Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2)
Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) . Следовательно, \(AC=BD\) .
3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .
Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .
В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.
2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) ( \(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.
Задача 30718 Доказать, что четырехугольник ABCD -.
Доказать, что четырехугольник ABCD — трапеция, если A(3,6), B(5,2), C(-1, -3), D(-5,5).
математика ВУЗ 14226
Решение
2018-11-01 19:44:59
По определению трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Так как даны координаты точек, будем искать координаты векторов, задающих стороны трапеции.Векторы коллинеарны ( лежат на параллельных прямых), если их координаты пропорциональны.
vector и vector коллинеарны.
2:(-4)=(-4):8
vector и vector не коллинеарны.