В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис треугольника.
Длины отрезков касательных к вписанной окружности
Пусть \( a\), \( b\) и \( c\) – длины сторон треугольника \(ABC\) и \(p=\frac(a+b+c)\) – его полупериметр. Тогда длины отрезков касательных из вершин \( A\), \( B\), \( C\) до точек касания вписанной окружности со сторонами треугольника равны \(p-a,\,\) \(p-b,\,\) \(p-c\,\) соответственно.
Радиус вписанной окружности треугольника
Радиус \(r\) вписанной окружности треугольника может быть вычислен по формуле. $$ r=\frac
, $$ где \( a\), \( b\) и \( c\) – длины сторон треугольника, \(p=\frac(a+b+c)\) – его полупериметр, \(S\) – площадь треугольника.
Как вписать треугольник в окружность
Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник — описанным около этой окружности.
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность и при этом только одну.
Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.
Описанная окружность
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник — вписанным в эту окружность.
Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность и при этом только одну.
Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности определяется по формуле:
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности определяется по формуле:
Прямоугольный треугольник
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы.
Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен длине медианы, проведенной к гипотенузе.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности определяется по формуле:
Как вписать треугольник в окружность
Свойства вписанной окружности 1. Окружность можно вписать в любой треугольник. 2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
Например, на рисунке 8.106 .
Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.
Свойства описанной окружности 1. Окружность можно описать около любого треугольника. 2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.
Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.
Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:
1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:
а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108);
б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);
3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);
4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).
Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:
1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);
2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;
3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.
Формулы для вычисления радиусов вписаннойи описанной окружностей
Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают , а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают :
1) для равностороннеготреугольника со стороной :
и площадью :
» height=»» /> , (8.36)
и гипотенузой :
и диагональю :
» height=»» /> , (8.40)
5) для прямоугольникас диагональю :
6) для ромба с высотой :
» height=»» /> ; (8.43)
7) для трапеции с высотой , при условии, что в трапецию можно вписать окружность:
и площадью , по формуле
8) для правильного шестиугольника со стороной :
, (8.45)
Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.
Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна .
Решение. Так как площадь круга радиуса находят по формуле 8.32 , а площадь квадрата со стороной находят по формуле , то согласно условию задачи запишем: .
А так как , то , , , .
Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами и находят по формуле .
Пусть , тогда (рис. 8.118).
Получим: , , следовательно, , .
По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника:
Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8.
Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):
, .
По формуле найдем площадь ромба: .
Но площадь ромба можно найти и по формуле , а так как , то . Тогда , а .
Ответ: 2,4.
находят по формуле:
Зная площадь треугольника, найдем его сторону: , .
находят по формуле 8.38 . Тогда .
Так как треугольник равнобедренный, то его катеты и раны и по теореме Пифагора , откуда
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Точка является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).
Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат со стороной 3. Если катет , а сторона квадрата , то .
Пусть отрезок . По свойству касательных и .
Тогда по теореме Пифагора или , откуда , .
Найдем катет : .
Найдем площадь треугольника:
Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: .
Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.
В свою очередь по формуле Герона , то
Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: , .
По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: , , .
Согласно формуле
Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как , а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.
Радиус окружности, описанной около треугольника , найдем по формуле 8.36 :
и вводя коэффициент пропорциональности , получим , .
Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то . Тогда , .
Поскольку четырехугольник является прямоугольником, то , тогда
, а, следовательно, и около трапеции :
Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: .
Ответ:.
Ответ: .
1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.
2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.
3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.
4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.
5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.
Длину окружности радиуса находят по формуле:
. (8.30)
Площадь круга радиуса находят по формуле:
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD= FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известна площадь и все стороны: \[ r = \frac\]
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известны площадь и периметр: \[ r = \fracP> \]
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известны полупериметр и все стороны: \[ r = \sqrt
> \]
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
Радиус описанной окружности около треугольника, если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла: \[ R = \frac\]
Радиус описанной окружности около треугольника, если известны все стороны и площадь: \[ R = \frac\]
Радиус описанной окружности около треугольника, если известны все стороны и полупериметр: \[ R = \frac> \]
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен полупериметр и радиус вписанной окружности: \[ S = pr \]
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен полупериметр: \[ S = \sqrt \]
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен высота и основание: \[ S = \frac2 ah \]
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известна сторона и два прилежащих к ней угла: \[ S = \frac\]
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и синус угла между ними: \[ S = \fracab \cdot \sin \angle C \]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известны все стороны: \[ P = a + b + c \]
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известна площадь и радиус вписанной окружности: \[ P = \frac\]
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и угол между ними: \[ P = \sqrt < b2 + с2 — 2 * b * с * cosα>+ (b + с) \]
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
Сторона треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и косинус угла между ними: \[ a = \sqrt \]
Сторона треугольника вписанного в окружность, если известна сторона и два угла: \[ a = \frac\]
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, если известно основание: \[ l = \frac\]
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, если известныдве стороны, ни одна из них не является основанием, и косинус угламежду ними: \[ l = \frac>\]
Высота треугольника
h — высота треугольника.
Высота треугольника вписанного в окружность, если известна площадь и основание: \[ h = \frac\]
Высота треугольника вписанного в окружность, если известен сторона и синус угла прилежащего к этой стороне, и находящегося напротив высоты: \[ h = b \cdot \sin \alpha \]
Высота треугольника вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности и две стороны, ни одна из которых не является основанием: \[ h = \frac\]
Свойства
Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность, можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность, справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и треугольника, в который вписана окружность, можно найти по формуле Герона.
Доказательство
Около любого треугольника, можно описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник, которые изображены на рисунке 2.
окружность описана около треугольника.
Проведем серединные перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров — около треугольника описана окружность — O, от центра окружности к вершинам можно провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника, что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, в котором все серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, и эта точка равноудалена от всех вершин треугольника.