3 что такое неизвестные задачи в эксель

3 что такое неизвестные задачи в эксель

Мощным средством анализа данных Excel является надстройка Solver (Поиск решения) . С ее помощью можно определить, при каких значениях указанных влияющих ячеек формула в целевой ячейке принимает нужное значение (минимальное, максимальное или равное какой-либо величине). Для процедуры поиска решения можно задать ограничения, причем не обязательно, чтобы при этом использовались те же влияющие ячейки. Для расчета заданного значения применяются различные математические методы поиска. Вы можете установить режим, в котором полученные значения переменных автоматически заносятся в таблицу. Кроме того, результаты работы программы могут быть оформлены в виде отчета.
Программа Поиск решений (в оригинале Excel Solver) – дополнительная надстройка табличного процессора MS Excel, которая предназначена для решения определенных систем уравнений, линейных и нелинейных задач оптимизации, используется с 1991 года.
Размер задачи, которую можно решить с помощью базовой версии этой программы, ограничивается такими предельными показателями:

• количество неизвестных (decision variable) – 200;
• количество формульных ограничений (explicit constraint) на неизвестные – 100;
• количество предельных условий (simple constraint) на неизвестные – 400.

Разработчик программы Solver компания Frontline System уже давно специализируется на разработке мощных и удобных способов оптимизации, встроенных в среду популярных табличных процессоров разнообразных фирм-производителей (MS Excel Solver, Adobe Quattro Pro, Lotus 1-2-3).
Высокая эффективность их применения объясняется интеграциею программы оптимизации и табличного бизнес-документа. Благодаря мировой популярности табличного процессора MS Excel встроенная в его среду программа Solver есть наиболее распространенным инструментом для поиска оптимальных решений в сфере современного бизнеса.
По умолчанию в Excel надстройка Поиск решения отключена. Чтобы активизировать ее в Excel 2007 , щелкните значок Кнопка Microsoft Office , щелкните Параметры Excel , а затем выберите категорию Надстройки . В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти . В поле Доступные надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК .

В Excel 2003 и ниже выберите команду Сервис/Надстройки , в появившемся диалоговом окне Надстройки установите флажок Поиск решения и щелкните на кнопке ОК. Если вслед за этим на экране появится диалоговое окно с предложением подтвердить ваши намерения, щелкните на кнопке Да. (Возможно, вам понадобится установочный компакт-диск Office).

Процедура поиска решения
1. Создайте таблицу с формулами, которые устанавливают связи между ячейками.

2. Выделите целевую ячейку, которая должна принять необходимое значение, и выберите команду:
— В Excel 2007 Данные/Анализ / Поиск решения ;
— В Excel 2003 и ниже Tools > Solver (Сервис > Поиск решения). Поле Set Target Cell (Установить целевую ячейку) открывшегося диалогового окна надстройки Solver (Поиск решения) будет содержать адрес целевой ячейки.
3. Установите переключатели Equal To (Равной), задающие значение целевой ячейки, — Мах (максимальному значению), Min (минимальному значению) или Value of (значению). В последнем случае введите значение в поле справа.
4. Укажите в поле By Changing Cells (Изменяя ячейки), в каких ячейках программа должна изменять значения в поисках оптимального результата.
5. Создайте ограничения в списке Subject to the Constraints (Ограничения). Для этого щелкните на кнопке Add (Добавить) и в диалоговом окне Add Constraint (Добавление ограничения) определите ограничение.

6. Щелкните на кнопке на кнопке Options (Параметры), и в появившемся окне установите переключатель Неотрицательные значения (если переменные должны быть позитивными числами), Линейная модель (если задача, которую вы решаете, относится к линейным моделям)

7. Щелкнув на кнопке Solver (Выполнить), запустите процесс поиска решения.

8. Когда появится диалоговое окно Solver Results (Результаты поиска решения), выберите переключатель Keep Solve Solution (Сохранить найденное решение) или Restore Original Values (Восстановить исходные значения).
9. Щелкните на кнопке ОК.

Параметры средства Поиск решения
Максимальное время — служит для ограничения времени, отпущенного на поиск решения задачи. В этом поле можно ввести время в секундах, не превышающее 32 767 (примерно девять часов); значение 100, используемое по умолчанию, вполне приемлемо для решения большинства простых задач.

Предельное число итераций — управляет временем решения задачи путем ограничения числа вычислительных циклов (итераций).
Относительная погрешность — определяет точность вычислений. Чем меньше значение этого параметра, тем выше точность вычислений.
Допустимое отклонение — предназначен для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел. Чем больше значение допуска, тем меньше времени требуется на поиск решения.
Сходимость — применяется только к нелинейным задачам. Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость, поиск прекращается.
Линейная модель — служит для ускорения поиска решения путем применения к задаче оптимизации линейной модели. Нелинейные модели предполагают использование нелинейных функций, фактора роста и экспоненциального сглаживания, что замедляет вычисления.
Неотрицательные значения — позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех влияющих ячеек, для которых не было задано соответствующее ограничение в диалоговом окне Добавить ограничение.
Автоматическое масштабирование — используется, когда числа в изменяемых ячейках и в целевой ячейке существенно различаются.
Показывать результаты итераций — приостанавливает поиск решения для просмотра результатов отдельных итераций.
Загрузить модель — после щелчка на этой кнопке отрывается одноименное диалоговое окно, в котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, содержащих модель оптимизации.
Сохранить модель — служит для отображения на экране одноименного диалогового окна, в
котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, предназначенный для хранения модели оптимизации.
Оценка линейная — выберите этот переключатель для работы с линейной моделью.
Оценка квадратичная — выберите этот переключатель для работы с нелинейной моделью.
Разности прямые — используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Увеличивает скорость работы средства Поиск решения.
Разности центральные — используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдано сообщение о том, что получить более точное решение не удается.
Метод поиска Ньютона — требует больше памяти, но выполняет меньше итераций, чем в методе сопряженных градиентов.
Метод поиска сопряженных градиентов — реализует метод сопряженных градиентов, для которого требуется меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно большая и необходимо экономить память или если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Поиск решения EXCEL. Знакомство

Поиск решения будем рассматривать в MS EXCEL 2010 (эта надстройка претерпела некоторые изменения по сравнению с предыдущей версией в MS EXCEL 2007) . В этой статье рассмотрим:

• создание оптимизационной модели на листе MS EXCEL
• настройку Поиска решения;
• простой пример (линейная модель).

Установка Поиска решения

Команда Поиск решения находится в группе Анализ на вкладке Данные .

Если команда Поиск решения в группе Анализ недоступна, то необходимо включить одноименную надстройку. Для этого:

• На вкладке Файл выберите команду Параметры , а затем — категорию Надстройки ;
• В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти;
• В поле Доступные надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК.

Примечание . Окно Надстройки также доступно на вкладке Разработчик . Как включить эту вкладку читайте здесь .

После нажатия кнопки Поиск решения в группе Анализ, откроется его диалоговое окно .

При частом использовании Поиска решения его удобнее запускать с Панели быстрого доступа, а не из вкладки Данные. Чтобы поместить кнопку на Панель, кликните на ней правой клавишей мыши и выберите пункт Добавить на панель быстрого доступа .

О моделях

Этот раздел для тех, кто только знакомится с понятием Оптимизационная модель.

Совет . Перед использованием Поиска решения настоятельно рекомендуем изучить литературу по решению оптимизационных задач и построению моделей.

Ниже приведен небольшой ликбез по этой теме.

Надстройка Поиск решения помогает определить лучший способ сделать что-то :

• «Что-то» может включать в себя выделение денег на инвестиции, загрузку склада, доставку товара или любую другую предметную деятельность, где требуется найти оптимальное решение.
• «Лучший способ» или оптимальное решение в этом случае означает: максимизацию прибыли, минимизацию затрат, достижение наилучшего качества и пр.

Вот некоторые типичные примеры оптимизационных задач:

• Определить план производства , при котором доход от реализации произведенной продукции максимальный;
• Определить схему перевозок , при которой общие затраты на перевозку были бы минимальными;
• Найти распределение нескольких станков по разным видам работ , чтобы общие затраты на производство продукции были бы минимальными;
• Определить минимальный срок исполнения всех работ проекта (критический путь).

Для формализации поставленной задачи требуется создать модель, которая бы отражала существенные характеристики предметной области (и не включала бы незначительные детали). Следует учесть, что модель оптимизируется Поиском решения только по одному показателю (этот оптимизируемый показатель называется целевой функцией ). В MS EXCEL модель представляет собой совокупность связанных между собой формул, которые в качестве аргументов используют переменные. Как правило, эти переменные могут принимать только допустимые значения с учетом заданных пользователем ограничений. Поиск решения подбирает такие значения этих переменных (с учетом заданных ограничений), чтобы целевая функция была максимальной (минимальной) или была равна заданному числовому значению.

Примечание . В простейшем случае модель может быть описана с помощью одной формулы. Некоторые из таких моделей могут быть оптимизированы с помощью инструмента Подбор параметра . Перед первым знакомством с Поиском решения имеет смысл сначала детально разобраться с родственным ему инструментом Подбор параметра . Основные отличия Подбора параметра от Поиска решения :

• Подбор параметра работает только с моделями с одной переменной;
• в нем невозможно задать ограничения для переменных;
• определяется не максимум или минимум целевой функции, а ее равенство некому значению;
• эффективно работает только в случае линейных моделей, в нелинейном случае находит локальный оптимум (ближайший к первоначальному значению переменной).

Подготовка оптимизационной модели в MS EXCEL

Поиск решения оптимизирует значение целевой функции. Под целевой функцией подразумевается формула, возвращающая единственное значение в ячейку. Результат формулы должен зависеть от переменных модели (не обязательно напрямую, можно через результат вычисления других формул). Ограничения модели могут быть наложены как на диапазон варьирования самих переменных, так и на результаты вычисления других формул модели, зависящих от этих переменных. Все ячейки, содержащие переменные и ограничения модели должны быть расположены только на одном листе книги. Ввод параметров в диалоговом окне Поиска решения возможен только с этого листа. Целевая функция (ячейка) также должна быть расположена на этом листе. Но, промежуточные вычисления (формулы) могут быть размещены на других листах.

Совет . Организуйте данные модели так, чтобы на одном листе MS EXCEL располагалась только одна модель. В противном случае, для выполнения расчетов придется постоянно сохранять и загружать настройки Поиска решения (см. ниже).

Приведем алгоритм работы с Поиском решения , который советуют сами разработчики ( ]]> www.solver.com ]]> ):

• Определите ячейки с переменными модели (decision variables);
• Создайте формулу в ячейке, которая будет рассчитывать целевую функцию вашей модели (objective function);
• Создайте формулы в ячейках, которые будут вычислять значения, сравниваемые с ограничениями (левая сторона выражения);
• С помощью диалогового окна Поиск решения введите ссылки на ячейки содержащие переменные, на целевую функцию, на формулы для ограничений и сами значения ограничений;
• Запустите Поиск решения для нахождения оптимального решения.

Проделаем все эти шаги на простом примере.

Простой пример использования Поиска решения

Необходимо загрузить контейнер товарами, чтобы вес контейнера был максимальным. Контейнер имеет объем 32 куб.м. Товары содержатся в коробках и ящиках. Каждая коробка с товаром весит 20кг, ее объем составляет 0,15м3. Ящик — 80кг и 0,5м3 соответственно. Необходимо, чтобы общее количество тары было не меньше 110 штук.

Данные модели организуем следующим образом (см. файл примера ).

Переменные модели (количество каждого вида тары) выделены зеленым. Целевая функция (общий вес всех коробок и ящиков) – красным. Ограничения модели: по минимальному количеству тары (>=110) и по общему объему ( =СУММПРОИЗВ(B8:C8;B6:C6) – это общий вес всех коробок и ящиков, загруженных в контейнер. Аналогично рассчитываем общий объем — =СУММПРОИЗВ(B7:C7;B8:C8) . Эта формула нужна, чтобы задать ограничение на общий объем коробок и ящиков ( =СУММ(B8:C8) . Теперь с помощью диалогового окна Поиск решения введем ссылки на ячейки содержащие переменные, целевую функцию, формулы для ограничений и сами значения ограничений (или ссылки на соответствующие ячейки). Понятно, что количество коробок и ящиков должно быть целым числом – это еще одно ограничение модели.

После нажатия кнопки Найти решение будут найдены такие количества коробок и ящиков, при котором общий их вес (целевая функция) максимален, и при этом выполнены все заданные ограничения.

Совет : в статье » Поиск решения MS EXCEL. Экстремум функции с несколькими переменными. Граничные условия заданы уравнениями » показано решение задачи, в которой функция и граничные условия заданы в явном виде, т.е. математическими выражениями типа F(x1, x2, x3)=x1+2*x2+6*x3, что существенно облегчает построение модели, т.к. не требуется особо осмыслять задачу: можно просто подставить переменные x в поле переменные, а ограничения ввести в соответствующее поле окна Поиска решения.

Резюме

На самом деле, основной проблемой при решении оптимизационных задач с помощью Поиска решения является отнюдь не тонкости настройки этого инструмента анализа, а правильность построения модели, адекватной поставленной задаче. Поэтому в других статьях сконцентрируемся именно на построении моделей, ведь «кривая» модель часто является причиной невозможности найти решение с помощью Поиска решения . Зачастую проще просмотреть несколько типовых задач, найти среди них похожую, а затем адаптировать эту модель под свою задачу. Решение классических оптимизационных задач с помощью Поиска решения рассмотрено в этом разделе .

Поиску решения не удалось найти решения (Solver could not find a feasible solution)

Это сообщение появляется, когда Поиск решения не смог найти сочетаний значений переменных, которые одновременно удовлетворяют всем ограничениям. Если вы используете Симплекс метод решения линейных задач , то можно быть уверенным, что решения действительно не существует. Если вы используете метод решения нелинейных задач, который всегда начинается с начальных значений переменных, то это может также означать, что допустимое решение далеко от этих начальных значений. Если вы запустите Поиск решения с другими начальными значениями переменных, то, возможно, решение будет найдено. Представим, что при решении задачи нелинейным методом, ячейки с переменными были оставлены не заполненными (т.е. начальные значения равны 0), и Поиск решения не нашел решения. Это не означает, что решения действительно не существует (хотя это может быть и так). Теперь, основываясь на результатах некой экспертной оценки, в ячейки с переменными введем другой набор значений, который, по Вашему мнению, близок к оптимальному (искомому). В этом случае, Поиск решения может найти решение (если оно действительно существует).

Примечание . О влиянии нелинейности модели на результаты расчетов можно прочитать в последнем разделе статьи Поиск решения MS EXCEL (4.3). Выбор места открытия нового представительства .

В любом случае (линейном или нелинейном), Вы должны сначала проанализировать модель на непротиворечивость ограничений, то есть условий, которые не могут быть удовлетворены одновременно. Чаще всего это связано с неправильным выбором соотношения (например, =) или граничного значения. Если, например, в рассмотренном выше примере, значение максимального объема установить 16 м3 вместо 32 м3, то это ограничение станет противоречить ограничению по минимальному количеству мест (110), т.к. минимальному количеству мест соответствует объем равный 16,5 м3 (110*0,15, где 0,15 – объем коробки, т.е. самой маленькой тары). Установив в качестве ограничения максимального объема 16 м3, Поиск решения не найдет решения.

При ограничении 17 м3 Поиск решения найдет решение.

Некоторые настройки Поиска решения

Метод решения Рассмотренная выше модель является линейной, т.е. целевая функция (M – общий вес, который может быть максимален) выражена следующим уравнением M=a1*x1+a2*x2, где x1 и x2 – это переменные модели (количество коробок и ящиков), а1 и а2 – их веса. В линейной модели ограничения также должны быть линейными функциями от переменных. В нашем случае ограничение по объему V=b1*x1+b2*x2 также выражается линейной зависимостью. Очевидно, что другое ограничение — Максимальное количество тары (n) – также линейно x1+x2

3 что такое неизвестные задачи в эксель

Pers.narod.ru. Обучение. Excel. Поиск решения в Excel и примеры для него

Я настолько давно и прочно привык делать всё, что можно сделать в Excel, «Поиском решения», что удивляюсь, когда кто-то так не делает. Поэтому добавлю несколько слов об этом полезном инструменте и приведу какой-нибудь пример.

В общем виде задача оптимизации ставится следующим образом: найти максимальное, минимальное или фиксированное значение функции f(x₁,x₂,…,x_n) при заданной системе ограничений a_i ≤ x_i ≤ b_i , i=1,2,…,n , где x_i – неизвестные величины. В реальных задачах, как правило, значения ограничений a_i, b_i выбираются из физических или математических соображений.

Например, решение любого уравнения — частный случай этой модели:

(хотя для решения уравнений есть отдельный инструмент Подбор параметра).

Любая задача об условном экстремуме функции тоже решается тем же методом.

Задачи, изучаемые в математическом программировании, тоже решаются «Поиском решения».

Итак, поиск решения – это процедура нахождения оптимального значения исследуемой функции, отвечающего системе ограничений. В терминологии Excel, целевая ячейка, в которой находится функция, может ссылаться на изменяемые (зависимые) ячейки, в которых содержатся аргументы функции. При этом для каждого аргумента можно задать ограничения. Для запуска поиска решения нужно встать в целевую ячейку и выбрать команду Поиск решения панели Данные (меню Сервис, п. Поиск решения в старых версиях Excel XP/2003).

После этого, выбрав в окне диалога критерий оптимизации (минимальное, максимальное или фиксированное значение целевой функции), нужно сослаться на зависимые ячейки и ввести ограничения в соответствующих полях окна диалога. Ограничения указываются в виде

Зависимая_ячейка Знак Выражение

где Знак может принимать значения = или ограничение до целого числа, если задача целочисленна.

При этом начальные значения зависимых ячеек должны быть таковы, чтобы численный метод оптимизации сходился. Попросту говоря, берите все начальные значения допустимыми ну или нулями, если лень анализировать эту самую «допустимость».

Примечание. Если указанный пункт меню отсутствует, включите соответствующую надстройку в Excel: меню Файл, команда Параметры Excel, вкладка Надстройки, в списке Управление выбрать пункт «Надстройки Excel» и нажать кнопку «Перейти», затем включить надстройку (или меню Сервис, Надстройки в старых версиях Excel).

Пример 1. Фабрика может выпускать продукцию 2 типов — по P1 и P2 рублей за единицу. Для выпуска продукции выделено L единиц ресурсов и T человеко-часов. Известно, что на выпуск единицы продукции 1-го и 2-го вида уходит по ZL1 и ZL2 единиц ресурсов и ZT1 и ZT2 человеко-часов соответственно. Сколько нужно произвести продукции первого и второго видов, чтобы ее общая стоимость была максимальна? Данные взять из приведенной ниже таблицы.

Ищем оптимальное решение задачи с неизвестными параметрами в Excel

«Поиск решений» — функция Excel, которую используют для оптимизации параметров: прибыли, плана продаж, схемы доставки грузов, маркетингового бюджета или рентабельности. Она помогает составить расписание сотрудников, распределить расходы в бизнес-плане или инвестиционные вложения. Знание этой функции экономит много времени и сил. Рассказываем, как освоить функцию поиска решений.

Основные параметры поиска решений

Найти решение задачи можно тремя способами. Во-первых, вручную перебирать параметры, пока не найдется оптимальное соотношение. Во-вторых, составить уравнение с большим количеством неизвестных. В-третьих, вбить данные в Excel и использовать «Поиск решений». Последний способ самый быстрый и покажет максимально точное решение, если знать, как использовать функцию.

Итак, мы решаем задачу с помощью поиска решений в Excel и начинаем с математической модели. В ней четыре типа данных: константы, изменяемые ячейки, целевая функция и ограничения. К поиску решения вернемся чуть позже, а сейчас разберемся, что входит в каждый из этих типов:

Константы — исходная информация. К ней относится удельная маржинальная прибыль, стоимость каждой перевозки, нормы расхода товарно-материальных ценностей. В нашем случае — производительность работников, их оплата и норма в 1000 изделий. Также константа отражает ограничения и условия математической модели: например, только неотрицательные или целые значения. Мы вносим константы в таблицу цифрами или с помощью элементарных формул (СУММ, СРЗНАЧ).

Изменяемые ячейки — переменные, которые в итоге нужно найти. В задаче это распределение 1000 изделий между работниками с минимальными затратами. В разных случаях бывает одна изменяемая ячейка или диапазон. При заполнении функции «Поиск решений» важно оставить ячейки пустыми — программа сама найдет значения.

Целевая функция — результирующий показатель, для которого Excel подбирает наилучшие показатели. Чтобы программа понимала, какие данные наилучшие, мы задаем функцию в виде формулы. Эту формулу мы отображаем в отдельной ячейке. Результирующий показатель может принимать максимальное или минимальное значения, а также быть конкретным числом.

Ограничения — условия, которые необходимо учесть при оптимизации функции, называющейся целевой. К ним относятся размеры инвестирования, срок реализации проекта или объем покупательского спроса. В нашем случае — количество дней и число работников.

Пример использования поиска решений

Теперь перейдем к самой функции.

1) Чтобы включить «Поиск решений», выполните следующие шаги:

• нажмите «Параметры Excel», а затем выберите категорию «Надстройки»;
• в поле «Управление» выберите значение «Надстройки Excel» и нажмите кнопку «Перейти»;
• в поле «Доступные надстройки» установите флажок рядом с пунктом «Поиск решения» и нажмите кнопку ОК.

2) Теперь упорядочим данные в виде таблицы, отражающей связи между ячейками. Советуем использовать цветовые обозначения: на примере красным выделена целевая функция, бежевым — ограничения, а желтым — изменяемые ячейки.

Не забудьте ввести формулы. Стоимость заказа рассчитывается как «Оплата труда за 1 изделие» умножить на «Число заготовок, передаваемых в работу». Для того, чтобы узнать «Время на выполнение заказа», нужно «Число заготовок, передаваемых в работу» разделить на «Производительность».

3) Выделите целевую ячейку, которая должна показать максимум, минимум или определенное значение при заданных условиях. Для этого на панели нажмите «Данные» и выберете функцию «Поиск решений» (обычно она в верхнем правом углу).

4) Заполните параметры «Поиска решений» и нажмите «Найти решение».

Совокупная стоимость 1000 изделий рассчитывается как сумма стоимостей количества изделий от каждого работника. Данная ячейка (Е13) — это целевая функция. D9:D12 — изменяемые ячейки. «Поиск решений» определяет их оптимальные значения, чтобы целевая функция достигла минимума при заданных ограничениях.

В нашем примере следующие ограничения:

• общее количество изделий 1000 штук ($D$13 = $D$3);
• число заготовок, передаваемых в работу — целое и больше нуля либо равно нулю ($D$9:$D$12 = целое, $D$9:$D$12 > = 0);
• количество дней меньше либо равно 30 ($F$9:$F$12 < = $D$6, либо как в примере в ячейке F13 задать функцию МАКС(F9:F12) и поставить ограничение $F$13 < = $D$6).

5) В конце проверьте полученные данные на соответствие заданному целевому значению. Если что-то не сходится — нужно пересмотреть исходные данные, введенные формулы и ограничения.

Хотите научиться решать задачи в Excel, как это делают в компаниях-лидерах? Приходите на наш онлайн-курс, на котором вы освоите этот инструмент на уровне профи. Вашими преподавателями будут эксперты-практики, а после обучения вы сможете дополнить резюме весомой строчкой. Регистрируйтесь!

Теги

Получите карьерную поддержку

Если вы не знаете, с чего начать карьеру, зашли в тупик или считаете, что совершили какие-то ошибки, спросите совета у специалистов. Заполните заявку и консультанты Changellenge >> окажут вам помощь. Это отличный шанс вместе экспертом проработать проблемные вопросы и составить карьерный план.

Подписаться на карьерную рассылку

Подписывайтесь на рассылку и получайте карьерные советы — от выбора индустрии и компании до лайфхаков по самоорганизации и развитию коммуникативных навыков.

Стажер образовательных проектов

Стажер в группу безопасности сервисов

Стажер-фронтенд разработчик

Менеджер проекта

Стажер-разработчик бэкенда

• Нижний Новгород
• Young&&Yandex

Стажер по стратегии и трансформации

Стажер информационной безопасности

• Санкт-Петербург
• Young&&Yandex

Стажер-аналитик данных