Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности как считать
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС
Контакты
Администратор, решение задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
2.4. Что делать, если оба предела интегрирования бесконечны?
Интеграл тоже встречается на практике, и это очень интересный случай. Для его вычисления без всяких комплексов можно использовать формулу:
– предел с двумя «динамическими» переменными, и давайте рассмотрим больше такой демонстрационный интеграл:
Пример 32
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция непрерывна всюду, и прямое решение таково:
Второй, более академичный способ состоит в том, чтобы разделить интеграл на две части, обычно в качестве точки «распила» выбирают ноль:
Далее разделываемся с каждой половинкой по отдельности:
после чего суммируем трофеи:
Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной и промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Знакомая геометрия:
В несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования чётностью пользоваться МОЖНО. Аналогично определённому интегралу, промежуток интегрирования выгодно споловинить, а результат – удвоить:
Переходим к ещё более любопытному случаю:
Пример 33
Подынтегральная функция всюду непрерывна, нечётна и промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Но пользоваться этим НЕЛЬЗЯ, поскольку интеграл от такой функции может быть вовсе не определён. Как в нашем случае – по той причине:
– что этого предела не существует. Он не определён.
Почему? Потому что переменная «а» может стремиться к «минус» бесконечности, например, БЫСТРЕЕ, чем переменная «бэ» к «плюс» бесконечности. Или наоборот.
К такому же выводу можно прийти, если распилить пациента на две части:
и выполнить мартышкин труд:
Несмотря на то, что оба интеграла по отдельности расходятся – значение итогового интеграла не определено, ибо не определена сумма . К слову, для чётной функции получаются бесконечности одного знака, и всё хорошо.
Следует отметить, что в теории рассматривается особый случай – когда обе переменные стремятся к бесконечностям с одинаковой скоростью. Это выражается пределом:
и называется сходимостью по Коши. Само же значение предела называют главным значением несобственного интеграла и обозначают так: (Valeur principale de Cauchy).
Но это имеет смысл включать в решение тогда, когда вы учитесь сильно углублённо 🙂 В «массовой» же практике такие вещи ни к чему, а посему просто даём ответ, что значение интеграла не определено.
Тонкость же состоит в том, что несобственные интегралы от некоторых нечётных функций определены и в самом деле равны нулю! А именно, это те функции, для которых «половинки» сходятся, равны по модулю и противоположны по знаку (в силу нечётности функции):
Пример 34
Исследовать сходимость несобственного интеграла.
Это пример для самостоятельного решения. Но на практике, разумеется, функция не обязана быть чётной или нечётной, пожалуйста: – используем «двойной» предел или делим интеграл на две части в удобной точке. Если оказалось, что один интеграл равен , а другой , то общего интеграла не существует.
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
© mathprofi.ru / com, 2010-2024, Высшая математика – просто и доступно!
Конев В.В. Определенные интегралы
Интегрирование четных и нечетных функций 
Определенные интегралы
Геометрические приложения
Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:
 |
(2) |
Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:
 |
(3) |
Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку x = – st:
 |
(4) |
Теореиа 2. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция:
Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен нулю:
 |
(6) |
Теорема доказывается аналогичным образом:
  |
(7) |
Как вычислить несобственный интеграл и выяснить его сходимость
Понятие несобственного интеграла и его геометрический смысл
Для вычисления несобственных интегралов требуются хорошие знания определенных интегралов. и пределов. По сути несобственный интеграл — особый случай определенного интеграла.
Как и при решении определенного интеграла, в результате решения несобственного интеграла должно получиться некоторое число. Но это лишь тогда, когда несобственный интеграл сходится. Если же он расходится, то ответ так и записывается: несобственный интеграл расходится.
А теперь — о том, почему несобственный интеграл — особый случай определенного интеграла.
Несобственные интегралы первого рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интегралы имеют бесконечный верхний или нижний пределы интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.
Несобственные интегралы второго рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интеграл берётся от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не имеет, обращаясь в бесконечность.
Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.
Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f(x) находится выше оси Ox , определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) , осью абсцисс и ординатами x = a , x = b . В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f(x) (на рисунке ниже — красного цвета), x = a и осью абсцисс.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.
Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.
Несобственные интегралы первого рода — с бесконечными пределами и их сходимость
Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом
Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.
Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке от a до ∞ называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт , т.е.
Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся, а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Решение. На основании определения несобственного интеграла находим
Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.
В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса — не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?
Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).
Решение. Предположим сначала, что , тогда
В полученном выражении перейдём к пределу при :
Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .
В первом случае, то есть при имеет место . Если , то и не существует.
Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .
Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:
Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Решение. С помощью метода замены переменной можно получить очень полезную формулу:
Доказывать эту формулу нет необходимости, но запомнить стоит — пригодится. Итак, применяя эту формулу для нахождения первообразной получим
Итак, несобственный интеграл сходится и равен 1.
Пример 4. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Но предел не существует, т. е. данный несобственный интеграл расходится.
Пример 5. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке, поэтому определённый интеграл от неё на отрезке [0, b] существует при всяком b . Находим этот интеграл:
Находим предел этого интеграла:
По определению, значение данного несобственного интеграла:
Несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом
Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования , обозначаемый символом , а именно
Если этот предел существует (и, значит, конечен, то есть, равен некоторому числу, а не бесконечности), то данный несобственный интеграл называется сходящимся.
Пример 6. Вычислить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом(если он сходится).
Решение. Находим предел данного интеграла:
Вывод: данный несобственный интеграл сходится, а его значение равно -1/2.
Несобственные интегралы с двумя бесконечными пределами
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования , обозначаемый символом , нужно предварительно представить в виде суммы двух несобственных интегралов, один из которых с конечным верхним пределом интегрирования, другой — с конечным нижним пределом интегрирования, т.е.
причём этот несобственный интеграл считается сходящимся, если оба предела существуют, когда a и b независимо друг от друга неограниченно возрастают по абсолютной величине.
Пример 7. Вычислить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами (если он сходится).
Решение. На основании определения несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами представляем данный интеграл как сумму двух несобственных интегралов:
Преобразуем подынтегральное выражение к форме , с помощью выделения полного квадрата:
По формуле находим:
(Эта формула, которой мы воспользовались, а также другие формулы, пригодные для интегрирования дробей, приведены в уроке Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей).
Предел этого интеграла существует:
Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:
Предел этого интеграла также существует:
Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:
Несобственные интегралы второго рода — от неограниченных функций и их сходимость
Пусть функция f(x) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b , в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.
Определение. Несобственным интегралом функции f(x) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c , если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена , т.е.
Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим:
Это также обобщённая формула Ньютона-Лейбница. Именно она применяется в решении задач на вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.
Пример 8. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Решение. Подынтегральная функция при неограниченно возрастает, а в точке x = 0 функция не определена, то есть, не существует. Применяем обобщённую формулу Ньютона-Лейбница:
(так как при x = 0 первообразная непрерывна). Вывод: данный несобственный интеграл сходится и равен -3/2.
Пример 9. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).
Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке полуотрезка [0, 1] . В точке x = 1 функция обращается в бесконечность. Если взять , то на [0, c] подынтегральная функция непрерывна и, следовательно, существует интеграл.
Найдём предел этого интеграла:
Результат предыдущих действий: несобственный интеграл сходится и его значение мы нашли.
Пример 10. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (верхний предел интегрирования больше нижнего).
Решение. Подынтегральная функция обращается в бесконечность при x = b , в остальных точках она непрерывна. Предположим сначала, что , тогда для :
В полученном выражении перейдём к пределу при :
Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .
В первом случае, то есть при
Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .