Конев В.В. Пределы последовательностей и функций
Сравнение бесконечно малых 
Предел последовательности
Предел функции
Приближенные вычисления
Непрерывность функций
Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то 
и 
называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при 
и записывают это утверждение в виде
Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при 
а функция имеет меньший порядок малости.
Термин “порядок малости” допускает уточнение, если и 
представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что является бесконечно малой n-го порядка по сравнению с . Например, функция 
является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с 
при x → 0.
Если λ = ∞, то бесконечно малые и как бы меняются своими ролями. В этом случае функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при .
Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.
-
Если
и – эквивалентные бесконечно малых при то их разность есть бесконечно малая более высокого порядка. Действительно,
Для записи такого утверждения используется выражение
Бесконечно малые и 
являются эквивалентными, если и являются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Если – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с при то
Конев В.В. Пределы последовательностей и функций
Сравнение бесконечно малых (примеры)
Последовательности: Примеры
Предел функции: Примеры
Приближенные вычисления: Примеры
Непрерывность функций: Примеры
являются бесконечно малыми одного и того же порядка при x → ∞, поскольку
являются эквивалентными при x → ∞, поскольку предел их отношения равен 1:
Равенство этого предела нулю означает, что 
имеет более высокий порядок малости по сравнению с 
при x → 0. Однако
6.6 Порядки бесконечно малых величин
Малой -го порядка малости относительно бесконечно малой величины при ,если существует конечный предел не равный нулю.
Чаще всего приходится устанавливать порядок малости бесконечно малой при относительно . Задача сводится к тому, чтобы подобрать таким образом, чтобы и были одного порядка малости.
Пример 1. Определить порядок малости функции относительно , т. е. выделить ее “главную часть”.
Ответ: Функция — бесконечно малая порядка относительно , т. е.
Пример 2. Определить порядок малости функции Относительно , т. е. выделить ее «главную часть».
Ответ: Функция бесконечно малая 2-го порядка малости относительно .
Пример 3. Установить относительный порядок малости при функций и .
Ответ: Бесконечно малая функция 2-го порядка малости относительно бесконечно малой функции .
Пример 4. Убедиться в том, что функция И при будут бесконечно малыми одного порядка.
Ответ: Функции И — бесконечно малые одного порядка, т. к. предел их отношения при равен .
Пример 5. Доказать, что при Бесконечно малые функции и будут эквивалентными.
Решение: Составляем предел отношения функций и , убеждаемся в процессе вычисления, что он равен 1, откуда делаем вывод:
Что и требовалось доказать: .
Пример 6. Найти относительный порядок малости при Двух бесконечно малых функций и .
Ответ: – бесконечно малая функция 2-го порядка относительно бесконечно малой функции .
Задача 42364 Определить порядок малости бесконечно.
Определить порядок малости бесконечно малых функций y(x) относительно x
математика ВУЗ 6124
Решение
2019-12-08 14:56:21
[m]ln(\sqrt+1) ∼ \sqrt[/m] при x → 0
О т в е т. см определение случай q= ∞
ln(sin^(2)+1) ∼ x^2 при x → 0
О т в е т. см определение случай q=0