Что делать если определитель матрицы равен 0
Многие свойства определителей основаны на соответствующих свойствах перестановок и транспозиций.
Применение свойств определителей позволяет значительно упростить процедуру их вычисления.
.
Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число: 
Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей:
формул Крамера
Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:
Теорема (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля ( ), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
, где — главный определитель, — j -й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j -го столбца столбцом свободных членов.
Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.
Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.
Свойства определителя матрицы
- Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1. Единичная матрица — это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны 0.
- Определитель матрицы с двумя равными строками или столбцами равен нулю.
- Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю.
- Определитель матрицы, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю.
- Определитель матрицы равен нулю, если две или несколько строк или столбцов матрицы линейно зависимы.
- При транспонировании значение определителя матрицы не меняется: det(A) = det(A T ).
- Определитель обратной матрицы: det(A -1 ) = det(A) -1 .
- Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на некоторое число.
- Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить линейную комбинации других строк или столбцов.
- Если поменять местами две строки или два столбца матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
- Общий множитель в строке или столбце можно выносить за знак определителя:
- Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: B = k·A => det(B) = k n ·det(A), где A матрица n×n, k — число.
- Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:
- Определитель верхней или нижней треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
- Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B).
Что делать если определитель матрицы равен 0
Для квадратной матрицы порядка \(n\) вводится важнейшая ее характеристика, называемая определителем (иногда употребляется название детерминант ). Это число, которое по определенному довольно сложному правилу сопоставляется матрице. Для определителя матрицы \(A=\\>\) применяют следующие обозначения: \[ detA=|A|=\left| \begin A_ & A_ & A_ &\ldots & A_ \\ A_ & A_ & A_ &\ldots & A_ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_ &A_ & A_ & \ldots & A_ \end \right| , \] где прямые скобки отличают определитель от матрицы (при обозначении которой используют круглые скобки). В зависимости от удобства используется то или иное обозначение из приведенных выше. Число \(n\) при этом называют также и порядком определителя. Про числа \(A_, A_, . A_\) говорят, что они стоят на главной диагонали матрицы (и, соответственно, определителя).
Мы будем определять понятие определителя матрицы последовательно по порядку \(n\). Рассмотрим сначала матрицу порядка 1, которая содержит единственный элемент (есть 1 строка и 1 столбец!). Для такой матрицы определитель полагается равным значению ее элемента.
Для матрицы порядка 2, \[ A=\left( \begin a & b \\ c & d \end \right) \] определитель задается соотношением \[ detA=|A|=\left| \begin a & b \\ c & d \end \right|=ad-bc. \]
Пусть \[ A=\left( \begin 2 & 3 \\ 4 & 5 \end \right), \] тогда ее определитель равен \(detA=2\cdot 5-3\cdot4=-2\).
Далее, рассмотрим матрицы порядка 3, \[ A=\left( \begin a_ &a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \end \right) . \] Выберем первую строку этой матрицы. Тогда полагают (выписывая формулу, следуя по этой строке):
\( detA=a_<11>\cdot \widetilde_<11>+a_\cdot \widetilde_+a_\cdot \widetilde_, \quad \quad (1) \)
Правило вычисления \( \widetilde_\):
а) знаковый множитель определяется суммой номера строки и столбца \(i+k\),
б) второй множитель получается так: в исходной матрице вычеркивается строка \(i\) и столбец \(k\) и вычисляется определитель оставшейся матрицы (она порядка 2 и рецепт ее вычисления см. выше).
Формулы (2) выписаны для случая, когда номер строки равен 1, однако аналогичным образом можно ввести \( \widetilde_\) для любых номеров строк.
Формула (1) называется разложением определителя по первой строке. Аналогичным образом можно написать разложение определителя по любой строке,
Значение определителя, которое получается в результате вычисления по формулам (3), (4), одно и то же (т.е. не зависит от выбора номера строки или столбца).
Таким образом, определение определителя порядка 3 завершено.
Теперь рассмотрим матрицу порядка \(n=4\). Для нее мы напишем формулу, аналогичную (3), которая, однако, будет включать 4 слагаемых,
Продолжая процедуру, мы можем определить значение определителя произвольного порядка через значения определителей меньшего порядка. Для произвольного порядка \(n\) справедливы формулы
Мы вводим определитель матрицы \(n-\)го порядка с помощью рекуррентной (последовательной по порядку \(n\)) процедуры. Существует и прямое определение этого понятия, требующее существенно более громоздкого рассмотрения. Если его использовать, соотношения (6), (7) становятся теоремами.
Вычислим определитель \[ \left| \begin 1 &2 & 3 \\ 3& 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end \right| . \] Напишем его разложение по второму столбцу, \[ \left| \begin 1 &2 & 3 \\ 3& 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end \right| =2\cdot (-1)^\cdot \left|\begin 3& 4 \\ 4 & 3 \end \right| + 7\cdot (-1)^\cdot \left|\begin 1& 3 \\ 4 & 3 \end \right| + (-1)\cdot (-1)^\cdot \left|\begin 1& 3 \\ 3 & 4 \end \right|= \] \[ 2\cdot (-1)\cdot(3\cdot 3-4\cdot 4)+7\cdot (1\cdot 3-3\cdot 4)+(-1)\cdot (-1) \cdot (1\cdot 4-3\cdot 3)= \] \[ -2\cdot (-7)+7\cdot (-9) -5=-54. \]
Вычислить определитель \[ \left| \begin 2 & -1 & 4 \\ 1& 2 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \end \right| \]
с помощью разложения по 3 столбцу.
Проверить ответ
Элементарные свойства определителей
С помощью приведенного выше определения можно вывести следующие свойства определителей.
1. Если у определителя переставить местами любые 2 строки, он изменит знак.
Следствие. Если у определителя есть 2 одинаковые строки, он равен нулю.
2. Если к строке определителя прибавить любую другую строку, умноженную на произвольное число, значение определителя не изменится.
Возьмем определитель \[D=\left| \begin 1 &2 & 3 \\ 3& 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end \right| . \quad \quad(8)\] Прибавим ко второй строке первую, умноженную на \(-3\), к третьей — первую, умноженную на \(-4\). Получим: \[ D=\left| \begin 1 &2 & 3 \\ 3 +1\cdot (-3)& 7 +2\cdot (-3) & 4 +3\cdot (-3) \\ 4 +1\cdot (-4)& -1 +2\cdot (-4) & 3+3\cdot (-4) \end \right| =\left| \begin 1 &2 & 3 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & -9 & -9 \end \right|= \] \[ 1\cdot (1\cdot (-9)-(-5)\cdot(-9))=-54. \] В последнем переходе мы использовали разложение по первому столбцу, в котором только один элемент отличен от нуля, и только он приводит к ненулевому слагаемому (нулевые мы не выписывали).
3. Если элементы строки обладают общим множителем, его можно вынести за знак определителя.
Возьмем определитель \[ D=\left| \begin 5 &10 & 15 \\ 3& 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end \right| . \] Элементы первой строки обладают общим множителем 5. Выносим его за знак определителя, получаем: \[ D=5\cdot \left| \begin 1 & 2 & 3 \\ 3 & 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end \right|=5\cdot (-54)=-270. \]
4. Пусть \(i\)-ая строка определителя может быть представлена в виде суммы пары строк (не обязательно последние — строки определителя), \( a_=b_+c_\), \(k=1,2. n\). Тогда имеет место равенство: \[ \left | \begin \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_&a_&\ldots &a_\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \end \right|= \left | \begin \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\b_&b_&\ldots &b_\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \end \right|+ \left | \begin \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\c_&c_&\ldots &c_\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \end \right| \] В этой формуле не указанные явно элементы совпадают, если стоят на одинаковых позициях.
Аналогичные свойства справедливы и при замене строк на столбцы.
Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали. То же самое для нижнетреугольной матрицы.
1. Докажите приведенное выше следствие свойства 1.
Проверить ответ
Если переставить одинаковые строки, определитель не изменится — и в то же время изменит знак. Единственное число, не меняющееся при перемене знака, — 0.
2. Докажите свойство 6.
Проверить ответ
Определитель верхнетреугольной матрицы можно вычислять, разлагая по первому столбцу. В нем стоит только одно ненулевое число — на главной диагонали. Продолжая, получим утверждение.
Вычисление определителей
Описанные выше свойства определителей позволяют быстро вычислять их значение (при не очень больших значениях \(n\), обычно в пределах 3-4-5). Общая идея такова: с помощью вычитаний из строк других строк с подходящими множителями добиться того, чтобы в какой-то строке или столбце появилось много нулей. Тогда разложение определителя по этой строке даст малое число слагаемых. (Аналогичные манипуляции возможны и со столбцами). Именно такая техника была применена выше для вычисления определителя (8).
Пусть \[ D=\left| \begin 1 &1 & 1 &1 \\ 1& 2 &3& 4 \\ 1& 4& 9 & 16 \\1 &8 &27 &64 \end \right| . \] Вычтем первую строку из второй, из третьей, из четвертой. Получим: \[ D=\left| \begin 1 &1 & 1 &1 \\ 0& 1 &2& 3 \\ 0& 3& 8 & 15 \\0 &7 &26 &63 \end \right| . \] Раскладывая определитель по первому столбцу, получаем: \[ D=\left| \begin 1 &2& 3 \\ 3& 8 & 15 \\7 &26 &63 \end \right| . \] Вычтем первую строку 3 раза из второй и 7 раз из третьей, получаем: \[ D=\left| \begin 1 &2& 3 \\ 0& 2 & 6 \\0 & 12 & 42 \end \right| . \] Раскладывая этот определитель по первому столбцу, находим: \[ D=\left| \begin 2 & 6 \\ 12 &42 \end \right| =84-72=12. \]
Иногда при вычислении определителя можно использовать его явную или скрытую симметрию.
Пусть \[ D=\left| \begin 4 &1 & 1 &1 \\ 1& 4 &1& 1 \\ 1& 1& 4 & 1 \\1 &1 &1 &4 \end \right| . \] Прибавим к первой строке все остальные. Получим: \[ D=\left| \begin 7 &7 & 7 &7 \\ 1& 4 &1& 1 \\ 1& 1& 4 & 1 \\1 &1 &1 &4 \end \right| . \] Элементы первой строки имеют общий множитель 7. Выносим его, так что \[ D=7 \cdot \left| \begin 1 &1 & 1 &1 \\ 1& 4 &1& 1 \\ 1& 1& 4 & 1 \\1 &1 &1 &4 \end \right| . \] Вычитаем теперь первую строку определителя из всех остальных. При этом \[ D=7 \cdot \left| \begin 1 &1 & 1 &1 \\ 0& 3 &0& 0 \\ 0& 0& 3 & 0 \\0 &0 &0 &3 \end \right| . \] В итоге пришли к вычислению определителя верхнетреугольной матрицы, так что \(D=7\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =189\).
1. \[ A=\left| \begin 1 &4 \\ 7 & 5 \end \right| \]
2. \[ A=\left| \begin a+b & a-b \\ a-b & a+b \end \right| \]
3. \[ A=\left| \begin 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end \right| \]
4. \[ A=\left| \begin 246 &427 & 327 \\ 1014 & 543 & 443 \\ -342 & 721 & 621 \end \right| \]
5. \[ A=\left| \begin x &y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end \right| \]
6. \[ A=\left| \begin 1 &2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 &1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 &1 &2 &3 \end \right| \]
7. \[ A=\left| \begin 1 &2 & 3 & 4 \\ -2 & 1 & -4 & 3 \\ 3 & -4 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -2 & -1 \end \right| \]
8. \[ A=\left| \begin 1 &1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 &4 \\ 1 & 3 & 6 &10 \\ 1 &4 &10 &20 \end \right| \]
9. \[ A=\left| \begin 4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 &0 \\ 0 &1 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 4 \end \right| \]