Как считать синусы и косинусы без калькулятора

Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы .

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла \(30^°\). Отложим на круге угол в \(30^°\) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна \(0,866\)… , что равно числу \(\frac>\) , а ордината равна \(0,5\), то есть \(\frac\).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Обычно на осях не отмечают \(0,1\); \(0,2\); \(0,3\) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: \(±\frac=±0,5\); \(±\frac<\sqrt> ≈±0,707\); \(±\frac> ≈±0,866\).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

• Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
• Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
• Градусная мера окружности равна \(360^°\), полуокружности \(180^°\), а четверти \(90^°\);
• Углы в \(0^°\), \(30^°\), \(45^°\) и \(60^°\) выглядят так:

• Одна точка может соответствовать разным углам;
• Угол может быть больше \(360^°\). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно \(360^°\) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в \(90^° \) и \(-90^°\).
Решение:

Пример. Отметьте угол в \(225^° \) и \(-135^°\).
Решение: \(225^°=180^°+45^°\)
\(-135^°=-90^°-45^°\)

Пример. Отметьте угол в \(420^° \) и \(-390^°\).
Решение: \(420^°=360^°+60^°\)
\(-390^°=-360^°-30^°\)

Задание 1 . Отметьте на окружности точки соответствующие углам: \(720^°\), \(225^°\), \(300^°\), \(870^°\), \(900^°\), \(-330^°\), \(-630^°\), \(-210^°\).

Как находить синус и косинус любого угла?

1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример. Вычислите \(\sin⁡300^°\) и \(\cos⁡300^°\) .
Решение: \(⁡300^°=360^°-60^°\)

\(-540^°\) на тригонометрическом круге совпадает с \(-1\) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: \((-1;0)\). Значит, \(\cos⁡(-540^°)=-1\), а \(\sin⁡(-540^° )=0\).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье .

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения \(-18\sqrt\sin⁡(-135^°)\).
Решение. \(-135^°=-90^°-45^°\)

Пример . Найдите значение выражения \(54\sqrt\cos⁡(510^°)\).
Решение. \(510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.\)

Как посчитать синусы и косинусы углов

Привет всем знайкам и незнайкам тоже! Кто может рассказать нормальный способ, который легко понять и запомнить, которым можно посчитать косинусы и синусы углов, хотя бы для простых углов без таблицы Брадиса?

пт., 2015-06-05 15:37 — vedomur

Я не знаю такого способа. Есть основные табличные значения этих функций их нужно выучить

а зная, что функция синус и косинус периодические, можно понять, что эти значения будут повторяться через пи.

сб., 2015-06-06 12:20 — turbo19

Табличные значения проще запомнить с помощью окружности.

ср., 2015-08-26 00:27 — admin
вс., 2015-06-07 14:00 — Alenka

Совсем недавно узнала новый способ запоминания табличных значений функций синус и косинус. Рассмотрим на примере синуса. Каждой ячейке присвойте порядковый номер, начиная с нуля:
N = 0, 1, 2, 3, 4. Чтобы найти значение функции синус нужно использовать выражение √ N/2
при угле в ноль градусов N = 0 √N/2 = 0
при угле в 30 градусов N = 1 √N/2 = √1/2 = 1/2
и так далее. Для косинуса все считается наоборот.

пн., 2015-06-08 12:06 — vedomur

Признаюсь как на духу, что первый раз слышу об этом способе. Действительно, используя его, очень просто запомнить табличные значения функций синусов и косинусов.

Единый список разрешенных непрограммируемых калькуляторов на ЕГЭ, ОГЭ по физике, химии и географии в 2024 году

Calculators-Online.ru — самый крупный сайт по поиску и подбору калькуляторов, а также авторитетный эксперт в области непрограммируемых и программируемых калькуляторов — сообщает следующее:

Использование научного непрограммируемого калькулятора разрешено на экзаменах по физике, химии, географии.

Научный непрограммируемый калькулятор:

• не имеет функций программирования, которые обозначены на калькуляторе в виде кнопок RUN, FRML, PGM, PRG, PR или Program;
• выполняет арифметические вычисления (сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня);
• поддерживает вычисление тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg, arcsin, arcos, arctg);
• не осуществляет функции средства связи;
• не имеет хранилища базы данных;
• не имеет доступа к сетям передачи данных (в том числе к сети Интернет).

Ниже предложен список разрешенных к использованию на экзаменах по физике, химии и географии непрограммируемых калькуляторов. Вычислительные устройства, на которые имеются официальные сертификаты ЕГЭ, обозначены звездочкой (*). Однако школьники могут использовать любые калькуляторы из списка, так как все они соответствуют определению научного непрограммируемого калькулятора.

Обратите внимание!

Мы тщательно следим за обновлениями модельных рядов производителей и после экспертной оценки добавляем новые устройства в список разрешенных непрограммируемых калькуляторов на ЕГЭ и ОГЭ. К сожалению, не все сайты действуют по этой схеме. В интернете появились клоны нашего списка от недобросовестных производителей калькуляторов. Они содержат модели, которые не соответствуют требованиям и не могут быть использованы на ЕГЭ и ОГЭ или не обладают обязательными функциями, которые необходимы школьникам. Будьте осторожны при выборе калькуляторов и пользуйтесь только надежными и авторитетными источниками информации!

Canon:

• F-502G, F-603, F-604
• F-715SG серия
• F-718SGA серия
• F-788dx
• X-MARK I PRO

Casio:

Citizen:

Hewlett-Packard (HP):

• HP 10s+, HP 10s
• HP 300s+, HP 300s
• HP 30S

Sharp:

• EL-501T
• EL-506TS, EL-506X
• EL-509TS
• EL-510RN, EL-510RT
• EL-520TG, EL-520TS, EL-520V, EL-520X, EL-520XG
• EL-531TG, EL-531TH, EL-531TS
• EL-W506T, EL-W506X
• EL-W531TG, EL-W531TH, EL-W531TL, EL-W531XG, EL-W531XH
• EL-W550XG

Texas Instruments (TI):

• TI-30 eco RS
• TI-30XA, TI-30XIIS, TI-30XIIB
• TI-30XB MultiView
• TI-30XS MultiView
• TI-34 MultiView
• TI-30X Pro MathPrint, TI-30X Pro MultiView
• TI-36X Pro Multiview

РАСПЕЧАТАТЬ ЕДИНЫЙ СПИСОК

Если Ваш калькулятор непрограммируемый с тригонометрическими функциями, но его нет в списке, пожалуйста, отправьте нам запрос с указанием производителя и названия модели по адресу эл. почты [email protected] для экспертной оценки и внесения устройства в список.

Программируемые графические калькуляторы в действии!

Хотите разобраться в функциях графических программируемых калькуляторов последнего поколения? Смотрите видео! Наш новый ведущий Пётр Безумный покажет, как калькулятор Casio FX-CG50 справляется с реальными задачами, расскажет о его возможностях, достоинствах и недостатках. Скучно не будет, обещаем!

Видеоурок 1. Основы программирования графических калькуляторов Casio! На примере калькулятора Casio FX-CG50. Автор: Пётр Безумный

Думаете, что программировать на графическом калькуляторе сложно? Вовсе нет: благодаря упрощенному синтаксису написать программу за несколько минут сможет даже человек, который делает это впервые! Разобраться в функции программирования у современных калькуляторов Casio поможет наш эксперт Петр Безумный — смотрите новый видеоурок на нашем Youtube-канале!

Видеоурок 2. Графика в ваших программах! Программирование графических калькуляторов CASIO. На примере fx-CG50. Автор: Пётр Безумный

В этом видео я расскажу про использование графики в ваших программах, а так-же о продвинутых текстовых командах.

Calculators-Online.ru

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Определение 4

Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .

Определение 5

Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Определение 6

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 — 1 .

Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 — 1 = 2 + 1 ( 2 — 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 — 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 — 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = = 2 — 2 2 · ( 2 2 — ( 2 ) 2 ) = 2 — 2 4

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 — 2 4 = 2 — 2 2 . sin π 8 = 2 — 2 2 .

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = — sin 30 ° = — 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° — 60 ° ) = — cos 60 ° = — 1 2 .

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Найдите значение t g π 8 .

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 = 1 — 2 2 1 + 2 2 = 2 — 2 2 + 2 = = ( 2 — 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = ( 2 — 2 ) 2 2 2 — ( 2 ) 2 = ( 2 — 2 ) 2 2

Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 — 2 ) 2 2 = 2 — 2 2 = 2 — 1

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.