1. Сравнение рациональных чисел
Первая ситуация. Вчера термометр показывал \(-27\) \(°С\) , сегодня температура повысилась до \(-20\) \(°С\) .
Температура вчера была меньше, чем сегодня. Число \(-27\) меньше числа \(-20\), или \( -27 < -20\).
Заметим, что если сравнивать модули чисел, то знак будет наоборот \(>\).
− 27 > − 20 ; 27 > 20 .
Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули: отрицательное число с большим модулем будет меньше.
− 24,7 < − 20,9 ; − 1 4 < − 1 8 ; − 2 3 7 >− 5 1 7 .
Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю
Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое число m, которое назовем модулем. Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются сравнимыми по модулю m.
Сравнимость для a и b записывается так :
[math]a \equiv b(mod \text < >m)[/math]
Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:
- а. Возможности представить a в форме [math]\Huge[/math] , где t — целое.
- б. Делимости [math]\Huge[/math] на m.
- Действительно, из [math] a \equiv b(mod \text < >m) [/math] следует [math] a = mq + r, \text < >b = mq_1 + r [/math] , откуда [math] a — b = m(q-q_1)[/math] , и [math] a = b + mt[/math] , где [math] t = q — q_1[/math] .
- Обратно, из [math]\Huge[/math] , представляя b в форме [math] b = mq_1 + r [/math] , выводим [math] a = mq + r [/math] , где [math] q = q_1 + t [/math] , значит [math] a \equiv b(mod \text < >m) [/math] .
Арифметика сравнений
Свойства сравнений
- 1. Два числа, сравнимые с третьим сравнимы между собой. [math]a \equiv c(mod \text< >m) \text b \equiv c(mod \text< >m) \Rightarrow a \equiv b(mod \text< >m)[/math]
- Легко выводится из пункта «а».
- 2. Сравнения можно почленно складывать. [math] a_1 + a_2 + a_3 \equiv b_1 + b_2 + b_3(mod \text< >m)[/math]
- Представляем сравнения, как в пункте «а» и складываем.
- 3. Сравнения можно почленно перемножать. [math] a_1a_2a_3 \equiv b_1b_2b_3(mod \text< >m)[/math]
- Представляем сравнения, как в пункте «а», перемножаем, получим [math] a_1a_2a_3 = b_1b_2b_3+mN[/math] , где N—целое.
- 4. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем.
- Действительно, из [math]a \equiv b(mod \text < >m)[/math] , [math] a = a_1d, b = b_1d, (d,m)=1[/math] следует, что [math] a-b = (a_1 — b_1)d \vdots m [/math] , поэтому [math] a_1 \equiv b_1(mod \text < >m)[/math] .
- 5. Обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число.
- Действительно, из [math]a \equiv b(mod \text < >m)[/math] , следует [math] a = b+mt, ak =bk +mkt [/math] , и, следовательно, [math]ak \equiv bk(mod \text < >mk)[/math] .
- 6. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.
- Действительно, пусть [math]a \equiv b(mod \text < >m), a = a_1d, b=b_1d, m=m_1d[/math] , отсюда [math] a= b+mt, a_1d =b_1d +m_1dt, a_1 =b_1 +m_1t[/math] , и, следовательно, [math]a_1 \equiv b_1(mod \text < >m_1)[/math] .
- 7. Если сравнение [math]a\equiv b[/math] имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю равному НОК этих модулей.
- В самом деле, из [math] a \equiv b(mod \text< >m_1),\ldots,a \equiv b(mod \text< >m_k)[/math] следует, что разность [math] a-b [/math] делится на все модули [math] m_1,m_2,\ldots,m_k[/math] . Поэтому она должна делиться и на их НОК.
- 8. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m.
- Следует из пункта «б».
- 9. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая сторона сравнения должна делиться на это число.
- Следует из пункта «а».
- 10. Если [math]a \equiv b(mod \text< >m) [/math] , то [math](a,m) = (b,m) [/math] .
- Следует из пункта «а» по свойству НОДа.
Полная и приведенная система вычетов
Числа равноостаточные(сравнимые по модулю m) образуют класс чисел по модулю m. Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме [math]mt + r [/math] заставим t пробегать все целые числа. Таким образом для каждого значения остатка имеется свой класс чисел.
Любое число класса называется вычетом по модулю m. Вычет получаемый при [math] t = 0[/math] , равный самому остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.
Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю.
Согласно 10 свойству сравнений, числа одного класса по модулю m имеют одинаковый НОД. Особенно важны классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем. Взяв вычет от каждого такого класса, получим приведенную систему вычетов по модулю m.
Решение линейных систем по модулю
Примеры решения
Пример 1.
[math] 12x \equiv 6(mod \text< >18)[/math]
Найдем НОД [math](12,18)=6 [/math]
Перейдем к новому сравнению [math] 2x \equiv 1(3) [/math]
Легко находится [math] x_0 = 2 [/math]
Тогда ответом будет [math] x_0 =2, x_1 = x_0 — \frac=-1, x_2 = -4[/math]Пример 2.
[math] 111x \equiv 75(mod \text< >321)[/math]
Найдем НОД [math](111,321)=3 [/math] , 75 кратно 3, значит имеем 3 решения
Перейдем к новому сравнению [math] 37x \equiv 25(107) [/math]
Воспользуемся цепными дробями, в нашем случае [math] n=4, p_ = 26[/math] , значит [math] x_0 \equiv -26\cdot 25 (107) \equiv 99(107) [/math]
Тогда ответом будет [math] x_0 = 99, x_1 = 206, x_2 = 313 [/math] .Модуль числа, сравнение чисел
Модуль числа а обозначают $|a|$. Вертикальные черточки справа и слева от числа образуют знак модуля.
Например, модуль любого числа (натурального, целого, рационального или иррационального) записывается так: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt[4]|$.
Определение 1
Модуль числа a равен самому числу $a$, если $a$ является положительным, числу $−a$, если $a$ является отрицательным, или $0$, если $a=0$.
Данное определение модуля числа можно записать следующим образом:
$|a|= \begin a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a
Можно использовать более краткую запись:
$|a|=\begin a, & a \geq 0 \\ -a, & a
Вычислить модуль чисел $23$ и $-3,45$.
Найдем модуль числа $23$.
Число $23$ – положительное, следовательно, по определению модуль положительного числа равен этому числу:
Найдем модуль числа $–3,45$.
Число $–3,45$ – отрицательное число, следовательно согласно определению модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному:
Статья: Модуль числа, сравнение чисел
Поможем написать реферат за 48 часов
Определение 2Модуль числа является абсолютной величиной числа.
Таким образом, модуль числа – число под знаком модуля без учета его знака.
Модуль числа как расстояние
Геометрическое значение модуля числа: модуль числа – это расстояние.
Определение 3
Модуль числа a – это расстояние от точки отсчета (нуля) на числовой прямой до точки, которая соответствует числу $a$.
Например, модуль числа $12$ равен $12$, т.к. расстояние от точки отсчета до точки с координатой $12$ равно двенадцати:
Точка с координатой $−8,46$ расположена от начала отсчета на расстоянии $8,46$, поэтому $|-8,46|=8,46$.
«Модуль числа, сравнение чисел» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач по учебе за 24 часа
Реферат по этой теме за 48 часовМодуль числа как арифметический квадратный корень
Определение 4
Модуль числа a является арифметическим квадратным корнем из $a^2$:
Вычислить модуль числа $–14$ с помощью определения модуля числа через квадратный корень.
Сравнение отрицательных чисел
Сравнение отрицательных чисел основывается на сравнении модулей этих чисел.
Замечание 1
Правило сравнения отрицательных чисел:
- Если модуль одного из отрицательных чисел больше, то такое число является меньшим;
- если модуль одного из отрицательных чисел меньше, то такое число является большим;
- если модули чисел равны, то отрицательные числа равны.
Замечание 2
На числовой прямой меньшее отрицательное число располагается левее большего отрицательного числа.
Сравнить отрицательные числа $−27$ и $−4$.
Согласно правилу сравнения отрицательных чисел найдем сначала модули чисел $–27$ и $–4$, а затем сравним полученные положительные числа.
Таким образом, получаем, что $–27 |-4|$.
При сравнении отрицательных рациональных чисел необходимо преобразовать оба числа к виду обыкновенных дробей или десятичных дробей.
Сравнение чисел с противоположными знаками
Замечание 3
Правило сравнения чисел с противоположными знаками:
Положительное число всегда больше отрицательного, а отрицательное число всегда меньше положительного.
Числа имеют противоположные знаки. Согласно правилу сравнения чисел с противоположными знаками получаем, что отрицательное число $−53$ меньше положительного числа $8$.
Сравнить числа $3 \frac$ и $–5,(123)$.
Согласно правилу сравнения чисел с противоположными знаками отрицательное число всегда меньше положительного. Следовательно, $–5,(123)
По данному правилу можно сравнивать также и действительные числа с противоположными знаками.
Если числа заданы как числовые выражения, то сразу невозможно определить какие они имеют знаки. В таком случае нужно вычислить значение этих выражений и затем определить, какое из правил сравнения можно применить.
Не понимаешь, как писать работу?
Попробовать ИИ
Дата последнего обновления статьи: 20.06.2023
Поделиться- Telegram
- Вконтакте
- Одноклассники
Сравнение рациональных чисел
Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.
Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.
Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.
В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы
Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:
Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.
Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули:
Отвечаем на вопрос:
Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:
Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Например, сравним числа −3 и −1
Находим модули чисел
Сравниваем найденные модули:
Отвечаем на вопрос:
Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.
Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой
Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.
Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2
Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».
Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса
Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.
Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.
Пример 1. Сравнить рациональные числа
Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем
Пример 2. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Пример 3. Сравнить числа 2,35 и
Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем что 2,35 больше, чем
2,35 >
Пример 4. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и
Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем
Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и
Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем
Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403
Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль
Далее применим правило сравнения положительных чисел.
Находим модули чисел
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403
Пример 8. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.
Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.
Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256
Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256
поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256
Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа
Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.
Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей
Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.
А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2
Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:
В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7
Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и
Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.
Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых урокахВозникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже