Как убрать модуль в уравнении
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС
Контакты
Администратор, решение задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
Как убрать модуль в уравнении
Допустим, вам надо решить уравнение, содержащее модуль, а ещё лучше, если вам дано уравнение с 2 модулями.
Для примера, требуется решить
| x + 1| + |x – 5| = 20
Это уравнение мы решим с помощью калькулятора уравнений
Вы вводите уравнение, как указано на изображении ниже (знак модуля отмечается вертикальными линиями «|»)
Нажимаете кнопку «Решить уравнение!» и получаете подробное решение для своего уравнения с модулем:
Подробное решение
| Для каждого выражения под модулем в ур-нии |
| допускаем случаи, когда соотв. выражение «>= 0″ или » < 0", |
| решаем получившиеся ур-ния. |
Способы решения уравнений, содержащих модуль
Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.
Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x — 2| = 3.
Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x — 2 0, тогда оно «выйдет» из под знака модуля со знаком «плюс» и уравнение примет вид: x — 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: или x — 2=-3
Таким образом, получаем, либо x — 2 = 3, либо x — 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим:
Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо .
Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.
Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.
Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю:
Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 9):
Получим две смешанных системы:
Решим каждую систему:
(1) (удовлетворяет данному промежутку)
(2) (удовлетворяет данному промежутку)
Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и
Для построения графика функции , построим график функции — это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX.
Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY (см. рис. 10).
Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.
Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y=|x — 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:
Пример 2. Решим аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.
Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5
Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.
Ответ: решений нет.
Преобразуем уравнение: : 1 + |x| = 0.5
Графиком функции являются лучи — биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.
Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений (см. рис. 11).
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x + 2| = 2x + 1.
Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.
Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, — именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.
Поскольку в левой части — модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е. Таким образом, область допустимых значений модуля
Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:
Решим каждую систему:
(1) входит в промежуток и является корнем уравнения.
(2) x = -3 не входит в промежуток и не является корнем уравнения.
Установим, при каких значениях x модуль в левой части уравнения обращается в нуль:
Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение (см. рис. 12):
В результате будем иметь совокупность смешанных систем:
Решая полученные системы, находим:
(1) входит в промежуток и является корнем уравнения.
(2) не входит в промежуток и x=-3 не является корнем уравнения
Решить уравнение с модулем икс и Зачем нужна логика при решении
Что будет, если приведенного уравнения убрать х по модулю, то есть если заменить |х| просто на х? Тогда уравнение с модулем икс можно решить в уме, не прибегая к сложным выкладкам:
Но знак модуля |х| нам все портит. И значение х = -1 не является решением первоначального уравнения, так как
Как решить уравнение с модулем икс
Давайте вместе с алгеброй применим логику. Логика позволяет нам делать некоторые предположения. Применительно к первоначальному уравнению, сделаем сразу 3 логических допущения.
1. Предположим, что х=0.
2. Допустим, что х>0.
3. Предположим, что х
Этими тремя предположениями мы «перекрыли» весь диапазон возможных значений икс х, которые могут стать решением данного уравнения, так ведь? Значение х может быть нулевым, положительным или отрицательным.
Теперь давайте проверим каждое сделанное предположение. Выполним своеобразную «проверку гипотез» о том, что х может быть нулевым, положительным или отрицательным.
Икс равен нулю
Проверим первое предположение, что икс равен нулю (х=0):
2 * 0 — |0| = 0 — 0 = 0, но никак не -1, как записано в исходном уравнении.
Значит, первая гипотеза о том, что х = 0 оказывается не верна, поэтому отбросим ее.
Если в уравнении икс положительный
Проверим вторую гипотезу о том, что х является числом положительным. Тогда можно избавиться от знака модуля в исходном уравнении. Ведь если х является положительным числом, то |х| = х. Это очевидно, не так ли?!
Получим уравнение без знака модуля:
Итак, в результате решения нового уравнения, когда знак модуля был отброшен, получили ответ х = -1.
Однако в начале этой статьи мы получали такой же ответ, который не «проходил» элементарную проверку путем подстановки -1 в уравнение вместо х. Что не так?
Почему в результате решения уравнения мы получили х = -1, но проверка показывает неверный результат? Дело в том, что мы нарушили нашу собственную логику.
Второе предположение состояло в том, что значение х должно быть положительным (х>0). Но в результате подстановки положительного значения х в уравнение после его решения мы получили отрицательное значение х = -1.
А раз логика нарушена, значит наше предположение о том, что х является положительным числом НЕ ВЕРНО. Мы должны отбросить второе наше предположение, что х>0 так же, как мы отбросили первое предположение, что х=0.
Икс в уравнении отрицательный
Что же у нас остается? Остается третье логическое предположение, что значение х отрицательное (х<0). Давайте попробуем решить исходное уравнение при данном логическом предположении.
Решаем полученное уравнение:
3х = -1, что означает х = -1/3.
Давайте на всякий случай проверим, действительно ли мы правы, решая исходное уравнение таким «замысловатым» логическим способом, делая предположения, гипотезы и затем их проверяя на логическую непротиворечивость:
2 * (-1/3) — |-1/3| = -2/3 — 1/3 = -3/3 = -1, что и требовалось получить в конечном итоге!
Итак, решением уравнения с модулем икс:
2х — |х| = -1
является значение х = -1/3.
Вот что значит действовать логически при решении уравнения: делать логические предположения, далее пытаться решить уравнение на основе сделанных логических предположений. И в конце, после даже кажущегося удачного решения уравнения, проверять логическую непротиворечивость сделанных гипотез.
И тогда можно решать не только данное уравнение, являющееся не таким уж сложным, но и находить решения других более сложных задач.
Проверка гипотез в других областях
Метод проверки гипотез работает не только в математике, алгебре, но и в других науках. Даже в гуманитарных дисциплинах применяют методы проверки гипотез. Скажем, в управлении, в менеджменте.
Допустим, на заводе выпускается продукция, но по какой-то неясной причине некоторые производимые изделия стали бракованными. В чем проблема? Менеджеры начинают строить гипотезы: оборудование износилось и требует ремонта, сырье привезли уже бракованное, рабочий на линии перестал соблюдать установленные требования и так далее.
Может быть даже построено «дерево возможных причин». Оно визуально выглядит, не как дерево с разветвляющимися ветками, а как скелет рыбы, лежащий на боку, где на конце каждой косточки надписана та или иная гипотеза, предположение, почему стали выпускать бракованную продукцию. Подобная схема имеет несколько вполне официальных, признанных наукой названий: «рыбная кость», «рыба Исикавы» (по фамилии ее изобретателя из Японии) и другие.
И затем, «косточка за косточкой», гипотеза за гипотезой, последовательно проверяя их все, менеджеры находят одну или сразу несколько причин возникшей проблемы.
Так что проверка гипотез, логический подход к решению задач, на самом деле, широко распространен в наше время. Изучение этого подхода на простых алгебраических уравнениях, на самом деле, очень полезно, поскольку логика таких решений, возможно, нам всем потребуется в дальнейшей работе и жизни. Причем, совершенно не обязательно, что мы будем решать уравнения, а не заниматься другими делами, скажем, управлением производством или обслуживанием.
«Математика уж тем хороша, что она ум в порядок приводит» — М.В.Ломоносов. Лучше не скажешь, особенно применительно к решению логических задач, так как логика очень часто нужна в повседневной жизни в работе.