Как доказать что функция убывает на множестве действительных чисел

Как доказать что функция убывает на множестве действительных чисел

УПС, страница пропала с радаров.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Вам может понравиться Все решебники

Виленкин, Жохов, Чесноков

Вербицкая, Маккинли, Хастингс

Никишин, Стрелков, Томашевич

Алексеев, Низовцев, Ким

Шмелёв, Флоренская

Власенков 10-11 класс

Власенков, Рыбченская

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

1. Показательная функция, её график и свойства

В практике часто используются функции y = 2 x , y = 10 x , y = 1 2 x , y = 0,1 x и т. д., т. е. функция вида y = a x , где a — заданное число, x — переменная. Такие функции называют показательными . Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Функция, заданная формулой y = a x (где a > 0, a ≠ 1 ), называется показательной функцией с основанием a .

Сформулируем основные свойства показательной функции.
1. Область определения — множество ℝ действительных чисел.
2. Область значений — множество ℝ + всех положительных действительных чисел.

3. При a > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 < a < 1 функция убывает на множестве ℝ .

Возрастание и убывание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Запомните!

Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых « x₁ » и « x₂ » принадлежащих данному промежутку, таких, что « x₂ > x₁ » выполняется неравенство
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Определение сложно понять без наглядного примера. Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x » соответствует бóльшее значение « y », значит, функция « y(x) » возрастает.

x₂ > x₁
y( x₂ ) > y( x₁ )

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Для начала определим область определения функции « y = 9x − 4 ».

y = 9x − 4
D(y): x ∈ R ,
то есть « x » — любое действительное число.

Построим график функции
« y = 9x − 4 ». Так как функция
« y = 9x − 4 » линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа, поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5

Отметим две полученные
точки « (0; −4) » и « (1; 5) » на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Докажем, что функция « y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и аналитически (по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 » «идет в гору». Другими словами, при увеличении « x » ↑ растет значение « y » ↑ .

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

У второй точки « (·)B » координаты:
x₂ = 1 ; y₂ = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что при увеличении
« x ↑ ( x₂ > x₁ ) » растет
« y ↑ ( y₂ > y₁ ) ». Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает, так как ее график «идет в гору». Но как доказать по формуле, что функция возрастает на всей своей области определения?

Запомните!

Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x₂ > x₁ »
выполняется условие
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при « x₂ > x₁ » увеличивается значение функции
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x₁ ) » и « y( x₂ ) »?

Для нахождения « y( x₁ ) » и « y( x₂ ) » достаточно подставить « x₁ » и « x₂ » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

y( x₁ ) = 9x₁ − 4
y( x₂ ) = 9x₂ − 4

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

x₂ > x₁
y( x₂ ) > y( x₁ )

Подставим в неравенство
« y( x₂ ) > y( x₁ ) » полученные формулы
« y( x₁ ) = 9x₁ − 4 » и
« y( x₂ ) = 9x₂ − 4 » .

y( x₂ ) > y( x₁ )
9x₂ − 4 > 9x₁ − 4
9x₂ − 9x₁ > − 4 + 4
9x₂ − 9x₁ > 0
9(x₂ − x₁) > 0

Разделим левую и правую часть на « 9 ».

9(x₂ − x₁) > 0 | : 9

9 (x2 − x1)

9

При делении нуля на любое число получается ноль.

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции « x₂ > x₁ ». Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».

Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

x₂ > x₁
y( x₂ ) > y( x₁ )

Вместо « y( x₁ ) » и « y( x₂ ) » запишем формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

13 (x2 − x1)

13

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Запомните!

Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x₁ » и « x₂ » принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x₂ > x₁ » выполняется неравенство « y( x₂ ) ».

x₂ > x₁
y( x₂ ) y( x₁ )

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x » ↑ растет, то « y » ↓ должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа, поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 » и « x = 1 ».

x = 0
y(x) = 1 − 3x
y(0) = 1 − 3 · 0 = 1

x = 1
y(1) = 1 − 3x
y(1) = 1 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении « x » ↑ уменьшается
значение « y » ↓ .

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле, что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Запомните!

Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых « x₂ > x₁ » выполняется
« y( x₂ ) y( x₁ ) ».

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает на всей своей области определения.

x₂ > x₁
y( x₂ ) y( x₁ ) » и « y( x₂ ) » в формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.

−1 » левую и правую часть неравенства. При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на противоположный.

−x₂ (−1)
x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает («спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

Запишем через знаки неравенств, какие значения принимает « x » на полученных промежутках. Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

• функция убывает при
  x ≤ −2; 0 ≤ x ≤ 3,5
• функция возрастает при
  −2 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных математических символов.

• функция убывает на промежутках x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
• функция возрастает на промежутках x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m » функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких « m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

x₂ > x₁
y( x₂ ) y( x₁ )

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в задаче. Вместо « x » подставим « x₁ » и « x₂ ».

y( x₂ ) mx₂ − m − 3 + 2x₂

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.

mx₂ − m − 3 + 2x₂ − mx₁ + m + 3 − 2x₁

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.

mx₂ − mx₁ − m + m − 3 + 3 + 2x₂ − 2x₁ mx₂ − mx₁ + 2x₂ − 2x₁ ( x₂ − x₁ ) ».
( x₂ − x₁) (m + 2) > x₁
y( x₂ ) y( x₁ )

Преобразуем исходное условие убывания функции « x₂ > x₁ ». Перенесем все в левую часть.

x₂ > x₁
x₂ − x₁ > 0

По условию убывания функции
« x₂ − x₁ > 0 », значит, чтобы
произведение « ( x₂ − x₁) (m + 2) » было меньше нуля, требуется, чтобы множитель « (m + 2) » был меньше нуля. Так как по правилу знаков: плюс на минус даёт минус.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Докажите, что функция f (x)=x^3+x на множестве действительных чисел возрастает

F(x)=x³+x
D=(-∞;∞)
f'(x)=(x³+x)’=2x²+1
функция y=f(x) возрастает на на некотором промежутке области определения, если ее производная на этом промежутке положительна.
f'(x)>0. 2x²+1>0 2x²>-1. x- любое число

Новые вопросы в Алгебра

Решить неравенство -х ^2 +12х +45 <0
Решить неравенство -х ^2 +12х -45 <0 -3х ^2 — 5х -2 >0
Помогите пж Укажите координаты точки пересечения графика функции у= 0,8 х — 2 с осью абсцисс.

№1. Одна сторона прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а вторая сторона больше, чем сторона квадрата, на 4 см. Найдите сторону квадрата, есл … и площадь прямоугольника равна 40 см². №2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.​

Решить задачу в тетради: Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 32 см, а площадь равна 55 см. кв.​